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Datumsproblematik
• Mathematisches Problem
• Standardverfahren
• S-Transformation
• Bemerkungen
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Datumsproblematik
Bedingung bisher immer:
Normalgleichungsmatrix ist regulär
Problem: Bei Relativbeobachtungen ist das
nicht immer der Fall
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Problem der Relativmessungen
• Strecken, Richtungen, Winkel, Höhendifferenzen definieren nur die innere
Geometrie
• 3 Winkel gemessen:
Maßstab, Ort und Orientierung unbestimmt
Lösung bisher:
Festhalten von
Koordinaten
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Was ist die Datumsfestlegung?
Eindeutiger Bezug zwischen
– der Geometrie des Netzverbundes (innerer
Geometrie) und
– dem Koordinatenrahmen
ohne die innere Geometrie zu zerstören
(Niemeier 2002, S. 230)
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Ursachen für Singularität
• Unbestimmtheit des geodätischen Datums
• Konfigurationsdefekt – das Beispiel ist
nicht lösbar, wenn die Pfeile
Streckenbeobachtungen darstellen
Konfigurationsdefekte werden hier nicht
behandelt
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Mathematisches Problem
Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen:
v=Ax-l
(n,u)-Matrix A mit n>u regulär, also rkA=u
Daher N=ATA regulär weil rkN=u
Somit eindeutige Qxx=N-1
Was passiert bei Rangdefizit?
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Beispiel
Gemessen 3 Höhenunterschiede
Alle Höhen Unbekannte
 1 1 0 
dh12=H2-H1


A   0 1 1 
dh23=H3-H2
 1 0  1
dh31=H1-H3


Summe der Zeilen gibt Nullvektor  linear
abhängig
Rangdefizit d = 1
Lösung: generalisierte Inverse
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Direkte Lösung singulärer
Gleichungssysteme
Über generalisierte Inverse möglich
Beispiel Bjerhammar‘sche Inverse
Ausgangspunkt Cy = x mit rechteckiger
Matrix mCn mit m ≤ n und r ≤ m
Lösung gegeben durch y = CT(CCT)-1x
Lösungsvektor hat minimale Länge yTy=min
Bedingte Ausgleichung: r = m
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Bjerhammar‘sche Normalinverse
(1)
Definiert als CT(CCT)-1
Angewendet auf singuläres System Nx = n
mit C = CT = N erhalten wir x = N(NN)-1n
mit xTx=min
Als Funktion von l können wir schreiben
x = N(NN)-1ATl = Dl
Für die Kofaktormatrix folgt
Q = DDT = N(NN)-1ATA(NN)-1N, also
Q = N(NN)-1N(NN)-1N
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Bjerhammar‘sche Normalinverse
(2)
Q heißt stochastische Ringinverse von N
Eigenschaften:
– Quadratisch
– Symmetrisch
– Singulär
– x=Qn
– tr Q = min
– tr Q = tr [N(NN)-1]
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Pragmatische Lösung Höhennetz
Problem: Datumsdefekt 1, Netz kann beliebig
entlang der z-Achse verschoben werden
Lösung: Festhalten eines Punktes
Frage: Welchen Punkt festhalten?
Unterschiedliche Resultate!
Weitere Lösungen: zusätzliche Bedingung
– Für die Punkthöhen
z.B. Mittlere Höhe gleich Null
– Für die Zuschläge zu den Näherungswerten
z.B. Summe der Zuschläge Null (aus xTx = min)
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Allgemeine Lösung
Singuläre Matrix um den Eigenvektor zum
Eigenwert l=0 ergänzen
n-facher Eigenwert – n Vektoren
Berechnung: Spektralzerlegung
Funktioniert auch, wenn Datumsdefekt nicht
bekannt
Nicht anwendbar bei singulärer Kofaktormatrix
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Geometrische Interpretation
• 2D-Netz: Netz kann gedreht, skaliert und
in 2 Richtungen verschoben werden – 4
Datumsparameter
• 3D-Netz: Netz kann um 3 Achsen gedreht,
skliert und in 3 Richtungen verschoben
werden – 7 Datumsparameter
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Datumsdefekte/freie Parameter
Dim.
Netztyp
max. Anzahl d.
Datumsdefekte
freie Datumsparameter
1D
Höhennetz
Schwerenetz
1
Translation z
2D
Lagenetz
4
Transl. x,y
Rotation z
Maßstab
3D
3D-Netz
7
Translation x, y, z
Rotation x, y, z
Maßstab
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Datumsbestimmende Anteile von
Beobachtungen
Elimination von Datumsparametern durch
geeignete Beobachtungen
– Maßstab – Strecke
– Rotation um z – Azimut
– Rotationen um x und y bei 3D-Netzen –
Zenitdistanzen
– Translationen – GPS
Problem: Willkürliche Festlegung!
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Datumsfreies Konzept
Relative Beobachtungen: datumsfrei
Beobachtungen mit absolutem Bezug:
datumsbestimmende Informationen
Problem: Wie weit kann der datumsbestimmende Anteil verwendet werden?
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Datumsbestimmende Anteile
Messgröße
Datumsbestimmende Information
Strecken
Maßstab des Netzes
Azimute
Orientierung um z-Achse
Mind. 2 Zenitdistanzen
Rotation um x- und y-Achse
Höhendifferenzen
Maßstab der Höhen
GPS-Koordinaten für mind. 2
Punkte
3 Translationen, 3 Rotationen,
Maßstab
GPS-Koordinatendifferenzen für
mind. 2 Punkte
3 Rotationen, Maßstab
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Zusatzparameter
Bisherige Behandlung: Verwendung des
datumsbestimmenden Anteiles für die
Datumsfestlegung
Frage: Wie kann der datumsbestimmende
Anteil eliminiert werden?
Lösung: Einführen von Zusatzparametern
Dadurch wird die ursprüngliche
Bewegungsfreiheit wiederhergestellt
Auch möglich: Nur einen Teil freigeben
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Typische Zusatzparameter
• Strecken: Maßstab als (1 + m)
s12  (1  m) ( x2  x1 )  ( y2  y1 )
2
2
• Azimut: Gemeinsame Orientierung für alle
Azimute (oder getrennt nach Geräten)
• GPS-Datensätze: 4-ParameterTransformation für den gesamten
Koordinatensatz
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
GPS-Beobachtungen
XYZ-Koordinaten geozentrisch  müssen
umgewandelt werden
– Transformation über bekannte Parameter
– Lokale Transformationsparameter über Passpunkte
Nichtlineare Verbesserungsgleichungen für 2D-Fall
mit Parametern Translationen in x und y,
Rotation und Maßstab (Niemeier 2002)
x  x  x  ( x  xs )[(1  m) cos o A  1]  ( y  ys )(1  m) sin o A
y  y  y  ( y  ys )[(1  m) cos o A  1]  ( x  xs )(1  m) sin o A
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Standardverfahren
• Zwangsfreie Lagerung
• Freie Ausgleichung
• Gezwängte Ausgleichung (auch:
hierarchische Ausgleichung)
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Zwangsfreie Lagerung (1)
Datumsdefekt d
d geeignete Koordinaten festgehalten
Entsprechende Spalten in A gestrichen 
Zeilen/Spalten in Qxx fallen weg
Keine Varianzinformation für gestrichene
Koordinaten, daher zero-variance
computational base
Nicht alle Kombinationen löst Rangdefizit
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Zwangsfreie Lagerung (2)
Datum festgelegt durch Datumspunkte
Varianz der berechneten Punkte hängt von
der Wahl der Datumspunkte ab!
 Auswahl der Datumspunkte muss
sorgfältig geschehen!
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Freie Ausgleichung
• Innere Geometrie soll durch die Lagerung
nicht beeinflusst werden
• Datumspunkte sollen an der Ausgleichung
teilnehmen 
Varianzen für Datumspunkte
Ansatz: Bedingungen für Unbekanntenzuschläge einführen
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Lagenetz (1)
Datumsdefekt 4
Bedingung xTx = min
Ableiten und Null setzen:
Translation in x
Translation in y
Rotation um z
Maßstab
 dx i  0
 dyi  0
 ( yi dxi  xi dyi )  0
 ( xi dxi  yi dyi )  0
‚Einschwimmen‘ auf Näherungskoordinaten
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Lagenetz (2)
Bedingungen zwischen Unbekannten
dargestellt als Bedingungsmatrix
 0

