Ausgleichungsrechnung I
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Ausgleichungsrechnung • • • • • Einleitung Methode der kleinsten Quadrate Ausgleichungsverfahren Stochastisches Modell a posteriori Anmerkungen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Aufgabe der Ausgleichsrechnung (Helmert 1872) Kontrolle durch überschüssige Messungen Vermehrung der Kontrollen führt zu größerer Annäherung an den wahren Wert, wenn nur zufällige Fehler auftreten Ziel: Resultat aus allen Beobachtungen bestimmen, das möglichst frei von zufälligen Fehlern ist Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Bisher Messgrößen haben einen (unbekannten) wahren Wert Unsere Beobachtungen sind mit zufälligen Fehlern behaftet Aus Messgrößen werden oft andere Größen abgeleitet (z.B. Koordinaten aus Strecken und Richtungen) Für die abgeleiteten Größen kann eine Standardabweichung angegeben werden Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Gewünscht Bisherige Erkenntnisse in einem größeren Kontext Ausdehnung auf komplexe Systeme Definition von Standard-Verfahren Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Ziele • Kontrolle: Aufdecken von (groben) Fehlern • Plausibilität: Wahrscheinlichste Schätzwerte für die wahren Werte der Unbekannten bzw. Messwerte • Qualität: Angabe von Standardabweichungen für die Unbekannten und Messwerte Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel: Ausgleichende Gerade (1) • 10 Punkte gegeben • Repräsentation durch Gerade gesucht Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel: Ausgleichende Gerade (2) Mathematischer Ansatz: Jeder Punkt liefert eine Gleichung bzw. in Matrizenschreibweise 1k d 2 Ax L 2k d 1 1 1 2 2 1 1 k ... , x A , L d 10 k d 9 10 1 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil 9 Beispiel: Ausgleichende Gerade (3) rk(A)=2, rk(A,L)=3 nicht lösbar Jeweils zwei Punkte liefern eine Lösung, die Lösungen passen nicht alle zusammen Gesucht: Möglichkeit, eine eindeutige Lösung zu ermitteln Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Gerade durch ersten und letzten Punkt Zweiteilung der Punktwolke in linke und rechte Hälfte, Gerade durch die Schwerpunkte Gerade, bei der k und d als Mittelwert aus allen eindeutigen Lösungen bestimmt wurden Gerade, auf der die meisten Punkte liegen Welche Lösung sollen wir nehmen??? Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel: Ausgleichende Gerade (5) Annahme: Nur y-Werte sind Messwerte – x-Werte sind Konstante (varianzfrei) y-Werte bilden Beobachtungsvektor L Plausibelste Werte sind die, welchen nach der Statistik die höchste Wahrscheinlichkeit zukommt Annahme Normalverteilung für Messwerte Annahme mehr Beobachtungen als Unbekannte (Überbestimmung) Messwerte werden verbessert, sodass Ax=l gilt Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel: Ausgleichende Gerade (6) Ax=l+v v=Ax-l Zusätzliche Bedingung: v vT v min also 2 vT dv 0 T Ax l 2Ax l 0 x 2 xT AT lT A 0 xT AT A lT A 0 AT Ax AT l 0 x A A T 1 AT l Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil 2 min Verteilung zufälliger Messabweichungen (1) • Lambert: Theorie der Zuverlässigkeit der Beobachtungen und Versuche (1765) – zufällige Abweichungen gleicher Größe nach beiden Seiten möglich – geringe Abweichungen häufiger als große – Kurve mit Wahrscheinlichkeit der Abweichungen ist • • • • symmetrisch Abweichung Null hat höchste Wahrscheinlichkeit Wendepunkt auf beiden Seiten