Ausgleichungsrechnung I
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Ausgleichungsrechnung • • • • Einleitung Stochastisches Modell a priori Ausgleichungsverfahren Stochastisches Modell a posteriori Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Ziele • Kontrolle: Aufdecken von (groben) Fehlern • Plausibilität: Wahrscheinlichste Schätzwerte für die wahren Werte der Unbekannten bzw. Messwerte • Qualität: Angabe von Standardabweichungen für die Unbekannten und Messwerte Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Verteilung zufälliger Messabweichungen (1) • Lambert: Theorie der Zuverlässigkeit der Beobachtungen und Versuche – zufällige Abweichungen gleicher Größe nach beiden Seiten möglich – geringe Abweichungen häufiger als große – Kurve mit Wahrscheinlichkeit der Abweichungen ist • • • • symmetrisch Abweichung Null hat höchste Wahrscheinlichkeit Wendepunkt auf beiden Seiten beidseitig asymptotische Annäherung an Null • Weitere Untersuchung durch Gauß Normalverteilung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Verteilung zufälliger Messabweichungen (2) n • Bedingung: pi vi2 min i 1 mit pi 1 i2 • oder in Matrizenschreibweise v Pv min T • Gewichte pi umgekehrt proportional zu den Varianzen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Stochastisches Modell a priori Die Gewichtsmatrix • Beschreibung der stochastischen Zusammenhänge in einem Zufallsvektor: Kovarianzmatrix • Für einen Beobachtungsvektor: – Hauptdiagonale: Varianz der Beobachtung – Außerhalb der Hauptdiagonale: Kovarianz oder Null wenn stochastisch unabhängig • Bezeichnet mit SLL Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Festlegung von Gewichten (1) • Gewichtung der Verbesserungen umgekehrt proportional zu den Varianzen • Oft nur relative Genauigkeiten vorhanden • Wir wählen Bezugsvarianz: 2 Varianz der Gewichtseinheit a priori 0 oder Varianzfaktor 1 • Kofaktormatrix Q LL 2 Σ LL 0 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Festlegung von Gewichten (2) • Elemente der Kofaktormatrix: Kofaktoren oder Gewichtsreziproke • Gewichtung ist umgekehrt proportional zu den Varianzen bzw. Kofaktoren, also Inversion der Matrix P Q LL1 • Festlegung geschieht vor der Messung a priori Varianzen Varianz der Gewichtseinheit a priori stochastisches Modell a priori Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Funktionales Modell (1) • n Beobachtungen L um u Unbekannte X (Parametervektor) zu bestimmen • Realisierungen L1, … Ln sind Näherungen ~ des wahren Wertes L • Wir geben Schätzwert für den wahren ˆ Lv Wert an: L Ausgeglichene Beobachtungen • Auch Parametervektor hat wahren Wert Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Funktionales Modell (2) • Oft Parameter näherungsweise bekannt: Genäherter Parametervektor X0 • Differenz ausgeglichener – genäherter Parametervektor: gekürzter Parametervektor x • Funktionaler Zusammenhang: r Funktionen j1, … jr mit den Parametern L und X Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Beziehungen ˆ X0 x X ~ ~ j L, X o ˆ o j Lˆ , X (ursprüngliches) funktionales Modell j L, X0 w j L 0 , X0 o Widerspruchsvektor L L 0 l bzw. l L L 0 genäherter Beobachtungsvektor gekürzter Beobachtungsvektor ‚gemessen minus gerechnet‘ Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Linearisiertes funktionales Modell • Funktionen j1, … jr von beliebigem Typ • Annahme: x und v klein gegenüber X0 und L • Linearisierung über Taylor-Entwicklung ˆ j L, X0 j Lˆ , X j ˆ j ˆ X1 X 01 X u X 0u Xˆ 1 Xˆ u j ˆ j ˆ L1 L1 Ln Ln Lˆ1 Lˆn Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Jacobi-Matrix • Modellmatrix (Designmatrix) A • Matrix B j1 Xˆ 1 j 2 A Xˆ 1 j r Xˆ 1 j1 ˆ X 2 j 2 ˆ X 2 j r ˆ X 2 j 1 ˆ X u j 2 ˆ X u j r ˆ X u j1 Lˆ1 j 2 B Lˆ 1 j r Lˆ 1 j j1 1 ˆ Lˆ2 Ln j 2 j 2 ˆ ˆ L2 Ln j r j r ˆ ˆ L L 2 n Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Funktionales Modell Ax Bv w 0 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Allgemeine Auflösung (1) • Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen Lösung mit Lagrange‘schen Vektoren F ( v, x) vT Pv 2k T Ax Bv w • Partielle Ableitungen bilden und gleich Null setzen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Allgemeine Auflösung (2) Ableitung nach v: dF dv T Pv vT Pdv 2k T Bdv dv Pv T v Pdv 2k Bdv T T T v Pdv v Pdv 2k Bdv T T 2 v Pdv 2k Bdv Gleich Null setzen: F 2 vT P 2k T B oT T v Pv B k o T T T Pv B k 1 T vP B k T Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Allgemeine Auflösung (3) Ax Bv w 0 v P 1BT k 1 T Ax BP B k w Ableitung nach x analog und es ergibt sich: F T T 2k A o x A k o T Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Allgemeine Auflösung (4) • Gemeinsames Gleichungssystem: BP1BT AT A k w 0 x o • Auflösung durch Inversion: 1 T k BP B T x A A 0 1 w o Allgemeinfall der Ausgleichungsrechnung Ausgleichung bedingter Beobachtungen mit Unbekannten Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Hauptprobe • Annahme war, dass x und v klein gegenüber X0 und L sind • Annahme muss überprüft werden! • Einsetzen in ursprüngliches (nicht linearisiertes) Gleichungssystem • Wenn nicht genügend genau erfüllt? Iteration – Näherungswerte nicht gut genug Neu aufstellen – Funktionales Modell fehlerhaft Geprüfte Programme verwenden – Rechenfehler Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Fehler im funktionalen Modell • Hauptprobe zeigt Fehler im funktionalen Modell an • Kandidat für Fehler ist die Funktion, bei der die Hauptprobe nicht aufgeht • z.B. 3. Gleichung geht nicht auf – möglicherweise 3. Zeile der A-Matrix oder 3. Element des w-Vektors fehlerhaft Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Iterative Ausgleichung • Ergebnis der Ausgleichung als Näherung für eine neuerliche Ausgleichung verwendet • L, SLL und B bleiben erhalten • A und w werden neu berechnet (hier kommen die Näherungswerte der Unbekannten vor) • Iteration so lange, bis Hauptprobe aufgeht • Iteration muss nicht konvergieren! Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Sonderfälle 1. In jeder Gleichung ji kommt jeweils nur eine Beobachtung vor: Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen 2. Es treten keine unbekannten Parameter auf, die Gleichungen ji beschreiben nur den funktionalen Zusammenhang der Beobachtungen: Ausgleichung bedingter Beobachtungen 3. In n Gleichungen tritt jeweils nur eine Beobachtung auf und in den übrigen r-n Gleichungen treten nur Unbekannte auf: Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen • Pro Gleichung nur eine Beobachtung • Gleichungen explizit nach Li auflösbar ˆ L ˆ o bzw. L ˆ j X ˆ jX • n Messgrößen, r=n Gleichungen, u Unbekannte • Überschüssige Beobachtungen: nfv=n-u Anzahl der Freiheitsgrade (Redundanz) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Art des Problems Unterscheidung über die Redundanz: • Redundanz < 0: unterbestimmt, nicht eindeutig lösbar • Redundanz = 0: Problem eindeutig lösbar • Redundanz > 0: Ausgleichungsaufgabe Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Funktionales Modell ˆ ) j1 ( X ˆ j ( X) Lv 2 j (X ˆ n ) Taylorentwicklung: B= –I Modellmatrix A wie bisher weiters: j ( X0 ) L w L0 L w j ( X0 ) L0 Ax Iv l o bzw. w l v Ax l Verbesserungsgleichung Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Gewichtsmatrix • Anwendung des Varianzfortpflanzungsgesetzes auf L L 0 l gibt für die Kovarianzmatrix des gekürzten Beobachtungsvektors: Sll S LL • Die Kofaktormatrix ergibt sich somit zu Qll Q LL • Somit erhalten wir dieselbe Gewichtsmatrix P wie bisher. Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Lösung • Das Gleichungssystem vereinfacht sich zu 1 k P T x A 1 A 0 x l o 1 • Die Auflösung ergibt A PA AT Pl T N A PA • Normalgleichungsmatrix Normalgleichung x N 1AT Pl 1 T v AN A PI l • Verbesserungen: • Ausgeglichene Beobachtungen: Lˆ L0 v Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil T Hauptprobe • Erfüllen die ausgeglichenen Beobachtungen und ausgeglichenen Parameter das ursprüngliche funktionale Modell? • Einsetzen in ˆ Lˆ j X Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Sonderfall: Lineare Verbesserungsgleichungen • • • • z.B. Koordinatendifferenzen (Nivellement) Verbesserungsgleichungen sind linear Keine Linearisierung notwendig Keine Näherungswerte für die Parameter notwendig (oft trotzdem aus numerischen Gründen verwendet – kleine Werte in x und l) • Hauptprobe: Nur aufgestelltes Modell und Rechnung können falsch sein Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Sonderfall: Ausgleichung direkter Beobachtungen • z.B. Ausgleichung direkt und mehrfach gemes1 sener Größen (Strecke) • A-Matrix ist ein 1-Vektor 1 • Auflösung: aT Pl x T 1 a Pa • Gewichtsmatrix Einheitsmatrix: einfaches arithmetisches Mittel • Gewichtsmatrix Diagonalmatrix: gewogenes arithmetisches Mittel • Sonst: allgemeines arithmetisches Mittel Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Ausgleichung bedingter Beobachtungen • Keine unbekannten Parameter • n Beobachtungen sollen so verbessert werden, dass sie r Bedingungen (sind aufzustellen) erfüllen • r = n – n0 mit n0 = Anzahl der notwendigen Beobachtungen für eine eindeutige Lösung • nfb=r Anzahl der Freiheitsgrade (Redundanz) ˆ o j L • Das Problem vereinfacht sich zu Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Funktionales Modell • Widerspruchsvektor: j L w • Ableitungen nach X alle Null, somit AMatrix eine Nullmatrix, also Bv w o 1 T 1 • Korrelaten: k BP B w 1 T 1 T 1 • Verbesserungen: v P B BP B w • Normalgleichungsmatrix der bedingten 1 T Ausgleichung: N B BP B Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Hauptprobe • Erfüllen die ausgeglichenen Beobachtungen das ursprüngliche funktionale Modell? • Einsetzen in j Lˆ o Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen • Pro Gleichung nur eine Beobachtung • Zusätzlich Bedingungen zwischen den Unbekannten • n Beobachtungen, u Unbekannte, r Bedingungen • nfvb = n – u + nb Anzahl der Freiheitsgrade (Redundanz) Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Lösungsansätze • Elimination von Unbekannten: r Unbekannte werden mit Hilfe der Bedingungen eliminiert • Strenge Lösung: Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen • Fiktive Beobachtungen: Bedingungen werden als (fiktive) Beobachtungen mit großem Gewicht eingeführt Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Wann Ausgleichungsproblem? • nfvb = n – u + nb • Ausgleichungsproblem, wenn nfvb > 0 • Somit: n + nb > u Die Summe aus Beobachtungen und Bedingungen muss größer als die Anzahl der Unbekannten sein Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Funktionales Modell • Funktionales Modell der vermittelnden ˆ j X ˆ Ausgleichung L ˆ o • und die Bedingungen j b X • Getrennte Betrachtung der beiden Teile: • Beobachtungen v A1x l A 2x w o • Bedingungen • Keine Bedingungen zwischen den Beobachtungen B ist eine Nullmatrix Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Lösung (1) • Methode von Langrange: vT Pv 2k T A 2 x w • Differenziert und gleich Null gesetzt: 2vT Pdv 2k T A 2 dx 2dk T A 2 x w 0 • Einsetzen von dv A1dx gibt v PA 1 k A 2 o A2 x w o T T Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Lösung (2) • 1. Gleichung: v A1x l vT PA 1 k T A 2 o A1T Pv AT2 k o A1T PA 1x AT2 k A1T Pl o • Kombiniert mit 2. Gleichung: A1T PA A 2 AT2 x A1T Pl 0 k w Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Hauptprobe • Erfüllen die ausgeglichenen Beobachtungen und ausgeglichenen Parameter das ursprüngliche funktionale Modell? • Erfüllen die ausgeglichenen Parameter die Bedingungen? ˆ ˆ L j X • Einsetzen in ˆ o j X b Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Ausgleichung bedingter Beobachtungen mit Unbekannten • Entspricht dem Allgemeinfall der Ausgleichungsrechnung • n Beobachtungen, n0 Beobachtungen zur eindeutigen Lösung notwendig, u Unbekannte • Anzahl der aufzustellenden Bedingungen: r = (n – n0) + u = nfa + u • Lösung: siehe Allgemeinfall Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Stochastisches Modell a posteriori • a posteriori: nach der Ausgleichung • Beim stochastischen Modell a priori Ausgangspunkt Kovarianzmatrix, aber schließlich verwendet die Kofaktormatrix • Kovarianzfortpflanzungsgesetz angewendet auf Gleichungssystem f=Fx gibt T T QΣff ffFQFΣ xxFxxF 1 1 02 02 Kofaktorfortpflanzungsgesetz Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnden Ausgleichung (1) ˆ L 0 ˆl • gekürzter Beobachtungsvektor: L • Ausgeglichene Beobachtungen aus ˆ L0 I AN 1AT P I l L0 AN 1AT Pl L • Somit gilt: ˆl AN 1AT Pl • Nun können wir l, x, ll̂ und v als Funktion von l ausdrücken. Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnden Ausgleichung (2) I l 1 T x N A P f Fl l 1 T ˆl AN A P 1 T v AN A P I Das Kofaktorfortpflanzungsgesetz liefert: Q ff 1 1 1 T P AN AN A N 1AT N 1 N 1AT 1 T 1 1 T AN A AN AN A AN 1AT P 1 0 0 AN 1AT P 1 0 0 P 1 AN 1AT Gesuchte Kofaktoren in der Hauptdiagonale Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnden Ausgleichung (3) Qll P 1 Q xx N 1 Qlˆlˆ AN 1AT Qvv P 1 AN 1AT Qll Qlˆlˆ Und weiters: Q LL Qll Q XˆXˆ Q xx Q Lˆ Lˆ Qlˆlˆ Grund: Unterscheiden sich nur durch konstante Faktoren Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Probe • Gewichtsreziprokenprobe nach Ansermet tr P Qlˆlˆ u • Die Summe der Hauptdiagonalglieder der Produktmatrix P Qlˆlˆ muss gleich der Anzahl der Unbekannten sein Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Kofaktoren a posteriori bei der bedingten Ausgleichung I L B w L f k FL N B1B T 1 Q LL B N B B v I Q BT N 1B Lˆ LL B Das Kovarianzfortpflanzungsgesetz liefert: Q ff Q LL BQ N B1BQ LL Qvv Q LL Q vv Q LL BT NB I Q LL BT 0 Q LL BT N B1 Qvv I BQ LL N B1 N B1BQ LL Q LL BT N B1 Q LL BT N B1BQ LL 0 0 Q LL Q vv 0 0 0 Q LL Q vv Gesuchte Kofaktoren in der Hauptdiagonale Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnde Ausgleichung mit Bed. • Interessante Kofaktormatrizen direkt aus der invertierten Normalgleichungsmatrix: 1 T T A1 PA1 A 2 Q xx Q xk A Q Q 0 kk kx 2 • Und weiters: Q Q XˆXˆ Q Lˆ Lˆ xx T A1Q xx A1 Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Kofaktoren a posteriori bei der bed. Ausgleichung mit Unbekannten • Interessante Kofaktormatrizen direkt aus der invertierten Normalgleichungsmatrix: 1 T BP B A • Und weiters: A 0 1 Q kk Q xk Q kx Q xx Q XˆXˆ Q xx Q ww BP1BT Qvv P 1BT Q kkBP1 Q Lˆ Lˆ Q LL Qvv Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Varianz der Gewichtseinheit a posteriori (1) • Im stochastischen Modell 02 herausgehoben und die Kofaktormatrix Q erhalten • Somit Übergang auf relative Genauigkeitsangaben (ausreichend für Gewichtung) • Ausgleichung liefert Kofaktormatrizen für ausgeglichene Parameter etc. • Gesucht: Kovarianzmatrizen • Multiplikation mit Varianz der Gewichtseinheit a posteriori Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Varianz der Gewichtseinheit a posteriori (2) • Parameter aus den empirischen Beobachtungen bestimmt auch Varianz der Gewichtseinheit a posteriori empirisch bestimmt • Definition der Varianz: Quadratsumme der Verbesserungen durch Anzahl der Freiheitsgrade 2 vT Pv s0 nf Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Varianzen, Kovarianzen und Standardabweichungen • Aus Kofaktormatrizen durch Multiplikation mit der Varianz der Gewichtseinheit a posteriori • z.B. C XˆXˆ s02Q XˆXˆ C Lˆ Lˆ s02Q Lˆ Lˆ Cvv s02Qvv • Varianz einer Funktion C ff FC XˆXˆ FT s02 FQ XˆXˆ FT Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil Zusammenfassung • Lösung überbestimmter Probleme durch Einführen einer Bedingung: vTvmin • Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung • Sonderfälle bedingte/vermittelnde Ausgleichung – vermittelnd: einfach zu automatisieren, oft aufwändige Rechnung – bedingt: schwer aufzustellen, einfach zu rechnen Ausgleichungsrechnung II Gerhard Navratil
