Die Zahlen und e:

Die Zahlen  und e:
Entdeckung,
Irrationalität und
Transzendenz
Gliederung
•
•
•
•
•
•
•
Die ersten 100 Dezimalstellen
Bezeichnungen
Entdeckung der Zahlen
Irrationalität der Zahlen
Transzendenz (allgemein)
Transzendenz der beiden Zahlen
Quellen
Die ersten 100 Dezimalstellen
 = 3,141592653589793238462643383279
502884197169399375105820974944
592307816406286208998628034825
3421170679
e = 2,718281828459045235360287471352
662497757247093699959574966967
627724076630353547594571382178
5251664274
Bezeichnungen
• Die Symbole  und e wurden beide
von dem schweizerischen
Mathematiker Leonhard Euler
(1707 – 1783) eingeführt.
• e steht dabei nicht für Euler, denn dieser war sehr
bescheiden. Man begründet seine Wahl damit, dass
e der erste freie Buchstabe im Alphabet war (a, b,
c, d stehen für die Seiten eines Vierecks).
Andererseits könnte e aber auch für „exponentiell“
stehen.
Bezeichnungen
• e wird auch Eulersche Zahl genannt.
– Leonhard Euler gab der Exponentialfunktion
ihren zentralen Platz in der Differential- und
Integralrechnung.
•  wird auch Ludolphsche Zahl genannt.
– Ludolph van Ceulen (1540 – 1610) berechnete
 auf 35 Stellen genau.
Die Entdeckung von 
Das Ausgangsproblem:
Die Quadrierung des Kreises
Man versuchte ein Quadrat zu finden, dessen
Flächeninhalt dem eines Kreises entspricht.
Entdeckung von 
Chronologie von :
• 1650 v.Chr.: Der Papyrus Rhind (ägyptischer
Text, benannt nach dem schottischen Ägyptologen
Henry A. Rhind, der diesen 1858 erworben hatte)
sagt aus, dass ein Kreis dieselbe Fläche hat wie ein
Quadrat mit einer Seitenlänge von 89 des
Kreisdurchmessers. Bezeichnet man den
Durchmesser mit d, dann erhält man die
Gleichung  ( d2 ) 2  [( 89 )d ]2 . Kürzt man durch d2,
dann ergibt sich  = 256
81  3,16049.
Entdeckung von 
• 240 v. Chr.: Archimedes (Grieche) bewies, dass
die Fläche eines Kreises r2 beträgt, wobei r der
Radius ist. Er war der Erste, der einen
Algorithmus angab, mit dem man den Wert von 
mit jeder gewünschten Genauigkeit berechnen
konnte. Seine Idee war, einen Kreis mit einer
Reihe von regelmäßigen Vielecken mit immer
mehr Seiten einzubeschreiben.
Der Umfang eines jeden Vielecks
ist
etwas größer bzw. etwas kleiner
als
der des Kreises.
Entdeckung von 
Den Näherungswert für  erhält
man, indem man den Umfang des
Vielecks durch den Durchmesser
dividiert. Je mehr Seiten das
Vieleck hat, desto genauer ist der
Wert. Durch außenliegende
Vielecke nähert man sich  von
oben, durch innenliegende Vielecke
von unten.
Damit zeigte Archimedes, dass 
1
zwischen 3 10
(3,1408...)
und
3
71
7
(3,1428...) liegt.
Entdeckung von 
• 480 n. Chr.: Tsu Ch‘ung-chih (China) gab
355
(3,1428...) als einen ungenauen und 113
(3,1415929...) als einen genauen Wert an.
Es folgten viele weitere Nährungswerte.
• 1464: Nicolaus de Cusa (Deutschland) gab
folgende Formel zur Berechnung von  an:
3
4



3  6  3,1423...
22
7
Entdeckung von 
• 1579: Francois Viète (Frankreich) beschränkte das
Intervall auf 3,1415926535 bis 3,1215926537. Er
war der Erste, der eine unendliche Reihe angab.
2


