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Erste Experimente mit
entarteten Fermigasen
Christoph Petri
Inhalt
 Theoretische Grundlagen
 Symmetrisierungspostulat, FD-Statistik
 Wechselwirkung identischer Fermionen
 Experimentelle Ergebnisse
 Grenzen des evaporativen Kühlens
 Auftreten von Entartungseffekten
 Ausblick auf aktuelle Forschung
 BCS-Übergang und Superfluidität
Inhalt  Seite 2
Symmetrisierungspostulat
 P sei Vertauschungsoperator, so dass gilt:
P k ' k ' '...k i k i 1...k j ...  k ' k ' '...k j k i 1...k i ...
ij
 Desweiteren ergibt sich:
Pij  Pji und Pij2  1  Eig ( Pij )  {1,1}
 Experimenteller Befund besagt die Existenz von 2 Teilchensorten:
- Bosonen: Pij N identische Bosonen   N identische Bosonen ; s  n  
- Fermionen:
Pij N identische Fermionen   N identische Fermionen ; s  (n  1) 2  
 Antisymmetrischer Zustand für 2 Fermionen ist somit:
k'k'' 
Theorie  Seite 3
1
 ( k' k''  k'' k' )  k'k'  0
2
Pauli-Ausschlussprinzip
Fermi-Dirac-Statistik
 Besetzung von Energieniveaus in einem Fermigas nach Fermi-Dirac-Verteilung:
n( E ) 
1
e ( E   ) / k BT  1
mit chem. Potential

U
N
 Für T=0 Entartung der FD-Verteilung zur Sprungfunktion („entartetes Fermigas“)
 Besetzung aller Zustände bis
E   (T  0)  EF
EF
 Fermi-Temperatur T(Entartungstemperatur)
F 
k
- für
T  TF
Theorie  Seite 4
B
ist System fast entartet bzw. für
Fermi-Energie
T  TF liegt klass. Grenzfall vor
Verdünnte, gefangene Fermigase
 N spinpolarisierte Fermionen mit Masse m in zylindersymmetrischen harmonischen Potential
 
- Einteilchen-Hamiltonoperator H (r , p) 
- Einteilchen-Energieniveaus
1
mr 2
( p x2  p y2  p z2 ) 
( x  y 2  2 z 2 )
2m
2
Enx ,ny ,nz  r (nx  ny  nz )
 Übergang zu kontinuierlicher Beschreibung möglich, da gilt: k BT  r
-
E2
Zustandsdichte g ( E ) 
2 (r )3
und chem. Potential aus N   g ( E )n( E )dE
- Fermi-Energie EF   (T  0, N )  EF   r (6N )1/ 3
- Fermi-Radius
RF  2 E F mr2
 Fermi-Temperatur für
40
Fermi-Wellenzahl K F  2mEF  2
K , N  106 ,   276 Hz ,   0.44  TF  0.3 K
 Anzahldichte im Phasenraum für Thomas-Fermi-Näherung
 
w(r , k , T ,  ) 
Theorie  Seite 5
1
(2 )3 e
1
 
( H ( r ,k )   ) / k BT
1
r , z  r
Verdünnte, gefangene Fermigase
 Integration über Impulsraum ergibt räumliche Verteilung
3

 
n(r , T )   w(r , k , T ,  )d k
 Analytische Auswertung des Integrals nur für T=0 möglich

N 8
 2 3/ 2
n(r , T  0)  3 2 (1  2 ) mit
RF 
RF
  ( x 2  y 2  2 z 2 )1/ 2
effektiver Radius
- Wolke umfasst Ellipsoid mit Durchmesser 2 RF in der x-y-Ebene und 2RF  entlang der
z-Achse
 Analog ergibt Integration über Ortsraum die Impulsverteilung (für T=0)

k

~n (k , T  0)  N 8 (1  )3 / 2
K F3  2
K F2
- Impulsverteilung isotrop unabhängig vom Fallenpotential
Theorie  Seite 6
Verdünnte, gefangene Fermigase
 Räumliche Dichteverteilung für
kBT EF  0, 0.5, 0.75, 1.0
 klassisches Ergebnis ist gegeben
durch Gaußkurve, beschreibt akkurat
numerischem Ergebnis für kBT / EF  1
 sukzessiver Übergang vom
klassischen in entarteten Grenzfall im
Gegensatz zur Bose-EinsteinKondensation
Theorie  Seite 7
Verdünnte, gefangene Fermigase
 Mittlere quadratische Ausdehnung der
Wolke
 Radius bleibt für Fermigas im Falle T  0
endlich
 Radius des klassischen Gases
verschwindet für T  0
C2  3RF2 (k BT EF )
 sukzessiver Übergang zwischen den
Grenzfällen
Theorie  Seite 8
Wechselwirkung identischer Fermionen
 Antisymmetrie des Zustandes hat gravierende Folgen für WW identischer Fermionen für
kleine T
 Betrachtung von Stößen zwischen spinpolarisierten Fermionen
 Gesamtwellenfunktion  zweier Fermionen beim Stoß lässt sich Bahnanteil in
Relativkoordiaten und Spinanteil separieren
 
   ( R, r )   (1,2)
 
 Im spinpolarisierten Zustand gilt  (1,2)   ( 2,1) ,d.h.  ( R, r )
muss antisymmetrisch
sein
 Teilchenvertauschung führt zu Vorzeichenänderung des Abstandsvektors
 
 
 ( R,  r )   ( R, r )
Theorie  Seite 9

r
Wechselwirkung identischer Fermionen


eikr
ik r
 Asymptotische Wellenfunktion  (r )  e 
f ( ) muss somit antisymmetrisiert
r
werden
ikr



e
a (r )  eikr  e ikr 
[ f ( )  f (   )]
r
 Streuquerschnitt folgt aus  ()  f ( ) , daher Betrachtung von
2
f a ( )  f ( )  f (   )
ausreichend
 Entwicklung von f ( ) nach Legendre-Polynomen

f ( )   f ( l ) ( )
l 0
Theorie  Seite 10
mit
f (l ) ( )  Pl (cos  )
Wechselwirkung identischer Fermionen
 Es folgt für l-te Partialwelle der antisymmetrisierten Streuamplitude
f a(l ) ( )  Pl (cos  )  Pl (cos(   ))  Pl (cos  )  Pl ( cos  )
 Aufgrund folgender Eigenschaft der LP Pl (  x)  ( 1) Pl ( x) ergibt sich
l
f a(l ) ( )  0
mit l gerade
 Unter anderem verschwindet s-Welle (l=0), welche für kleine Temperaturen den einzig
relevanten Beitrag zum Streuquerschnitt liefert
 Zusammengefasst gilt:
Bei genügend kleinen Temperaturen gibt es in einem Gas aus spinpolarisierten Fermionen
praktisch keine Stöße mehr

Theorie  Seite 11
sehr lange Thermalisierungszeiten,
evoparitives Kühlen ineffizient
Experimente
 Experimentelle Ansätze zur Lösung des Problems der ineffizienten Thermalisierung
- Mischung zweier Gase:
Zwei unterschiedlicher Gase in eine Falle. Bose-Gas wird evaporativ gekühlt. Fermi-Gas
lediglich durch thermischen Kontakt
- Mischung zweier Spinzustände:
Verwendung eines Gases einer Spezies in verschiedenen m-Zuständen, so dass
Thermalisierung zwischen unterschiedlichen m-Quantenzahlen möglich ist
- Verstärkung der p-Wellenkollision:
elektrisches Feld erhöht Streuung für p-Partialwelle (l=1)
Experiment  Seite 12
Sympathetisches Kühlen
 Sympathetisches Kühlen durch Mischung zweier Spinzustände
- Verwendung einer fermionischen Spezies

