Ausgleichungsrechnung I

Ausgleichungsrechnung
•
•
•
•
Einleitung
Stochastisches Modell a priori
Ausgleichungsverfahren
Stochastisches Modell a posteriori
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Ziele
• Kontrolle: Aufdecken von (groben)
Fehlern
• Plausibilität: Wahrscheinlichste
Schätzwerte für die wahren Werte der
Unbekannten bzw. Messwerte
• Qualität: Angabe von
Standardabweichungen für die
Unbekannten und Messwerte
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Verteilung zufälliger
Messabweichungen (1)
• Lambert: Theorie der Zuverlässigkeit der
Beobachtungen und Versuche
– zufällige Abweichungen gleicher Größe nach beiden
Seiten möglich
– geringe Abweichungen häufiger als große
– Kurve mit Wahrscheinlichkeit der Abweichungen ist
•
•
•
•
symmetrisch
Abweichung Null hat höchste Wahrscheinlichkeit
Wendepunkt auf beiden Seiten
beidseitig asymptotische Annäherung an Null
• Weitere Untersuchung durch Gauß 
Normalverteilung
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Verteilung zufälliger
Messabweichungen (2)
n
• Bedingung:  pi vi2  min
i 1
mit
pi 
1
 i2
• oder in Matrizenschreibweise
v Pv  min
T
• Gewichte pi umgekehrt proportional zu
den Varianzen
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Stochastisches Modell a priori
Die Gewichtsmatrix
• Beschreibung der stochastischen
Zusammenhänge in einem Zufallsvektor:
Kovarianzmatrix
• Für einen Beobachtungsvektor:
– Hauptdiagonale: Varianz der Beobachtung
– Außerhalb der Hauptdiagonale: Kovarianz
oder Null wenn stochastisch unabhängig
• Bezeichnet mit SLL
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Festlegung von Gewichten (1)
• Gewichtung der Verbesserungen
umgekehrt proportional zu den Varianzen
• Oft nur relative Genauigkeiten vorhanden
• Wir wählen Bezugsvarianz:
2
Varianz der Gewichtseinheit a priori  0
oder Varianzfaktor
1
• Kofaktormatrix Q LL  2 Σ LL
0
Ausgleichungsrechnung II
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Festlegung von Gewichten (2)
• Elemente der Kofaktormatrix: Kofaktoren
oder Gewichtsreziproke
• Gewichtung ist umgekehrt proportional
zu den Varianzen bzw. Kofaktoren, also
Inversion der Matrix P  Q LL1
• Festlegung geschieht vor der Messung 
a priori Varianzen
Varianz der Gewichtseinheit a priori
stochastisches Modell a priori
Ausgleichungsrechnung II
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Funktionales Modell (1)
• n Beobachtungen L um u Unbekannte X
(Parametervektor) zu bestimmen
• Realisierungen L1, … Ln sind Näherungen
~
des wahren Wertes L
• Wir geben Schätzwert für den wahren
ˆ Lv
Wert an: L
Ausgeglichene Beobachtungen
• Auch Parametervektor hat wahren Wert
Ausgleichungsrechnung II
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Funktionales Modell (2)
• Oft Parameter näherungsweise bekannt:
Genäherter Parametervektor X0
• Differenz ausgeglichener – genäherter
Parametervektor: gekürzter Parametervektor x
• Funktionaler Zusammenhang: r
Funktionen j1, … jr mit den Parametern L
und X
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Beziehungen
ˆ  X0  x
X
~ ~
j L, X  o
ˆ o
j Lˆ , X




(ursprüngliches) funktionales Modell
j L, X0   w
j L 0 , X0   o
Widerspruchsvektor
L  L 0  l bzw. l  L  L 0
genäherter Beobachtungsvektor
gekürzter Beobachtungsvektor
‚gemessen minus gerechnet‘
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Linearisiertes funktionales Modell
• Funktionen j1, … jr von beliebigem Typ
• Annahme: x und v klein gegenüber X0 und
L
• Linearisierung über Taylor-Entwicklung
ˆ   j L, X0  
j Lˆ , X





j ˆ
j ˆ
X1  X 01   
X u  X 0u
Xˆ 1
Xˆ u
j ˆ
j ˆ
L1  L1   
Ln  Ln
Lˆ1
Lˆn


Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil



Jacobi-Matrix
• Modellmatrix (Designmatrix) A
• Matrix B
  j1 


  Xˆ 1 


  j 2 
A    Xˆ 
 1
 

  j r 
  Xˆ 
 1 
 j1 


ˆ

X
 2
 j 2 


ˆ

X
 2

 j r 


ˆ

X
 2
 j  
  1  
ˆ
 X u  
 j 2  

 

