globaler Kongruenztest

Deformationsanalyse
• Einleitung
• Strenge Deformationsanalyse in zwei
Epochen
• Deformationsanalyse bei mehreren
Epochen
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Problemstellung
• Vermutung: In einem Punkthaufen ändert
sich die Position einiger Punkte mit der
Zeit  Deformation
• Nachweis: Mehrfach gemessenem Netz –
eine Messkampagne = Epoche
• Anwendungen: Detektierung von Hangrutschungen, Überwachung von Bauwerken (Verformungen)
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Unterscheidung in
• Relative Modelle: Relative Bewegungen
zwischen Punkten werden bestimmt (z.B.
Verformung einer Staumauer)
• Absolute Modelle: Zusätzlich Bewegung
des Objektes bezüglich der Umgebung
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Problemstellung umfasst
• Signifikanz: Auswirkungen der zufälligen
Fehler der Beobachtungen müssen kleiner
sein als Deformationen
• Ausreißer: Grobe Fehler müssen vor der
Analyse gefunden werden
• Festpunkte: Bei absoluten Modellen sind
stabile Festpunkte nötig – außerhalb des
Deformationsbereiches
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Strenge Deformationsanalyse
• Innere Netzgeometrie für jede Epoche
separat bestimmt
• Datumsfestlegung durch Gesamtspurminimierung
• Deformationsanalyse nach epochenweiser Ausgleichung
• Änderungen der Netzkonfiguration
können eingearbeitet werden
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Strenge Deformationsanalyse bei 2
Epochen
Teilaufgaben sind
• Prüfung, ob signifikante Verschiebungen
vorhanden (globaler Kongruenztest)
• Lokalisierung der Verschiebungen
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Globaler Kongruenztest (1)
 v1   A11 0  x1   l1 
   
    
v
0
A
22  x 2   l 2 
 2 
• Ausgangsmodell
0 
Q
mit    Q    0 Q 


• Also eigener Koordinatenvektor für jede
Epoche
• Keine funktionalen Zusammenhänge
zwischen den Epochen, also A12=A21=0
ll
2
0
ll
2
0
11
22
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Globaler Kongruenztest (2)
• Keine signifikanten Änderungen, wenn gilt
H 0 : Exˆ 1  Exˆ 2 
• Lineare Hypothese über
bzw. H :  I I  xˆ 1   0
0
H 0 : xˆ 2  xˆ 1  0
 xˆ 
 2
• Frage: Ändert sich die Fehlerquadratsumme durch Hinzufügen dieser
Bedingung signifikant?
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Linearer Hypothesentest (1)
• Neuer ausgeglichener Parametervektor x̂ H
• Forderung l  Axˆ H T Pl  Axˆ H   2k T Bxˆ H  w   min
• Partielle Ableitungen nach x̂ H und k:
AT PA xˆ H  BT k  AT Pl
Bxˆ H  w

xˆ H  A PA
 A Pl  B k 

liefern
T
ˆ
x

Q
A
Pl ergibt
• Einsetzen von
Moore-Penrose
Pseudoinverse
xx

T
T
T


xˆ H  xˆ  A PA BT k
T
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Linearer Hypothesentest (2)
• Eingesetzt in Bxˆ H  w ergibt sich


k  BA PA  B  Bxˆ  w 
Bxˆ H  Bxˆ  B AT PA BT k  w
T

T

• Endgültige Form:






xˆ H  xˆ  A PA B B A PA B
T
T
T
• Nachteil: Unhandlich!
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
T
 Bxˆ  w

Linearer Hypothesentest (3)
• Verbesserungsquadratsumme
 H  l  Axˆ H  Pl  Axˆ H 
T
• Formale Erweiterung l  Axˆ H  l  Axˆ  Axˆ  xˆ H 
• Ergibt  H  l  Axˆ T Pl  Axˆ   xˆ  xˆ H T AT PA xˆ  xˆ H 
• Weiters gilt   vT Pv  l  Axˆ T Pl  Axˆ 


 l T P  AN  AT l
• Und es ergibt sich




 H    Bxˆ  w  B A PA B Bxˆ  w 


T

T
R
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
T
Linearer Hypothesentest (4)
• Zuschlag R zur ursprünglichen Verbesserungsquadratsumme ist eine quadratische Form  für die Verteilung gilt
1

T
2
m Mm   rank M,   E mT MEm
2


• Rang der Formmatrix (Formel für R)
 T
T
bezeichnet mit h  rank BA PA  B
• Für Nichtzentralitätsparameter von R gilt:

H 
1
2
2
0



E Bxˆ  w  BA PA  B
T
T
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil

T
 EBxˆ  w 

Linearer Hypothesentest (5)
• Nichtzentralitätsparameter wird nur dann
Null, wenn Hypothese H0 gilt, also
EBxˆ  w  0
R
  2 h, H 
• Somit Verteilungsaussage für R:  2
0
• Summe  folgt ebenfalls 2-Verteilung
• Annahme: Nichtzentralität verschwindet,
also ursprüngliches Modell korrekt
• Annahme:  und R stochastisch unabh.
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Linearer Hypothesentest (6)
• Testgröße: Quotient der beiden Größen
R
R  n  r 
R
F h 
 2

h
s0  h
nr
• Quotient folgt einer nicht-zentralen FisherVerteilung F  F h, n  r, H 
• Gültigkeit von H0Freiheitsgrade
: FNicht-Zentralitäts-Parameter
folgt zentraler FisherVerteilung  Wahrscheinlichkeitsbeziehung PF  Fh ,n  r ,1 | H 0   
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Linearer Hypothesentest (7)
Praxis: empirischer Wert F
Überschreitet F den Grenzwert der FVerteilung für ein gegebenes Signifikanzniveau:
Verwerfen der Nullhypothese, also
Es gibt signifikante Verschiebungen!
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Globaler Kongruenztest (1)
 xˆ 1 
• Nullhypothese H 0 :  I I    0
xˆ 2 

eingesetzt in


R  Bxˆ  w  B A PA B
T
• Gibt

T

 A11
R  d   I I 
 0

T


T
 Bxˆ  w


0   I  
   d
A 22  I  


A11  A P1A1 , A 22  A P2 A 2
und d  xˆ 2  xˆ 1
mit
T
1
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
T
2


Globaler Kongruenztest (2)
• Ausmultiplizieren ergibt

 d
 A P A   A P A 
 

R  d A P1A1  A P2 A 2
T
T
1
• Einführung von Q dd
T
2
T
1
 

1
1
• Liefert R  dT Q d
• Rang von Qdd ist formal h=u-d=r
T

d
Q
• Testgröße somit
dd d
F

T
2

2
dd
s02  h
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
R
s02  h
2
Globaler Kongruenztest (3)
Wahrscheinlichkeitsbeziehung lautet
PF  Fh ,n  r ,1 | H 0   
Überschreitet Wert von F den Grenzwert 
irgendwo im Netz gibt es Verschiebungen
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Globaler Kongruenztest über
implizite Hypothesenformulierung
• Gleiche Nullhypothese  selber Vektor x
v  A 
l 
• Gesamtsumme H aus  v    A xˆ   l 
• Einzelsummen aus Ausgleichung der
Epochen  Zuschlag R = H – 1 – 2
1
11
1
H
2
22
2
• Vorteil: kein spezielles Rechenprogramm
notwendig
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Unterschiedliche Konfiguration
Unterschiedliche Netzkonfiguration in beiden
Epochen: auf gemeinsames Datum
1. Elimination nicht identer Punkte
2. Datumsbestimmung über Teilspurminimierung
3. Datumswechsel mit S-Transformation
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Macht des Tests
• Umso größer je kleiner die Gefahr eines Fehlers
2. Art (Annahme einer falschen Hypothese)
• Bei den meisten Ausgleichungsaufgaben: Fehler
1. Art teurer als Fehler 2. Art (bedeutet
zusätzliche Beobachtungen)
• Fehler 2. Art bei Deformationsanalyse:
Verschiebungen bleiben unentdeckt!
• Macht des Tests sollte also bestimmt werden –
wird in der Praxis meist nicht getan
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Lokalisierung verschobener Punkte
• Gesucht: Betroffene Punkte, Richtung und
Betrag der Verschiebung
• Zuschlag R in Anteile für die einzelnen
Punkte aufgespalten, Punkt mit maximalem Klaffungsanteil aus Datum eliminiert
• Neuerlicher Kongruenztest bis keine
Verschiebung mehr feststellbar
•  Methode der max. Klaffungsanteile
(Pelzer 1974)
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil
Bestimmung der Klaffungsanteile
• Differenzvektor d und Inverse der
Kofaktormatrix
dF 
 PFF PFB 

d   , Q xx  Pxx  
 dB 
 PBF
• i-ter Klaffungsanteil ist dann
T
B
Ri  d PBB d B mit
1
BB
d B  d B  P PBF d F
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil

PBB 
Mehr als 2 Epochen
• Bisher nur Vergleich von 2 Epochen
nicht eindeutig, weil 2 Möglichkeiten
– Vergleich aufeinander folgender Epochen
– Vergleich jeder Epoche mit 1. Epoche
• Strenge Kongruenzprüfung (z.B. Pelzer)
– Globaler Kongruenztest
– Zeitliche Lokalisierung
– Räumliche Lokalisierung
Ausgleichungsrechnung II
Gerhard Navratil