40
K in unterschiedlichen m-Zuständen
s-Wellen-Streuung ist erlaubt
- F  9 2, mF  9 2 und F  9 2, mF  7 2
- gleichmäßiges Entfernen beider Spinzustände
mittels Mikrowellenfeld
 9 2 ,  7 2  1.3 GHz
- Übergang in ungebundenen Spinzustand
F  7 2, mF  7 2
Experiment  Seite 13
Experimentelle Ergebnisse
 Grenzen des evaporativen Kühlens für
Fermi-Gase
- Steigung der Kurve kann als Effizienz
interpretiert werden
- deutliche Effizienzabnahme für T
TF  0.5
 2 Gründe:
- Fermi-Druck:
Verringerung der Ausmaße der Wolke
wird verhindert
T 0
 2  0.6RF
- Pauli-Blocking:
zunehmende Besetzung in Fermi-Kugel
für kleine T unterdrückt Stöße mit
Übergang in NiederenergieEndzustände
Experiment  Seite 14
Experimentelle Ergebnisse
 Nachweis von Entartungseffekte anhand der
inneren Energie
- klassisch gilt für innere Energie U
U cl  3NkBT
- für Fermi-Gas gilt bei T=0
3
U FD  Nk BTF
4
 Erwartung der Divergenz für T  0
U U cl  
Experiment  Seite 15
mit
U  U  U cl
Experimentelle Ergebnisse
 Nachweis von Entartungseffekten anhand der optischen Dichte
  x 2  x2  z 2  z2
 A, B, R, L beziehungsweise
Experiment  Seite 16
 x ,  z sind Fitparameter; B und R aus Randbedingungen
Experimentelle Ergebnisse
 Interpretation des Fitparameters L
 L gibt Abweichung der Impulsverteilung von
einer Gaußkurve an
 L ist Maß für die Größe des entarteten
Kerns
 2  R 2 (1  L)
T 0L 0
T  TF  L  1
Experiment  Seite 17
Entartung
klassischer Grenzfall
Sympathetisches Kühlen
 Sympathetisches Kühlen durch Mischen zweier Gase
6
- Falle wird mit Fermi-Gas Li und Bose-Gas 7 Li geladen
 Minimierung von Pauli-Blocking
- kaum Verlust an Atomen im Fermi-Gas
- Bose-Gas bietet bessere Kontrolle
über Temperatur
- Grenze für Temperatur erreicht, wenn
Wärmekapazität des Bose-Gases kleiner
als die des Fermi-Gases
Experiment  Seite 18
Experimentelle Ergebnisse
 Quadrat des Radius des klassischen
und Fermigases über Temperatur
 kontinuierlicher Übergang zwischen
den Grenzfällen
 Radius des Fermi-Gases bleibt endlich
 Abweichung von klassischer Erwartung
aufgrund Fermidruck
Experiment  Seite 19
BCS-Übergang und Superfluidität
 Für negative Streulängen a  0 besteht attraktive Wechselwirkung bzw Möglichkeit für die
Bildung von Cooper-Paaren
5

TC  TF  exp( 
 1)
3
2K F a
 exponentielle Abhängigkeit der kritischen Temperatur von
1
KF a
 a von der Größenordnung des mittleren atomaren Abstands

K F a  1
kritische Temperatur ist viele Größenordnungen kleiner
als momentan erreichbare Temperaturen
 Realisierung des BCS-Übergang in stark wechselwirkenden Fermi-Gasen
Ausblick  Seite 20
BCS-Übergang und Superfluidität
 Bilder der Vortices in einem stark wechselwirkenden Fermi-Gas
Ausblick  Seite 21
BCS-Übergang und Superfluidität
 Gegenüberstellung von Supraleitung und Superfluidität
 Ausgangspunkt ist makroskopische Wellenfunktion
  0  e

i ( r )
*
- Betrag der Wellenfunktion ist Dichte der Cooper-Paare   0  nC

- relle Funktion  (r ) beschreibt makroskopisch Phase der Wellenfunktion
2
 Flussquantisierung für einen supraleitenden Ring
 


  ds  2  B  dA  2  
e

     ds  2n
   n
h
2e
 Analog gilt für die Zirkulation bei Superfluidität
Ausblick  Seite 22
  n
h
m
BCS-Übergang und Superfluidität
 Verteilung des Magnetflusses im Supraleiter
 Magnetfeld tritt durch normalleitende Inseln
(Flussschläuche)
 Flussschlauch trägt ein Fluxoid
 Auftreten von Wirbeln in rotierendem He-II
 Wirbel besitzen normalfluiden Kern
 Wirbel trägt ein Zirkulationsquant
Ausblick  Seite 23
Zusammenfassung
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