Lineare Optimierung

Quantitative
Planungsmethoden
Allgemeine BWL - Hauptstudium
1-std. Vorlesung = 6 2-std. Veranstaltungen
6 2-std. Übungen freiwillig
Prof. Dr. Dr. J. Hansohm
Gliederung

Einführung



Planung, Zielsysteme, Präferenzen
Inhalte quantitativer Methoden, Relevanz
Lineare Optimierung

Fallstudie Berger, graphische Lösung
Simplex Verfahren
 Interpretation, Sensitivität, Dualität
 Betriebswirtschaftl. Anwendungsbeispiele



Transportproblem, Zuordnungsproblem
Optimierung unter mehrfacher Zielsetzung
Prof. Dr. Dr. J. Hansohm
Definition Planung
Planung:
gedanklich rationale
Vorwegnahme zukünftigen
Handelns und Geschehens
auf die Zukunft gerichtet
 Treffen von Entscheidungen und
nicht deren Durchsetzung

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Produktionsfaktoren
Elementarfaktoren
ausführende Tätigkeit
Betriebsmittel
Werkstoffe
Produktionsfaktoren
dispositive Faktoren
Leitung/Führung
Planung
Organisation
Kontrolle
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Dispositive Faktoren

Leitung/Führung:




Organisation:




Festlegen des betrieblichen Zielsystems
Festlegen der globalen Unternehmenskonzeption
Koordination der großen betrieblichen Funktionsbereiche
(enthält auch nicht rationale Elemente: Kreativität, Intuition, etc.)
Realisierung der Planung
Verteilung von Aufgaben
Übertragung von Befugnissen, etc.
Kontrolle:

Überprüfung der durch die Planung vorgegebenen und durch die
Organisation realisierten Größen
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Neuere Ergebnisse empirischer Zielforschung
Zielinhalte
x
s
x
1.
Sicherung des Unternehmensbestandes
4,84
0,43
x
2.
Qualität des Angebots
4,65
0,55

3.
Gewinn
4,65
0,75

4.
Deckungsbeitrag
4,42
1,03
x
5.
Soziale Verantwortung
4,28
0,88

6.
Ansehen in der Öffentlichkeit
4,26
0,95

7.
Umsatz
4,19
0,91

8.
Wachstum des Unternehmens
3,98
0,89
x
9.
Verbraucherversorgung
3,74
1,11

10. Marktanteil
3,67
1,24

x
11. Macht und Einfluß auf den Markt
3,60
1,22
12. Umweltfreundlichkeit/Schonung nat. Ressourcen 3,37
1,36
x Leistungsziel

Marktziel
 Ertragsziel
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Unternehmenssituation - Unternehmensziele
Situationsvariablen
Markt- Leistungs- Ertragsziele
ziele
ziele
Unternehmensgröße
+++
+++
Konkurrenzintensität
+++
---
Delegation der
Unternehmerfunktion
Hierarchieebene
Nationalität
+++
----
++
+
-
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Präferenzen

Höhenpräferenz
Welcher Zielwert wird innerhalb eines Zieles welchem
Zielwert gegenüber bevorzugt?
vollständige Präordnungsrelation auf Zk
 Artenpräferenz
Welches Ziel wird gegenüber einem anderen Ziel
bevorzugt?

Zeitpräferenz
Wie beurteilt der Entscheidungsträger Ergebnisse zu
verschiedenen Zeiten?