beidseitig asymptotische Annäherung an Null • Gauß: Weitere Untersuchungen Normalverteilung Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Verteilung zufälliger Messabweichungen (2) Folgerung: Messwerte sind normalverteilt zufällige Abweichungen normalverteilt 1 f ( i ) e i 2 i2 2 i2 Gilt auch, wenn Abweichungen aus empirischen Verbesserungen vi geschätzt Danach: Übergang von den einzelnen Abweichungen auf die Summe der Abweichungen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Verteilung zufälliger Messabweichungen (3) Gesamtwahrscheinlichkeitsdichte: Produkt der einzelnen Dichten W mit 1 1 2 K v 2 i 2 i 1 i n 1 2 i 1 i K e n Gesucht: Maximum, also jene vi, für die W maximal wird K minimal Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Verteilung zufälliger Messabweichungen (4) n Bedingung: pi vi2 min i 1 mit pi 1 i2 oder in Matrizenschreibweise v Pv min T Gewichte pi umgekehrt proportional zu den Varianzen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Stochastisches Modell a priori Die Gewichtsmatrix Beschreibung der stochastischen Zusammenhänge in einem Zufallsvektor: Kovarianzmatrix Für einen Beobachtungsvektor: – Hauptdiagonale: Varianz der Beobachtung – Außerhalb der Hauptdiagonale: Kovarianz oder Null wenn stochastisch unabhängig Bezeichnet mit SLL Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Festlegung von Gewichten (1) Gewichtung der Verbesserungen umgekehrt proportional zu den Varianzen Oft nur relative Genauigkeiten vorhanden Wir wählen Bezugsvarianz: 2 Varianz der Gewichtseinheit a priori 0 oder Varianzfaktor 1 Q LL 2 Σ LL Kofaktormatrix 0 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Festlegung von Gewichten (2) Elemente der Kofaktormatrix: Kofaktoren oder Gewichtsreziproke Gewichtung ist umgekehrt proportional zu den Varianzen bzw. Kofaktoren, also Inversion der Matrix P Q LL1 Festlegung geschieht vor der Messung bzw. Ausgleichung a priori Varianzen Varianz der Gewichtseinheit a priori stochastisches Modell a priori Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Funktionales Modell (1) n Beobachtungen L um u Unbekannte X (Parametervektor) zu bestimmen Realisierungen L1, … Ln sind Näherungen ~ des wahren Wertes L Wir geben Schätzwert für den wahren Wert ˆ Lv an: L Ausgeglichene Beobachtungen Auch Parametervektor hat wahren Wert Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Funktionales Modell (2) Oft Parameter näherungsweise bekannt: Genäherter Parametervektor X0 Differenz ausgeglichener – genäherter Parametervektor: gekürzter Parametervektor x Funktionaler Zusammenhang: r Funktionen j1, … jr mit den Parametern L und X Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beziehungen ˆ X0 x X ~ ~ j L, X o ˆ o j Lˆ , X (ursprüngliches) funktionales Modell j L, X0 w j L 0 , X0 o Widerspruchsvektor gekürzter Beobachtungsvektor ‚gemessen minus gerechnet‘ L L 0 l bzw. l L L 0 genäherter Beobachtungsvektor Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Linearisiertes funktionales Modell Funktionen j1, … jr von beliebigem Typ Annahme: x und v klein gegenüber X0 und L Linearisierung über Taylor-Entwicklung ˆ j Lˆ , X j L, X0 j ˆ j ˆ X1 X 01 X u X 0u Xˆ 1 Xˆ u j ˆ j ˆ L1 L1 Ln Ln Lˆ1 Lˆn Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Jacobi-Matrix • Modellmatrix (Designmatrix) A • Matrix B j1 Xˆ 1 j 2 A Xˆ 1 j r Xˆ 1 j1 ˆ X 2 j 2 ˆ X 2 j r ˆ X 2 j 1 ˆ X u j 2 ˆ X u j r ˆ X u j1 Lˆ1 j 2 B Lˆ 1 j r Lˆ 1 j