5-Falger_Musik
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Die Musik in der Physik Von Alexander Falger am 4.05.2006 Überblick: Grundlegendes Stehende Welle Schwebung Verschiedene Arten von Musikinstrumenten Saiteninstrument – Tonentstehung – Tonhöhe Blasinstrument – Am Beispiel Orgelpfeife – Blockflöte Stimmungen – Reine und temperierte Stimmung Grundlegendes Wellenzahl Auslenkung Reelle Darstellung einer harmonischen Welle: Winkelgeschwindigkeit Ort Zeit ( x, t ) A0 cos(kx t ) Amplitude Phase Schwingungsterm – Wellenzahl: k 2 wobei die Wellenlänge ist. – Winkelgeschwindigkeit: 2 T wobei T die Periodendauer ist. Auslenkung t – Frequenz: f 1 T 2 2f – Ausbreitungsgeschwindigkeit: v Komplexe Darstellung einer harmonischen Welle: wir wissen: real( ) eingesetzt: real( ) k T f A0 e ikxit 1 * 2 1 A0 eikxit c.c. A0 cos( kx t ) A 2 Stehende Welle Kann geschehen wenn sich zwei gegenläufige harmonische Wellen treffen, z.B. Reflexion an Grenzfläche Komplexe Darstellung: 1 A0 eikxit 2 A0 e ikxit Überlagerung: 1 2 A0 eikxt e ikxt e it 2 A0 cos( kx) e it Realteil bilden: A real( ) 2 A0 cos( kx) cos(t ) räuml. Oszillation zeitl. Oszillation In Instrumenten werden stehende Wellen erzeugt, allerdings gibt es zwei Arten von Reflexionen zu unterscheiden: – Freie Enden – Fixierte Enden einer Röhre oder Saite Bestimmung der Frequenz: – L=/2 bzw. L= für Anordnung a fn n v 2L – L=/4 bzw. L= 3/4 für Anordnung b f n 2n 1 v 4L Schwebung Erklingen zwei Töne mit nur geringem Frequenzunterschied gleichzeitig, hört man einen Ton mit wechselnder Lautstärke Schwebung. komplexe Darstellung: mit folgt: 1 A0 eik1x i1t 2 A0 eik2 x i2t k1 k k , k2 k k 1 , 2 1 A0 eikxit e ikx it Überlagerung: 2 A0 eikxit eikx it 1 2 A0 eikxit eikx it e ikx it A0 eikxit 2 cos( kx t ) Realteil bilden: A real( ) 2 A0 cos(kx t ) cos(kx t ) Harmonische Welle Modulation Mit dem Ohr vernimmt man einen Ton in der Tonhöhe f: f f1 f 2 1 2 2 2 2 4 4 Wobei die Stärke des Tons mit der Frequenz f oszilliert: 1 2 f f 2 f1 2 2 2 Das menschliche Ohr kann bis zu 20 Schwebungen in der Sekunde wahrnehmen, die Frequenzdifferenz der beiden Teiltöne darf nicht größer als 20 Hz sein. Arten von Musikinstrumenten AEROPHONE – Aerophone sind alle Musikinstrumente mit schwingender Luft als Tonerzeuger. Die meisten Aerophone sind Blasinstrumente, wo die Luft direkt angeregt wird. Aber auch Orgeln und Akkordeon sind – aufgrund mechanischer Luftversorgung – Aerophone. – Unterscheidung: Holz- und Blechblasinstrumente CHORDOPHONE – Zu der Gruppe der Chordophone gehören die Instrumente, bei denen der Ton durch das Streichen (Streichinstrumente), Anreißen (Zupfinstrumente) oder Schlagen (Hammerklavier) gespannter Saiten erzeugt wird. – Beispiele: Gitarre, Harfe, Zither, Geige, etc. IDIOPHONE – Idiophone sind Instrumente, bei denen der schwingende Instrumentenkörper selbst – und nicht etwa eine Membran oder eine Saite – den Ton erzeugt. Idiophone können durch schlagen, Schütteln, Zupfen und Reiben zum Schwingen gebracht werden. Nach dem Material werden Idiophone aus Stein (Litophone), Holz (Xylophon), Metall (Metallophone) oder Glas (Glasspiel) unterschieden. – Beispiele: Becken, Kastanietten, Triangel, Glockenspiel, etc. MEMBRANOPHONE – Membranophone sind Instrumente, bei denen der Klang durch Schwingungen gespannter Membranen (Haut, Fell) erzeugt wird. Die Schwingungen werden durch Schlagen (Trommel, Pauke), Reiben (Reibtrommel) oder Ansingen (Mirliton) angeregt. – Beispiele: Pauke, Bongos, Militärtrommel, Congas, etc Pauke Genau wie die eingespannte Saite zu Eigenschwingungen angeregt werden kann, besitzt auch ein zweidimensionales System Eigenmoden. Mathematische Beschreibung durch Euler, Schlagwort Besselfunktionen. Grafische Darstellung dieser Moden durch ihre Schwingungsknoten. Die beiden Zahlen über den Bildern geben an, wie viele geradlinige, bzw. runde Knoten vorhanden sind. Die Zahlen darunter sind Frequenzverhältnisse relativ zur (01) Mode. Will