Risiko-, Unsicherheitspräferenz
Wie beurteilt der Entscheidungsträger Ergebnisse bei
unvollkommener Information?
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Klassifikation von Entscheidungsmodellen
Entscheidungsmodelle
eine
Zielsetzung
Sicherheit
Risiko
mehrere
Zielsetzungen
Ungewißheit
Sicherheit
Risiko
Ungewißheit
dynamisch
statisch
dynamisch
statisch
dynamisch
statisch
dynamisch
statisch
dynamisch
statisch
dynamisch
statisch
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Planungsmethoden
Optimierung
lineare,
ganzzahlige,
nichtlineare,
dynamische
datenanalytische Methoden
Clusteranalyse,
MDS, Faktorenanalyse,
Abhängigkeitsanalyse
graphische Modelle
NPT,
Flußgraphen
stochastische Prozesse
Warteschlangen,
Simulation,
Markov-Prozesse
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Projektmanagement
und
Netzplantechnik
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Projektmanagement - Charakterisierung
Projekt ist charakterisiert durch:
 relative Neuartigkeit, gewisse Einmaligkeit
 zeitliche Befristung
 Komplexität
 definierter Beginn
 definiertes Ende
 Projektmanagement ist die verantwortliche
Leitung der Planung, Organisation,
Einführung und Kontrolle solcher
Vorhaben
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Projektzeitplanung - Strukturanalyse
Die Aufgabe, die Abhängigkeiten zwischen
den einzelnen Teilvorgängen zu untersuchen;
d.h. für jeden Vorgang sind folgende Fragen zu
beantworten:




Ist dieser Vorgang in Teilvorgänge zu unterteilen
Welche Vorgänge finden unmittelbar vorher
statt?
Welche Vorgänge finden unmittelbar nachher
statt?
Welche Vorgänge können gleichzeitig ablaufen?
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Erstellung einer DV-Anlage - Zerlegung
1 Zerlegung in Teilaufgaben
A
B
C
D
E
F
G
H
I
Entwurf
Fertigstellung ZE
Bereitstellung Peripherie
Installation des BS
Prüfung der Anlage
Installation des Anwenderprogramms
Funktionsprüfung
Anschluß externer Geräte
Endabnahme
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Erstellen einer DV-Anlage - Interdependenzen
2 zeitliche Interdependenzen bestimmen
Vorgang
Dauer
Vorgänger
---------------------------------------------------------------A Entwurf
10
B Fertigstellung ZE
5
A
C Bereitstellung Pe
2
A
D Installation des B
4
A
E Prüfung der Anla
4
D
F Installation des A
3
D
G Funktionsprüfung
2
B, C, E
H Anschluß externe
5
C
I Endabnahme
1
F, G, H
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Fragestellungen der Netzplantechnik
Zeitplanung






kürzeste Gesamtprojektdauer
Anfangstermine aller Vorgänge
Endtermine aller Vorgänge
Pufferzeiten aller Vorgänge
kritische Vorgänge
kritische Wege
Kostenplanung

