Interpolation

Interpolation
• Einleitung
• Geometrische Interpolation
– Polynominterpolation
– Spline-Interpolation
– Inverse Distance Weighted Methode
• Statistische Interpolation
– Interpolation nach kleinsten Quadraten
– Kovarianzfunktionen
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Einleitung
• Beschreibung flächenhafter Phänomene:
Wert an jedem Punkt soll bestimmt sein
• Geodäsie: Stützstellen gemessen
• Zwischen Stützstellen: Schätzen der
Werte = Interpolation
• Außerhalb der Stützstellen: Extrapolation
• Prädiktion: Interpolation oder
Extrapolation
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Beispiele
• 2x Höhenraster gemessen ohne
Vermarkung – Vergleich der Epochen?
• Mathematiker Abraham de Moivre:
Prädiktion seines Todeszeitpunktes
(Anwachsen des Schlafbedürfnisses)
• Schriftsteller Mark Twain: Mississippi hat
innerhalb von 176 Jahren Länge verkürzt
 vor 1Mio Jahre 2Mio km lang, in 650
Jahren 3km lang
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Problem der Interpolation
• Messwerte an bekannten Punkten
gegeben: Stützwerte an Stützstellen
• Dimension der Stützstellen beliebig
• Stützwerte und Stützstellen ergeben
mathematische Funktion vom Grad
1+Dimension der Stützstellen
• Dimension des Modells kleiner als der
Dimension des Punkthaufens
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Mathematische Beschreibung
• Gesucht: Kontinuierlicher Verlauf einer
diskret gegebenen Funktion
• Häufig folgende Bedingungen
– Räumlich nahe beieinander liegende Werte
haben eine größere Ähnlichkeit als weit
voneinander entfernte
– An Stützstellen Interpolationswert = Stützwert
(wenn nicht eingehalten: Approximation –
z.B. kleinste Quadrate)
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Unterscheidung
• Geometrische Verfahren oder
Interpolationsverfahren im engeren
Sinn
• Statistische Verfahren oder
Prädiktionsverfahren
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Geometrische Interpolation
Ausgangslage: Funktion f(x) gegeben durch
• n+1 diskrete Stützstellen x0 < x1 < … < xn
• Stützwerte y0 < y1 < … < yn
• Gesucht: Wert der Funktion an einer
beliebigen Stelle x mit x0 < x < xn
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Polynominterpolation
• Annahme eines Polynoms n-ten Grades
pn x   a0  a1 x  a2 x 2    an x n
• Zur Lösung unterschiedlichste Algorithmen
in der Literatur
• Problem: Starkes Ausschwingen
• Reduktion: Nicht alle Stützstellen verwendet – Extremfall lineare Interpolation
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Spline-Interpolation (1)
• Gesucht: Glatte Kurve durch alle
Stützstellen, möglichst stetig
• Lösung: Dünne Latten (Straklatten) aus
dem Schiffsbau – Latte minimiert die
2
x
Biegeenergie n s' ' x 
dx
5
x0
2 2
1  s' x 
• Vereinfachte physikalische Annahmen:
xn
2
 s' ' x  dx  min

x0
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Gerhard Navratil

Spline-Interpolation (2)
s(x) ist Variationsaufgabe unter folgenden Nebenbedingungen
• s(x) muss Interpolationseigenschaft s(xi)=yi
erfüllen
• s(x) soll an inneren Stützstellen mindestens
einmal stetig differenzierbar sein
• Zwischen den Stützstellen mindestens 4x stetig
differenzierbar
1 x
2




E

s
'
'
x
dx minimieren
• s(x) soll
x
n
2
0
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Gerhard Navratil
Spline-Interpolation (3)
Lösung nach klassischer Variationsrechnung
Ergebnis hat folgende Eigenschaften:
• s(x) ist in jedem Teilintervall ein kubisches
Polynom
• 1. und 2. Ableitung von s(x) an inneren
Stützstellen stetig
• 2. Ableitung von s(x) verschwindet bei x0, xn
(natürliche Bedingung 
natürliche kubische Spline-Funktion)
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Spline-Interpolation (4)
Verallgemeinerung: Erhöhung der Ableitungen unter
den Variationsintegral samt Anpassung der Nebenbedingungen  Lösung der Variationsaufgabe
• s(x) muss Interpolationseigenschaft s(xi)=yi erfüllen
• s(x) soll an inneren Stützstellen mindestens (p-1)
mal stetig differenzierbar sein
• Zwischen den Stützstellen mindestens 2p mal stetig
differenzierbar
2
1 x ( p)
• s(x) soll E  x s x  dx minimieren
n
2
0
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Berechnung kubische Spline (1)
si x   ai x  xi   bi x  xi   ci x  xi   di
• Kubisches Polynom
als Lösung für Intervall hi  xi 1  xi
• Für Werte an Intervallenden:
3
s i  xi 
si xi 1 
s i '  xi 

 ai hi3

si ' xi 1   3ai hi2
s i ' '  xi 

si ' ' xi 1   6ai hi
 bi hi2
 ci hi
ci
 2bi hi
2bi
 2bi
 ci
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Gerhard Navratil
2
di

yi
 di

yi 1


yi ' '
yi 1 ' '
Berechnung kubische Spline (2)
Umschreiben der Gleichungen ergibt:
1
 yi 1 ' ' yi ' '
ai 
6hi
1
bi  yi ' '
2
hi
1
ci   yi 1  yi    yi 1 ' '2 yi ' '
hi
6
d i  yi
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Berechnung kubische Spline (3)
• Polynome berechenbar, wenn neben
Stützwerten auch die 2. Ableitungen
bekannt
• Festgelegt sind nun
– Interpolationseigenschaft
– Stetigkeit der Funktion
• Es fehlt: Stetigkeit an inneren Stützstellen
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Berechnung kubische Spline (4)
• Für erste Ableitung am Ende des Intervalls
hi
1
ergibt sich si ' xi 1    yi 1  yi   2 yi 1 ' ' yi ' '
hi
6
• Nach Substitution
von
i
durch
i-1
erhalten
hi 1
1
wir si 1 ' xi   h  yi  yi 1   6 2 yi ' ' yi 1 ' '
i 1
• Bedingung si 1 ' xi   si ' xi  führt zu
hi 1
hi
1
1
 yi  yi 1   2 yi ' ' yi 1 ' '   yi 1  yi    yi 1 ' '2 yi ' '
hi 1
• oder
6
hi
6
6
6
 yi  yi 1   0
hi 1 yi 1 ' '2hi 1  hi  yi ' ' hi yi 1 ' '  yi 1  yi  
hi
hi 1
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Berechnung kubische Spline (5)
• Bedingung muss an allen inneren Stützstellen (1 … n-1) erfüllt sein
• Also: n-1 lineare Gleichungen für n-1
Unbekannte (2. Ableitungen)
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Beispiel mit n=5 (1)
y1 ' '
y2 ' '
y3 ' '
y4 ' '
2h0  h1 
h1
h1
2h1  h2 
h2
h2
2h2  h3 
h3
h3
2h3  h4 
1
6
 y1  y0   6  y2  y1   h0 y0 ' '
h0
h1
6
 y2  y1   6  y3  y2 
h1
h2
6
 y3  y2   6  y4  y3 
h2
h3
6
 y4  y3   6  y5  y4   h4 y5 ' '
h3
h4
• Oder Ay´´- l=0
• Bei natürlicher Spline: y0´´= y5´´=0
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Beispiel mit n=5 (2)
• Unter Annahme von äquidistanten Stützstellen vereinfacht sich das System zu
y1 ' '
y2 ' '
y3 ' '
y4 ' '
4
1
1
4
1
1
4
1
1
4
1
6
 y2  2 y1  y0   y0 ' '
h2
6
 2  y3  2 y2  y1 
h
6
 2  y4  2 y3  y2 
h
6
 2  y5  2 y4  y3   y5 ' '
h

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Rechenweg
• Bestimmen der Intervalllängen
• Gleichungssystem für 2. Ableitungen
aufstellen
• Auflösen  2. Ableitungen
• Parameter der kubischen Polynome
bestimmen
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Allgemeine kubische Spline
• Natürliche Randbedingungen durch
andere Bedingungen ersetzt
– 2. Ableitungen an Endpunkten ≠ 0 (s.o.)
– 2. Ableitung an Endpunkten Vielfaches der 2.
Ableitung der benachbarten Stützpunkte
– Vorgabe der 1. Ableitung
• Leicht geänderte Systeme
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Periodische Kubische Spline (1)
• Interpolierende setzt sich außerhalb des
Intervalls periodisch fort mit Periode T
• Somit sx   sx  a  T  mit T  xn  x0 und a  N
• Es muss für glatten Kurvenverlauf gelten
sx0   sxn 
s ' x0   s ' xn 
s ' ' x0   s ' ' xn 
Ausgleichungsrechnung II
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Periodische Kubische Spline (2)
• Somit
y0 ' '
y1 ' '
2h4  h0 
h0
h0
2h0  h1 
h1
h1
2h1  h2 
h2
h2
2h2  h3 
h3
h3
2h3  h4 
h4
y2 ' '
y3 ' '
y4 ' '
h4
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1
6
 y1  y0   6  y0  y4 
h0
h4
6
 y2  y1   6  y1  y0 
h1
h0
6
 y3  y2   6  y2  y1 
h2
h1
6
 y 4  y3   6  y3  y 2 
h3
h2
6
 y5  y 4   6  y 4  y3 
h4
h3
Glatte 2D-Kurvendarstellung (1)
• Gegeben (n+1) Punkte in der Ebene
• Gesucht: möglichst glatte Kurve durch die
Punkte
• Lösung: Kurve in Parameterdarstellung
x  x t 
y  y t 
• Parameter t: Kurvenlänge
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Glatte 2D-Kurvendarstellung (2)
• Parameterwerte t0, …, tn entsprechen den
Punkten: zunehmende Wertefolge
• Funktionen (tk, xk) und (tk, yk) – zugehörige
Splines werden bestimmt mit k = 0 … n
• Optimaler Parameter: Kurvenlänge – ist
aber am Anfang nicht bekannt 
Distanzen aufeinander folgender Punkte
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Ausgleichungsrechnung II
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Inverse Distance Weighted (1)
• Spline: Rein mathematische Interpolation
• Nun: Räumliches Problem
• Ausgangspunkt: An verschiedenen
Stellen Beobachtungen
• Wir wollen: Aussagen über den Verlauf
des Phänomens über die gesamte Fläche
• z.B. Inverse Distance Weighted oder
Shepard-Methode
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Inverse Distance Weighted (2)
n
• Schätzung eines Messwertes
1
z  xi 

i 0 d i
z  x0  
n
1

i 0 d i
• di: Abstand Interpolationspunkt –
Stützpunkt, also Gewicht umgekehrt
proportional zu Distanz
• Anzahl berücksichtigter Stützwerte ist
individuell festzulegen (abhängig vom
Abstand)
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Statistische Interpolationsverfahren
• Stützwerte in der Regeln physikalische Größen:
Signale
• Prädiktion: Beschreibung des Signalverlaufes
aus einigen Signalen
• Statistische Verfahren: Losgelöst von
geometrischen Vorstellungen (rein stochastisch)
• Kovarianzfunktion zwischen Signalen ist
entscheidend
• Weitere Annahme: Feld homogen und isotrop
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Interpolation nach kleinsten
Quadraten (1)
• Gegeben: Korrelierte Beobachtungen l an
Positionen x, Kovarianzmatrix C
• Gesucht: Lokaler Wert lp and Position xp
• Annahme: Wert über Linearkombination
bestimmbar, also lp=aTl
• Koeffizienten a noch zu bestimmen
• Einführung eines fiktiven Messwertes gibt
 z
d  z  l p  b l  1  a  
l
T

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T

Interpolation nach kleinsten
Quadraten (2)
• Für fiktiven Wert Varianz Cpp und
Kovarianz clp führt zu
 C pp cTlp 

C 
c

C
 lp

• Fehlerfortpflanzungsgesetz liefert
2
2 T
2
T
T
 d   0 b Cb   0 C pp  2a clp  a Ca


• Nach Moritz: Koeffizienten so bestimmen,
dass Varianz von d ein Minimum wird, also
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 d2
0
a
Interpolation nach kleinsten
Quadraten (3)
•
•
•
•
Somit   2clp  2Ca   0
Normalgleichungen Ca  c lp  0
1
Auflösung: a  C clp
T
1
Zu interpolierender Wert: l p  clpC l
2
0
Kovarianzmatrix
der Messwerte
Vektor
der gegebenen
Kovarianzvektor
zwischen zuMesswerte
prädizierendem Wert und den Messwerten
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Interpolation nach kleinsten
Quadraten (4)
• Elemente der Kovarianzmatrizen mit Hilfe
eine Kovarianzfunktion C(s) bestimmt
• C(s) basiert meist auf Abstand der Punkte,
nicht auf Lage oder Richtung (homogen,
isotrop)
• Gleichzeitige Prädiktion mehrerer Werte
führt zu l  CT C1l
p
lp
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Interpolation nach kleinsten
Quadraten (5)
• Prädiktionsvarianz erhält man aus
1
s  c C clp
T
1
 pp  ClpC Clp
• Geodätische Anwendungen
2
p
T
lp
– Interpolation von Schwereanomalien
– Interpolation/Transformation in Photogrammetrie und Landesvermessung
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Kovarianzfunktionen (1)
• Notwendig für Prädiktion nach kleinsten
Quadraten
• Beschreiben die Struktur des Feldes
• Können aus umfangreichem Datenmaterial ermittelt werden (Varianz aller
Daten, Kovarianzen bis zu bestimmtem
Abstand, dann Funktion durchlegen)
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Kovarianzfunktionen (2)
Im allgemeinen sind folgende Eigenschaften
gegeben:
• Maximum im Nullpunkt
• Zunehmender Abstand  abnehmender
Wert
• Geht gegen 0 für s  ∞
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Kovarianzfunktionen (3)
• Manchmal auch mathematische Funktion
direkt angegeben (wenn darauf
geschlossen werden kann)
• Häufig verwendet
– Gauß‘sche Glockenkurve
– Modell von Hirvonen
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Cs   C0 e
C s  
k 2s 2
C 0
1  A s 
2 2 p