man die aktuellen Frequenzen berechnen, muss man jede Zahl mit einem Faktor k multiplizieren: 2,405 T k 2a – dabei ist a der Radius der Membran, T gibt die Spannung an und ist die Flächendichte. Lord Rayleigh zeigte 1894, dass die Tonhöhe einer Pauke durch die (11)-Resonanz bestimmt ist. Die nächst höheren Moden sind die Quint (21) und die Oktave (31). Diese Frequenzen hängen vom Anschlagpunkt ab. Die obigen Verhältnisse gelten, wenn man die Membran ein viertel vom äußeren Rand anschlägt. Wird die Pauke in der Mitte angeschlagen, werden die Moden (01) und (02) angeregt. Klangbeispiel Wieso können wir Instrumente unterscheiden? Wenn zwei Instrumente einen Ton mit gleicher Frequenz spielen, können wir die beiden Klänge trotzdem auseinander halten. Das liegt daran, dass bei jedem Ton, der von einem Instrument erzeugt wird, nicht nur die Grundschwingungen, sondern gleichzeitig eine Reihe von Obertönen oder Teiltönen mitschwingen. Unser Ohr kann diese Obertöne nicht vom Grundton absetzen. Je nach dem, welche Obertöne wie stark ausgeprägt sind, bildet sich eine spezielle Klangfarbe, die wir uns merken können. Wie entsteht ein Ton? Auf einer Geige entstehen Töne, indem die Saite während dem Spielen einen kurzen Moment am Bogen haftet; sie wird also einfach mitgezogen bzw. zur Seite gelenkt, d.h. die Saite wird noch mehr gespannt. Irgendwann ist die Spannkraft höher als die Haftung an den Bogenhaaren und die Saite schnellt zurück. Gleich darauf wird sie jedoch wieder vom Bogen mitgezogen. Also schwingt die Saite immer hin und her. Die Schwingung der Saite reicht aber nicht aus um genügend Luftmasse in Bewegung zu setzen und wir den Ton hören können. Deshalb wird die Schwingung von der Saite auf den Steg und somit an den ganzen Körper der Violine (=Klangkörper od. Resonanzkörper) übertragen. Das Instrument selber kann nun soviel Luft in Schwingung setzen, dass wir den Ton hören können. Die meisten Instrumente haben einen Resonanzkörper um den Ton zu verstärken. Wovon ist die Tonhöhe abhängig? Am Beispiel Gitarre – Von der Dicke der Saite Je dicker die Saite ist, desto tiefer ist der Ton. – Von der Spannung Die Spannung der Saiten wird beim Stimmen verändert. Wird die Saite mehr gespannt, wird der Ton höher. – Von der Länge Je länger eine Saite ist, desto tiefer sind die Töne! Der Kontrabass z.B. hat viel längere Saiten als die Gitarre und spielt deshalb auch tiefer. – Vom Material der Saite Schallentstehung in einer Orgelpfeife Wie Schall in einer Orgelpfeife entsteht, ist deshalb interessant, weil viele Instrumente ähnlich funktionieren. Es gibt zwei Arten von Orgelpfeifen: – Labial- oder Lippenpfeifen und Lingual- oder Zungenpfeifen. Labial- oder Lippenpfeifen Der Schall in einer Lippenpfeife entsteht auf die gleiche Art wie z.B. in einer Blockflöte. Die angeblasene Luft trifft von unten auf den Spalt und muss sich dort aufteilen. Sie weicht nach innen und außen aus. Dadurch entstehen Wirbel, die die Luftsäule im Innern in Schwingung versetzen. Jetzt wird der Ton hörbar. Lingual- oder Zungenpfeifen Eine Zungenpfeife dient als Modell für Oboe, Fagott, Klarinette, Trompete, Posaune, Horn und angenähert auch für die menschliche Stimme. Im Innern einer Zungenpfeife befindet sich ein Metallröhrchen (die so genannte Kehle), an dem ein Metallblättchen (Zunge) anliegt. Diese „Zunge“ wird von unten durch den Wind in Schwingung versetzt. Sie schlägt gegen die Kehle. Dadurch wird die Bewegung auf die Luftsäule übertragen. Schallwellen entstehen. Unsere Stimmbänder können mit „Doppelzungen“ verglichen werden, die man mit Muskeln anspannen und durch Atemluft in Schwingung versetzen kann. Bei Trompete, Posaune und Horn wirken die Lippen der Spieler wie Doppelzungen. Die Blockflöte Der Hauptteil einer Blockflöte besteht aus einer konischen Röhre,die sich nach vorne verengt. Material: Holz oder Plastik Im Innenraum baut sich eine stehende Welle auf. Da beide Enden der Röhre offen sind, ergibt sich