T  1
G 
x
 1
 y
 1
1 
0 
0
1
y1   xm
x1  y m
1

0
ym 

xm 
Parameter in Reihenfolge y, x
Widerspruch Anfangs Null
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Lagenetz (3)
Erweitertes Normalgleichungssystem
 AT PA G  x   AT Pl 

   

T
 G
 k  0 
0

  

Rechnung wie bei Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen mit Bedingungen
Auflösung liefert
1
 AT PA G 
 Q xx




Q
 GT

0
 kx


Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Q xk 

Q kk 
Lagenetz (4)
Anzahl der Freiheitsgrade: n – u + d
Varianz der Gewichtseinheit a posteriori:
T
v
Pv
2
s0 
nu  d
Das Verfahren heißt auch: Ränderung mit
Ränderungsmatrix G
G: Eigenvektoren zum d-fachen Eigenwert
l=0 von N  Spektralzerlegung
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
3D-Netz
 1

 0
 0

T
G  0

 z1
  y1

 x1
0
1
0
 z1
0
x1
y1
0
0
1
y1
 x1
0
z1







1
0
0
0
zn
 yn
xn
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
0
1
0
 zn
0
xn
yn
0 

0 
1 

yn 

 xn 
0 

zn 
Gesamtspurminimierung
Erstellung einer Ränderungsmatrix G
Koordinaten in Abhängigkeit von allen
teilnehmenden Unbekannten berechnet
G muss das Rangdefizit ausgleichen
Varianzinformation für alle Unbekannten
Resultierende Genauigkeit ist innere
Genauigkeit
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Teilspurminimierung
Bedingungen wie bei Gesamtspurminimierung
Nicht alle Punkte in den Bedingungen
berücksichtigt
Anwendungsfälle:
– Verdichtung, auf übergeordneten Punkten gelagert
– Unterschiedliche Qualität von Näherungskoordinaten
Grundmodell: Gi = EiG mit Auswahlmatrix Ei
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Gezwängte Ausgleichung
Übergeordnete Punkte mit festen Koordinaten
z.B. EP-Netz in KT-Feld
Auch: Ausgleichung unter Anschlusszwang
Formal wie zwangsfreie Ausgleichung
Innere Geometrie wird verzerrt, Spannungen
werden übertragen
Keine Genauigkeit für Anschlusspunkte
Genauigkeitsmaße von der Wahl der Festpunkte
abhängig
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
S-Transformation (1)
Similarity Transformation = differentielle
Helmert-Transformation für Parameter und
Kovarianzmatrizen (Baarda, 1973)
Bisher: Festlegung von Datum i durch
T
G
Einführung von d Gleichungen i x i  0
Erweitertes Normalgleichungssystem:
1
 x i   N G i   n   Q11,i Q12,i  n 
 
    
    T
 k   G i 0   0   Q 21,i Q 22,i  0 
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
S-Transformation (2)
x i  Q11,i n
Lösungsvektor:
mit Q xx ,i  Q11,i  Q i
Dabei stammt Qi aus der Gesamtinversion
des erweiterten Systems
Index i weil spezielle Lösung abhängig von
gewähltem Datum
Lösungsvektor und Kofaktormatrix sind
datumsabhängig
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
S-Transformation (3)
Multiplikation der Normalgleichungsmatrix
mit ihrer Inversen ergibt die Einheitsmatrix
 N
 T
 Gi
G i  Q11,i

0  Q 21,i
Q12,i   I
  
Q 22,i   0
Einzelprodukte ergeben
0

I
NQ 11,i  G i Q 21,i  I
NQ 12,i  G i Q 22,i  0
G Ti Q11,i  0
G Ti Q12,i  I
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
S-Transformation (4)
Eigenvektoren von Nx=n in orthonormaler
(u,d)-Eigenvektormatrix E
Es gilt AE=0, ETAT=0
Nun NQ11,i  G i Q 21,i  I von links mit ET
T
T
T
T
multipliziert: E
A
PAQ

E
G
Q

E
11,i
i
21,i

0
Also:
ET Gi Q21,i  ET
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
S-Transformation (5)
Bedingungsmatrix Gi besteht aus d linear
unabhängigen Zeilen
Zusätzlich linear unabhängig von Designmatrix A (beheben Datumsdefekt!)
Somit Gi und E im selben Vektorraum und
ETGi ist regulär, also

Q 21,i  E G i
T
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil

1
ET
S-Transformation (6)
Eingesetzt in ursprüngliche Gleichung gibt

NQ11,i  G i E G i
T

1
ET  I
Einfache Umformungen liefern

NQi  I  G i E G i
T

1
ET
Transponierte Form dieser Matrix wird als SiMatrix bezeichnet

Si  I  E G E
T
i

1
GTi  Q i N
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
S-Transformation (7)
Andere Datumsfestlegung k: Qk, Gk
Qk mit S-Matrix von links und rechts
T
S
Q
S
multipliziert liefert i k i  Qi NQk NQi
Qk ist eine beliebige verallgemeinerte
Inverse von N, daher gilt NQkN=N
 S i Q k STi  Q i NQi  Q i
Somit ist jederzeit ein Datumswechsel
möglich
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
S-Transformation (8)
Transformation des Lösungsvektors:
Nx  n von links mit Qi multipliziert liefert
Qi Nx  Qi n
Dabei ist x ein beliebiger Lösungsvektor –
auch der vom Datum k ist möglich, daher
Si x k  xi
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
S-Transformation (9)
Transformation der Lösung (xk,Qk) im Datum
k auf Datum i erfolgt über
xi  Si x k
Qi  Si Q k STi
Somit kann a priori festgelegtes Datum
geändert werden ohne neu auszugleichen
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Abschließende Bemerkungen
• Weiche Lagerung
• Netze in der Landesvermessung
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Weiche Lagerung (1)
Verwendung stochastischer Vorinformation über Anschlusspunkte
Gruppierung in Neu- und Anschlusspunkte
v N  A N
x 
A A  N   l N
 xA 
Zusätzlich soll gelten
Zusammen ergibt sich
 vN   AN
   
 vA   0
l A  v A  I Ax A
A A  x N   l N 
    
I A  x A   l A 
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Weiche Lagerung (2)
‚Beobachtungsvektor‘ lA enthält die
Koordinaten der Anschlusspunkte als
Beobachtungen
Reguläres Problem, wenn Anzahl der eingeführten Koordinaten größer als Rangdefizit und Koordinaten lösen Rangdefizit
Kovarianzinformation SAA for lA
 Sll 0 
Stochastisches Modell: S  

 0 S AA 
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Weiche Lagerung (3)
Minimumsforderung vTPv angewendet auf
gesamten Verbesserungsvektor vTN vTA 
gibt vTN S LL1 v N  vTAS AA1 v A  min
Hybride Minimumsforderung
Änderung der Netzgeometrie!
Über unterschiedliche Varianzen der
Gewichtseinheit für SAA und Sll
Steuerungsinstrument für Einpassung
von GPS-Beobachtungen
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Netze der Landesvermessung (1)
Früher: Triangulationen mit wenigen
Strecken (Invardraht-Basen)
Weiträumiges Netz, dann verfeinert
(Kataster-Triangulierung I. – V. Ordnung)
Nicht komplett streng ausgeglichen, daher
Klaffungen (auch wegen Punktverschiebungen und Genauigkeitssteigerung
bei Messgeräten)
Art der Ausgleichung: Bedingt!
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Netze der Landesvermessung (2)
Problem: Erde ist nicht stabil
Untersuchung des BEV in Vorarlberg : 7% der
untersuchten Festpunkte bewegen sich
Was bedeutet das für die abgeleiteten Daten?
Wie geht man sinnvoller Weise bei der
Homogenisierung vor?
Noch keine Antworten – Themen für weitere
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Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
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