3.3 Lösungsstrategien für mündliches und halbschriftliches Rechnen

3.3 Lösungsstrategien für mündliches
und halbschriftliches Rechnen
• 3.3.1 Halbschriftliche Addition und
Subtraktion
• 3.3.2 Halbschriftliche Multiplikation und
Division
Übungsaufgabe
• Lösen Sie folgende Aufgabe:
• 701 - 698
Lösungsmöglichkeiten
• Schriftliches Rechnen
• Zerlegen
• Ergänzen
• Abzählen
Rechenverfahren
• In der Grundschule kommen vier grundsätzliche
Methoden für die Bewältigung von
Rechenanforderungen in Betracht:
• Kopfrechnen
• Halbschriftliches Rechnen
• Schriftliches Rechnen
• Taschenrechner
Rechenverfahren
• Kopfrechnen
• Beim Kopfrechnen erfolgt die Lösung einer Aufgabe im Kopf
ohne eine Notation von Zwischenschritten
• dies geschieht unter Ausnutzung von Strategien (vgl. auch
Lösungsstrategien zu Grundaufgaben
Rechenverfahren
• Halbschriftliches Rechnen
• „Halbschriftliches Rechnen ist ein flexibles, je auf die
Besonderheit der vorliegenden Aufgaben und des
Zahlenmaterials bezogenes Rechnen unter Verwendung
geeigneter Strategien. Es werden Zwischenschritte,
Zwischenrechnungen, Zwischenergebnisse fixiert bzw.
Rechenwege verdeutlicht sowie Rechengesetze und
Rechenvorteile ausgenützt.“ (Bauer 1998, S. 180)
• Art und Weise der Notation ist nicht festgelegt.
• Wege zur Lösung sind nicht vorgeschrieben, was dem
Aufgabenlöser größere Freiräume beim Verfolgen eigener Wege
erlaubt.
• Auch als „Gestütztes Kopfrechnen“ bezeichnet
Rechenverfahren
• Schriftliches Rechnen
• beruht auf konventionalisierten Verfahren (Algorithmen,
Normalverfahren)
• Ergebnisse werden auf der Grundlage des Stellenwertsystems
ziffernweise ermittelt
• Taschenrechner
• wird als Rechengerät im Alltag und auch von Kindern immer
selbstverständlicher benutzt
Rahmenplan
• S. 152 (Addieren und Subtrahieren):
• Das halbschriftliche Rechnen eignet sich ... zur Entlastung
des Gedächtnisses und zur übersichtlichen Darstellung von
Zahlzerlegungen und Rechenschritten, es ist aber auch eine
wichtige Grundlage für die schriftlichen Rechenverfahren. Es
muß offen und kreativ gehandhabt werden und darf nicht in
einem festgelegten Algorithmus erstarren; jedes Kind soll seinen
Lösungsweg und seine Darstellungsweise finden und verfolgen
können und die Notation und der Zwischenschritte so lange
beibehalten, wie es sie selbst für nötig hält.
Aufgabentypen
• Aufgabentypen der Addition im Zahlraum bis 100
(Klasse 2):
Aufgabentyp
Z+Z
ZE + E ohne Zehnerüberschreitung
ZE + E mit Zehnerüberschreitung
ZE + Z bzw. Z + ZE
ZE + ZE ohne Zehnerüberschreitung
ZE + ZE mit Zehnerüberschreitung
Beispiel
20 + 50 = 70
43 + 5 = 48
46 + 9 = 55
37 + 20 = 57 bzw.
30 + 56 = 86
32 + 45 = 77
57 + 36 = 93
Aufgabentypen
• Aufgabentypen der Subtraktion im Zahlraum bis
100 (Klasse 2):
Aufgabentyp
Z-Z
ZE - E ohne Zehnerüberschreitung
ZE - E mit Zehnerüberschreitung
Z - ZE bzw. ZE - Z
ZE - ZE ohne Zehnerüberschreitung
ZE - ZE mit Zehnerüberschreitung
Beispiel
50 – 20 = 30
48 - 5 = 43
45 – 8 = 37
50 – 16 = 34 bzw.
47 – 30 = 17
67 – 43 = 24
53 – 37 = 16
Lösungsstrategien
• Zählstrategien
• Schrittweises Rechnen (nach Zerlegen)
• Hilfsaufgabe (gleich- bzw. gegensinniges
Verändern)
• Verwandte Aufgabe (Analogieprinzip)
• Stellenwerte extra
Lösungsstrategien
• Zählstrategien
• Addition (Klasse 2):
• 37 + 5 = 42
• 38, 39, 40, 41, 42
• 1, 2, 3, 4, 5
• Subtraktion (Klasse 3):
• 410 - 50 = 360
• 400, 390, 380, 370, 360
• 10 20
30 40 50
Lösungsstrategien
• Schrittweises Rechnen (Addition)
• Klasse 2:
• 37 + 5 =
• 37 + 3 = 40
• 40 + 2 = 42
• Klasse 3:
• 370 + 280 =
• 370 + 200 = 570
• 570 + 80 = 650
Lösungsstrategien
• Schrittweises Rechnen (Subtraktion)
• Klasse 2:
• 32 - 9 =
• 32 - 2 = 30
• 30 - 7 = 23
• Klasse 3:
• 370 - 120 =
• 370 - 100 = 270
• 270 - 20 = 250
Lösungsstrategien
• Gegensinniges Verändern (Addition)
• Klasse 2:
• 32 + 9 =
•
-1
+1
• Hilfsaufgabe:
• 31+ 10 = 41
• Klasse 3:
• 230 + 390 =
• Hilfsaufgabe:
• 220 + 400 = 620
Lösungsstrategien
• Gleichsinniges Verändern (Subtraktion)
• Klasse 2:
• 32 - 9 =
• Hilfsaufgabe:
• 33 - 10 = 23
• Klasse 3:
• 630 - 390 =
•
+10
+10
• Hilfsaufgabe:
• 640 - 400 = 240
Lösungsstrategien
• Analogieaufgabe (Addition)
• Klasse 2:
• 32 + 5 =
•
2+5=7
• 32 + 5 = 37
• Klasse 3:
• 200 + 500 =
•
2+ 5=7
• 200 + 500 = 700
Lösungsstrategien
• Analogieaufgabe (Subtraktion)
• Klasse 2:
• 37 - 5 =
•
7-5=2
• 37 - 5 = 32
• Klasse 3:
• 700 - 500 =
•
7- 5=2
• 700 - 500 = 200
Lösungsstrategien
• Stellenwerte extra (Addition)
• Klasse 2:
• 34 + 53 = 80 + 7 = 87
• 30 + 50
•
4+ 3
• Klasse 3:
• 347 + 256 = 500 + 90 + 13 = 603
• 300 + 200
•
40 + 50
•
7+ 6
Lösungsstrategien
• Stellenwerte extra (Subtraktion)
• Klasse 2:
• 67 - 23 = 40 + 4 = 44
• 60 - 20
•
7- 3
• Klasse 3:
• 265 - 127 = 100 + 40 - 2 = 138
• 200 - 100 Hunderter minus Hunderter
•
60 - 20 Zehner minus Zehner
•
5 - 7 Er muss einen Zehner „anknabbern“
Lösungsstrategien
• Ergänzen (Subtraktion)
• Klasse 2:
• 67 - 23 = 44
• 23 + 44 = 67
• Klasse 3:
• 265 - 127 = 138
• 127 + ... = 265
• 127 + 138 = 265
Lösungsstrategien
• Frage für den Unterricht:
• Wie findet jedes Kind seine Lösungsstrategie für eine Aufgabe
und seine Darstellungsform dazu?
• Uralter Streit:
• Soll den Kindern beim halbschriftlichen Rechnen ein
Lösungsweg („Normalverfahren“) vorgeschlagen (bzw.
vorgeschrieben) werden oder sollen sie aus der Fülle der
möglichen Lösungswege einen oder mehrere Wege selbst
entdecken?
Lösungsstrategien
• Empfehlungen:
• Für schwächere Schüler ist es sinnvoll einen
Lösungsweg vorzugeben.
• Es empfiehlt sich das schrittweise Rechnen als
„Normalverfahren“.
• Stärkere Schüler sollten verstärkt angeregt werden,
unterschiedliche Lösungswege für eine Aufgabe zu
finden und zu vergleichen.
Zur Notation von Lösungswegen
Beispiel: 82 - 27 (Strategie: Zerlegen)
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Form A (Schulbuch):
82 - 27 =
82 - 20 = 62
62 - 7 = 55
82 - 27 = 55
Form C:
82 - 27 = 62 - 7 = 55
82 - 20
Form B als Kurzform:
82 - 27 = 55
82 - 20 = 62
62 - 7 = 55
Form D als Kurzform
(Notation der Rechenschritte):
82 - 27 = = 55
- 20 -7
Form E als Kurzform
(Notation der Zwischenergebnisse):
82 - 27 = 55
(62, 60, 55)
Arbeitsmittel für die Addition und
Subtraktion bis 100
• Rechenkette
• Dienes-Blöcke
• Hunderterrechenrahmen
• Hundertertafel
• Zahlenstrahl
• Rechenstrich
Hunderterrechenrahmen
Hundertertafel
Lollipop 2, S. 45
Zahlenstrahl
Rechenstrich
Übungsformen
• Automatisierendes Üben
• Ziel: Fertigkeiten
• Merkmal: schnelles und sicheres Beherrschen von Handlungen
(teilweise automatisiert)
• Einprägendes Üben
• Ziel: Kenntnisse
• Merkmal: abrufbares Wissen
• Operatives Üben
• Ziel: Fähigkeiten
• Merkmal: flexibles Anwenden beim Problemlösen
Faktoren, die den Übungserfolg
beeinflussen
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Übungsziel beachten
Übungsbereitschaft sichern
Anzahl und Verteilung der Übung planen
Transfer der Übung beachten
in sinnvollen Zusammenhängen üben
Übungen abwechslungsreich gestalten
den Schülern möglichst schnell eine Rückmeldung über
Ergebnisse geben
Beispiele für Übungen
Beispiele für Übungen
• Rechenräder
Beispiele für Übungen
Zahlenmauern
Beispiele für Übungen
Übungen zur Selbstkontrolle
Beispiele für Übungen
Zahlenmuster
Beispiele für Übungen
Zahlenbuch 2, S. 92
Zur halbschriftlichen Addition und
Subtraktion in Klasse 3
• Schwierigkeiten:
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Fehlende Sicherheit beim Rechnen bis 100
Hohe Leistungsheterogenität
Hohe Zahl von Merkprozessen beim Rechnen
Viele individuelle Verfahren
Ablösung durch schriftliche Verfahren?
Sachanalysen statt Prozessanalysen
Unklarheit über Anforderungen
Aufgabentypen in Klasse 3
ein
Rechenschritt
zwei
Rechenschritte
drei
Rechenschritte
ohne Überschreitung
mit Überschreitung
20 + 70
107 + 60
421 + 6
340 + 230
356 + 203
80 + 30
63 + 9
407 + 5
340 + 570
356 + 208
326 + 243
326 + 237
• Quelle: Radatz u. a.: Handbuch für den
Mathematikunterricht 3. Schuljahr, S. 78
Häufige Schülerfehler beim Addieren
und Subtrahieren (Radatz 1983)
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Verrechnen um 1 durch falsches Zählen
34 + 3 =36
Störung der Richtung beim Zahlenlesen
53 + 4 = 39
Falsche Richtung einer Teiloperation
63 – 7 = 64
Verwechseln der Operation
24 – 12 = 36
Fehlerhaftes Rechnen mit Null
401 + 225 = 606
Perseverationsfehler (eine Zahl wirkt nach) 36 + 6 = 46
Falsche Stellenzuordnung
531 + 22 = 751
Zehnerüberschreitung nicht beachtet
72 - 5 = 77
Bestimmen der Differenz ohne Beachten des Aufgabengliedes
52 - 28 = 36
• Unvollständiges Lösen; Zwischenergebnis vergessen
92 - 35 = 62
Eigenproduktionen
340 + 371 + 146 + 244
Überschlagsrechnen
• Kinder frühzeitig anhalten, bei schwierigen Aufgaben
zunächst im Überschlag das annähernde Ergebnis zu
ermitteln
• eventuell mit Taschenrechner überprüfen
• Mögliche Übung:
• Bestimme zunächst durch Überschlagen, welche Zahl dem
Ergebnis am nächsten kommt. Kreuze diese Zahl an.
• 24 + 39
40
60 80
Halbschriftliches Rechnen oder
schriftliches Rechnen?
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Argumentationen für halbschriftliches Rechnen:
1. Lebenspraktische Bedeutung
2. Förderung von Zahlverständnis
3. Vorbereitung / Unterstützung des
Kopfrechnens
• 4. Vorbereitung / Unterstützung des schriftlichen
Rechnens