die Tonhöhe f der Flöte aus ihrer Länge L mittels: v fn n 2L Die Obertöne einer Blockflöte sind rund 30 dB leiser als der Grundton, deswegen ist ein Flötenton gut durch eine einzelne Sinusschwingung beschreibbar. Bläst man stärker in die Flöte („Überblasen“), so wird der 1. Oberton angeregt; dieser liegt eine Oktave über dem jeweiligen Grundton. Stimmungen Vermutlich hat jeder von uns schon einmal die gängige Durtonleiter gehört. Hinter der so eindeutig und einfach erscheinenden Tonleiter steht aber ein langwieriger Prozess, der viel mit mathematischen Überlegungen zu tun hatte. Es entwickelten sich nämlich im Lauf der Jahrhunderte verschiedene Stimmungen, die sich alle an bestimmten Stellen um eine geringe Hertzzahl unterschieden. Die Durtonleiter wurde danach aufgebaut, welche Töne zusammen angenehm klangen. Tonleiter C- Dur Reine Stimmung Jeder Ton der Tonleiter hat seine eigene Frequenz ( f0, f1 usw.). Pythagoras hat festgestellt, dass wir zwei Töne am angenehmsten empfinden, wenn ihre Frequenzen sich zueinander wie zwei natürliche Zahlen kleiner 7 verhalten. Einen Ton, der zum Ton mit der Frequenz 264Hz angenehm (konsonant) klingt, erhalten wir also z.B., wenn wir ihn mit 3/2 multiplizieren, weil er das Verhältnis 2:3 (zwei natürliche Zahlen kleiner 7) zum zweiten Ton haben soll. Man muss also die Frequenz des Grundtons mit Brüchen multiplizieren, um die Frequenzen der anderen Töne zu erhalten. Die Beziehung zweier Töne zueinander bezeichnet man in der Musik als Intervall. Allerdings ergeben sich auch einige Schwierigkeiten. Möchte nun der Spieler eines Instrumentes, das nach dieser Weise gestimmt ist, von d (D- Dur) aus eine angenehme Quinte spielen, hat er nur das a mit 440 Hz zur Auswahl. Nach dieser Stimmung müsste aber die Quinte zu d folgende Frequenz haben: 3 297 445,5 2 Das ist ein Unterschied von 5,5 Hz, der sehr deutlich hörbar ist. Auf einem Instrument, das nach der reinen Stimmung gestimmt ist, kann man also fast nur die eine Tonleiter benutzen, da die anderen einfach unangenehm klingen. Wegen dieses Problems wurden schon früh heftige Diskussionen zwischen Musikern oder Instrumentenbauern geführt. Der große Nachteil der reinen Stimmung ergibt sich aus dem unterschiedlichen Tonabstand (Intervall), den die einzelnen Töne voneinander haben. Temperierte Stimmung Die Lösung erbrachten der Mathematiker Marin Mersenne (1588-1648) und der Orgelbauer Andreas Werckmeister (1645-1706). Ihr Ziel war es, die verschiedenen Abstände auszugleichen, ohne die Grundlagen der Tonleiter zu erschüttern. Sie gingen folgendermaßen vor: – Um die Gleichverteilung der Abstände zwischen den Tönen zu erleichtern, wurden Ganztonschritte in zwei Halbtonschritte eingeteilt, also insgesamt 12 Halbtonschritte. – Das Frequenzverhältnis der Oktaven von 1:2 sollte beibehalten werden. Wenn gleiche Abstände erreicht werden sollen, heißt das, dass die Frequenzverhältnisse zweier benachbarter Töne immer gleich sein müssen. Will man nach diesem System die Frequenz des zweiten Tones ausrechnen, so muss man die Frequenz des ersten mit einer Konstanten k multiplizieren. Um den nächsten Ton zu erhalten, muss man erneut mit k multiplizieren usw. Führt man diese Reihe bis in die Oktave, also zum 12. Halbton fort, so ergibt sich: k 2 12 k 12 2 1,05946 Dieses exponentielle Wachstum der temperierten Stimmung zeigt sich an der geschweiften Form eines Klaviers. Und zwar ganz einfach deswegen, weil die Saitenlängen, die ja mit höheren Frequenzen kürzer werden, einer Funktion des exponentiellen Wachstums folgen. Beispiel: Stegabstände der Gitarre Stimmungen im Vergleich Mit diesem Faktor k muss also von Ton zu Ton multipliziert werden. Dies nennt man dann temperierte oder gleichschwebende Stimmung. Zwar sind bei dieser Stimmung alle Tonleitern verfügbar, aber andererseits handelt es sich hier um eine Kompromisslösung. Das wird deutlich, wenn man die beiden Stimmungen am Beispiel der C-Dur-Tonleiter vergleicht:
