Interpolation
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Interpolation • Einleitung • Geometrische Interpolation – Polynominterpolation – Spline-Interpolation – Inverse Distance Weighted Methode • Statistische Interpolation – Interpolation nach kleinsten Quadraten – Kovarianzfunktionen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Einleitung • Beschreibung flächenhafter Phänomene: Wert an jedem Punkt soll bestimmt sein • Geodäsie: Stützstellen gemessen • Zwischen Stützstellen: Schätzen der Werte = Interpolation • Außerhalb der Stützstellen: Extrapolation • Prädiktion: Interpolation oder Extrapolation Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Beispiele • 2x Höhenraster gemessen ohne Vermarkung – Vergleich der Epochen? • Mathematiker Abraham de Moivre: Prädiktion seines Todeszeitpunktes (Anwachsen des Schlafbedürfnisses) • Schriftsteller Mark Twain: Mississippi hat innerhalb von 176 Jahren Länge verkürzt vor 1Mio Jahre 2Mio km lang, in 650 Jahren 3km lang Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Problem der Interpolation • Messwerte an bekannten Punkten gegeben: Stützwerte an Stützstellen • Dimension der Stützstellen beliebig • Stützwerte und Stützstellen ergeben mathematische Funktion vom Grad 1+Dimension der Stützstellen • Dimension des Modells kleiner als der Dimension des Punkthaufens Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Mathematische Beschreibung • Gesucht: Kontinuierlicher Verlauf einer diskret gegebenen Funktion • Häufig folgende Bedingungen – Räumlich nahe beieinander liegende Werte haben eine größere Ähnlichkeit als weit voneinander entfernte – An Stützstellen Interpolationswert = Stützwert (wenn nicht eingehalten: Approximation – z.B. kleinste Quadrate) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Unterscheidung • Geometrische Verfahren oder Interpolationsverfahren im engeren Sinn • Statistische Verfahren oder Prädiktionsverfahren Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Geometrische Interpolation Ausgangslage: Funktion f(x) gegeben durch • n+1 diskrete Stützstellen x0 < x1 < … < xn • Stützwerte y0 < y1 < … < yn • Gesucht: Wert der Funktion an einer beliebigen Stelle x mit x0 < x < xn Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Polynominterpolation • Annahme eines Polynoms n-ten Grades pn x a0 a1 x a2 x 2 an x n • Zur Lösung unterschiedlichste Algorithmen in der Literatur • Problem: Starkes Ausschwingen • Reduktion: Nicht alle Stützstellen verwendet – Extremfall lineare Interpolation Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Spline-Interpolation (1) • Gesucht: Glatte Kurve durch alle Stützstellen, möglichst stetig • Lösung: Dünne Latten (Straklatten) aus dem Schiffsbau – Latte minimiert die 2 x Biegeenergie n s' ' x dx 5 x0 2 2 1 s' x • Vereinfachte physikalische Annahmen: xn 2 s' ' x dx min x0 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Spline-Interpolation (2) s(x) ist Variationsaufgabe unter folgenden Nebenbedingungen • s(x) muss Interpolationseigenschaft s(xi)=yi erfüllen • s(x) soll an inneren Stützstellen mindestens einmal stetig differenzierbar sein • Zwischen den Stützstellen mindestens 4x stetig differenzierbar 1 x 2 E s ' ' x dx minimieren • s(x) soll x n 2 0 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Spline-Interpolation (3) Lösung nach klassischer Variationsrechnung Ergebnis hat folgende Eigenschaften: • s(x) ist in jedem Teilintervall ein kubisches Polynom • 1. und 2. Ableitung von s(x) an inneren Stützstellen stetig • 2. Ableitung von s(x) verschwindet bei x0, xn (natürliche Bedingung natürliche kubische Spline-Funktion) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Spline-Interpolation (4) Verallgemeinerung: Erhöhung der Ableitungen unter den Variationsintegral samt Anpassung der Nebenbedingungen Lösung der Variationsaufgabe • s(x) muss Interpolationseigenschaft s(xi)=yi erfüllen • s(x) soll an inneren Stützstellen mindestens (p-1) mal stetig differenzierbar sein • Zwischen den Stützstellen mindestens 2p mal stetig differenzierbar 2 1 x ( p) • s(x) soll E x s x dx minimieren n 2 0 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Berechnung kubische Spline (1) si x ai x xi bi x xi ci x xi di • Kubisches Polynom als Lösung für Intervall hi xi 1 xi • Für Werte an Intervallenden: 3 s i xi si xi 1 s i ' xi ai hi3 si ' xi 1 3ai hi2 s i ' ' xi si ' ' xi 1 6ai hi bi hi2 ci hi ci 2bi hi 2bi 2bi ci Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil 2 di yi di yi 1 yi ' ' yi 1 ' ' Berechnung kubische Spline (2) Umschreiben der Gleichungen ergibt: 1 yi 1 ' ' yi ' ' ai 6hi 1 bi yi ' ' 2 hi 1 ci yi 1 yi yi 1 ' '2 yi ' ' hi 6 d i yi Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Berechnung kubische Spline (3) • Polynome berechenbar, wenn neben Stützwerten auch die 2. Ableitungen bekannt • Festgelegt sind nun – Interpolationseigenschaft – Stetigkeit der Funktion • Es fehlt: Stetigkeit an inneren Stützstellen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Berechnung kubische Spline (4) • Für erste Ableitung am Ende des Intervalls hi 1 ergibt sich si ' xi 1 yi 1 yi 2 yi 1 ' ' yi ' ' hi 6 • Nach Substitution von i durch i-1 erhalten hi 1 1 wir si 1 ' xi h yi yi 1 6 2 yi ' ' yi 1 ' ' i 1 • Bedingung si 1 ' xi si ' xi führt zu hi 1 hi 1 1 yi yi 1 2 yi ' ' yi 1 ' ' yi 1 yi yi 1 ' '2 yi ' ' hi 1 • oder 6 hi 6 6 6 yi yi 1 0 hi 1 yi 1 ' '2hi 1 hi yi ' ' hi yi 1 ' ' yi 1 yi hi hi 1 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Berechnung kubische Spline (5) • Bedingung muss an allen inneren Stützstellen (1 … n-1) erfüllt sein • Also: n-1 lineare Gleichungen für n-1 Unbekannte (2. Ableitungen) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Beispiel mit n=5 (1) y1 ' ' y2 ' ' y3 ' ' y4 ' ' 2h0 h1 h1 h1 2h1 h2 h2 h2 2h2 h3 h3 h3 2h3 h4 1 6 y1 y0 6 y2 y1 h0 y0 ' ' h0 h1 6 y2 y1 6 y3 y2 h1 h2 6 y3 y2 6 y4 y3 h2 h3 6 y4 y3 6 y5 y4 h4 y5 ' ' h3 h4 • Oder Ay´´- l=0 • Bei natürlicher Spline: y0´´= y5´´=0 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Beispiel mit n=5 (2) • Unter Annahme von äquidistanten Stützstellen vereinfacht sich das System zu y1 ' ' y2 ' ' y3 ' ' y4 ' ' 4 1 1 4 1 1 4 1 1 4 1 6 y2 2 y1 y0 y0 ' ' h2 6 2 y3 2 y2 y1 h 6 2 y4 2 y3 y2 h 6 2 y5 2 y4 y3 y5 ' ' h Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Rechenweg • Bestimmen der Intervalllängen • Gleichungssystem für 2. Ableitungen aufstellen • Auflösen 2. Ableitungen • Parameter der kubischen Polynome bestimmen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Allgemeine kubische Spline • Natürliche Randbedingungen durch andere Bedingungen ersetzt – 2. Ableitungen an Endpunkten ≠ 0 (s.o.) – 2. Ableitung an Endpunkten Vielfaches der 2. Ableitung der benachbarten Stützpunkte – Vorgabe der 1. Ableitung • Leicht geänderte Systeme Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Periodische Kubische Spline (1) • Interpolierende setzt sich außerhalb des Intervalls periodisch fort mit Periode T • Somit sx sx a T mit T xn x0 und a N • Es muss für glatten Kurvenverlauf gelten sx0 sxn s ' x0 s ' xn s ' ' x0 s ' ' xn Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Periodische Kubische Spline (2) • Somit y0 ' ' y1 ' ' 2h4 h0 h0 h0 2h0 h1 h1 h1 2h1 h2 h2 h2 2h2 h3 h3 h3 2h3 h4 h4 y2 ' ' y3 ' ' y4 ' ' h4 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil 1 6 y1 y0 6 y0 y4 h0 h4 6 y2 y1 6 y1 y0 h1 h0 6 y3 y2 6 y2 y1 h2 h1 6 y 4 y3 6 y3 y 2 h3 h2 6 y5 y 4 6 y 4 y3 h4 h3 Glatte 2D-Kurvendarstellung (1) • Gegeben (n+1) Punkte in der Ebene • Gesucht: möglichst glatte Kurve durch die Punkte • Lösung: Kurve in Parameterdarstellung x x t y y t • Parameter t: Kurvenlänge Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Glatte 2D-Kurvendarstellung (2) • Parameterwerte t0, …, tn entsprechen den Punkten: zunehmende Wertefolge • Funktionen (tk, xk) und (tk, yk) – zugehörige Splines werden bestimmt mit k = 0 … n • Optimaler Parameter: Kurvenlänge – ist aber am Anfang nicht bekannt Distanzen aufeinander folgender Punkte Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Inverse Distance Weighted (1) • Spline: Rein mathematische Interpolation • Nun: Räumliches Problem • Ausgangspunkt: An verschiedenen Stellen Beobachtungen • Wir wollen: Aussagen über den Verlauf des Phänomens über die gesamte Fläche • z.B. Inverse Distance Weighted oder Shepard-Methode Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Inverse Distance Weighted (2) n • Schätzung eines Messwertes 1 z xi i 0 d i z x0 n 1 i 0 d i • di: Abstand Interpolationspunkt – Stützpunkt, also Gewicht umgekehrt proportional zu Distanz • Anzahl berücksichtigter Stützwerte ist individuell festzulegen (abhängig vom Abstand) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Statistische Interpolationsverfahren • Stützwerte in der Regeln physikalische Größen: Signale • Prädiktion: Beschreibung des Signalverlaufes aus einigen Signalen • Statistische Verfahren: Losgelöst von geometrischen Vorstellungen (rein stochastisch) • Kovarianzfunktion zwischen Signalen ist entscheidend • Weitere Annahme: Feld homogen und isotrop Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Interpolation nach kleinsten Quadraten (1) • Gegeben: Korrelierte Beobachtungen l an Positionen x, Kovarianzmatrix C • Gesucht: Lokaler Wert lp and Position xp • Annahme: Wert über Linearkombination bestimmbar, also lp=aTl • Koeffizienten a noch zu bestimmen • Einführung eines fiktiven Messwertes gibt z d z l p b l 1 a l T Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil T Interpolation nach kleinsten Quadraten (2) • Für fiktiven Wert Varianz Cpp und Kovarianz clp führt zu C pp cTlp C c C lp • Fehlerfortpflanzungsgesetz liefert 2 2 T 2 T T d 0 b Cb 0 C pp 2a clp a Ca • Nach Moritz: Koeffizienten so bestimmen, dass Varianz von d ein Minimum wird, also Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil d2 0 a Interpolation nach kleinsten Quadraten (3) • • • • Somit 2clp 2Ca 0 Normalgleichungen Ca c lp 0 1 Auflösung: a C clp T 1 Zu interpolierender Wert: l p clpC l 2 0 Kovarianzmatrix der Messwerte Vektor der gegebenen Kovarianzvektor zwischen zuMesswerte prädizierendem Wert und den Messwerten Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Interpolation nach kleinsten Quadraten (4) • Elemente der Kovarianzmatrizen mit Hilfe eine Kovarianzfunktion C(s) bestimmt • C(s) basiert meist auf Abstand der Punkte, nicht auf Lage oder Richtung (homogen, isotrop) • Gleichzeitige Prädiktion mehrerer Werte führt zu l CT C1l p lp Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Interpolation nach kleinsten Quadraten (5) • Prädiktionsvarianz erhält man aus 1 s c C clp T 1 pp ClpC Clp • Geodätische Anwendungen 2 p T lp – Interpolation von Schwereanomalien – Interpolation/Transformation in Photogrammetrie und Landesvermessung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Kovarianzfunktionen (1) • Notwendig für Prädiktion nach kleinsten Quadraten • Beschreiben die Struktur des Feldes • Können aus umfangreichem Datenmaterial ermittelt werden (Varianz aller Daten, Kovarianzen bis zu bestimmtem Abstand, dann Funktion durchlegen) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Kovarianzfunktionen (2) Im allgemeinen sind folgende Eigenschaften gegeben: • Maximum im Nullpunkt • Zunehmender Abstand abnehmender Wert • Geht gegen 0 für s ∞ Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Kovarianzfunktionen (3) • Manchmal auch mathematische Funktion direkt angegeben (wenn darauf geschlossen werden kann) • Häufig verwendet – Gauß‘sche Glockenkurve – Modell von Hirvonen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Cs C0 e C s k 2s 2 C 0 1 A s 2 2 p