ˆ
 X u  

 
 j r  
 
 

ˆ
 X u  
  j1 


  Lˆ1 


  j 2 
B    Lˆ 
 1
 

  j r 
  Lˆ 
 1 
 j  
 j1 

   1  
ˆ
 Lˆ2 
 Ln  
 j 2  
 j 2 


  

ˆ
ˆ
 L2 
 Ln  


 
 j r  
 j r 
 

  

ˆ
ˆ

L

L
 2
 n 
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Funktionales Modell
Ax  Bv  w  0
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Allgemeine Auflösung (1)
• Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen
Lösung mit Lagrange‘schen Vektoren
F ( v, x)  vT Pv  2k T Ax  Bv  w 
• Partielle Ableitungen bilden und gleich Null
setzen
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Allgemeine Auflösung (2)
Ableitung nach v:
dF  dv T Pv  vT Pdv  2k T Bdv
 dv  Pv
T
 v Pdv  2k Bdv
T
T
T
 v Pdv  v Pdv  2k Bdv
T
T
 2 v Pdv  2k Bdv
Gleich Null setzen: F  2 vT P  2k T B  oT
T
v
Pv  B k  o
T
T
T
Pv  B k
1 T
vP B k
T
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Allgemeine Auflösung (3)
Ax  Bv  w  0
v  P 1BT k
1 T
Ax  BP B k  w
Ableitung nach x analog und es ergibt sich:
F
T
T
 2k A  o
x
A k o
T
Ausgleichungsrechnung II
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Allgemeine Auflösung (4)
• Gemeinsames Gleichungssystem:
 BP1BT

 AT

A  k    w 
   


0  x   o 
• Auflösung durch Inversion:
1 T
 k   BP B
   
T
x
A
  
A 
0 
1
 w


 o 
Allgemeinfall der Ausgleichungsrechnung
Ausgleichung bedingter Beobachtungen mit Unbekannten
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Hauptprobe
• Annahme war, dass x und v klein gegenüber X0 und L sind
• Annahme muss überprüft werden!
• Einsetzen in ursprüngliches (nicht
linearisiertes) Gleichungssystem
• Wenn nicht genügend genau erfüllt?
Iteration
– Näherungswerte nicht gut genug
Neu aufstellen
– Funktionales Modell fehlerhaft
Geprüfte Programme verwenden
– Rechenfehler
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Fehler im funktionalen Modell
• Hauptprobe zeigt Fehler im funktionalen
Modell an
• Kandidat für Fehler ist die Funktion, bei
der die Hauptprobe nicht aufgeht
• z.B. 3. Gleichung geht nicht auf –
möglicherweise 3. Zeile der A-Matrix oder
3. Element des w-Vektors fehlerhaft
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Iterative Ausgleichung
• Ergebnis der Ausgleichung als Näherung
für eine neuerliche Ausgleichung
verwendet
• L, SLL und B bleiben erhalten
• A und w werden neu berechnet (hier
kommen die Näherungswerte der
Unbekannten vor)
• Iteration so lange, bis Hauptprobe aufgeht
• Iteration muss nicht konvergieren!
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Sonderfälle
1. In jeder Gleichung ji kommt jeweils nur eine
Beobachtung vor: Ausgleichung vermittelnder
Beobachtungen
2. Es treten keine unbekannten Parameter auf, die
Gleichungen ji beschreiben nur den funktionalen
Zusammenhang der Beobachtungen:
Ausgleichung bedingter Beobachtungen
3. In n Gleichungen tritt jeweils nur eine
Beobachtung auf und in den übrigen r-n
Gleichungen treten nur Unbekannte auf:
Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen
mit Bedingungsgleichungen
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Ausgleichung vermittelnder
Beobachtungen
• Pro Gleichung nur eine Beobachtung
• Gleichungen explizit nach Li auflösbar
 