wie wird kostengünstig das Projekt verkürzt?
Kapazitätsplanung

Projektdauer unter Berücksichtigung der Resourcen
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EDV-Anlage CPM-Netzplan
3 Aufstellen des Netzplanes
3
F
D
1
2
A
4
B
10
E
4
3
5
5
2
6
G
0
7
1
2
C
I
H
5
4
i
[i,j]
FZ SZ
Dij
4 Durchrechnen des Netzplanes
5 Interpretation der Ergebnisse
Prof. Dr. Dr. J. Hansohm
Stochastische
Prozesse
Betriebswirtschaftliche
Fragestellungen
“Zufallszahlen”
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Marktanteilsentwicklung
5 Waschmittelmarken Ariel, Dash, Persil,
Omo, Tandil
anfangs gleicher Marktanteil von 20 %
nächste Periode kaufen 60 % Ariel-Kunden
wieder Ariel und jeweils 10 % Dash, Persil,
Omo und Tandil
Dash-Käufer entsprechend 10%, 50%, 20%, 10%, 10%
Persil-Käufer entsprechend 10%, 10%, 70%, 5%, 5%
Omo-Käufer entsprechend 10%, 10%, 0%, 40%, 40%
Tandil-Käufer entsprechend 15%, 15%, 15%, 15%, 40%
Wie entwickeln sich die Marktanteile?
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Entwicklung: Graphische Darstellung
Marktanteilsentwicklung
30,00%
25,00%
Marktanteil
20,00%
15,00%
10,00%
5,00%
0,00%
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Perioden
Ariel
Dash
Persil
Omo
Tandil
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Lagerhaltung
Nachfrage nach einem Gut N (100, 30) - verteilt
Lieferzeit 5 Tage, Auffüllung sofort wirksam
Fehlmengen werden nachgeliefert
Fehlmengenkosten 1 GE pro Tag (=ZE) und ME
Lagerkosten
0,1 GE pro Tag und ME
Bestellkosten
20 GE unabhängig von der
Menge
Welches ist die optimale (s, S)-Politik?
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Lagerbestandsentwicklung
Lagerbestandsentwicklung
400
350
300
250
Bestand
200
150
100
50
100
97
94
88
91
85
82
76
79
73
70
64
67
61
55
58
52
49
46
40
43
37
34
28
31
25
22
16
19
13
10
4
7
1
0
-50
Tage
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Personaleinsatz
18 Kfz-Mechaniker in einer Autowerkstatt
zur Reparatur von Kundenwagen
ca. alle 30 min benötigt ein Mechaniker ein
Ersatzteil
Abfertigung bei der Materialausgabe dauert
ca. 5 min
Wie viel Beschäftigte sollten in der
Materialausgabe eingesetzt werden?
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Simulation des Personaleinsatzes
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Simulation Bankschalter
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Use of operations research in current activities
Techniques
No. of
Projects
Frequency of
use (%)
Statistical analysis*
63
29
Simulation
54
25
Linear programming
Inventory theory
PERT/CPM
Dynamic programming
Nonlinear programming
Queueing
Heuristic programming
Miscellaneous
41
13
13
9
7
2
2
13
19
6
6
4
3
1
1
6
* Includes probalility theory, regression analysis, exponential smoothing, statistical sampling, and tests of hypotheses.
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Relative use of OR techniques (Ledbetter and Cox Survey)
Degree of use (%)*
Techniques
Number of Never
respondents 1
2
3
4
Very
Frequently
5
Mean
Regression analysis
74
9.5
2.7 17.6 21.6
48.6
3.97
Linear programming
78
15.4
14.1 21.8 16.7
32.0
3.36
Simulation (in
production)
Network models
70
11.4
15.7 25.7 24.3
22.9
3.31
69
39.1
29.0 15.9 10.1
5.6
2.14
Queueing theory
71
36.6
39.4 16.9
5.6
.1.4
1.96
Dynamic programming 69
53.6
36.2 7.2
0.0
.2.9
1.62
Game theory
59.7
25.4 8.9
6.0
0.0
1.61
67
* Percentages shown here are based on the number of responses to each technique.
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Lineare
Entscheidungsmodelle





Grundlagen linearer Optimierung
Schattenpreise, Sensitivität
Lineares Entscheidungsmodell mit EXCEL
Voraussetzungen linearer Entscheidungsmodelle
Lineare Entscheidungsmodelle bei mehreren Zielen
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Fallstudie Berger (1)
Verkaufspreis
M-1
1000 DM
M-2
1200 DM
zurechenbare Kosten
700 DM
800 DM
Stück-DB
300 DM
400 DM
variable Kosten Dreherei
50 DM
100 DM
350 DM
=======
500 DM
=======
Unterlieferantenhöchstpreis
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Fallstudie Berger (2)
M-1
M-2
gewünschte Produktion
1000 St.
900 St.
Stück-DB
300 DM
400 DM
bisherige Produktion
200 St.
900 St.
Stück-DB
300 DM 400 DM
Differenz
Gesamt
660 000 DM
420 000 DM
240 000 DM
========
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Fallstudie Berger (3)
Kapazitätserhöhung
Dreherei/Fräserei = 800 Einheiten
ergibt 300 DM pro Einheit und somit für
variable Kosten Dreherei
Unterlieferantenhöchstpreis
M-1
300 DM
M-2
600 DM
50 DM
100 DM
350 DM
======
700 DM
======
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Berger - Entscheidungsblatt
Fallstudie Berger
Produktionsentscheidungen
M-1
1500 St.
1
1
1
3
1
0
300,00 DM
M-2
150 St.
2
1
1
2
0
1
400,00 DM
Verbrauch
Kapazität
Rest
1800
1650
1650
4800
1500
150
510.000,00 DM
276.600,00 DM
116.733,33 DM
116.666,67 DM
2000
2500
2500
4800
1500
900
200
850
850
0
0
750
Art
Dreherei
Bohrerei
Stanzerei
Spulenwicklerei
Endmontage M-1
Endmontage M-2
DB
Fixkosten
Gemeinkosten
Gewinn
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Fallstudie Berger (LP-1)
x1 = Menge M-1
x2 = Menge M-1
Gesamtdeckungsbeitrag
300 x1 + 400 x2
x1 + 2x2  2000 Dreherei
x1 + x2  2500 Bohrerei
x1 + x2  2500 Stanzerei
3x1 + 2x2 4800 Spulenwicklerei
x1
 1500 Endmontage M-1
x2
 900 Endmontage M-2
x1, x2

