Ausgleichungsrechnung I

Zufallsprozesse
• Einleitung
• Stochastische Prozesse
• Empirische Schätzung stochastischer
Prozesse
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Einleitung
• Bisher: zeitliche Komponente irrelevant
• Untersuchung dynamischer Systeme
benötigt Auswertemodelle, die den Faktor
Zeit berücksichtigen
• Ausgangspunkt: Messwerte in enger
zeitlicher Abfolge  Zeitreihe
• Neue Denkweise: Aufeinanderfolgende
Realisierungen sind nicht voneinander
unabhängig
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Gerhard Navratil
Stochastische Prozesse (1)
• Stochastischer Prozess = Menge von
Zufallsgrößen, die durch Parameter
geordnet sind: {X(t)}
• t ist nicht zufällig, muss nicht die Zeit sein
• Wenn nach Zeit geordnet: zeitvariater
stochastischer Prozess oder stochastischer Prozess im engeren Sinne
• Stochastische Prozesse mit räumlicher
Struktur: Geostatistik
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Gerhard Navratil
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Stochastische Prozesse (2)
• Sind theoretische Größen ähnlich
Grundgesamtheit
• Können zu jedem Zeitpunkt unendlich
viele Werte annehmen
• Zu jedem Zeitpunkt kann nur eine endliche
Menge davon beobachtet werden 
• Stichprobe = Zeitreihe
• Registrierte Messungen bilden Funktion
des Parameters t – eine Realisierung
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Stochastische Prozesse (3)
• Mehrere Messwerte je Zeitpunkt:
verschiedene Realisierungen
• Gesamtheit der Zeitreihen: Menge aller
Realisierungen
• In der Praxis notwendig: Konstante
Schrittweite Dt
• Fehlende Daten: Interpolation
• Sinnvolle Aussagen: große Anzahl von
Realisierungen (>50)
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Stochastische Prozesse (4)
Modellierung meist kontinuierlich
• Vereinfacht graphische Darstellung
• Hinweis darauf, dass beobachtetes
Phänomen auch zwischen den
Beobachtungszeitpunkten einen Wert hat
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Parameter
•
•
•
•
Erwartungswert
Varianz
Kovarianz
Korrelation
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Erwartungswert
• Messwerte zum Zeitpunkt ti:
Realisierungen einer Zufallsgröße Xi
• Somit Erwartungswert definiert
• Erwartungswert des Prozesses:
 t   EX t 
• Wert an der Stelle ti:  ti   EX i 
• Definiert eine mittlere Funktion – i.A. keine
Gerade
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Varianz


•
• Für jeden Zeitpunkt gleich der Varianz von
Xi
• Diagramm mit Mittelwert und Standardabweichungen gibt das Streuungsband
 2 t   Var X t   E  X t    t 2
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Kovarianzfunktion
• Stochastischer Prozess zu den Zeitpunkten t1 und t2: Zufallsgrößen X(t1) und
X(t2)
• Lineare stochastische Abhängigkeit
 xx t1 , t2   Cov X t1 , X t2   E X t1    t1  X t2    t2 
• 2-dimensionale Autokovarianzfunktion
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Korrelationsfunktion
• Normierung der Autokovarianzfunktion
 xx t1 , t 2  
 xx t1 , t 2 
 2 t1  2 t 2 
• Korrelation der Zufallsgrößen zu verschiedenen Zeitpunkten = innere Zusammenhänge
• Aussagen über Erhaltungstendenz – schnell
abfallend: „short memory“-Effekt
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Kreuzkovarianz/Kreuzkorrelation
• Betrachtung zweier Prozesse, neuer zweidimensionaler Prozess
• Kreuzkovarianzfunktion
 xy t1 , t2   CovX t1 , Y t2   EX t1    x t1 Y t2    y t2 
• Kreuzkorrelationsfunktion  t , t  
xy
1
2
 xy t1 , t2 
 x2 t1  y2 t2 
• Informationen über Wechselbeziehungen
zweier Prozesse
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Stationäre Prozesse (1)
• Verteilungsparameter invariant gegenüber
zeitlicher Verschiebung: stationärer Prozess
• Gültig für alle Parameter: starke Stationarität
• Nur Erwartungswert und Varianz: schwache
Stationarität – Autokorrelationsfunktion nur von
Zeitdifferenz abhängig
• Beispiele: Rauschen in Elektronenröhren,
Fading, Abweichungen selbstregelnder Systeme
unter konstanten Bedingungen
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Stationäre Prozesse (2)
• Möglicher Grund für Instationarität: Trend
(unperiodische zeitliche Veränderung)
oder periodische Komponente
• Trend und Periode sind deterministische
Größen – oft aus physikalischen Modellen
bestimmt – entspricht Signal
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Prüfung auf Instationarität
• Möglichkeiten:
 t2
– Zufallskriterium von Cornu
v
mit