1
2
1
2
 12
1
2
1
2
 12
1
2
 12
1
2
...
Er bestimmte  auf neun Stellen genau.
• 1596: Ludolph van Ceulen (Deutschland)
berechnet  auf 20 Stellen genau.
• 1610: Van Ceulen präzisierte sein Ergebnis auf 35
Dezimalstellen genau. Seitdem wird  in
Deutschland Ludolphsche Zahl genannt.
Entdeckung von 
• 1650: John Wallis (England) drückte  durch eine
extrem schwierige und komplizierte Methode aus:
3 355 7  7  9 

 zeigte
2  4 diesen
4  6  6 Wert
8  8  Lord

• Wallis
Brouncker, dem
4
ersten Präsidenten der ‚Royal Society‘, der die
Gleichung wie folgt umstellte.
 
4
1
1
2
9
25
2
49
2

Entdeckung von 
• 1668: James Gregory (Schottland) approximierte
 durch die unendliche Reihe
x3 x5 x7
arctan x  x     ....
3 5 7

1 1 1

1

   ...
Mit x = 1 wird die Reihe zu
4
3 5 7
Er bewies außerdem, dass die geometrische
Quadrierung eines Kreises unmöglich ist.
• Diese Reihe wurde unabhängig davon 1673 von
Gottfried Willhelm von Leibnitz (Deutschland)
ebenfalls entdeckt.
Entdeckung von 
• 1699: Abraham Sharp (England): 72 Stellen
Den Wert erlangte er, indem er x = 13 in Gregorys
Reihe einsetzte. Es ergibt

6

1
3
1
1
1
1


1





...


2
3
4
 3 3 3  5 3  7 3  9

was nützlicher ist als die Form mit x = 1, die 4
berechnet.
• 1706: John Machin (England): 100 Dezimalstellen
1
Er findet den Ausdruck 4  4 arctan 15  arctan 239
.
• 1742: Leonhard Euler (Schweiz) benutzt zum
ersten Mal die Bezeichnung .
Entdeckung von 
• 1761: Johann Heinrich Lambert (Deutschland)
bewies, dass  irrational ist. Seitdem ist deren
Geschichte mit der der Zahl e stark verflochten.
• 1779: Leonhard Euler (Schweiz) fand die
Gleichung   20 arctan 17  8 arctan 793 .
• 1844: Zacharias Dase (Deutschland): 200 Stellen
• 1847: Thomas Clausen (Deutschland): 248 Stellen
• 1845: William Rutherford (England): 440 Stellen
• 1853: William Shanks (England): 607 Stellen
• 1873: William Shanks (England): 707 Stellen
Entdeckung von 
• 1882: Ferdinand Lindemann (Deutschland)
bewies die Transzendenz von  und ebenfalls dass
die Quadrierung unmöglich ist.  Näheres dazu folgt später.
• 1913: Srinivasa Ramanujan (Indien) stellte eine
ungewöhnliche Approximation an:
 2 19
 9 
22

2
1
4

  3,1415926525826...

• 1949: U.S. Army: 2035 Dezimalstellen
Entdeckung von 
 Es folgte ein Wettrennen um Dezimalstellen von
. Bei e gab es keine derartigen „Verrücktheiten“.
 Rekord 1989: 480 Mio. Stellen
(Quelle: Breggen / Borwein / Borwein: „Pi: A Source Book“)
Das ist sicher nicht der letzte Stand, da durch die
zunehmende Leistung der Computer immer mehr
Dezimalstellen leicht berechnet werden können.
Die Entdeckung von e
• Man weiß insgesamt weniger über die Geschichte
von e als über die von , obwohl  älter ist.
• Die Zahl e wurde nicht von Euler entdeckt, wie es
fälschlicherweise in vielen Büchern steht.
• Sie wurde bereits in der 1618 von Edward
Wright (1558 – 1615) veröffentlichten englischen
Übersetzung der Arbeit von John Napier (1550 –
1617) über Logarithmen erwähnt.
Die Entstehung der Logarithmen werden wir daher
genauer betrachten.
Entdeckung von e
• Der deutsche Mathematiker Michael Stifel (1487
– 1567) formulierte im Jahr 1544 folgende
Beziehungen:
qm · qn = qm + n und qm / qn = qm – n
• Diese Erkenntnis ist der Schlüssel zu den
Logarithmen.
• Stifel ließ nur ganzzahlige Exponenten zu.
Napiers Idee war dagegen einen stetigen
Wertebereich für die Exponenten zuzulassen.
Entdeckung von e
• Der Schotte Sir John Napier stellte Überlegungen
an, wie die zahlreichen Berechnungen seiner Zeit
(z.B. die Ortsbestimmung der Sterne in der
Astronomie) vereinfacht werden konnten.
• Jede positive Zahl will er als Potenz irgendeiner
gegebenen festen Zahl schreiben können, dann
würden Multiplikation und Division äquivalent zur
Addition und Subtraktion ihrer Exponenten.
Entdeckung von e
• Stellt man eine Tabelle mit allen Potenzen auf, so
können die Ergebnisse einfach abgelesen werden.
n -2 -1 0
1
2
3
4
2n ¼
2
4
8
16 32 64 128 256 512
½
1
5
6
7
8
9
• Um Lücken zwischen den 2n zu schließen, können
entweder gebrochene Exponenten oder als Basis
hinreichend kleine Zahlen verwendet werden.
Entdeckung von e
• Da Brüche bisher nur als Verhältnisse ganzer
Zahlen bekannt waren, wählte Napier 0,9999999 =
1 – 10– 7 als Basis.
• Seine Wahl wurde von den trigonometrischen
Berechnungen seiner Zeit beeinflusst, sodass er
den Radius des Einheitskreises in 10.000.000 oder
107 Teile zerlegte, die er als neue Einheit
betrachtete. In diesem System ist 1 – 10– 7 die der
1 am nächsten liegende Zahl.
Entdeckung von e
• Durch wiederholte Subtraktion ermittelte Napier
alle aufeinanderfolgenden Glieder seiner Folge.
Dazu benötigte er 20 Jahre (1594 – 1614).
• Seine Ausgangstafel (1. Tafel) enthielt 101
Einträge: 107 = 10.000.000
107·(1 – 10– 7) = 9.999.999
107·(1 – 10– 7)2 = 9.999.998
...
107·(1 – 10– 7)100 = 9.999.900
Entdeckung von e
• 107·(1 – 10– 7)n mit n = 0,1,...,100.
• Er nannte n Verhältniszahlen (= log arithmi) und
1 – 10– 7 als „Proportion“.
• Zur Aufstellung seiner 2. Tafel begann er wieder
bei 107 und wählte als Proportion das Verhältnis
9.999.900 : 10.000.000 = 0,99999 = 1 – 10– 5.
107·(1 – 10– 5)r mit r = 0,1,...,50
letzter Eintrag (r = 50):  9.995.001
Entdeckung von e
• 3. Tafel:
Verhältnis 9.995.001 : 10.000.000  0,9995
107·(1 – 0.9995)s mit s = 0,1,...,20)
• Napier erstellte von jedem der Einträge der 3.
Tafel weitere 68 Einträge mit dem Verhältnis
9.900.473 : 10.000.000, das sehr nach an 0,99
liegt.
• N = 107·(1 – 10– 7)L, wobei L der (Napiersche)
Logarithmus von N.
Entdeckung von e
• Wenn man N = 107·(1 – 107– 7)L durch 107 dividiert,
erhält man N *  [(1  1017 )10 ]L* mit N* = N/107 und
L* = L/107. Für n   geht (1  n1 )n gegen 1/e
(Analysis I).
• Trotzdem kann man nicht sagen, dass Napier die
Basis 1/e oder sogar e entdeckt habe, da der
Begriff der Basis sich erst später herausbildete.
Dagegen findet man in der 2. Ausgabe der von
Eduard Wright besorgten Übersetzung von
Napiers im Anhang eine Aussage, die
gleichbedeutend mit loge10 = 2,302585 ist.
Entdeckung von e
Unabhängig von
Napiers Arbeit erfand
der Schweizer Jobst
Bürgi (1552 – 1632)
ebenfalls den
Logarithmus (Erfindung
1580, Veröffentlichung
erst 1620). Er
verwendete 1 + 10– 4
statt 1 – 10– 7.
0,0000
1,00000000
0,0001
1,00010000 = 1+1/10000
0,0002
1,00020001 = (1,0001)2
...
...
0,0010
1,00100045 = (1,0001)10
...
...
0,0100
1,0100466 = (1,0001)100
...
...
1,0000
2,71814593 = (1,0001)10000
...
...
Entdeckung von e
• Hätte Bürgi es genauer genommen und mit
1/1.000.000 statt mit 1/10.000 gearbeitet, so hätte
er möglicherweise festgestellt, dass die neue Basis
nur unwesentlich größer als die alte ist. Der Grund
1 n
(
1

dafür ist, dass
n ) für n   gegen e
konvergiert (Analysis I).
Entdeckung von e
• Darüber hinaus gibt es eine Spekulation, wie man
den Grenzwert e von (1  n1 ) n für n  
entdeckte.
• Da Finanzangelegenheiten immer im Mittelpunkt
des menschlichen Interesses standen, lässt sich die
Idee leicht begründen.
• Bei fast allen finanziellen Rechnung spielen die
Zinsen eine wesentliche Rolle.
• Der Zins ist der Preis für überlassenes Kapital.
Entdeckung von e
• Zinseszinsen bedeutet, nicht nur das Kapital wird
verzinst, sondern auch die Zinsen für das Kapital
verzinsen sich.
• Ein Kapital P wird zu einer jährlichen Verzinsung
r angelegt. Nach t Jahren ergibt sich ein Saldo S
S  P  (1  r )t .
• Einige Banken berechnen die Zinsen nicht nur
einmal, sondern n-mal im Jahr. Die jeweilige
Verzinsung entspricht dann nr . Es gilt
S  P  (1  ) .
r nt
n
Entdeckung von e
(1  n1 )
n
Spezialfall: r = 1 und P = 1
Ein Kapital von 1 € wird zu
unrealistischen 100 %
verzinst (r = 1).
Man stellte fest, dass sich der
Wert für S unabhängig von n
irgendwo nahe der Zahl
2,71828 einpendelt.
n
1
2
2
2,25
3
2,37037
4
2,44141
5
2,48832
10
2,59374
50
2,69159
100
2,70481
1.000
2,71692
10.000
2,71815
100.000
2,71872
1.000.000
2,71828
10.000.000
2,71828
Irrationalität von 
Beweis von Kai Uhlenbrauk, Universität Dortmund, beruhend
auf eine Arbeit von Ivan Niven (1947):
Angenommen  ist eine rationale Zahl, lässt sich
p


also darstellen in der Form
q , wobei p eine
ganze (pZ) und q eine natürliche Zahl (qN)ist.
a) Für nN sei eine Funktion definiert durch
fn: R R mit
n
n
x ( p  qx )
fn ( x) 
.
n!
Irrationalität von 
Auflösen des Zählers durch Anwenden des
binomischen Lehrsatzes liefert
fn ( x) 
2n
1
n!
i
a

x
i ,
i n
wobei alle ai ganzzahlige Koeffizienten sind. Dies
sieht man leicht ein, da die Koeffizienten durch
Addieren, Subtrahieren und Potenzieren von p und
q, die ganzzahlig sind, bzw. Multiplizieren mit
Binomialkoeffizienten entstehen und die ganzen
Zahlen abgeschlossen bzgl. dieser Operationen sind.
Irrationalität von 
(k )
f
Aus dieser Darstellung geht hervor, dass n (0)  0
für k < n oder k > 2n.
Des Weiteren gilt
f n( n ) ( x )  n1! ( n!an  Terme, die x beinhalten )
f n( n 1) ( x )  n1! (( n  1)!an 1  Terme, die x beinhalten )

f n2 n ( x )  n1! (( 2n )!a2 n ).
Irrationalität von 
Dies bedeutet f n( n ) (0)  an
f n( n 1) (0)  ( n  1)an 1

f n2 n (0)  ( 2n )( 2n  1)    ( n  1)a2 n ,
wobei alle Zahlen auf der rechten Seite ganze
Zahlen sind.
Insgesamt gilt also für k = 0, 1, 2,...
(k )
f n (0) ist ganzzahlig.
Irrationalität von 
Zusätzlich gilt
f n ( qp  x ) 

( qp  x )n ( p  q( qp  x )) n
( 1q )n ( p  qx )n ( qx )n
n!
n!
x n  ( p  qx )n

 f n ( x)
n!
Damit ergibt sich für die Ableitungen von fn mit
Hilfe der Kettenregel f n( k ) ( x)  (1)k f n( k ) ( qp  x),
f n( k ) ( )  f n( k ) ( qp )  (1)k f n( k ) (0)
woraus
folgt. Also ist auch f n( k ) ( ) ganzzahlig für alle k.
Irrationalität von 
Es werden weitere Hilfsfunktionen definiert, die
Funktion Fn: R  R, mit
Fn ( x )  f n ( x )  f n( 2 ) ( x )  f n( 4 ) ( x )  ...  ( 1) n f n( 2 n ) ( x )
und die Funktion Gn: R  R, mit
Gn ( x)  Fn ' ( x)  sin x  Fn ( x)  cos x.
Da die Funktion fn und alle ihre Ableitungen an
den Stellen 0 und  nur ganzzahlige Werte
annimmt, gilt dies auch für Fn.
Durch Differenzieren der Funktion Gn sieht man
leicht, dass sie eine Stammfunktion von
gn(x) = fn(x)·sin x ist.
Irrationalität von 

b) Wir betrachten nun das Integral  gn ( x )dx.
0
Nach dem Hauptsatz der Differential- und
Integralrechnung folgt

 gn ( x)dx  Gn ( x)0  Gn ( )  Gn (0)

0
 Fn ' ( )  sin   Fn ( )  cos   Fn ' (0)  sin 0  Fn (0)  cos 0
 Fn ( )  Fn (0).
Der Wert dieses Integrals ist also für jede Wahl
von n eine ganze Zahl.
Irrationalität von 
Für alle x]0,[ gilt nun aber
x n  ( p  qx )n  n p n
0  gn ( x )  f n ( x ) sin x  f n ( x ) 

.
n!
n!
Dies bedeutet


0   gn ( x )dx  
0
0
 n pn
n!
dx   
 n pn
n!
.
 n pn
Da lim  0 , gilt für hinreichend großes n  
 1,
n
n!
womit der Wert dieses Integrals sicherlich keine
ganze Zahl ist, was ein Widerspruch zu
ist.

an
n!
Irrationalität von e
Die Irrationalität von e und e² bewies Euler 1737.
Wir zeigen nun, dass e irrational ist.
Die Beweisführung ist indirekt: Wir nehmen an, dass e
rational ist und führen diese Annahme zu einem
Widerspruch.
Es sei e  qp mit ganzen Zahlen p und q. Wegen 2 < e < 3
kann e keine ganze Zahl sein; der Nenner von q ist also
wenigstens 2.
Irrationalität von e
Nun multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung
e  1  11!  21!  31!  ...  n1!  ...
mit q! = 1 2  3  ...  q. Die linke Seite hat dann die Form
e  q!  ( qp )  1  2  3  ...  q  p  1  2  3  ...  (q  1)
und auf der rechten Seite ergibt sich
[q! q!3  4  ...  q  4  5  ...  q  ...  ( q  1)  q  q  1]
 q11  ( q1)(1 q2 )  ...
(man beachte, dass die 1 innerhalb der eckigen Klammern
auf 1 in der Reihe für e zurückzuführen ist).
q!
Irrationalität von e
Als Produkt ganzer Zahlen ist die linke Seite offenbar eine
ganze Zahl. Auf der rechten Seite ist der Ausdruck
innerhalb der eckigen Klammern ebenfalls eine ganze
Zahl. Die verbleibenden Terme sind jedoch keine ganzen
Zahlen, da jeder der dort auftretenden Nenner wenigstens 3
ist.
Wir zeigen nun, dass auch die Summe dieser Terme keine
ganze Zahl ist. Wegen q  2 hat man
1
1
1 1
1 1 1
1
1
1

 ...  
 ...   2  3  ...  
 ,
1
q  1 ( q  1)( q  2)
3 3 4
3 3 3
3 (1  3 ) 2
wobei wir die Formel für die Summe einer unendlichen
geometrischen Reihe verwendeten.
Irrationalität von e
Auf der linken Seite der Gleichung steht also eine ganze
Zahl, während auf der rechten Seite keine ganze Zahl
steht.
Aus diesem Widerspruch schließen wir, dass e nicht als
Verhältnis zweier ganzer Zahlen geschrieben werden
kann, das heißt, e ist irrational.

Transzendenz
Die irrationalen Zahlen lassen sich noch
unterteilen in algebraisch irrationale und
transzendente Zahlen. Algebraisch irrationale
Zahlen sind solche, die sich als Lösung einer
Gleichung mit rationalen Koeffizienten ergeben,
z.B. 17 als Lösung der Gleichung x 2  17  0 .
Bei transzendenten Zahlen ist dies nicht der Fall.
(lat. transcendere = überschreiten)
Transzendenz von  und e
Der französische Mathematiker Charles Hermite
(1822 – 1901) konnte im Jahr 1873 beweisen:
Die Eulersche Zahl e ist transzendent.
Darauf aufbauend, unter zusätzlicher Benutzung
der Integration im Komplexen, bewies der
Deutsche Ferdinand Lindemann (1852 – 1939)
im Jahr 1882:
Die Kreiszahl  ist transzendent.
Danach haben weitere Mathematiker nach anderen
und einfacheren Beweisen gesucht.
Transzendenz von  und e
Einer der einfachsten Beweise lässt sich mit Hilfe
des folgenden Satzes führen, aus dem die
Transzendenz von  und e quasi direkt folgt.
Satz von Lindemann-Weierstrass
Für alle algebraischen, paarweise verschiedenen
1, 2,..., n und für alle algebraischen 1, 2,...,
n mit k  0 gilt:
n



e
 i  0  1  ...   n  0.
i
i 1
Der Beweis dieses Satzes würde den Rahmen dieses Vortrags sprengen.

Transzendenz von 
Annahme:  ist algebraisch.
Wegen i2 = – 1 und der Tatsache, dass die
algebraischen Zahlen einen Körper bilden, sind
auch i· und 2·i· algebraische Zahlen.
Setze dann n = 2, 1 = i· , 2 = 2·i· , 1= 1 und
2= 1.
Dann ist 1· ei· + 1· e2·i· = – 1+1= 0
im Widerspruch zum Satz von LindemannWeierstrass.

Transzendenz von 
• Mit dem Beweis der Transzendenz von  wurde
gezeigt, dass die Quadratur des Kreises, oder in
heutiger Sprache, die Konstruktion zweier Strecken
mit dem Längenverhältnis  nur mit Zirkel und
Lineal nicht möglich ist. Sie ist nur möglich, wenn
das Längenverhältnis algebraisch ist.
• Obgleich also seit 120 Jahren feststeht, dass 
dieses Kriterium nicht erfüllt, beschäftigen sich
nach wie vor viele Hobbymathematiker mit der
Aufgabe, mit den genannten Hilfsmitteln einen
Kreis in ein flächengleiches Quadrat zu überführen.
Transzendenz von e
Annahme: e ist algebraisch.
Setze n = 2, 1 = 0 , 2 = 1 , 1= e und 2= – 1.
Dann ist e · e0 – 1 · e1 = e – e = 0, im Widerspruch
zum Satz von Lindemann-Weierstrass.

Quellen
• Eli Maor: „Die Zahl e – Geschichte und Geschichten“,
1996
• Lennart Berggen / Jonathan Borwein / Peter Borwein: „Pi:
A Source Book“, 2004
• Manusskript zum Proseminarsvortrag „Irrationalität von 
und e und Transzendente Zahlen“ gehalten von Kai
Uhlenbrauk, Universität Dortmund, Sommersemester 2006
• matheplanet.com
• Diplomarbeit „Die Zahl e“ von Stefan Schönhacker,
Universität Wien, Mai 2000
• Duden: „Abitur Mathematik – Basiswissen Schule“, 2003
ENDE
Vielen Dank für Eure
Aufmerksamkeit!