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Lineares Programm LP (1)
Entscheidungsvariable
x1, ..., xn
Zielfunktionskoeffizienten
c1, ..., cn
Restriktionskoeffizienten
aij mit i=1, ..., m
und j=1, ..., n
Ressourcen - RHS
b1, ..., bm
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Lineares Programm LP (2)
c1x1+ ... +cnxn
MAX
a11x1+ ... +a1nxn b1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am1x1+ ... +amnxn bm
x1, ..., xn 0
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Lineares Programm LP (3)
cTx MAX
Ax  b
x
 0
Standardform
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Fall Berger - Graphische Lösung
LP-Graphik
x2
Die Kapazitätsbeschränkungen für die
Spulenwicklerei
Bohrerei und die Stanzerei sind redundant
und damit weggelassen worden
(200, 900)
(1000, 900)
Endmontagen
(1400, 300)
(1500, 150)
Dreherei
x1
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Simplex - Verfahren
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Definition und Hauptsatz der LP
Definition:
x heißt zulässig <=> Ax b, x 
x heißt optimal <=> (y zulässig => cTy cTx)
Hauptsatz:
Ist die Menge der zulässigen Punkte nicht leer, so
enthält die Menge der optimalen Punkte
mindestens eine Ecke (des Restriktionspolyeders)
oder es existiert keine optimale Lösung
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Produktionsplanungsproblem
Ein Produkt kann in zwei Qualitäten QI und QII
hergestellt werden. Der Stückdeckungsbeitrag von QI
beträgt 3, der von QII 2 Geldeinheiten. Zur Herstellung des Produktes werden zwei Maschinen M1
und M2 benötigt, eine Einheit von QI benötigt 3
Zeiteinheiten auf M1 und 9 auf M2, für QII lauten die
Werte 6 Zeiteinheiten auf M1 und 3 Zeiteinheiten auf
M2. Insgesamt stehen in der Produktionsperiode
3000 Zeiteinheiten je Maschine zur Verfügung.
Gesucht ist das Produktionsprogramm für eine
Periode, das den höchsten Gesamtdeckungsbeitrag
liefert.
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Lineares Modell
x1 Menge Qualität I
x2 Menge Qualität II
Ziel 3x1 + 2x2  MAX
3x1 + 6x2 3000
9x1 + 3x2 3000
x1, x2 0
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Graphische Lösung
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Basislösung
Gegeben sei ein Gleichungssystem der Form
Ax + y = b mit A mxn, x n, y, b m
Setzt man einige der Variablen {x1, ..., xn,
y1, ..., ym} willkürlich auf Null und lassen sich die
restlichen Variablen dann eindeutig aus dem
obigen Gleichungssystem ermitteln, so heißt die
ermittelte Lösung Basislösung; gilt für diese
Basislösung xi  0 (i = 1, ..., n) und yi  0 (i = 1, ..., m),
so heißt sie zulässige Basislösung.
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Ecken und Basislösungen
Satz:
Bei einem linearen Optimierungssystem mit
den Restriktionen Ax b, x  0 ist x eine Ecke
genau dann, wenn x Teil einer zulässigen
Basislösung des zugehörigen Gleichungssystems Ax + y = b ist.
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Simplex Start
x1
x2
y1
y2
z
3
6
1
0
0
3000
Nichtbasis {x1, x2}
9
3
0
1
0
3000
-3
-2
0
0
1
0
Pivotzeile;
d.h. y2 aus der Basis
neue Basis {x1, y1, z}
neue Nichtbasis {y2, x2}
Basis {y1, y2, z}
Pivotspalte, d.h. x1 in die Basis
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Simplex Umformung
x1
x2
y1
y2
z
0
5
1
-1/3
0
2000
1
1/3
0
1/9
0
333 1/3
-x2 + 1/3y2 + z = 1000
0
-1
0
1/3
1
1000
z = 1000 +x2 - 1/3y2 = 1000
B
N
B
N
B
B = Basiselement
N = Nichtbasiselement
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Simplex Endtableau
x1
x2
y1
y2
z
0
1
1/5
-1/15
0
400
1
0
-1/15 6/45
0
200
0
0
1/5
4/15
1
1400
B
B
N
N
B
z = 1400 - 1/5y1 - 4/15y2
mit y1, y2 
maximal möglicher Wert
von z ist 1400
Prof. Dr. Dr. J. Hansohm
Simplex Vorgehensweise
1. Wandle die -Gleichungen durch Schlupfvariable in Gleichungen
um und stelle das Tableau samt Zielfunktionszeile auf.
2. Suche negativen Wert in der Zielfunktionszeile und bestimme damit
die Pivotspalte. Lässt sich kein solcher Wert finden, so ist das
Endtableau und damit die optimale Lösung gefunden.
3. Bilde die Quotienten aus der Rechten Seite, dividiert jeweils durch
den positiven Wert in der Pivotspalte ohne Berücksichtigung der
Zielfunktionszeile. Der kleinste Quotient bestimmt die Pivotzeile.
Lässt sich kein Quotient bilden, so ist das Problem unbeschränkt
und keine optimale Lösung möglich.
4. Das Element, das sowohl in der Pivotzeile als auch in der
Pivotspalte liegt, heißt Pivotelement.
5. Teile die Pivotzeile durch das Pivotelement und ziehe von jeder
anderen Zeile des Tableaus ein Vielfaches der so umgeformten
Pivotzeile derart ab, dass das Element in der Pivotspalte dieser
Zeile Null wird. Schließe die Zielfunktionszeile hierbei ein.
6. (Gehe zu 2).
Prof. Dr. Dr. J. Hansohm
Voraussetzungen eines LP





