Modellierung (Produktions

Produktions- und Absatzplanung
Modellbildung
Produktions- und Absatzplanung 1
Agenda
1.
2.
3.
Grundmodell (LPL-Basis)
Modifikationen des Grundmodells
Weitere Modelle
Produktions- und Absatzplanung 2
1. PPL: Grundmodell
Max
mit
u.d.N.
z
z = 40x1
+ 30x2
2x1
+ x2
+ 3x3  200
(Anlage)
x1
+ x2
+ 2x3  160
(Wärme)
2x1
4x1
+ 3x2
+ 1 2 x2
+ x3  140
+ 2x3 = frei
(Lösung)
(Rohstoff)
+ 70x3
x1,x2,x3 
0
Produktions- und Absatzplanung 3
1.1 LPL-Modell
MODEL PAP01; (*Standardmodell*)
SET
j = /1:3/;
VARIABLE
produkt{j};
PARAMETER
erloes{j} = [40 30 70];
zeit{j} = [2 1 3];
waerme{j} = [1 1 2];
mittel{j} = [2 3 1];
einsatz{j} = [4 0.5 2];
CONSTRAINT
Anlage: SUM{j} zeit*produkt <= 200;
Energie: SUM{j} waerme*produkt <= 160;
Loesung: SUM{j} mittel*produkt <= 140;
Rohstoff: SUM{j} einsatz*produkt;
Umsatz: SUM{j} erloes*produkt;
MAXIMIZE Umsatz;
END
Produktions- und Absatzplanung 4
1,2 Lösung mit XA

Lösungsstatistik im PRN-File
STATISTICS - FILE: PAP01 TITLE: MPSXNAME
Fri Jun 20 17:32:32
2003
xa VERSION 10.0 Intel Extended-DOS x86
USABLE MEMORY 7,605K BYTES
VARIABLES 3 MAXIMUM 50,000
0 LOWER, 0 FIXED, 0 UPPER, 0 FREE
CONSTRAINTS 4
MAXIMUM 10,000
1 GE, 0 EQ, 3 LE, 0 NULL/FREE, 0 RANGED.
CAPACITY USED BY CATEGORY0.0% VARIABLE, 0.0% CONSTRAINT, 15 NON-ZEROS, WORK 778,556
MAXIMIZATION.
MPS FORMATOBJECTIVE: Ums
RHS: ..rhs
RANGE: ?
BOUND: Bounds
O P T I M A L
S O L U T I O N ---> OBJECTIVE 4,850.00000
SOLVE TIME 00:00:00 ITER 2 MEMORY USED
0.0%
Produktions- und Absatzplanung 5
1.2 Lösung mit XA

Variablenlösung
File: PAP01
Fri Jun 20 17:32:32 2003 Page 1
SOLUTION (Maximized): 4,850.00000 MPSXNAME
------------------------------------------------------------------------------| Variable | Activity
|
Cost
| Variable | Activity
|
Cost
|
------------------------------------------------------------------------------|
pro1
0.00000
40.00000 I
pro2
27.50000
30.00000 |
|
REDUCED COST
-10.00000 |
REDUCED COST
0.00000 |
------------------------------------------------------------------------------I
pro3
57.50000
70.00000 |
|
REDUCED COST
0.00000 |
----------------------------------------
Produktions- und Absatzplanung 6
1.2 Lösung mit XA

Nebenbedingungslösung
File: PAP01
Fri Jun 20 17:32:32 2003 Page 2
CONSTRAINTS: MPSXNAME
--------------------------------------------------------------------------|Constraint| Activity |
RHS
|Constraint| Activity |
RHS
|
--------------------------------------------------------------------------|
Anl
200.00000 < 200.00000 I
Ene
142.50000 < 160.00000 |
|
DUAL VALUE
22.50000 |
DUAL VALUE
0.00000 |
--------------------------------------------------------------------------|
Loe
140.00000 < 140.00000 I
Roh
128.75000 >
0.00000 |
|
DUAL VALUE
2.50000 |
DUAL VALUE
0.00000 |
---------------------------------------------------------------------------
Produktions- und Absatzplanung 7
2. Modifikationen des Grundmodells
1.
Kapazitätserweiterungen

2.
Optimale Verfahrenswahl

3.
Zukauf, Überstunden, Zusatzschichten
Alternative Aktivitäten
Mehrperiodische Planung

Kapazitätsausgleich durch Zwischenlagerung
Produktions- und Absatzplanung 8
2.1 Kapazitätserweiterung
Max z
mit
u.d.N.
z = 40x1 + 30x2 + 70x3  16uA  8uW  1uL
2x1
x1
+ x2 + 3x3  200
+ uA
(Anlage)
+ x2 + 2x3  160 + uW
(Wärme)
2x1 + 3x2
+ x3  140
+ uL
(Lösungsmittel)
uA 
40
(Überstunden Anlag A)
uW 
20
(Max. Menge zusätzl. Wärme)
uL 
30
(Max. Menge zusätzl. Lösungsmittels)
x1, x2, x3 
0
Produktions- und Absatzplanung 9
2.2 Optimale Verfahrensauswahl
Mit xjk als Menge des produktes k nach Verfahren j :
Max z
mit z= 40x11+ 43x12+ 47x13+ 40x21+ 35x22+ 39x23+ 67x31+ 60x32+ 58x33
u.d.N.
2x11 + x12 + 2x13 + 2x21 + 2x22 + 3x23 + 3x31 + 3x32 + 4x33  240
(Anlage)
x11 + 2x12 + 2x13 + x21 + x22 + 2x23 + 3x31 + 3x32 + 4x33  250
(Energie)
2x11 + 3x12 + x13 + x21 + 3x22 + x23 + 4x31 + 4x32 + 2x33  340
(Lösungsm.)
 20
(Obergrenze)
 40
 30
 20
(Bestellungen)
x11
+ x12 + x13
x21
x11
+ x22
+ x23
x31
+ x31
+ x21
x12
+ x22
x13
+ x32
+ x33
+ x32
+ x23
+ x33
alle xjk
Produktions- und Absatzplanung 10
 20
 30
 0
2.3 Mehrperiodische Modelle 1
LP ist besonders wirksam, wenn
Produktions- und Absatzmengen zwischen
Perioden ausgeglichen werden können.
 Der Periodenausgleich erfolgt durch
Zwischenlagerung.
 Für jede einzelne Periode gilt die
Mengenbilanz:

Anfangsbestand + Produktion – Endbestand =
Absatzmenge
Produktions- und Absatzplanung 11
Variablen des mehrperiodischen LP-Modells 2
x jt  Menge von Produkt j in Periode t
l jt  Lagermenge von Produkt j in Periode t
d j  Deckungsbeitrag von Produkt j
c j  Lagerkosten von Produkt j
k j  Lagerkapazität für Produkt j
aij  Produktionskoeffizient von Faktor i für Produkt j
kit  Verfügbarkeit von Faktor i in Periode t
b jt  Absatz von Produkt j in Periode t
Produktions- und Absatzplanung 12
Mehrperiodisches LP-Modell 3
Max z
mit z   ( d j  x jt  c j  l jt )
j ,t
u.d.N.
a
ij
 x jt  k jt
für alle i, t
j
x j1  l j1  b j1 für alle j (1. Periode)
l jt 1  x jt  l jt  b jt
l jn 1  x jn  b jn
l jt  k j
für alle j (t  1, n)
für alle j (n  te Periode)
für alle j , t
x jt , l jt  0 für alle j , t
Produktions- und Absatzplanung 13
3.1 Mischungsproblem 1
aij = Element i in Einsatzmaterial j
Max
Min
di
BIN1
BIN2
BIN3
BIN4
BIN5
AL
SI
bi
FE
0,15
0,04
0,02
0,04
0,02
0,01
0,03
60
CU
0,03
0,05
0,08
0,02
0,06
0,01
MN
0,02
0,04
0,01
0,02
0,02
40
MG
0,02
0,03
0,01
30
AL
0,7
0,75
0,8
0,75
0,8
0,97
SI
0,02
0,06
0,08
0,12
0,02
0,01
100
1500
0,97
Produktions- und Absatzplanung 14
300
250
Mischungsproblem 2
Min
mit
k
k = 0,03BIN1 + 0,08BIN2 + 0,17BIN3 + 0,23BIN4 + 0,25BIN5+ 0,21AL + 0,38SI
u.d.N.
LEG:
FE:
CU:
MN:
MG:
AL:
SI:
UB1:
UB2:
UB3:
UB4:
UB5:
BIN1
+ BIN2
+ BIN3
+ BIN4
+ BIN5
+A
+ SI
0,15BIN1 + 0,04BIN2 + 0,02BIN3 + 0,04BIN4 + 0,02BIN5 + 0,01AL + 0,03SI
0,03BIN1 + 0,05BIN2 + 0,08BIN3 + 0,02BIN4 + 0,06BIN5 + 0,01AL
0,02BIN1 + 0,04BIN2 + 0,01BIN3 + 0,02BIN4 + 0,02BIN5
0,02BIN1 + 0,03BIN2 + 0,01BIN5
0,70BIN1 + 0,75BIN2 + 0,80BIN3 + 0,75BIN4 + 0,8BIN5 + 0,97AL
0,02BIN1 + 0,06BIN2 + 0,08BIN3 + 0,12BIN4 + 0,02BIN5 + 0,01AL + 0,97SI
BIN1
BIN2
BIN3
BIN4
BIN5
Produktions- und Absatzplanung 15
= 2000
 60
 100
 40
 30
1500
 300 250
 200
 750
 800 400
 700 100
 1500
3.2 Kuppelproduktion 1
Produktions- und Absatzplanung 16
Kuppelproduktion 2
xA, xB, xC, xD
Rohstoffe
x1, x2
Zwischenprodukte auf Anlage 1 und 2
xG, xF
Gas und Fett
xE, xH
weitere Zwischenprodukte
xP
Endprodukt
Da nicht feststeht, wie sich B und C aufteilen, werden die entsprechenden Teilmengen ebenfalls
durch Variablen benannt:
xB2
Menge des Rohstoffs B, die in der Anlage 2 verarbeitet wird
xC1, xC2
Menge des Rohstoffs C zur Verarbeitung in den Anlagen 1 bzw. 2
Produktions- und Absatzplanung 17
Kuppelproduktion 3
Max z
mit z = 86xP + 8xF  12xG  16xE  22xH  42x1  36x2  10xA  8xB  12xC  16xD
u.d.N alle Variablen  0
{'linker Teil des Prozesses'}
{'rechter Teil des Prozesses'}
xA  0,6x1
xG = 0,07x1
xB = 0,2x1 + xB2
xF = 0,12x2
xC = xC1 + xC2
xE = x1E + x2E
0,8x1 = xA + xC1
x1E  0,3x1
x2 = xB2 + xC2 + xD
xH = x1H + x2H
0,2xB2 + 0,3xC2 + 0,16xD  0,21x2
x1H  0,8x1
xA  300
x2H  0,4x2
xB  200
x1 = xG + x1E + x1H
xC  300
x2 = x2E + x2H + xF
xD  100
xP = xE + xH
x1  400
0,17xE + 0,1xH  0,14xP
Produktions- und Absatzplanung 18
3.3 Verschnittoptimierung

Aus Stäben der Länge 600 cm sollen
geschnitten werden:




18 Stäbe A der Länge 181 cm
150 Stäbe B der Länge 174 cm
10 Stäbe C der Länge 155 cm
100 Stäbe D der Länge 134 cm
Produktions- und Absatzplanung 19
Verschnittoptimierung 2
Min z
n
mit z   rj  x j
j 1
n
u.d.N.
a
j 1
ij
 x j  bi
für i  A,B,C,D
xj  0
Produktions- und Absatzplanung 20
Verschnittoptimierung 3
Kombination
j
Stabanzahl/Stange
174 cm
155 cm
181 cm
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
3
2
2
2
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
2
1
1
0
0
0
3
2
2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
2
1
0
0
1
0
2
1
0
3
2
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
3
0
0
1
0
2
3
1
2
3
4
543
536
517
496
529
510
489
491
470
583
522
503
482
484
597
576
599
578
557
536
57
64
83
104
71
90
111
109
130
17
78
97
118
116
3
24
1
22
43
64
Bedarf bi
18
150
10
100
-
-
134 cm
Verbrauch Verschnitt
vj [cm]
rj [cm]
Produktions- und Absatzplanung 21
Verschnittoptimierung 4
Lösung mit LP:
zmin = 3958,67 nach 4 Iterationen
x10=18; x11=43,78; x15=10 und x16=8,67
Stangenlängen
A
x10 = 18 x11 = 43 x15 = 10 x16 = 8
Summe + x11 = 1 +x16 = 1 Summe
18
18
B
129
C
D
zusätzlich
10
8
10
54
20
1817 = 4378 = 103 =
Verschnitt 306
30
3354
147
18
3
150
10
24
98
824 =
192
3882
10
78
2
100
432
4392
Produktions- und Absatzplanung 22
Verschnittoptimierung 5
IP-Lösung nach 40.616 Iterationen in 44.873 Knoten und 5min:13 sec
Rechenzeit:
Kombination
j
Stabanzahl/Stange
174 cm
155 cm
181 cm
2
11
12
15
16
18
19
2
0
0
0
0
0
0
1
3
2
1
1
0
0
Bedarf bi
18
150
134 cm
Lösung
#
Verschnitt
rj [cm]
0
0
1
1
0
2
1
0
0
0
2
3
2
3
9
36
1
4
27
1
3
64
78
97
3
24
22
43
10
100
Produktions- und Absatzplanung 23
4.292