Gedanken zur Redundanz - ein Einführungsvortrag - Prof. Dr.-Ing. Steffen Krätzig Vortrag Fachgruppe am 20.10.2006 1/17 Ein Versuch, sich dem Thema zu nähern • Definition und Ursprung • Redundanz • Mathematische Beschreibung Zuverlässigkeit Verfügbarkeit – Statistische Grundgrößen – Zuverlässigkeitskenngrößen – Zeitverhalten • Redundanzstrukturen • Aktuelles Beispiel aus der Netzplanung Prof. Dr.-Ing. Steffen Krätzig Vortrag Fachgruppe am 20.10.2006 2/17 Definition der Redundanz: Funktionsbereites Vorhandensein von mehr als für die vorgesehene Funktion notwendigen technischen Mittel DIN 40042 Vorhandensein von mehr funktionsfähigen Mitteln in einer Betrachtungseinheit, als für die Erfüllung der geforderten Funktion notwendig sind. Birolini, Zuverlässigkeit von Geräten und Systemen, Springer, 1997 Prof. Dr.-Ing. Steffen Krätzig Vortrag Fachgruppe am 20.10.2006 3/17 Lebensdauer Ursprung Risikobewertung Redundanz n H ( X ) E{ I ( X )} p( xi ) f ( xi ) i 1 Shannon Prof. Dr.-Ing. Steffen Krätzig I ( xi ) ld Vortrag Fachgruppe am 20.10.2006 1 p( xi ) 4/17 Beispiel aus der Nachrichtenübertragung Äquivokation H(X|Y) X Q Quellcodierer Kanalcodierer Ü - Kanal R R H max H fehlertoleranter Leitungscode N Y Transinformation T(X,Y) H(X|Y) Irrelevanz Kanalkapazität C max T ' (X, Y) p(X) Creal C - Redundanz im Quellcodierer - Redundanz aus dem Kanalcodierer - wirtschaftliche Abwägung von (S/N)Empfänger Prof. Dr.-Ing. Steffen Krätzig Vortrag Fachgruppe am 20.10.2006 5/17 Redundanz Def: Zuverlässigkeit dependability p(Eigenschaft einer Einheit, während einer Zeitdauer T (0,t) ausfallfrei zu arbeiten) kurz: „Zuverlässigkeit ist Qualität auf Zeit“ Zuverlässigkeitsfunktion R(t) reliability Ausfall Ausfallrate λ(t) Erwartungswerte E(T) „Badewanne“ MTTF Prof. Dr.-Ing. Steffen Krätzig MTBF Vortrag Fachgruppe am 20.10.2006 6/17 Redundanz Def: Verfügbarkeit A(t) availability p(Einheit ist funktionsfähig zum Zeitpunkt t) Reparatur - / Unterhaltungskonzepte maintanance concept Reparatur MTTR Reparaturrate µ(t) Redundanz Sicherheit safety Sicherheitskenngrößen Gefährdungswahrscheinlichkeit G(t) Sicherheitswahrscheinlichkeit S(t) Auswirkungen einer Gefährdung Risiko Prof. Dr.-Ing. Steffen Krätzig Vortrag Fachgruppe am 20.10.2006 7/17 Statistische Grundgrößen pi i {N } • • Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeit p( x | y ) • Unabhängige Ereignisse p( x, y ) p( x ) p( y ) • Verteilfunktion F ( x ) p( X x ) p( x, y ) p( y ) Detail >>> Zufallsgröße X • Verteilungsdichte f ( x) dF ( x ) dx x F ( x) f ( )d • Erwartungswert E ( X ) x f ( x )dx stetig 0 xi f ( xi ) diskret i Prof. Dr.-Ing. Steffen Krätzig Vortrag Fachgruppe am 20.10.2006 8/17 Detail: Beispielhafte Verteilfunktionen Name Verteilfunktion Dichte Ausfallrate Mittelwert Eigenschaften Exp F ( t ) p(T t ) f (t ) e (Weibull) t E (T ) 1 gedächtnislos p(T t t | T t ) p(T t ) e t keine Alterung R( MTBF ) e MTBF e1 0,37 0,37 t 1 Poisson pk p ( X k ) m t ./. m k m e k! pk z.B. m=3 mi m p( X k ) e i 0 i! k 0,2 0,1 - k 2 Prof. Dr.-Ing. Steffen Krätzig p(genau k Ausfälle in (0,t)) ; exp verteilte Ausfallzeiten mit Parameter λ 4 6 Vortrag Fachgruppe am 20.10.2006 9/17 Zuverlässigkeitskenngrößen Lebensdauer T • Ausfallwahrscheinlichkeit probability of failure • Zuverlässigkeitsfunktion Überlebenswahrscheinlichkeit • Ausfalldichte • Ausfallrate hazard rate h(t) F ( t ) p (T t ) R( t ) ( t ) 1 F ( t ) ausfallfreie Arbeitszeit τ f (t ) (t ) Annahme: λ(t) = λ dF ( t ) t dt f (t ) dR( t ) / dt d ln R(t ) 1 F (t ) R( t ) dt t R ( t ) e 0 • Erwartungswert ( t ) dt e t E (T ) R(t )dt et dt 0 0 1 MTBF Erweiterung Instandhaltung >>> Prof. Dr.-Ing. Steffen Krätzig Vortrag Fachgruppe am 20.10.2006 10/17 Erweiterung: Instandhaltungskenngrößen Verfügbarkeit Instandhaltung Wartung (planmäßig) Instandsetzung (außerplanmäßig mit Reparaturzeit) Ausfallwahrscheinlichkeit F(t) probability of failure Instandsetzungswahrscheinlichkeit M(t) maintainability M (t ) p(TR t ) m( t ) Ausfallrate λ(t) Reparaturrate µ(t) dM ( t ) dt 1 d ( Mt ) 1 M (t ) dt µ ( ) d Lösung : M ( t ) 1 e µ( t ) 0 mit µ(t) = µ : M (t ) 1 e µt E (TR ) t m(t )dt 0 Prof. Dr.-Ing. Steffen Krätzig 1 µ MTTR Vortrag Fachgruppe am 20.10.2006 11/17 Zeitverhalten Zustandsdiagramm Stochastische Modellbildung Markovkette für Einzelelement: Markov mit Poisson-Prozeß System ausgefallen Ausfall p1,1 ( t ) 1 t bleibt nach Δt mit p1,1 in Z1 p1, 2 ( Δt ) t wechselt nach Δt mit p2,1 in Z1 p1 (t ) aus Taylorentwicklung für e-Fktn. Z2 p2 , 2 ( t ) 1 µt p 2 ,1( t ) µt System funktionsfähig Reparatur oder System war in Z2 p1 ( t t ) p1 ( t ) p1,1 ( t ) p2 (t ) p2,1 ( t ) p2 (t t ) p2 (t ) p2, 2 ( t ) p1 (t ) p1, 2 ( t ) Prof. Dr.-Ing. Steffen Krätzig p2 (t ) wechselt nach Δt mit p1,2 in Z2 Z1 System war in Z1 kein Übergang in Δt. dp1 ( t ) p1 ( t ) p2 ( t ) µ dt dp2 ( t ) p1 ( t ) p2 ( t ) µ dt Vortrag Fachgruppe am 20.10.2006 12/17 Zeitverhalten stationäre Verfügbarkeit Erweiterung auf beliebige, endlich viele Zustände möglich. Laplace Transformation p1 (t ) Lösungen für das Einzelelement: p2 (t ) stationär : lim A(t ) t 0 Für µ µ 1 1 E (TB ) MTBF 1 1 E (TR ) MTTR µ µ lim 1 t 1 µ µ µ µ ( µ ) t e µ µ µ µ e ( µ ) t MTBF MTBF + MTTR stationäre Verfügbarkeit A(t ) p1 (t ) µ N (t ) p2 (t ) t Prof. Dr.-Ing. Steffen Krätzig Vortrag Fachgruppe am 20.10.2006 13/17 Redundanzstrukturen Kurze Zwischenbilanz: Statistische Grundgrößen Zuverlässigkeitskenngrößen ohne E (T ) 1 mit Instandhaltung MTBR = 1 = E (TR ) = MTBF µ + Zeitverhalten Verfügbarkeit Anwendung auf Redundanzstrukturen: • Serien-/Parallelsysteme • mvn-System • nvn-System • Verallgemeinerung auf vernetzte Strukturen z.B. MTBF1v 2 3 MTBFkvn ; 1 n 1 i k 1 i 1 Aktuelles Beispiel aus der Netzplanung Prof. Dr.-Ing. Steffen Krätzig Vortrag Fachgruppe am 20.10.2006 14/17 Aktuelles Beispiel aus der Netzplanung Auftrag: Redundanzanalyse Engpass Basis: R(t) Überlebenswahrscheinlichkeit Vorgehen: 1. Engpaß Netzdynamik Schaltredundanz als kalte Reserve Bedientheorie, Markov Prozeß m B 20/21 T m C i 1 G m gi 1 1 m 1 B i 1 G Ci gi B i 1 Ci 1 gi D A gi A E E 50/22 F g i Gewicht ( Fluß ) auf Kante i G gi gi Ti G Engpass min( Ci 1) bei 57 % Überlas t gi T/ms i m i Ci Kapazität auf Kante i B bi , j Bedarfsma trix B i, j Prof. Dr.-Ing. Steffen Krätzig 114 x=1 x=1,57 x=2,1 Vortrag Fachgruppe am 20.10.2006 B x 15/17 Aktuelles Beispiel aus der Netzplanung 2. Netzdynamik mit QoS-Vorgabe des Auftraggebers: T = ø Verweilzeit im Netz/Paket Problem: 1 min C f (T ) mit Ci gi (1 BT gi d i gi d i min( Kosten) u.d.N. Ci beliebig wählbar lineare Kostenfun ktion d i Ci ai (CA - Problem) Ergebnisse: wie vorgefunden ( schwarz ): T = 114ms nach Redundanzanalyse optimiert ( rot ): mit Vorgabe T = 100ms Redundante Reserve aus Netzplanung: Prof. Dr.-Ing. Steffen Krätzig Kosten 170 Mio. Kosten 149 Mio. 21 Mio. Vortrag Fachgruppe am 20.10.2006 16/17 Gedanken zur Redundanz - eine Einführung - Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit Prof. Dr.-Ing. Steffen Krätzig Vortrag Fachgruppe am 20.10.2006 17/17