j1 1 ˆ Lˆ2 Ln j 2 j 2 ˆ ˆ L2 Ln j r j r ˆ ˆ L L 2 n Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Funktionales Modell Ax Bv w 0 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Allgemeine Auflösung (1) Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen Lösung mit Lagrange‘schen Vektoren F ( v, x) vT Pv 2k T Ax Bv w Partielle Ableitungen bilden und gleich Null setzen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Allgemeine Auflösung (2) Ableitung nach v: dF dv T Pv vT Pdv 2k T Bdv dv Pv T v Pdv 2k Bdv T T T v Pdv v Pdv 2k Bdv T T 2 v Pdv 2k Bdv Gleich Null setzen: F 2 vT P 2k T B oT T v Pv B k o T T T Pv B k 1 T vP B k T Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Allgemeine Auflösung (3) Ax Bv w 0 v P 1BT k 1 T Ax BP B k w Ableitung nach x analog und es ergibt sich: F T T 2k A o x A k o T Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Allgemeine Auflösung (4) Gemeinsames Gleichungssystem: BP1BT AT A k w 0 x o Auflösung durch Inversion: 1 T k BP B T x A A 0 1 w o Allgemeinfall der Ausgleichungsrechnung Ausgleichung bedingter Beobachtungen mit Verbesserungsgleichungen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Hauptprobe Annahme war, dass x und v klein gegenüber X0 und L sind Annahme muss überprüft werden! Einsetzen in ursprüngliches (nicht linearisiertes) Gleichungssystem Wenn nicht genügend genau erfüllt? Iteration – Näherungswerte nicht gut genug Neu aufstellen – Funktionales Modell fehlerhaft Geprüfte Programme verwenden – Rechenfehler Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Fehler im funktionalen Modell Hauptprobe zeigt Fehler im funktionalen Modell an Kandidat für Fehler ist die Funktion, bei der die Hauptprobe nicht aufgeht z.B. 3. Gleichung geht nicht auf – möglicherweise 3. Zeile der A-Matrix oder 3. Element des w-Vektors fehlerhaft Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Iterative Ausgleichung Ergebnis der Ausgleichung als Näherung für eine neuerliche Ausgleichung verwendet L, SLL und B bleiben erhalten A und w werden neu berechnet (hier kommen die Näherungswerte der Unbekannten vor) Iteration so lange, bis Hauptprobe aufgeht Iteration muss nicht konvergieren! Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Sonderfälle 1. In jeder Gleichung ji kommt jeweils nur eine Beobachtung vor: Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen 2. Es treten keine unbekannten Parameter auf, die Gleichungen ji beschreiben nur den funktionalen Zusammenhang der Beobachtungen: Ausgleichung bedingter Beobachtungen 3. In n Gleichungen tritt jeweils nur eine Beobachtung auf und in den übrigen r-n Gleichungen treten nur Unbekannte auf: Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen Pro Gleichung nur eine Beobachtung Gleichungen explizit nach Li auflösbar ˆ L ˆ o bzw. L ˆ j X ˆ jX n Messgrößen, r=n Gleichungen, u Unbekannte Überschüssige Beobachtungen: nfu=n-u Anzahl der Freiheitsgrade (Redundanz) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Art des Problems Unterscheidung über die Redundanz: • Redundanz < 0: unterbestimmt, nicht eindeutig lösbar • Redundanz = 0: Problem eindeutig lösbar • Redundanz > 0: Ausgleichungsaufgabe Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Funktionales Modell ˆ ) j1 ( X ˆ j ( X) Lv 2 j (X ˆ n ) Taylorentwicklung: B= –I Modellmatrix A wie bisher weiters: j ( X0 ) L w L0 L w j ( X0 ) L0 Ax Iv l o bzw. w l v Ax l Verbesserungsgleichung Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Gewichtsmatrix Anwendung des Varianzfortpflanzungsgesetzes auf L L 0 l gibt für die Kovarianzmatrix des gekürzten Beobachtungsvektors: Sll S LL Die Kofaktormatrix ergibt sich somit zu Qll Q LL Somit erhalten wir dieselbe Gewichtsmatrix P wie bisher. Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Lösung Das Gleichungssystem vereinfacht sich zu 1 k P T x A 1 A 0 x l o 1 Die Auflösung ergibt A PA AT Pl T N A PA Normalgleichungsmatrix Normalgleichung x N 1AT Pl 1 T v AN A PI l Verbesserungen: ˆ L v L Ausgeglichene Beobachtungen: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil T Hauptprobe Erfüllen die ausgeglichenen Beobachtungen und ausgeglichenen Parameter das ursprüngliche funktionale Modell? Einsetzen in ˆ Lˆ j X Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Sonderfall: Lineare Verbesserungsgleichungen z.B. Koordinatendifferenzen (Nivellement) Verbesserungsgleichungen sind linear Keine Linearisierung notwendig Keine Näherungswerte für die Parameter notwendig (oft trotzdem aus numerischen Gründen verwendet – kleine Werte in x und l) Hauptprobe: Nur aufgestelltes Modell und Rechnung können falsch sein Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Sonderfall: Ausgleichung direkter Beobachtungen z.B. Ausgleichung direkt und mehrfach gemes1 sener Größen (Strecke) 1 A-Matrix ist ein 1-Vektor T Auflösung: a Pl 1 x T a Pa Gewichtsmatrix Einheitsmatrix: einfaches arithmetisches Mittel Gewichtsmatrix Diagonalmatrix: gewogenes arithmetisches Mittel Sonst: allgemeines arithmetisches Mittel Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Ausgleichung bedingter Beobachtungen Keine unbekannten Parameter n Beobachtungen sollen so verbessert werden, dass sie r Bedingungen (sind aufzustellen) erfüllen r = n – n0 mit n0 = Anzahl der notwendigen Beobachtungen für eine eindeutige Lösung nfb=r Anzahl der Freiheitsgrade (Redundanz) ˆ o j L Das Problem vereinfacht sich zu Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Funktionales Modell Widerspruchsvektor: j L w Ableitungen nach X alle Null, somit A-Matrix eine Nullmatrix, also Bv w o 1 T 1 Korrelaten: k BP B w 1 T 1 T 1 Verbesserungen: v P B BP B w Normalgleichungsmatrix der bedingten 1 T Ausgleichung: N B BP B Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Hauptprobe Erfüllen die ausgeglichenen Beobachtungen das ursprüngliche funktionale Modell? Einsetzen in j Lˆ o Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen Pro Gleichung nur eine Beobachtung Zusätzlich Bedingungen zwischen den Unbekannten n Beobachtungen, u Unbekannte, nb Bedingungen nfvb = n – u + nb = r – u Anzahl der Freiheitsgrade (Redundanz) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Lösungsansätze • Elimination von Unbekannten: r Unbekannte werden mit Hilfe der Bedingungen eliminiert • Strenge Lösung: Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen • Fiktive Beobachtungen: Bedingungen werden als (fiktive) Beobachtungen mit großem Gewicht eingeführt Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Wann Ausgleichungsproblem? nfvb = n – u + r Ausgleichungsproblem, wenn nfvb > 0 Somit: n + r > u Die Summe aus Beobachtungen und Bedingungen muss größer als die Anzahl der Unbekannten sein Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Funktionales Modell Funktionales Modell der vermittelnden ˆ j X ˆ Ausgleichung L ˆ o und die Bedingungen j b X Getrennte Betrachtung der beiden Teile: v A1x l Beobachtungen A 2x w o Bedingungen Keine Bedingungen zwischen den Beobachtungen B ist eine Nullmatrix Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Lösung (1) Methode von Langrange: W vT Pv 2k T A 2 x w Differenziert und gleich Null gesetzt: 2vT Pdv 2k T A 2 dx 2dk T A 2 x w 0 Einsetzen von dv A1dx gibt v PA 1 k A 2 o A2 x w o T T Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Lösung (2) 1. Gleichung: v A1x l vT PA 1 k T A 2 o A1T Pv AT2 k o A1T PA 1x AT2 k A1T Pl o Kombiniert mit 2. Gleichung: A1T PA A 2 AT2 x A1T Pl 0 k w Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Hauptprobe Erfüllen die ausgeglichenen Beobachtungen und ausgeglichenen Parameter das ursprüngliche funktionale Modell? Erfüllen die ausgeglichenen Parameter die Bedingungen? ˆ ˆ L j X Einsetzen in ˆ o j X b Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Ausgleichung bedingter Beobachtungen mit Verbesserungsgleichungen Entspricht dem Allgemeinfall der Ausgleichungsrechnung n Beobachtungen, n0 Beobachtungen zur eindeutigen Lösung notwendig, u Unbekannte Anzahl der aufzustellenden Bedingungen: r = (n – n0) + u = nfa + u Lösung: siehe Allgemeinfall Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Stochastisches Modell a posteriori a posteriori: nach der Ausgleichung Beim stochastischen Modell a priori Ausgangspunkt Kovarianzmatrix, aber schließlich verwendet die Kofaktormatrix Kovarianzfortpflanzungsgesetz angewendet auf Gleichungssystem f=Fx gibt T T QΣff ffFQFΣ xxFxxF 1 1 02 02 Kofaktorfortpflanzungsgesetz Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnden Ausgleichung (1) ˆ L 0 ˆl gekürzter Beobachtungsvektor: L Ausgeglichene Beobachtungen aus ˆ L0 I AN 1AT P I l L0 AN 1AT Pl L Somit gilt: ˆl AN 1AT Pl Nun können wir l, x, l̂ und v als Funktion von l ausdrücken. Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnden Ausgleichung (2) I l 1 T x N A P f Fl l 1 T ˆl AN A P 1 T v AN A P I Das Kofaktorfortpflanzungsgesetz liefert: Q ff 1 1 1 T P AN AN A N 1AT N 1 N 1AT 1 T 1 1 T AN A AN AN A AN 1AT P 1 0 0 AN 1AT P 1 0 0 P 1 AN 1AT Gesuchte Kofaktoren in der Hauptdiagonale Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnden Ausgleichung (3) Qll P 1 Q xx N 1 Qlˆlˆ AN 1AT Qvv P 1 AN 1AT Qll Qlˆlˆ Und weiters: Q LL Qll Q XˆXˆ Q xx Q Lˆ Lˆ Qlˆlˆ Grund: Unterscheiden sich nur durch konstante Faktoren Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Probe Gewichtsreziprokenprobe nach Ansermet tr P Qlˆlˆ u Die Summe der Hauptdiagonalglieder der Produktmatrix P Qlˆlˆ muss gleich der Anzahl der Unbekannten sein Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Kofaktoren a posteriori bei der bedingten Ausgleichung (1) Ausgangspunkt: BL w (ausgehend von j L w mit anschließender TaylorEntwicklung für w: j w j L j L0 L L 0 o2 L 0 B l Wenn die Näherungswerte genau genug, kann der Restfehler o2 vernachlässigt werden Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Kofaktoren a posteriori bei der bedingten Ausgleichung (2) 1 k N B w 1 T v QLL B N B w zu k N B 1BL 1 T v QLL B N B BL 1 T ˆ Und es gilt L I QLL B N B B L Somit wird Nun können wir alle Werte als Funktion von L darstellen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Kofaktoren a posteriori bei der bedingten Ausgleichung (3) I L B w L f k FL N B1B T 1 Q LL B N B B v I Q BT N 1B Lˆ LL B Das Kovarianzfortpflanzungsgesetz liefert: Q ff Q LL BQ N B1BQ LL Qvv Q LL Q vv Q LL BT NB I Q LL BT 0 Q LL BT N B1 Qvv I BQ LL N B1 N B1BQ LL Q LL BT N B1 Q LL BT N B1BQ LL 0 0 Q LL Q vv 0 0 0 Q LL Q vv Gesuchte Kofaktoren in der Hauptdiagonale Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Kofaktoren a posteriori bei der vermittelnde Ausgleichung mit Bed. Interessante Kofaktormatrizen direkt aus der invertierten Normalgleichungsmatrix: 1 T T A1 PA1 A 2 Q xx Q xk A Q Q 0 kk kx 2 Und weiters: Q Q XˆXˆ Q Lˆ Lˆ xx T A1Q xx A1 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Kofaktoren a posteriori bei der bed. Ausgleichung mit Unbekannten Interessante Kofaktormatrizen direkt aus der invertierten Normalgleichungsmatrix: BP 1B T AT Und weiters: A 0 1 Q kk Q xk Q kx Q xx Q XˆXˆ Q xx Q ww BP1BT Qvv P 1BT Q kkBP1 Q Lˆ Lˆ Q LL Qvv Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Varianz der Gewichtseinheit a posteriori (1) Im stochastischen Modell 02 herausgehoben und die Kofaktormatrix Q erhalten Somit Übergang auf relative Genauigkeitsangaben (ausreichend für Gewichtung) Ausgleichung liefert Kofaktormatrizen für ausgeglichene Parameter etc. Gesucht: Kovarianzmatrizen Multiplikation mit Varianz der Gewichtseinheit a posteriori Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Varianz der Gewichtseinheit a posteriori (2) Parameter aus den empirischen Beobachtungen bestimmt auch Varianz der Gewichtseinheit a posteriori empirisch bestimmt Definition der Varianz: Quadratsumme der Verbesserungen durch Anzahl der Freiheitsgrade 2 vT Pv s0 nf Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Varianzen, Kovarianzen und Standardabweichungen Aus Kofaktormatrizen durch Multiplikation mit der Varianz der Gewichtseinheit a posteriori z.B. C XˆXˆ s02Q XˆXˆ C Lˆ Lˆ s02Q Lˆ Lˆ Cvv s02Qvv Varianz einer Funktion C ff FC XˆXˆ FT s02 FQ XˆXˆ FT Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Funktionales Modell Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen: Designmatrix enthält Ableitungen nach den Unbekannten Formeln für Elemente der Designmatrix für Standardbeobachtungen einfach herzuleiten – Streckenbeobachtung – Richtungsbeobachtung Formeln für andere Beobachtungen analog Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Streckenbeobachtung s12 x2 x1 2 y2 y1 2 Ableitungen: s12 x1 s12 y1 x2 x1 x2 x1 2 y2 y1 2 y2 y1 x2 x1 2 y2 y1 2 etc. x y x y v12 x1 y1 x2 y2 l12 s12 s12 s12 s12 Werte der A-Matrix Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Richtungsbeobachtung y2 y1 y2 y1 t12 atan R12 v12 atan O1 x2 x1 x2 x1 Ableitungen: j12 1 O1 y2 y1 j12 x1 x2 x1 2 y2 y1 2 x2 x1 j12 y1 x2 x1 2 y2 y1 2 y x y x v12 2 x1 2 y1 2 x2 2 y2 O1 l12 s12 s12 s12 s12 etc. Werte der A-Matrix Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Bedingungsgleichungen Probleme bei der bedingten Ausgleichung – Anzahl der Bedingungen festlegen (Redundanz) – Linear unabhängige Bedingungen aufstellen Wann? Anzahl der Unbekannten größer als Redundanz (Matrixgröße) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Höhennetze Mögliche Bedingungen sind: • Höhendifferenz geschlossener Schleifen ist gleich Null • Höhendifferenz zwischen zwei bekannten Punkten ist gleich der Summe der Höhen der Teilstücke Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Winkelmessung Mögliche Bedingungen sind: • Winkelsumme im ebenen Dreieck ist 200g a+b+g–200=0 n g a n 2 200 0 • Winkelsumme im Vieleck i1 i • Winkelsumme einer abgeschlossenen Satzmessung ist 400g a+b+g–400=0 • Winkelsumme einer nicht abgeschlossenen n a i t B t A 0 Satzmessung ist i 1 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Zentralsystem C Gegeben: 9 Winkel 3 4 Notwendig: 4 Winkel 8 9 2 A 1 7 5 Bedingungen 65 3x Dreieckssumme B 1x abgeschlossene Satzmessung 5. Bedingung: Über Sinussatz Strecke zum Zentralpunkt sin 3 sinsin 1sin3sin 3 sin5sin sin 5 51 sin 1 XA XCsin 1sin X,A3sin XC5 XB2 sin4,1sin XAX6B0 XA sin sin 2 sinsin 2 sin 2 sin 4 sin 4sin sin 6 46 sin 6 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Streckenmessung P Geg.: 10 Strecken Notwendig 9 Strecken 1 Bedingung! Zentralwinkelsumme 400g Winkel über Cosinus-Satz Linearisierung notwendig s s r P r s r P a a a a a Z s P r r s P ri21 ri2 si2 acos 400 g 0 2ri 1ri i 1 k Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Große Netze Bei großen Netzen auch große Matrizen Inversion großer Matrizen ist auch heute noch ein Problem (Rechenzeit von Tagen) Daher Strategien zur Reduktion der Größe Netze der Landesvermessung: Bedingte Ausgleichung Elimination von Parametern durch Blockzerlegung Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Elimination von Parametern durch Blockzerlegung (1) Allgemeingültiger Ansatz Blockweise Reduktion des funktionalen Modells Zerlegung in Submatrizen und -Vektoren: x1 x , A A1 A 2 x2 Verbesserungsgleichungen: v A1 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil x1 A 2 l x2 Elimination von Parametern durch Blockzerlegung Zuschläge auf die Unbekannten: A1T PA1 A1T PA2 x1 A1T Pl AT PA AT PA x AT 2 1 2 2 2 2 2. Gleichung: N 21x1 N 22 x 2 n 2 N 22 x 2 n 2 N 21x1 1 N Falls 22 existiert erhalten wir eine Bestimmungsgleichung für x2 Einsetzen in x1 Lösung für x1 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Blockzerlegung nach Helmert (1) Zerlegung des Netzes an der gestrichelten Linie 3 Punktwolken – x1: links – x2: rechts – x3: Naht A11 B13 x1 a1 B31 B33 x3 b3 A 22 C23 x 2 a 2 C32 C33 x3 c3 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Blockzerlegung nach Helmert (2) Nun werden die Parameter x1 und x2 aus den Gleichungssystemen eliminiert: U11 U13 x1 s1 ( p ) ( p) B33 x3 b3 U 22 U 23 x 2 t 2 ( p ) ( p) C33 x3 c3 Die partiell reduzierten Anteile werden ( p) ( p) ( p) ( p) B C x b c addiert: 33 3 33 3 3 Lösung von x1 und x2 bestimmen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Weitere Bezeichnungen • Parameterschätzung nach der L2-Norm • Vermittelnde Ausgleichung: Gauß-Markov-Modell • Allgemeinfall der Ausgleichungsrechnung: Gauß-Helmert-Modell • Ausgleichungsen vermittelnder Beobachtungen mit Bedingungsgleichungen: Ausgleichung nach Parametern mit Restriktionen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Analogien • Statik: Durchbiegung bei Fachwerk- und Stabsystemen – Arbeit minimiert • Elektrizitätslehre: Leitungsnetze – Stromwärme minimiert • Kinetische Gastheorie: bei irreversiblen Prozessen wird die Entropie maximiert • Dynamik: Bewegung eines Massenpunktes – Summe der durch Zwangsbedingungen verlorenen Kräfte minimiert Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Zusammenfassung • Lösung überbestimmter Probleme durch Einführen einer Bedingung: vTvmin • Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung • Sonderfälle bedingte/vermittelnde Ausgleichung – vermitteln: einfach zu automatisieren – bedingt: schwer aufzustellen, einfach zu rechnen • Große Netze: Zerlegung oder bedingte A. Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil
