PowerPoint-Präsentation - Mathematik in der Universität Bremen

Papierfalten
Eine wissenschaftliche Miniatur
Was ist Papierfalten?
• Ein Streifen Papier wird gefaltet
rechts über links
A
Was ist Papierfalten?
• Nach dem Auffalten haben wir einen Streifen
mit einem Knick
• es ist ein Talknick oder Linksknick
Linkskurve
Was ist Papierfalten?
• Das Falten des Papierstreifens wird iteriert,
d.h. wiederholt ausgeführt
• Der einmal gefaltete Streifen wird ein zweites
Mal gefaltet
A
Was ist Papierfalten?
• Nach dem Auffalten haben wir einen Streifen mit drei
Knicken
• Linksknick, Linksknick, Rechtsknick
Linkskurve
Linkskurve Rechtskurve
Protokoll der ersten fünf Streifen
1.
2.
3.
4.
5.
L
LLR
LLRLLRR
LLRLLRRLLLRRLRR
LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRR
Es drängen sich viele Fragen auf
Fragen
1.
2.
3.
4.
5.
L
LLR
LLRLLRR
LLRLLRRLLLRRLRR
LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRR
• Wie geht es mit den Buchstabenketten
weiter?
• Wie lang sind die Ketten?
• Wie viele Rs und Ls gibt es jeweils?
• Kommt es zu Wiederholungen?
1.
2.
3.
4.
5.
Antworten
L
LLR
LLRLLRR
LLRLLRRLLLRRLRR
LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRR
Stufe
1
2
3
4
5
n
Anzahl der Rs
0
1
3
7
n1
15 2  1
Anzahl der Ls
1
2
4
8
n1
2
16
Anzahl aller
Buchstaben
1
3
7
15
n
31 2  1
Antworten
Wie werden die Zeichenketten gebildet?
R
L
L
LRR
LLR
L
Das Reflexionsgesetz
Beim Papierfalten erhält man die nächste
Knickfolge, indem man die letzte
Knickfolge
– abschreibt
– ein L anhängt
– den ersten Teil an
dem L „reflektiert“
Zur Anzeige wird der QuickTime™
Dekompressor „Graphics“
benötigt.
Das Reflexionsgesetz
Beispiel: Von der 3. zur 4. Stufe
3. Stufe
LLRLLRR
abschreiben
LLRLLRR L LLRRLRR
L anhängen
ersten Teil reflektieren
Erkenntnis
• Wenn man einen Streifen Papier „rechts
über links“ fortlaufend faltet und die Knicke
mit einer LR-Folge notiert, so gilt für diese
LR-Folgen das Reflexionsgesetz.
• Ist dieses eine mathematisch befriedigende
Aussage?
Erkenntnis
• Es entspricht eher der naturwissenschaftlichen Arbeitsweise
denn
• Wir können das Reflexionsgesetz nicht
für alle Papierstreifen beweisen.
Naturwissenschaftliche, induktive
Erkenntnisgewinnung
Gesetzmäßigkeit mit
Allgemeinheitsanspruch
Abstraktion
Induktion
Vorhersage
Logik
endlich viele
Experimente
weitere
Experimente
Der mathematische Weg
Definition 1
Es sei A = {L,R} ein Alphabet und A* die Menge aller
Wörter über diesem Alphabet.
Definition 2
Ist w  S1S2 S3 ...Sk ein Wort aus A*, dann ist w  Sk ...S3 S2 S1
 L wenn S j  R
mit S j  
Κ,Κj  1...k
 R wenn S j  L
Der mathematische Weg
Definition 3
 A*  A *
Es sei  eine Funktion mit  : 
 w  wLw
 heißt Reflexionsoperator
Definition 4
 
Es sei w j
j•
eine Folge von Wљrtern aus A*, die rekursiv
definiert ist durch w1 =L und wk  (wk 1 )
Der mathematische Weg
• Die Wörter
w1 = L
w2 = (w1) = LLR
w3 = (w2) = LLRLLRR, ... erfüllen alle mit
Sicherheit das Reflexionsgesetz, denn sie
wurden per Definition so konstruiert.
• Es ist aber kein Beweis des
Reflexionsgesetzes möglich.
Mathematische, deduktive
Erkenntnis
Gesetzmäßigkeit
(per definitionem mit
Allgemeinheitsanspruch)
Idee
Anwendung
Beispiele in der
realen Welt
Deduktion
weitere Gesetzmäßigkeit
(mit Allgemeinheitsanspruch per Beweis)
Anwendung
weitere
Beispiele in der
realen Welt
Weitere Erkenntnisse
• Wo entstehen welche Knicke beim
weiteren Falten?
A
x
x
Weitere Erkenntnisse
LLRLLRRLLLRRLRR
L L R L L R R L L L R R L R R
L R L R L R L R L R L R L R L L
LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRL
Das Inflationsgesetz
Beim Papierfalten erhält man die nächste
Knickfolge, indem man die letzte
Knickfolge
– auseinander zieht
– vor, in die Lücken und hinter die Knickfolge
abwechseln L und R einfügt
Zusammenhänge
• Reflexionsgesetz und Inflationsgesetz
sind äquivalent
• d.h. die Knickfolge, die nach dem
Reflexionsgesetz gebildet wird, stimmt
in allen Symbolen mit der Knickfolge,
die nach dem Inflationsgesetz gebildet
wird, überein
Zusammenhänge
• naturwissenschaftliche,
realitätsbezogene Begründung:
beide Gesetze sind nur verschiedene
Betrachtungsweisen desselben
Prozesses, nämlich Papierfalten
• Die Begründung ist vernünftig, aber
nicht für alle Wörter wirklich geprüft
Zusammenhänge
• formal deduktiver Beweis:
– die Wörter, die mit dem Reflexionsgesetz definiert
werden
und
– die Wörter, die mit dem Inflationsgesetz definiert
werden
sind an jeder Position im Wort gleich
• Der Beweis sichert diesen Zusammenhang
für alle Wörter wn
Gesetzmäßigkeiten
1.L
2.LLR
3.LLRLLRR
4.LLRLLRRLLLRRLRR
5.LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRR
1234567890123456789012345678901
1
2
3
Welches Zeichen wird auf Position 92 stehen?
Gesetzmäßigkeiten
1.
2.
3.
4.
5.
L
LLR
LLRLLRR
LLRLLRRLLLRRLRR
LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRR
1234567890123456789012345678901
1
2
3
Eigenschaft
Position ungerade, Zeichen ist L
Position gerade, Zeichen ist L
Position ungerade, Zeichen ist R
Position gerade, Zeichen ist R
Positionen
Gesetzmäßigkeiten
1.
2.
3.
4.
5.
L
LLR
LLRLLRR
LLRLLRRLLLRRLRR
LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRR
1234567890123456789012345678901
1
2
3
Eigenschaft
Positionen
Position ungerade, Zeichen ist L
1
5
9
13
17
21
25
Position gerade, Zeichen ist L
2
4
8
10
16
18
20
Position ungerade, Zeichen ist R
3
7
11
15
19
13
27
Position gerade, Zeichen ist R
6
12
14
22
24
28
30
Gesetzmäßigkeiten
Gesetz für die ungeraden Positionen:
Dividiere die Platznummer mit Rest durch 4.
Ist der Rest 1, so steht dort ein L,
ist der Rest 3, so steht dort ein R.
Eigenschaft
Positionen
Position ungerade, Zeichen ist L
1
5
9
13
17
21
25
Position gerade, Zeichen ist L
2
4
8
10
16
18
20
Position ungerade, Zeichen ist R
3
7
11
15
19
13
27
Position gerade, Zeichen ist R
6
12
14
22
24
28
30
Gesetzmäßigkeiten
/
LLRLLRRLLLRRLRRLLLRLLRRRLLRRLRRLLLRL…
/ / / / / / / / / / / / / / / / / /
/
123456789012345678901234567890123456…
/ / / / / / / / / / / / / / / /
1
2
3
/L/L/R/L/L/R/R/L/L/L/R/R/L/R/R/L/L/L
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1
Nach dem Streichen der ungeraden Positionen und
Neunummerierung der verbleibenden Symbole erhält man
wieder die Papierfaltungsfolge.
Gesetzmäßigkeiten
Gesetz für die geraden Positionen:
Dividiere die Platznummer durch 2 und
wende auf die neue Platznummer die
beiden Gesetze an.
:2
:2
:4,Rest
 46 
 23  3  R
Beispiel: 92 
Eigenschaft
Positionen
Position ungerade, Zeichen ist L
1
5
9
13
17
21
25
Position gerade, Zeichen ist L
2
4
8
10
16
18
20
Position ungerade, Zeichen ist R
3
7
11
15
19
13
27
Position gerade, Zeichen ist R
6
12
14
22
24
28
30
Geometrische Interpretation
• Die gefalteten Streifen werden so weit
aufgefaltet, dass die Abschnitte einen
rechten Winkel formen.
• Die Figuren werden so ausgerichtet,
dass der erste Streifenabschnitt nach
oben und der zweite nach links weist.
1.Stufe
2.Stufe
3.Stufe
4.Stufe
5.Stufe
Geometrische Interpretation
Geometrische Interpretation
Weiterfalten
Geometrische Interpretation
Die Entfernung
Anfang - Ende
bleibt konstant
Geometrische Interpretation
Geometrische Interpretation
Zur Anzeige wird der QuickTime™
Dekompressor „Grafik“
benötigt.
Forschungsaufgaben
1. Das Falten geschieht nicht nur mit
„rechts über links“, sondern auch mit
„rechts unter links“.
Die Knickfolge muss natürlich
protokolliert werden.
A
A
Forschungsaufgaben
2. Die Knickfolge wird nicht mit L
(Linksknick) und R (Rechtsknick) protokolliert, sondern
mit N (Nord), W (West),
S (Süd), O (Ost) für die
Abschnitte.
Beispiel: (3. Stufe)
NWSWSOSW
Forschungsaufgaben
3. Der Streifen wird in Drittel geknickt.
linkes Drittel über die Mitte,
rechtes Drittel über die Mitte
A
A
1. Stufe: RR
2. Stufe:
LLRRRRLL