2s
2
1 
2(  2)
n
i
t
si
n
und
v T Pv
s 
n
2
n
n 1
2
A

v
,
B

(
v

v
)


– Kriterium von Abbe
i
i 1
i 1
i 1
2
i
frei von syst. Einflüssen bei A/B=2
• Prüfung auf systematische Einflüsse
• In der Praxis oft nur Augenschein
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Gaußsche/Ergodische Prozesse
• Gaußscher Prozess: Zufallsgrößen sind
normalverteilt – die ersten beiden Momente
reichen zur Beschreibung aus  keine
Unterscheidung zwischen starker und
schwacher Stationarität nötig
• Ergodischer Prozess wenn eine Realisierung
für die Beschreibung ausreicht:
– Erwartungswert und Varianz konstant
– Kovarianzfunktion stetig, nur von Zeitdifferenz
abhängig
– Statistische Informationen aus zeitlicher Mittelbildung
ableitbar
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Empirische Schätzung (1)
Allgemeiner stochastischer Prozess (1)
• Voraussetzung: Hinreichend große
Anzahl n unabhängiger Realisierungen
• Wahl des Anfangspunktes t0 = 0, davon
gleich lange Intervalle Dt abgetragen
• In jedem Intervall: arithm. Mittel der Werte
• Annäherung der Werte durch geeignete
Funktion  Mittelwertfunktion
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Empirische Schätzung (2)
Allgemeiner stochastischer Prozess (2)
• Kovarianzfunktion: Schätzwert über



1 n
Cxx   x j t1   x t1  x j t2   x t2 
n j 1
mit den Werten der j-ten Realisierung xj
• Durchläuft t1, t2 alle Werte: Reihe von
Schätzwerten  Annäherung durch geeignete Fläche gibt Autokovarianzfunktion
• Kreuzkovarianzfunktion analog
1
C   x t   x t y t   y t 
n
n
xy
j 1
j
1
1
j
2
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2
Empirische Schätzung (3)
Ergodischer stochastischer Prozess (1)
• Anfangspunkt t0 = 0, gleich lange Intervalle
Dt abgetragen
• Erwartungswert: arithmetisches Mittel der
Klassenmittel
1
C k  
 x  x x  x 
• Autokovarianzfunktion:
nk
• Bedingung: mind. 10 Werte pro Klasse
nk
xx
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i 1
i
ik
Empirische Schätzung (4)
Ergodischer stochastischer Prozess (2)
• Zugehöriger zeitlicher Abstand t = k Dt
• Gesamter Verlauf der Autokovarianzfunktion: geeignete Funktion durch
Stützwerte gelegt
• Kreuzkovarianzfunktion analog
1 nk
C xy k  
 xi  x yi  k  y 
n  k i 1
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Empirische Schätzung (5)
Ergodischer stochastischer Prozess (3)
• Stützwerte der Korrelationsfunktion durch
Normierung
C k 
R k  
• Autokorrelationsfunktion
C 0 
C k 


R
k

• Kreuzkorrelationsfunktion
C 0 
xx
xx
xx
xy
xy
xy
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