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Didaktik der Linearen Algebra
Übergangsmatrizen
Referenten: Leif Stuhrmann
René Kühne
Übersicht






Problemvorstellung
Wiederholung Matrizenmultiplikation
Wiederholung Eigenwertprobleme
Lösung des Problems
Anwendung
Anwendungsszenarien
Übersicht






Problemvorstellung
Wiederholung Matrizenmultiplikation
Wiederholung Eigenwertprobleme
Lösung des Problems
Anwendung
Anwendungsszenarien
Übersicht
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
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
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
Problemvorstellung
Wiederholung Matrizenmultiplikation
Wiederholung Eigenwertprobleme
Lösung des Problems
Anwendung
Anwendungsszenarien
Übersicht
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Problemvorstellung
Wiederholung Matrizenmultiplikation
Wiederholung Eigenwertprobleme
Lösung des Problems
Anwendung
Anwendungsszenarien
Übersicht
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
Problemvorstellung
Wiederholung Matrizenmultiplikation
Wiederholung Eigenwertprobleme
Lösung des Problems
Anwendung
Anwendungsszenarien
Übersicht
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
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


Problemvorstellung
Wiederholung Matrizenmultiplikation
Wiederholung Eigenwertprobleme
Lösung des Problems
Anwendung
Anwendungsszenarien
Problem
Die drei Firmen A, B und C führen einen völlig
neuartigen Mikrochip auf dem Markt ein.
Zu Beginn besitzt A 40%, B 20% und C 40%
Marktanteil. Während des ersten Jahres verliert
A 5% seiner Kunden an B und 10% an C, B gibt
15% seiner Kunden an A und 10% an C ab, und
C verliert jeweils 5% seiner Kunden an A und B.
Während der folgenden Jahre verändern sich
die Marktanteile stets nach demselben Schema.
Problem
Welche Marktanteile besitzen die drei Firmen am
Ende des ersten, zweiten und dritten Jahres?
5 % zu A und 5 % zu B
5 % zu B und 10 % zu C
C:
40
A:
40
B:
20
15 % zu A und 10 % zu C
Matrizenmultiplikation
Beachte: Stimmen die inneren Zeilen überein, so ist das Produkt definiert.
Die äußeren Zahlen geben die Größe des Produktes an.
Problem
Nach einigen Jahren haben sich die Marktanteile
eingependelt und verändern sich nicht mehr. Alle
drei Unternehmen genießen ihren großen
wirtschaftlichen Erfolg. Wie lautet der Name des
Marktführers?
A:
39
C:
42
B:
19
1.Jahr
A:
38,1
C:
43,6
B:
18,3
2.Jahr
Eigenwertprobleme






Allgemein: A v   v
Überführung in ein homogenes System:
(1)
Ist λ ein Eigenwert, so heißen die nichttrivialen Lösungen von A Eigenvektoren von
A zu λ.
(1) hat genau dann eine nichttriviale
Lösung, wenn gilt:
Eigenwertprobleme



Allgemein: A v   v
Überführung in ein homogenes System:
 
(1)
( E  A) v  0
 Ist λ ein Eigenwert, so heißen die nichttrivialen Lösungen von A Eigenvektoren von
A zu λ.
 (1) hat genau dann eine nichttriviale
Lösung, wenn gilt:

Eigenwertprobleme



Allgemein: A v   v
Überführung in ein homogenes System:
 
(1)
( E  A) v  0
 Ist λ ein Eigenwert, so heißen die nichttrivialen Lösungen von A Eigenvektoren von
A zu λ.
 (1) hat genau dann eine nichttriviale
Lösung, wenn gilt:

Eigenwertprobleme



Allgemein: A v   v
Überführung in ein homogenes System:
 
(1)
( E  A) v  0
 Ist λ ein Eigenwert, so heißen die nichttrivialen Lösungen von A Eigenvektoren von
A zu λ.
 (1) hat genau dann eine nichttriviale
Lösung, wenn gilt: det(  E  A)  0

Zahlenbeispiel
Bestimmung der Eigenwerte der Matrix A
1
2 1
A   2 3
4 
 1  1  2
Problem
Nach einigen Jahren haben sich die Marktanteile
eingependelt und verändern sich nicht mehr. Alle
drei Unternehmen genießen ihren großen
wirtschaftlichen Erfolg. Wie lautet der Name des
Marktführers?
A:
39
C:
42
B:
19
1.Jahr
A:
38,1
C:
43,6
B:
18,3
2.Jahr
Lösung mit Derive
Anwendung
Bei Konzerten sind die Preise in 3 Klassen A, B und C unterteilt. (A ist
die teuerste, dann folgt B und C ist schließlich billigste). 70% bleiben
am nächsten Wochenende bei ihrer Preisklasse.
Von A aus wechseln 30% zu B und 0% zu C. Von B wechseln 20% zu A
und 10% zu C. Von C wechseln wiederum 20% zu B und 10% zu A.
Die Veranstalter wollen auf lange Sicht gleich viele Karten von jeder
Preisklasse verkaufen.
Nur die Besucher der Klasse A sollen ihr Übergangsverhalten ändern.
Untersuche, wie sich das Übergangsverhalten derjenigen Mitglieder,
die Klasse A gewählt haben, ändern müsste, damit auf lange Sicht je
400 Karten der Klassen A, B und C reserviert werden können.
Lösung

0,7 0,2 0,1
Übergangsmatrix:
A   0,3 0,7 0,2
 0 0,1 0,7
Lösung

Übergangsmatrix:

Lösung von
 x1
x
 2
 x3
0,7 0,2 0,1
A   0,3 0,7 0,2
 0 0,1 0,7
0,2 0,1  400   400 

 


0,7 0,2   400    400 
0,1 0,7  400   400 
Lösung

Übergangsmatrix:

Lösung von

Lösung:
 x1
x
 2
 x3
0,7 0,2 0,1
A   0,3 0,7 0,2
 0 0,1 0,7
0,2 0,1  400   400 

 


0,7 0,2   400    400 
0,1 0,7  400   400 
x1  0,7 x2  0,1 x3  0,2
Anwendungsszenarien



Verteilungsprobleme
Mischungsprobleme
Stochastische Probleme
(Korrektheit von Wettervorhersagen)
Anwendungsszenarien
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Verteilungsprobleme
Mischungsprobleme
Stochastische Probleme
(Korrektheit von Wettervorhersagen)
Anwendungsszenarien
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Verteilungsprobleme
Mischungsprobleme
Stochastische Probleme
(Korrektheit von Wettervorhersagen)
Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit!