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IWI Numerische Methoden - Einführung Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren (FD, FV, FE) Zeitintegration Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration IWI Wieso CFD? • CFD heisst Computational Fluid Dynamics • Hohe Rechenleistung dank Computertechnik • Analytische Lösungen haben Einschränkungen • Verschieden numerische Verfahren - Finite Differenzen (FD), finite Volumen (FV) und finite Elemente (FE) Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration IWI Die Raumdiskretisierung • 1. Schritt: Diskretisierung des Raums, d.h. Unterteilung in Teilgebiete. • 2 Haupmöglichkeiten: strukturierte oder unstrukturierte Netze. • Netzgenerierung braucht im Allgemeinen einen Netzgenerator. • Die Diskretisierung ist häufig schwieriger als die Rechnung. Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration IWI Strukturierte Gitter • Jedes Element und jeder Knoten ist durch ndim Zeiger identifizierbar. • Untertypen strukturierter Gitter sind: N N P(5,4) P(5,4) 2 2 1 1 1 21 2 NN – Reguläre Gitter, – Orthogonale Gitter und – krummlinige Gitter Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration IWI Vor-/Nachteile strukturierter Gitter • Wenig Speicherbedarf • Geringer Verwaltungsaufwand, schnelle Rechenzeiten • Gut geeignet bei “ausgeschalteten” Teilgebieten • Geringe, geometrische Flexibilität • Nicht geeignet bei beweglichen Rändern Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration IWI Vor-/Nachteile strukturierter Gitter Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration IWI Numerische Verfahren Grundlagen • Analogie zwischen Experiment und Numerik. • Anstelle einer kontinuierlichen Variablenverteilung verwenden numerische Verfahren diskrete Knotenwerte. • Die Verfahren unterscheiden sich durch die Art, wie sie aus diskreten Knotenwerten die Variablenverteilung annähern. • Bekannteste Verfahren sind FD, FV und FE. Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration IWI Modellgleichung - Poisson Gleichung 2 f x 2 Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration IWI Übersicht numerische Methoden • FD arbeitet mit der Differentialform der PDGL – Massenerhaltung ist nicht gewährleistet • FV benutzt die Integralform der PDGL – Massenerhaltung im Element ist gewährleistet • FE stützt sich auf die schwache Integralform – Massenerhaltung über Gesamtgebiet i.O. Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration IWI FD • Älteste Methode, wurde von Euler 1768 für die Lösung von Differentialgleichungen erfunden. • Differentialquotienten werden durch Differenzenquotienten approximiert, diese sind u.U. nicht stetig, was zu numerischen Fehlern führen kann. Aus einer Taylor-Reihenentwicklung folgt: 3 1 x 2 x 2 Einführung 2 1 3 2 2 2 2 x x 2 Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration IWI FD • FD benötigen reguläre Netze, üblicherweise strukturierte, um die Differenzenapproximation einfach bilden zu können. • Die Netze dürfen nur geringe Variationen aufweisen (Dehnung/Verzerrung der Zellen), da sonst der numerische Fehler gross wird. • Grundnetz in 3D bildet ein sechs seitiger Körper, der den effektiven Rändern angepasst werden kann. • Multiblock reduziert diese Einschränkung. Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration IWI FV • Ueber ein Kontrollvolumen werden die Flüsse bilanziert: „Rein gleich Raus plus Quelle/Senke“: f x x Einführung E P P W integriert xe xw Raumdiskretisierung Numerische Verfahren fx Zeitintegration IWI FV • Wurden von McDonald (1971) bzw. McCormack und Paullay (1972) zum ersten Mal in 2D verwendet und 1973 von Rizzi auf 3D erweitert. • Da die Formulierung über Zellvolumen und nicht Netzschnittpunkte erfolgt, ist hohe geometrische Flexibilität gegeben. Die Zellen können aus beliebigen Körpern gebildet werden. • Man unterscheidet Zellmittelpunkt bzw. Zelleckpunkt FV-Methoden. Zellmittelpunkt hat Stabilitätsvorteile, bei Zelleckpunkt lassen sich RB’s besser formulieren. • FV ist die verbreitetste Diskretisierungsmethode. Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration IWI FE • FE geht von der schwachen Integralform aus, d.h. die Ausgangsgleichung wird gewichtet und integriert. • Durch Integration der gewichteten Ausgangsgleichung über das Gebiet verschwindet der Fehler der Diskretisierung. • FE nimmt Verteilfunktionen der Variablen über die Elemente an, diese sind linear oder Polynome höherer Ordnung. Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration IWI • Am Punkt A innerhalb des Elements 1 wird die Variable A linear aus den Werten 1 und 2 der Nachbarknoten interpoliert: A 1 X A X1 X 2 X1 ( 2 1 ) X2 X A X 2 X1 1 X A X1 X 2 X1 2 • Die Brüche vor den Variablen 1 und 2 nennt man “Ansatzfunktionen”. Sie werden auch zur Gewichtung der schwachen Integralform gebraucht. Ansätze höherer Ordnung sind möglich. Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration IWI FE • FE wurde von R. Courant im Jahr 1943 entwickelt. • Die Elemente werden durch Netzschnittpunkte gebildet, wo auch die Unbekannten sitzen. • Die Stabilität ist reduziert aber RB’s lassen sich einfach formulieren. • Die Genauigkeit kann durch den Grad der Ansatzfunktionen beliebig erhöht werden. • Vergleich der Rechenzeiten mit FV ist schwierig, da die Genauigkeit bei FE a priori höher ist. Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration IWI Was sind Verfahren höherer Ordnung? • In der Taylor-Reihenentwicklung werden Terme höherer Ordnung berücksichtigt (FD) • Berücksichtigung von Ansatzfunktionen höherer Ordnung (FE). • Verwendung von MUSCL, mit dem die Ordnung beliebig erhöht werden kann (FV). • Achtung: Schemen höherer Ordnung neigen zu Oszillationen! Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration IWI Upwind Verfahren • Bis jetzt waren alle Verfahren sog. “zentrale” Verfahren, d.h. Information floss von oberund unterstrom mit gleichem Gewicht ein. • Bei schiessender Strömung ist dieser Ansatz nicht gerechtfertig, da von unterstrom keine Beeinflussung stattfinden kann. • Upwind Verfahren berücksichtigen den Informationsfluss korrekt, d.h. sie gewichten die Seite stärker, von der Information einfliesst. Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration IWI Upwind Verfahren höherer Ordnung • Analog wie Verfahren höherer Ordnung, aber nur Information oberstroms wird berücksichtigt. Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration IWI Welche Methode eignet sich für meine Bedürfnisse? • Grundsätzlich kann man mit jeder Methode alles machen. Teilweise erfordert die Anpassung hohes Fachwissen. • Ich würde bei der Wahl die gewünschte Netzauflösung in den Vordergrund stellen. • Keine Methode hat nur Vorteile! • FV ist sicher für CFD ein sehr guter Kompromiss. Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration IWI ENDE Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration IWI Randbedingungen • Zur Lösung der PDG braucht es Randbedingungen. • Randbedingungen beeinflussen die Lösung am Rand und oftmals bis tief ins Rechengebiet. • Schlecht gesetzte RB bewirken eine schlechte Lösung, unabhängig von der Güte der Numerik! • Als Regel kann gelten: überall wo eine charakteristische Information ins Rechengebiet eintritt, muss eine RB gesetzt werden. Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration IWI Anfangsbedingungen • Die Randbedingungen in Zeitrichtung nennt man Anfangsbedingungen. • Stationäre Probleme werden oft mit instationären Algorithmen gelöst. In diesen Fällen spielt die AB eine untergeordnete Rolle. • Komplexe, nichtlineare Systeme konvergieren nur, wenn physikalisch sinnvolle AB gesetzt werden. Dies kann u.U. die Ruhe sein (h=konst., v=0). Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration IWI Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration IWI Methode der finiten Differenzen FD • Die FD geht von der Differentialform der PDG aus (siehe Modellgleichung). • Die Variable wird in einer Taylor-Reihe um 2 entwickelt und als Näherung von 1 benutzt. Daraus resultieren Ausdrücke für die Ableitungen. Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration IWI 2 1 2 1 2 x x 2 .... x 2 2 x 2 2 1 2 3 2 x x 2 .... x 2 2 x 2 • Subtraktion bzw. Addition der beiden, Gleichungen ergibt: 3 1 x 2 2x Einführung Raumdiskretisierung 2 3 2 2 1 2 x 2 x 2 Numerische Verfahren Zeitintegration IWI Modellgleichung in FD • Unsere Modellgleichung kann damit angenähert werden durch: i 1 i 1 2 i fi 2 x Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration IWI • Anwendung auf jeden Punkt im Rechengebiet resultiert in: A·x=b 2 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 . 0 0 0 1 2 1 . . 0 1 A 2 0 0 1 2 1 . 0 x 0 . . 1 2 1 0 . . 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 1 2 Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration IWI Vor-/Nachteile von FD • • • • Anschauliche Formulierung Schnelle Rechenzeiten. Geringe, geometrische Flexibilität. Vorsicht bei numerischen Stössen, wo sich unendliche Gradienten ergeben können! Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration IWI Methode der finiten Volumen FV • Die FV geht von der Integralform der Modellgleichung aus. Diese resultiert aus: f x x integriert e f dx 0 x e x w w E P P W x x e w Einführung Raumdiskretisierung fx Numerische Verfahren Zeitintegration IWI Vorteil von FV • Durch die Verwendung der Integralform ist der Erhalt von Masse, Impuls und Energie gesichert (Bilanzierung). • In 2D und 3D ist die Formulierung unabhängig von der Geometrie der Elemente. Die geometrische Flexibilität ist grösser als bei FD. • Schnelle Rechenzeiten. Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration IWI Methode der finiten Elemente FE • FE geht von der schwachen Integralform aus. Diese resultiert durch Anwendung der Methode der gewichteten Residuen. • Durch Integration der gewichteten Ausgangsgleichung über das Gebiet verschwindet der Fehler der Diskretisierung. Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration IWI • Anwendung der gewichteten Residuen auf die Modellgleichung ergibt: 2 W 2 xi 1 x xi f dx 0 • Es wird angenommen, dass Aenderungen über ein Element durch ein Polynom angenähert werden können, im einfachsten Fall durch: 1 2 x Einführung bzw. 1 1 x1 1 e K 2 1 x2 2 Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration IWI • Aus den vorhergehenden Gleichungen erhalten wir die Ansatzfunktionen durch folgende Umformungen: 1 2 x bzw. 1 1 x1 1 e K 2 1 x2 2 1 xK 1 e und N i 1 xK 1 • Von den Ansatzfunktionen wird gefordert, dass sie den Wert 1 am betreffenden Knoten und den Wert 0 an allen anderen Knoten aufweisen. Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration IWI • Am Punkt E innerhalb des Elements 1 wird die Variable E linear aus den Werten 1 und 2 der Nachbarknoten interpoliert: E 1 X E X1 X 2 X1 ( 2 1 ) X2 XE X 2 X1 1 X E X1 X 2 X1 2 • Die Brüche vor den Variablen 1 und 2 nennt man “Ansatzfunktionen”. Sie werden auch zur Gewichtung der schwachen Integralform gebraucht. Ansätze höherer Ordnung sind möglich. Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration IWI E X2 XE X E X1 1 2 X 2 X1 X 2 X1 • Von den Ansatzfunktionen wird gefordert, dass sie den Wert 1 am betreffenden Knoten und den Wert 0 an allen anderen Knoten aufweisen. Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration IWI • Da die Ansatzfunktionen Polynome sind, sind sie einfach differenzierbar, d.h. falls die Koeffizienten bestimmt sind, so können die Ableitungen der Ansatzfunktionen einfach entwickelt werden. • Die Modellgleichung lässt sich diskretisieren durch Matrixprodukte aus unbekannten Knotenwerten und Ansatzfunktion bzw. deren Ableitung. • Bei der Methode von Galerkin wird die Gewichtsfunktion identisch der Ansatzfunktion gesetzt. Einführung Raumdiskretisierung Numerische Verfahren Zeitintegration