 
ˆ L
ˆ  o bzw. L
ˆ j X
ˆ
jX
• n Messgrößen, r=n Gleichungen, u
Unbekannte
• Überschüssige Beobachtungen: nfv=n-u
Anzahl der Freiheitsgrade (Redundanz)
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Art des Problems
Unterscheidung über die Redundanz:
• Redundanz < 0: unterbestimmt, nicht
eindeutig lösbar
• Redundanz = 0: Problem eindeutig lösbar
• Redundanz > 0: Ausgleichungsaufgabe
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Funktionales Modell
ˆ )
 j1 ( X


ˆ
 j ( X) 
Lv 2




j (X
ˆ 
 n )
Taylorentwicklung: B= –I
Modellmatrix A wie bisher
weiters: j ( X0 )  L  w L0  L  w
j ( X0 )  L0
Ax  Iv  l  o
bzw.
w  l
v  Ax  l
Verbesserungsgleichung
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Gewichtsmatrix
• Anwendung des Varianzfortpflanzungsgesetzes auf L  L 0  l gibt für die
Kovarianzmatrix des gekürzten
Beobachtungsvektors: Sll  S LL
• Die Kofaktormatrix ergibt sich somit zu
Qll  Q LL
• Somit erhalten wir dieselbe Gewichtsmatrix P wie bisher.
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Lösung
• Das Gleichungssystem vereinfacht sich zu
1
k   P
    T
 x  A
1
A 
0 
x

l
 
o

1
• Die Auflösung ergibt
A PA AT Pl
T
N

A
PA
• Normalgleichungsmatrix
Normalgleichung
 x  N 1AT Pl
1 T
v

AN
A PI l
• Verbesserungen:
• Ausgeglichene Beobachtungen: Lˆ  L0  v

Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
T

Hauptprobe
• Erfüllen die ausgeglichenen Beobachtungen
und ausgeglichenen Parameter das
ursprüngliche funktionale Modell?
• Einsetzen in
 
ˆ
Lˆ  j X
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Sonderfall: Lineare
Verbesserungsgleichungen
•
•
•
•
z.B. Koordinatendifferenzen (Nivellement)
Verbesserungsgleichungen sind linear
Keine Linearisierung notwendig
Keine Näherungswerte für die Parameter
notwendig (oft trotzdem aus numerischen
Gründen verwendet – kleine Werte in x
und l)
• Hauptprobe: Nur aufgestelltes Modell und
Rechnung können falsch sein
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Sonderfall: Ausgleichung direkter
Beobachtungen
• z.B. Ausgleichung direkt und mehrfach gemes1
sener Größen (Strecke)
 
• A-Matrix ist ein 1-Vektor 1
• Auflösung:
aT Pl   
x T
1
a Pa  
• Gewichtsmatrix Einheitsmatrix: einfaches
arithmetisches Mittel
• Gewichtsmatrix Diagonalmatrix: gewogenes
arithmetisches Mittel
• Sonst: allgemeines arithmetisches Mittel
Ausgleichungsrechnung II
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Ausgleichung bedingter
Beobachtungen
• Keine unbekannten Parameter
• n Beobachtungen sollen so verbessert
werden, dass sie r Bedingungen (sind
aufzustellen) erfüllen
• r = n – n0 mit n0 = Anzahl der notwendigen
Beobachtungen für eine eindeutige Lösung
• nfb=r Anzahl der Freiheitsgrade
(Redundanz)
ˆ  o

j
L
• Das Problem vereinfacht sich zu
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Funktionales Modell
• Widerspruchsvektor: j L   w
• Ableitungen nach X alle Null, somit AMatrix eine Nullmatrix, also Bv  w  o
1 T 1
• Korrelaten: k   BP B
w
1 T
1 T 1
• Verbesserungen: v  P B BP B
w
• Normalgleichungsmatrix der bedingten
1 T
Ausgleichung: N B  BP B

Ausgleichungsrechnung II
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


Hauptprobe
• Erfüllen die ausgeglichenen Beobachtungen
das ursprüngliche funktionale Modell?
• Einsetzen in

j Lˆ  o
Ausgleichungsrechnung II
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Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen
• Pro Gleichung nur eine Beobachtung
• Zusätzlich Bedingungen zwischen den
Unbekannten
• n Beobachtungen, u Unbekannte, r
Bedingungen
• nfvb = n – u + nb Anzahl der Freiheitsgrade
(Redundanz)
Ausgleichungsrechnung II
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Lösungsansätze
• Elimination von Unbekannten: r Unbekannte werden mit Hilfe der Bedingungen
eliminiert
• Strenge Lösung: Extremwertaufgabe mit
Nebenbedingungen
• Fiktive Beobachtungen: Bedingungen
werden als (fiktive) Beobachtungen mit
großem Gewicht eingeführt
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Wann Ausgleichungsproblem?
• nfvb = n – u + nb
• Ausgleichungsproblem, wenn nfvb > 0
• Somit: n + nb > u
Die Summe aus Beobachtungen und
Bedingungen muss größer als die
Anzahl der Unbekannten sein
Ausgleichungsrechnung II
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Funktionales Modell
• Funktionales Modell der vermittelnden
ˆ j X
ˆ
Ausgleichung L
ˆ o
• und die Bedingungen j b X
• Getrennte Betrachtung der beiden Teile:
• Beobachtungen v  A1x  l
A 2x  w  o
• Bedingungen
• Keine Bedingungen zwischen den
Beobachtungen  B ist eine Nullmatrix
 
 
Ausgleichungsrechnung II
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Lösung (1)
• Methode von Langrange:
  vT Pv  2k T A 2 x  w 
• Differenziert und gleich Null gesetzt:
2vT Pdv  2k T A 2 dx  2dk T A 2 x  w   0
• Einsetzen von dv  A1dx gibt
v PA 1  k A 2  o
A2 x  w  o
T
T
Ausgleichungsrechnung II
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Lösung (2)
• 1. Gleichung:
v  A1x  l
vT PA 1  k T A 2  o
A1T Pv  AT2 k  o
A1T PA 1x  AT2 k  A1T Pl  o
• Kombiniert mit 2. Gleichung:
 A1T PA

 A
2

AT2  x   A1T Pl 
   

0   k    w 
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Hauptprobe
• Erfüllen die ausgeglichenen Beobachtungen
und ausgeglichenen Parameter das
ursprüngliche funktionale Modell?
• Erfüllen die ausgeglichenen Parameter die
Bedingungen?
ˆ
ˆ
L

j
X
• Einsetzen in
ˆ o
j X
 
b 
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Ausgleichung bedingter Beobachtungen mit Unbekannten
• Entspricht dem Allgemeinfall der Ausgleichungsrechnung
• n Beobachtungen, n0 Beobachtungen zur
eindeutigen Lösung notwendig, u
Unbekannte
• Anzahl der aufzustellenden Bedingungen:
r = (n – n0) + u = nfa + u
• Lösung: siehe Allgemeinfall
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Stochastisches Modell a posteriori
• a posteriori: nach der Ausgleichung
• Beim stochastischen Modell a priori
Ausgangspunkt Kovarianzmatrix, aber
schließlich verwendet die Kofaktormatrix
• Kovarianzfortpflanzungsgesetz angewendet auf Gleichungssystem f=Fx gibt
T T
QΣff ffFQFΣ
xxFxxF
1
1
 02
 02
Kofaktorfortpflanzungsgesetz
Ausgleichungsrechnung II
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Kofaktoren a posteriori bei der
vermittelnden Ausgleichung (1)
ˆ  L 0  ˆl
• gekürzter Beobachtungsvektor: L
• Ausgeglichene Beobachtungen aus


ˆ  L0  I  AN 1AT P  I l  L0  AN 1AT Pl
L
• Somit gilt: ˆl  AN 1AT Pl
• Nun können wir l, x, ll̂ und v als Funktion
von l ausdrücken.
Ausgleichungsrechnung II
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Kofaktoren a posteriori bei der
vermittelnden Ausgleichung (2)
I
l


 


