Teil_II_L06_SS2006

 Die Wirkung der Reibungskraft
 Der thermische Wind
 Luftbewegungen bei äquivalent-barotroper Schichtung
Die Wirkung der Reibungskraft
 Innerhalb der planetarischen Grenzschicht bzw.
Reibungsschicht bewirkt die Reibungskraft eine Abbremsung
des Windes unter den geostrophischen Wert.
 Die Windgeschwindigkeit ist besonders in Bodennähe
subgeostrophisch und nähert sich bis zur Obergrenze der
Reibungsschicht in ungefähr 1000 bis 1500 m Höhe dem
geostrophischen Wert an.
 Bei verringerter Windgeschwindigkeit ist auch die
Corioliskraft kleiner, deshalb kann sie die Druckgradientkraft nicht mehr ausbalancieren.
 Dann gibt es eine Windkomponenten quer zu den Isobaren in
Richtung tieferen Druck.
Die Wirkung der Reibungskraft
T
H
Die Wirkung der Reibungskraft
P
p  2p

V

p  p
p
F
Co
p  p
Wenn die drei Kräfte im Gleichgewicht sind, gilt
| F || P | sin 
| P | cos  | Co | f | V |
| F | f | V | tan 
| F | f | V | tan 
 Der Betrag der Reibungskraft ist vorwiegend von der
Windgeschwindigkeit abhängig auch wenn der
Ablenkungswinkel am Boden unterschiedlich sein kann.
 Über Land kann man im Mittel einen Ablenkungswinkel von
30° annehmen, wobei das Verhältnis V/Vg etwa 0,5 beträgt.
 Über See ist der Winkel gegen die Isobaren zumindest in
mittleren und höheren Breiten recht gering (10-20°) und die
Windgeschwindigkeit erreicht durch-schnittlich 70-80% des
geostrophischen Wertes.
Einfache Theorie der Reibungsschicht
Vb = (ub , vb)
1 p

 y
1 p

 y
y
pUg = (ug , 0)
f(0 , ug)
f(vb , ub)
p+
h
x
Reibung
CD(u b2  v b2 )1/ 2 (u b , v b )
empirisch - pro Einheitsfläche
Reibungchichtskraft verteilt über der Reibungsschicht
CD(u b2  vb2 )1/ 2 (u b , v b )
CD 2


(u b  v2b )1/ 2 (u b , vb )
h
h
Masse der schicht pro Einheitsfläche
Kraftbilanz in der Reibungsschicht
CD 2
f (v b , u b )  f (0, u g ) 
(u b  v b2 )1/ 2 (u b , v b )  0
h
Zwei Gleichungen für ub und vb
Lösung als Übung
CD 2
ub  ug 
(u b  v 2b )1/ 2 v b
fh
C
v b  D (u b2  v b2 )1/ 2 u b
fh
Lineare Reibung
u b  u g  vb
vb  u b
 = Reibungskoeffizient
Vereinfachte Lösung
ub 
vb 
ug
1  2
u g
vb
tan  

ub
1  2
| (u b , vb ) | 
(ub , vb)

ub
vb
ug
ug
1  2
Der thermische Wind
dp
 g
dz
Die hydrostatische Gleichung lautet
p(x, z, t )  p(x,0, t )  g
z
z
(x, z, t )dz
0
Je größer die Dichte ist, nimmt der Druck um so rascher
mit der Höhe ab.
Der Druck nimmt schneller in kalter Luft ab als in warmer Luft.
p(x, z, t )  p(x,0, t )  g
z
z
(x, z, t )dz
0

x
p

x z  h
p
g
x z  0
z
z
0

(x, z, t )dz
x
In Gebieten mit horizontalen Dichtegradienten bzw.
Temperaturgradienten ist der horizontale Druckgradient
höhenabhängig.
Der geostrophischen Wind ist auch in solchen Gebieten
höhenabhängig.
Vg ( h ) 
zh
kalt
1 p
1 p

f x z  h f x z  0
warm
z0
Vg (0) 
Vg ( h )
zh
1 p
f x z  0
p
0
x z  h
.
kalt
warm
z0
Vg ( 0 )
geostrophisch


z
1 p
fVg 
 x
hydrostatisch
p
 g
z

 p
 p

f
(Vg ) 

 g
z
z x x z
x
Vg


g
 fVg
 f
x
z
z
 ln  fVg  ln 
f Vg


x
g z
g z
Eine partielle Differentielgleichung erster Ordnung für ln 
 ln  fVg  ln 
f Vg


x
g z
g z
z
z
c
 f (x, t)
t
x
z.B.
p  RT

ln   ln p  ln R  ln T
 ln T fVg  ln T   ln p fVg  ln p  f Vg




x
g z
g z  g z
 x
p
 fVg
x
p
 g
z
 ln p fVg  ln p

0
x
g z
 ln T fVg  ln T f Vg


x
g z
g z
Vg
g T fVg T

f
T x
T z
z
2
g T 10 msA
T B
10 ms 2 C 10 K


 6
 3, 3  107
T x
300 K x
300 K
10 m
f
Vg
z
 10
4
Vg
40 ms 1
7

 10 s 

4

10
z
104 m
4
1
fVg T
104 s1  20 ms 2  65 K
8



5

10
T z
300 K  104 m
Die thermische Windgleichung
Vg
g T fVg T
f


z
T x
T z
Vg
g T
f

z
T x

fVg T
T z
relativ kleine
vertikale
Scherung
horizontale
Temperaturgradient
Andere Form der thermischen Windgleichung
Vg
g 
f

z
 x
1 
 fVg
 z
1 
1


 z Hs
vertikale
Scherung
horizontale
Dichtegradient
Vg
g  fVg
f


z
 x H s
Der Form der Gleichung ist einfacher in Druckkoordinaten!
Hydrostatisch

 
p
Mathematisch
Geostrophisch

fu  
,
y
   
   



,
x  p  p  x 
   
   




y  p  p  y 


     fv  ,
x
p


     fu 
y
p

v
 f
,
x
p
V-component

fv 
x
Vg

u
f
y
p
g T fVg T
f


z
T x
T z
Januar
Juli
African Easterly Jet
isentropen
isotachen
warm
Easterly waves over Africa
WV Imagery 17 June 1997 00Z
Die Änderung des geostrophischen Windes zwischen zwei
Druck- bzw. Höhenflächen (oberhalb der Reibungsschicht)
bezeichnet man auch als thermischen Wind.
Vg2
z
Vg2
Vg1
VT
Wie sieht die Situation in Druckkoordinaten aus?
Vg (500 mb)
kalt
500 mb
warm
z 500
Vg ( 700 mb)
700 mb
z 700
kalt
warm
1000 mb
n-Richtung
zur Erinnerung: z  (RT / g)ln(p2 / p1 )
z
n

500 mb
z
n
700 mb
V500 mb
g z
g z

 V700 mb 
f n 500 mb
f n 700 mb
Der thermische Wind zwischen 700 mb und 500 mb ergibt sich zu
VT  V500 mb  V700 mb
g 
g D

(z500 mb  z700 mb ) 
f n
f n
D = z500 mb - z700 mb gibt die Schichtdicke zwischen den zwei
Druckflächen an.
Hier
D
0
n
VT 
g D
0
f n
Vg (500 mb)
500 mb
z 500
Vg ( 700 mb)
kalt
700 mb
z 700
warm
1000 mb
n-Richtung
die geostrophische Windgeschwindigkeit nimmt
mit der Höhe zu.
barotrope Schichtung
z
n

500 mb
z
n

700 mb
z
n 1000 mb
Vg (500 mb)
500 mb
Vg ( 700 mb)
700 mb
Vg (1000 mb)
z 700
z 500
1000 mb
n-Richtung
D
0
n
VT  0
T
0
n
Die allgemein gültige Beziehung für den thermischen Wind lautet
g
g
VT  V2  V1  k   p (z 2  z1 )  k   p D
f
f
 hat die gleiche Form wie die für den geostrophischen Wind
g
Vg  k   p z
f
Analog zum geostrophischen Wind, der thermische Wind bläst
parallel zu den Schichtdickenlinien (gemittelten Isothermen),
oder - anders ausgedrückt, im rechten Winkel zum
Temperaturgradienten.
Auf der Nordhalbkugel liegen die niedrigen Schichtdickenwerte
(tiefen Temperaturen) zur Linken.
Vg2
z
Vg2
T
Vg1
kalt
VT
T
Isothermen
T+
warm
Luftbewegungen bei äquivalentbarotroper Schichtung
 In erster Näherung sind viele Störungen in der Erdatmosphäre
äquivalent-barotrop geschichtet.
 Beispiele: Hurrikane, Tiefdruckgebiete und Frontalzonen der
mittleren Breiten.
 Im folgenden Bildern verlaufen die Isothermen und Isohypsen
im Bereich der Frontalzone in allen Druckflächen annähernd in
gleicher Richtung - von Südwesten nach Nordosten.
Isohypsen im 700 mb Niveau am 20 November 1964, 12 Z
700 mb
Isohypsen im 500 mb Niveau am 20 November 1964, 12 Z
500 mb
Isohypsen im 250 mb Niveau am 20 November 1964, 12 Z
250 mb
Thermischewindgleichung in Druckkoordinaten
geostrophisch


p
hydrostatisch

fVg 
x

 
p
Vg
 
 

f



p
p x x p
x
Vg

 f
x
p
Vergleich
 ln  fVg  ln 
f Vg


x
g z
g z
RT

p
Thermischewindgleichung für Gradientwind Bilanz
Gradientwind Bilanz
hydrostatisch
V2

 fV 
r
r

 
p


p
   

 2V
 V
f 




r
 r
 p p r r p
RT

p

 2V
 V
 
f 
r
 r
 p
Thermischewindgleichung für Gradientwind Bilanz
bilancierte Wirbeln
kaltes Hoch
warmes Hoch
V
V
V
D
D
r
r
isobaric surfaces
V
D
D
r
r
warmes Tief
kaltes Tief
V
V
V
isobaric surface
V
D
D
D
D
r
r
r
r
Dieser Querschnitt ist senkrecht zu den Isothermen und Isohypsen
orientiert. Deshalb liegt er senkrecht zur geostrophischen Windrichtung.
Struktur eines hohen kalten Tiefs bzw. Höhentroges
100
Stratosphäre
200
Tropopause
300
Troposphäre
400
500
600
700
800
900
1000
Struktur eines hohen kalten Tiefs bzw. Höhentroges
Cut-off low oder upper trough auf englisch
Strahlstrom = jet stream
Stratosphäre
Tropopause
100
200
300
Troposphäre
500
700
1000
r=0
Isentropen
Isotachen
r
p
Struktur eines hohen warmen Hochs, bzw. Höhenrückens
Strahlstrom
Stratosphäre
Tropopause
100
200
300
500
Troposphäre
700
1000
r=0
Isentropen
Isotachen
r
p
Zusammenfassung 1
1. Der Auswirkung von Reibung
Innerhalb der planetarischen Grenzschicht bzw. Reibungs-schicht bewirkt
die Reibungskraft eine Abbremsung des Windes unter den geostrophischen
Wert. In dieser Schicht bläst der Wind mit einem Komponent in Richtung
tieferen Druck.
T
pV
H
p+
Die planetarische Grenzschicht hat typischeweise eine Dicke von etwa
1 - 1.5 km (bis zu 4 km in Wüstengebieten während des Tages auf
Grund der thermischen Mischung).
Zusammenfassung 2
2. Thermische Windgleichung (differentielle Form)
Vg
fVg T
g T
f


z
T x
T z
vertikale
Scherung
horizontale
Temperaturgradient
relativ klein
aber nicht
vernachlässigbar
für eine dicke
Schicht
Zusammenfassung 3
3. Die thermishe Windgleichung (Lösung in Druckkoordinaten)
g
VT  k   p D
f
VT  V2  V1
Vergleich:
4. Barotrop
g
Vg  k   p z
f
VT  0
5. Äquivalent Barotrop - Isothermen und Isohypsen sind in
allen Druckflächen in gleicher Richtung
V(p) ändert seine Richtung nicht
Zusammenfassung 5
6. Thermische Windgleichung in Druckkoordinaten
Vg

 f
x
p
7. Thermische Windgleichung für Gradientwind Bilanz

 2V
 V
 
f 
r
 r
 p
Zusammenfassung 4
6. Bilanzierte Wirbeln
warmes Hoch
kaltes Hoch
V
V
D
V
V
isobaric
surfaces
isobaric
D
D
r
r
r
warmes Tief
D
r
kaltes Tief
D
D
D
D
V
V
V
V
r
r
r
r
Ende