Einführung in die Fouriertransformation
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Fourier-Analyse und technologische Anwendungen Dr. Peter-Michael Schmidt 1 © Dr. Peter-M. Schmidt Anwendungen von Fourierreihen Fourieranalyse: Welche Faktoren beeinflussen eine untersuchte Größe? Beispielsweise in der Signalverarbeitung soll das Rauschen der Daten herausgefiltert werden. Bild- und Tontechnik: Welche Grund- und Obertöne bestimmen die Klangcharakteristik? Komprimierung und Bearbeitung von digitalen Bild- und Tondateien (MP3, JPEG Standards). Maschinendiagnose: Welche Schwingungen signalisieren einen bevorstehenden Ausfall einer Komponente? 2 Anwendungen von Fourierreihen Durchführung einer Fourieranalyse: Abtasten einer Schwingung mit einer Samplingrate. f(t) = 3 sin(t) + sin(5 t) + cos(6 t) + 0,5 sin(20 t) + 0,1 sin(50 t) 3 Anwendungen von Fourierreihen Durchführung einer Fourieranalyse: Herausfiltern hochfrequenter Anteile, die durch Störungen hervorgerufen wurden. f(t) = 3 sin(t) + sin(5 t) + cos(6 t) 4 Definition der Fourierreihe Fourierreihe in reeller Schreibweise Fourierkoeffizienten Fourierreihe in komplexer Schreibweise Wir setzen und verwenden Fourierkoeffizienten 5 Orthogonalsysteme Reellwertige Funktionensystem Komplexwertige Funktionensystem 6 Berechnung der Fourierkoeffizienten Wir multiplizieren mit und integrieren von –T/2 bis +T/2 7 Berechnung der Fourierkoeffizienten Wir multiplizieren mit und integrieren von –T/2 bis +T/2 8 Berechnung der Fourierkoeffizienten Fourierreihe der Funktion f(t)= sgn(t) auf 2 Summanden , periodisch fortgesetzt 20 Summanden Trotz Gibbsscher Überschwinger konvergiert die Fourierreihe. 9 Approximation Konvergiert die N te Partialsumme gegen die Funktion f(t)? Könnten wir eventuell andere Koeffizienten wählen, so daß der mittlere quadratische Fehler kleiner wird? Aus der Orthogonalität des Funktionensystems folgt und daraus die Besselsche Ungleichung 10 Approximation Für erhält man nach aufwendigen Beweisen die Parsevalsche Gleichung: Fourierreihen Taylorreihen sind anwendbar auf stückweise stetige(*) differenzierbare Funktionen, berechnen eine globale lokale Näherung und verwenden Funktionswerte Ableitungen der untersuchten Funktion. (*) Die Funktion f muß absolut integrierbar sein, was in der Praxis meist erfüllt ist. 11 Definition der Fouriertransformation Betrachten jetzt eine auf alle reellen Zahlen t definierte Funktion, die nicht periodisch sein muß. Auch Die Variablen t und ist kontinuierlich. beschreiben die Zeit- und Frequenzdomäne. wird Spektrum genannt. Hintransformation Rücktransformation 12 Definition der Fouriertransformation Um zu zeigen, daß die Rücktransformation wieder die Ausgangsfunktion ergibt, benötigt man die -Funktion, die nur durch 2 Eigenschaften charakterisiert werden soll 13 Fouriertransformation Beispiel: Wir verwenden Periodische Funktionen haben diskretes Spektrum. MATHEMATICA (http://www.wolfram.com/) liefert (Faktor in der Definition) 14 Diskrete Fouriertransformation Daten werden zu diskreten Zeitpunkten (äquidistant) gemessen. für Wir untersuchen periodische Zahlenfolgen der Messdaten und die Fourier-transformierten Zahlenfolgen Weitere numerische Operationen auf Messdaten erfolgen beispielsweise bei der Regressionsanalyse, Künstliche Neuronale Netze und Kurvenfitting. Die Zielstellung dieser Verfahren besteht in der Trennung von interessierender Information und unerwünschten Stör- und Rauschdaten. 15 Diskrete Fouriertransformation Datenerfassung: Sampling Theorem Die (blaue) Eingabekurve wird weniger als zweimal pro Periode erfasst. Die Fourierkoeffizienten werden eine zu große Frequenz (rote Kurve) anzeigen. 16 Definition der Diskreten Fouriertransformation Der Term ist für diskrete Zeiten mit Für eine Funktion f(t) mit Periode T haben wir Wir gehen zu diskreten Zeiten über 17 Definition der Diskreten Fouriertransformation Hintransformation Rücktransformation Kern Um zu zeigen, daß die Rücktransformation wieder die Ausgangsfolge ergibt, benötigt man Kronecker-Symbol 18 Eigenschaften der Diskreten Fouriertransformation Ist die Diskrete Fouriertransformation von so kann eine Verschiebung in der Zeit um n durch eine Multiplikation realisiert werden: hat die Transformierte Ist die diskrete Faltung der Folgen und , so gilt für die Transformierte von 19 Der Tiefpaßfilter als eine Anwendung der Diskreten Fouriertransformation Ist Folge die Eingabefolge für eine Datenaufbereitung, deren Ausgabe die ist. Bezeichnen wir mit den Verschiebungsoperator, so führen wir den Transfer durch: Einfach kann man mit nachrechnen, wobei ist. Zur Veranschaulichung soll kontinuierlich sein. 20 Der Tiefpaßfilter als eine Anwendung der Diskreten Fouriertransformation Beispiel: Hier haben wir Es folgt und 21