1 T
 x
 N A P 
f     Fl  
l
1 T

ˆl
AN A P
 


1 T
 v
 AN A P  I 
Das Kofaktorfortpflanzungsgesetz liefert:
Q ff
1
1
1 T

P
AN
AN
A


N 1AT
N 1
N 1AT

1 T
1
1 T
AN
A
AN
AN
A

 AN 1AT  P 1
0
0

AN 1AT  P 1 

0

0

P 1  AN 1AT 
Gesuchte Kofaktoren in der Hauptdiagonale
Ausgleichungsrechnung II
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Kofaktoren a posteriori bei der
vermittelnden Ausgleichung (3)
Qll  P 1
Q xx  N 1
Qlˆlˆ  AN 1AT
Qvv  P 1  AN 1AT  Qll  Qlˆlˆ
Und weiters:
Q LL  Qll
Q XˆXˆ  Q xx
Q Lˆ Lˆ  Qlˆlˆ
Grund: Unterscheiden
sich nur durch konstante
Faktoren
Ausgleichungsrechnung II
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Probe
• Gewichtsreziprokenprobe nach
Ansermet


tr P  Qlˆlˆ  u
• Die Summe der Hauptdiagonalglieder der
Produktmatrix P  Qlˆlˆ muss gleich der
Anzahl der Unbekannten sein
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Kofaktoren a posteriori bei der
bedingten Ausgleichung
I


L


 
B
w


 
L
f  k   FL  
 N B1B


 
T 1
 Q LL B N B B 
v
 I  Q BT N 1B 
 Lˆ 
 

LL
B 
Das Kovarianzfortpflanzungsgesetz liefert:
Q ff

Q LL


BQ
   N B1BQ LL

  Qvv

 Q LL  Q vv
Q LL BT
NB
I
 Q LL BT
0
 Q LL BT N B1
Qvv
I
BQ LL
N B1
N B1BQ LL
Q LL BT N B1 Q LL BT N B1BQ LL
0
0
Q LL  Q vv 

0

0


0

Q LL  Q vv 
Gesuchte Kofaktoren in der Hauptdiagonale
Ausgleichungsrechnung II
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Kofaktoren a posteriori bei der
vermittelnde Ausgleichung mit Bed.
• Interessante Kofaktormatrizen direkt aus
der invertierten Normalgleichungsmatrix:
1
T
T
 A1 PA1 A 2 
 Q xx Q xk 

  


 A

Q
Q
0 
kk 
 kx

2
• Und weiters: Q  Q
XˆXˆ
Q Lˆ Lˆ 
xx
T
A1Q xx A1
Ausgleichungsrechnung II
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Kofaktoren a posteriori bei der bed.
Ausgleichung mit Unbekannten
• Interessante Kofaktormatrizen direkt aus
der invertierten Normalgleichungsmatrix:
1 T
 BP B

 A

• Und weiters:
A 
0 
1
 Q kk
 
 Q xk
Q kx 

 Q xx 
Q XˆXˆ  Q xx
Q ww  BP1BT
Qvv  P 1BT Q kkBP1
Q Lˆ Lˆ  Q LL  Qvv
Ausgleichungsrechnung II
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Varianz der Gewichtseinheit a
posteriori (1)
• Im stochastischen Modell 02 herausgehoben und die Kofaktormatrix Q erhalten
• Somit Übergang auf relative Genauigkeitsangaben (ausreichend für Gewichtung)
• Ausgleichung liefert Kofaktormatrizen
für ausgeglichene Parameter etc.
• Gesucht: Kovarianzmatrizen
• Multiplikation mit Varianz der Gewichtseinheit a posteriori
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Varianz der Gewichtseinheit a
posteriori (2)
• Parameter aus den empirischen
Beobachtungen bestimmt  auch Varianz
der Gewichtseinheit a posteriori empirisch
bestimmt
• Definition der Varianz: Quadratsumme der
Verbesserungen durch Anzahl der
Freiheitsgrade 2 vT Pv
s0 
nf
Ausgleichungsrechnung II
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Varianzen, Kovarianzen und
Standardabweichungen
• Aus Kofaktormatrizen durch
Multiplikation mit der Varianz der
Gewichtseinheit a posteriori
• z.B. C XˆXˆ  s02Q XˆXˆ
C Lˆ Lˆ  s02Q Lˆ Lˆ
Cvv  s02Qvv
• Varianz einer Funktion
C ff  FC XˆXˆ FT  s02  FQ XˆXˆ FT
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Zusammenfassung
• Lösung überbestimmter Probleme durch
Einführen einer Bedingung: vTvmin
• Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung
• Sonderfälle bedingte/vermittelnde
Ausgleichung
– vermittelnd: einfach zu automatisieren, oft
aufwändige Rechnung
– bedingt: schwer aufzustellen, einfach zu
rechnen
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil