kombigeobrett.pps

Kombinatorische Aspekte auf dem 9-Nagel-Geobrett
Warum Beschränkung auf 3 x 3?
Dreiecke?
Wie viele.....?
Vierecke?
Längen?
Es gibt 8 Klassen kongruenter Dreiecke
Richtungen?
16 Klassen kongruenter Vierecke
Winkel?
5 Klassen gleich langer Strecken
Wie viele „Flächeninhalte“
s. Beiträge 1977
14.02.2006
10 (bzw. 13) Klassen gleich großer Winkel
Horst Steibl,
TU-Braunschweig
1
Die 8 Dreiecke
gleichschenklig
Bruchteile ½ , ¼ , 1/8 , 3/8
rechtwinklig
stumpfwinklig
Flächeninhalt
Umfang
14.02.2006
Horst Steibl,
TU-Braunschweig
Wie viele....................
2
Die Längen auf dem Geobrett
Länge: Klasse gleich langer Strecken
5 cm
12
14.02.2006
10 cm
(25+25)  7
6
8
Horst Steibl,
TU-Braunschweig
 200  14
2
 125 11
8
36 Strecken
3
Codierung der Dreiecke durch Angabe der
Seitenlängen
(10, 10, 14)
(10, 11, 11)
(5, 11, 14)
(7, 11, 11)
(5, 10, 11)
(7, 7, 10)
(5, 7, 11)
(5, 5, 7)
Flächeninhalt???
14.02.2006
½
¼
Horst Steibl,
TU-Braunschweig
1/
8
3/
8
4
Die 10 Klassen gleich großer Dreieckswinkel
Tim und Tom die Winkel-Wichtel
Die Winkel als
Linearkombination
der beiden kleinsten
Winkel
14.02.2006
Horst Steibl,
TU-Braunschweig
5
Die 16 Vierecke
Und das 16. ?
14.02.2006
Horst Steibl,
TU-Braunschweig
6
Rauten aus den 11-er-Linien
1/
5
14.02.2006
1/
4
Horst Steibl,
TU-Braunschweig
1/
3
7
Wie viele...? Anzahlprobleme
Finde alle......!
Wie finden wir alle diese
Können wir sicher sein, dass es
Möglichkeiten?
nicht mehr als 16 Vierecke gibt?
Müssen wir uns mit dem
„trial and error“Verfahren
begnügen?
„blindes“ Suchen
Gibt es einen mathematischeren
Zugang zu diesen Anzahlproblemen?
die „denkende“ Hand
Anleitung zu systematischen Suchen
Festhalten einer Strecke, alle Möglichkeiten,
14.02.2006
Horst Steibl,
TU-Braunschweig
nächste Strecke
8
Das Urnenmodell
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4
1
Wir ordnen dem Tastentelefon entsprechend
den 9 Nägeln die Ziffern 1 bis 9 zu
2
Wir beschriften 9 Spielsteine mit den Ziffern
1 bis 9. Legen sie in einen Beutel und ziehen
nacheinander 3 Steine (oder 2, oder 4, 5)
3 Ziehen wir etwa die 6, die 1 und die 8
5
So ist damit dieses (7, 11, 11)-Dreieck
6 bestimmt
7
Jedes derartige Tripel bestimmt also ein Dreieck
8
Natürlich nicht jedes
9
14.02.2006
Horst Steibl,
TU-Braunschweig
9
Gewinnspiel Dreiecke , zwei Spieler
2 Geobretter,
Beutel mit 9 beschrifteten Steinen,
jeder 4Spieler 5Würfelchen (Einsatz)
1
729
2
3
4
1
2
3
5
5
6
6
7
7
8
8
9
783
9
Benennen der Bruchteile!
Dokumentiere die Spieldauer!!!!!
Horst Steibl,
14.02.2006
TU-Braunschweig
Spielregel :
Einsatz: ein Würfelchen.
Jeder Spieler zieht
(nacheinander) 3
Spielsteine und spannt
sein Dreieck. Gewonnen
hat der, dessen Dreieck
den größeren Flächeninhalt hat. Bei gleichem
Inhalt gewinnt der
kleinere Umfang.
Die 10-Strecke ist eine
Niete, die 14-Strecke ein
Hauptgewinn.
10
Gewinnspiel „vier Nägel“
Spielregel: größter Flächeninhalt, kleinster Umfang
Variante: Gewonnen hat der, dessen Viereck im Haus der
4
4
2
2
1
1 weiter
3
3unten steht.
Vierecke
Bei1gleicher
Höhe
neues4 Spiel
2
3
5
5
5
6
6
6
7
7
7
8
8
8
2468
1279
9
9
Wer nennt die meisten Diagonaleigenschaften?
Die meisten Symmetrieeigenschaften?
1479
9
Wer kennt die meisten Bezeichnungen?
14.02.2006
Horst Steibl,
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11
Analyse des Urnenmodells
Umgangserfahrung mit der Urne
Aufbau einer Fragehaltung zur Wahrscheinlichkeit
Erwartungswert
Wie viele Möglichkeiten gibt es,
9 über 3
Binom:
unter den 9 Steinen 3 auszuwählen
Binomialkoeffizient
( )
9
3
(a + b)³ = 1a³ + 3a²b + 3ab² + 1b³
(a + b) 9 = 1a9 + 9 a8b + 36 a7b² + 84 a6b³ + 126 a5b4 ....
14.02.2006
Horst Steibl,
TU-Braunschweig
12
 9 9 8
  
 36 mögliche Strecken
 2  2 1
5 cm
12
10 cm
(25+25)  7
6
8
 200  14
2
 125 11
8
12 + 6 + 8 + 2 + 8 = 36
Wir haben wirklich alle möglichen Strecken
14.02.2006
Horst Steibl,
TU-Braunschweig
13
9
( ) Dreiecke ?
9
3
3
Für den ersten Stein habe ich 9 Möglichkeiten
Für den 2. Stein habe ich noch 8 Möglichkeiten
7
8
Und für den 3. Noch 7
Also gibt es 9 * 8 * 7 = verschiedene Zahlentripel, die
jeweils 3 Nägel beschreiben.
Das Dreieck 3 7 8
kann aber durch
verschiedene Tripel
beschrieben werden
14.02.2006
378
387
738
783
837
873
3 * 2 * 1 = 6 Tripel
beschreiben die gleiche Figur
9 8 7
 84
3  2 1
mögliche Figuren aus 3 Nägeln
( )=
9
3
Horst Steibl,
TU-Braunschweig
14
7
Anzahl 8der Klassen kongruenter Dreiecke
( )
9
3
9 123 beschreibt eine 10-er-Strecke: es gibt 6 solche 10-er-Strecken
159 beschreibt eine 14-er-Strecke: es gibt 2 solche 14-er-Strecken
Das (10, 10, 14)-Dreieck hat 4 Lagemöglichkeiten
84 Figuren
aus 3 Nägeln?
6+2=8
Strecken
4
8
4
16
4
16
4+4+16+8+8+4+16+16 = 76 Dreiecke
14.02.2006
Horst Steibl,
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8
16
76 + 8 = 84 Figuren!
15
 9 9 *8* 7 * 6
  
 126 Figuren aus 4 Nägeln?
 4  4 * 3 * 2 *1
Es gibt zwar keine kollineare Anordnung, aber 3 Nägel können
kollinear liegen.
4
+
4
+
8
+
16
+
8
= 40 Fälle
Schon falsch: das erste Dreieck hat drei Seiten mit je 3 Nägel,
d.h. nicht 4 sondern 12 Fälle; also insgesamt 48 Fälle.
14.02.2006
Horst Steibl,
TU-Braunschweig
16
1+1+4+4
4+8+4+4
8 + 16 + 8 + 8
8+4+8+4
94 Fälle
48 + 94 = 142 Fälle?!?
16 Fälle zu viel
14.02.2006
2579
Horst Steibl,
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+ 48 Dreiecke
2459
weiter
 9 9 *8* 7 * 6
  
 126
 4  4 * 3 * 2 *1
17
6
Nicht-konvexe Vierecke sind durch Quadrupel nicht
eindeutig zu bestimmen
8
2
1
5
7
7
3
9
6
Das Quadrupel 2579 bestimmt diese drei Figuren
8
2
4
5
9
Das Quadrupel 2459 bestimmt diese drei Figuren
14.02.2006
Horst Steibl,
TU-Braunschweig
18
Zwei Fehlermöglichkeiten
Nicht jede Figur wird eindeutig
durch nur ein Quadrupel
beschrieben:
3679
3579
Nicht jedes Quadrupel
beschreibt eindeutig ein Figur
1568
14.02.2006
Horst Steibl,
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19
Spiel mit vier Nägeln (Flächeninhalt)
7
Zwei Spieler, jeweils 10 Spielsteine als Einsatz. Gesetzt werden
jeweils 2 Steine. Der erste Spieler zieht seine vier Ziffern.
Der´zweite kann nun entscheiden, ob er noch ziehen will oder
1
3
ob er zurückzieht. Spielt er, so hat der mit dem größeren
Flächeninhalt (evtl. kleinerem Umfang) gewonnen und
6
bekommt vier Spielsteine. Zieht er zurück, so bekommt er einen
Stein zurück der andere bekommt 3 Steine. Wann sollte man
zurückziehen? 8
2
4
Spielverlauf
dokumentieren!
5
9
14.02.2006
Horst Steibl,
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20
Wahrscheinlichkeiten X/126
1
1
8
16
28/
16 126
8
4
8
17/
4
8
8
8
4
126
24/
126
37/
17+28+37+60=
142
1
4
4
4
8
12
4
1
4
8
60/
8
17 + 24 + 37 8+ 48 =
126
14.02.2006
4
4
8
8
16
126
8
48/
126
126
MU 1/1984
Exemplarische Entwicklung der kombinatorischen Grundformeln
Horst Steibl,
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21