Das gleichseitige Dreieck

Das gleichseitige Dreieck
Dies ist ein 10,11,11-Dreieck
auf einem quadratischen
Blättchen. Es ist leider nur fast
gleichseitig. Zeichne auf einem
Blättchen und falte die (weißen
Dreiecke hoch.
Klebe die 5-er-Strecken mit
einem Falz zusammen. Stelle es
auf die „leere“ Fläche. Was für
eine Grundfläche hast du dann?
Stellt 6 solche Zelte zum Sechseck zusammen.
Horst Steibl
1
Mittelpunktspyramide des Oktaeders
Falte ein 10-er Quadrat die Diagonalen, schneide einmal bis
zur Mitte ein und falte zur Ecke hoch. Klebe die beiden
Dreiecke , die an der Schnittlinie liegen, aufeinander. Lege die
Pyramide auf die „leere“ Fläche und umfahre diese. Was hast
du erhalten?
Wie musst du 8 solcher Teile zusammenkleben , um ein
Gerüst eines Oktaeders zu erhalten?
Horst Steibl
2
Nimm ein quadratisches Blättchen, falte die
Diagonalen und schneide eine bis zur Mitte
ein. Falte auf zur dreieckigen Ecke und klebe
zwei Dreiecke übereinander. Was für eine
Fläche fehlt?
Falte und klebe die 4 Ecken zur Mitte. Klebe zwei „dreieckige“
Ecken auf ein solche Quadrat. Stülpe ein 2. derartiges Gebilde
verdreht über das erste. Welcher Körper wird durch die 4
fehlenden Fächen bestimmt? Welchen Bruchteil des Würfels
nimmt er ein?
3
Horst Steibl
Das Oktaeder
Klebe solche dreieckigen Ecken und füge sie zu einem
Körper zusammen. Wie viele Ecken musst du kleben?
Was für Flächen „fehlen“? Wie heißt der Körper? Berechne
das Volumen in Bezug auf die Raumdiagonale d. Welcher
Bruchteil des umschriebenen Würfels ( d³ ) ist das?
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4
Das gls. Dreieck aus dem Faltquadrat
Die Schenkel des gelben
Dreiecks sind 11 cm, also
zu lang
Die Schenkel des roten
Dreiecks sind 7 cm, also zu
kurz.
Wie finde ich Schenkel, die
exakt 10 cm lang sind?
10 cm
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5
Das gls. Dreieck aus dem Faltquadrat
Wie kann ich durch Falten
eine Zehnerstrecke auf
den Schenkel des blauen
gleichseitigen Dreiecks
bringen?
Wie groß muss dann der
durch die Faltlinie geteilte
Winkel sein?
Welche Funktion hat dann die
Faltlinie für diesen Winkel?
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6
Das gleichseitige Dreieck im Quadrat

8,661 cm
5,774 cm
1
10,001 cm
Das gleichseitige Dreieck im Quadrat:
7
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Falte den rechten unteren
Eckpunkt so auf die Mittellinie,
Die Teilfiguren im gleichseitigen Dreieck
S
B
A
S
B
A
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8
Pyramiden aus drei, vier oder
fünf Dreiecken
Schneide (s. Pfeil) bis
zur Mitte ein. Falte die
Dreieckslinien in die
gleiche Richtung und
schiebe zur drei-, vierund fünfseitigen
Pyramide zusammen.
Wie kommst du damit zum
Tetraeder, Oktaeder, Ikosaeder?
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9
Die Laschen-Taschen-Masche
Nimmt man ein doppelt
so großes Quadrat mit der
Seitenlänge 2 dm, so ist
das halbe Rechteck ein
3-Rechteck. Aus diesem
werden wir später viele
Raummodelle bauen, die
von gleichseitigen
Dreiecken begrenzt sind.

Versuchen Sie die blau-rote
Figur zu falten! Welche
Linien helfen?
1
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Das gleichseitige Dreieck im Quadrat:
Horst Steibl
Laschen-Taschen-Masche
Ein Wurzel-drei-Rechteck
Ecke auf Gegenecke, d.h
Die Mittelsenkrechte der Diagonalen
tan 60°=
Gegenkath.
3

Ankathete 1

60° halbiert, gleichseitiges Dreieck
Winkelhalbierende des gls. Dreiecks
Winkelhalbierende des kl. Drachen
Parallelogramm
Parallelogramm aus vier kl. Dreiecken
1
Netz eines Tetraeders
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Falten des Dreiecksmoduls
Hier noch einmal die Faltabfolge mit den notwendigen
Hintergrundinformationen
Deute das 3-Rechteck als halbes Blatt des Dreiecks aus dem
Quadrat.
3-Rechteck so hinlegen, dass die gesuchte Diagonale lotrecht
liegt und die obere kurze Seite nach links abfällt. Untere Ecke
auf die obere Gegenecke falten. Damit ist die Mittelsenkrechte
der gesuchten Diagonale gefaltet.
Blatt öffnen und die Endpunkte der Faltlinie aufeinanderfalten.
Damit ist die Diagonale gefaltet.
Blatt öffnen. Welche Winkel treten auf? Wie könnte man diese
Linien im Sinne des aus dem Quadrat gefalteten Dreiecks
deuten?
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Blatt öffnen. Die beiden Linien als Diagonalen eines Vierecks
deuten. Was für ein Viereck ist damit bestimmt?
Wir nennen das Viereck die diagonale Raute des Rechtecks.
Warum kann man die freien Ecken des Rechtecks auf die Mitte
so falten, dass die Raute sichtbar wird? Welche Funktion hätte
eine dieser Faltlinien im Dreieck aus dem Quadrat. Falten Sie
die beiden kurzen Rechteckseiten zur Mitte.
Blatt öffnen. Zwei gleichseitige Dreiecke suchen. Ecke des
Rechtecks so auf die Gegenseite falten, dass ein 60°-Winkel
halbiert wird (zwei mal). Du müsstest ein Sechseck erhalten
haben. Die überstehenden Dreiecke wollen wir nach innen falten.
Dazu öffnen wir das Blatt.
An zwei Ecken kann man die kleinen Drachen sehen. Falte die
lange Diagonale und dann schließe wieder zum Parallelogramm.
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Im Prinzip ist das Modul nun fertig. Auf einer Seite hat es einen
Schlitz, auf der anderen Seite ist es geschlossen.
Lege es mit dam Schlitz nach unten. Du siehst zwei Rauten. Falte
längs der Linie, die diese Rauten trennt, zum Trapez.
Öffne und falte die kurze Diagonale der kleinen Raute (zwei mal).
Du kannst das Modul jetzt zum Tetraeder auffalten.
Du brauchst jetzt ein zweites Modul spiegelbildlich zum ersten,
also die zweite Hälfte des Dreiecks über dem Quadrat.
Lege also ein zweites 3-Rechteck so, dass die kurze obere Seite
nach rechts abfällt und verfahre wie oben.
Lege eines der Dreiecke so in das zweite des anderen Moduls, dass
ein Dreieck übersteht. Dieses kannst du nun in den Schlitz des
anderen. Fahre entsprechend mit den Einstecken fort.
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Faltfolge und die geometrischen Begriffe
verkürzt
Ecke auf Gegenecke: Mittelsenkrechte der Diagonalen
vier Punkte: diagonale Raute
Ecke zur Mitte: Da das Eckviereck ein Drachen ist
Winkelhalbierende des Drachens = Seite der diagonalen
Raute(zwei mal)
Raute: Diagonalen stehen lotrecht und halbieren einander
Zwei gleichseitige Dreiecke mit einer Winkelhalbierenden
(Höhe, Mittelsenkrechten); Wie verlaufen die zwei anderen?
Nicht die zur Rechteckseite parallele sondern die schräge;
Ecke auf Gegenseite: Sechseck: zwei Dreiecke stehen über
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Auffalten: zwei kleine Drachen an den Ecken, lange
Diagonale falten
Zufalten: Parallelogramm mit Diagonale als Schlitz: zwei
(30°,60°,90°)-Dreiecke
Wenden: Zwei Rauten, oder eine Raute und zwei
gleichseitige Dreiecke
eine Raute hoch zum glsch Trapez falten, Schlitz außen
Kurze Diagonale der Rauten falten: vier gleichseitige
Dreiecke
Zwei gegensinnig kongruente Parallelogramme: Tetraeder
Vier gleichsinnig kongruente Parallelogramme: Oktaeder
Zehn Parallelogramme: Ikosaeder
Fünf gleichsinnig kongruente Parallelogramme: Ufo
Wie aber steckst du ein Rautenhexaeder zusammen?
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Gleichseitige Dreiecke im Dreieck
1
Gib die Seitenlängen
der anderen Dreiecke
als exakte Terme bzgl
1 (rotes Dreieck ) an.
Gib den Streckungsfaktor
von groß zu klein paarweise an.
Gib die Bruchteile der Flächen bzgl 1(rotes Dreieck) an.
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