Zielfunktionswert proportional abhängig von den
Entscheidungsvariablen
Zielfunktionswert additiv zusammengesetzt aus
den einzelnen Größen der Entscheidungsvariablen
Additive Zusammensetzung ebenso für die
Restriktionen
beliebig unterteilbare Variablen
genaue Kenntnis der Koeffizienten
Prof. Dr. Dr. J. Hansohm
Berger - LP mit EXCEL gelöst
Microsoft Excel 5.0 Antwortbericht
Tabelle: [BERGER.XLS]Berger
Bericht erstellt am: 12.8.95 10:04
Zielzelle (Max)
Zelle
$C$11 DB
Name
Veränderbare Zellen
Zelle
Name
$A$4 M-1
$B$4 M-2
Nebenbedingungen
Zelle
Name
$C$5 Dreherei
$C$6 Bohrerei
$C$7 Stanzerei
$C$8 Spulenwicklerei
$C$9 Endmontage M-1
$C$10 Endmontage M-2
$A$4 M-1
$B$4 M-2
Ausgangswert
- DM
Lösungswert
540.000,00 DM
Ausgangswert
0
0
Lösungswert
1400
300
Zellwert
2000
1700
1700
4800
1400
300
1400
300
Formel
$C$5<=$D$5
$C$6<=$D$6
$C$7<=$D$7
$C$8<=$D$8
$C$9<=$D$9
$C$10<=$D$10
$A$4>=0
$B$4>=0
Status
Einschränkend
Nicht einschränkend
Nicht einschränkend
Einschränkend
Nicht einschränkend
Nicht einschränkend
Nicht einschränkend
Nicht einschränkend
Differenz
0
800
800
0
100
600
1400
300
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Berger - Scenarios
Übersichtsbericht
Aktuelle Werte:
bisher
optimal
maximal
Veränderbare Zellen:
M-1
1000
200
1400
1000
M-2
500
900
300
900
Ergebniszellen:
Gewinn
Gewinn
Gewinn
Gewinn
106.666,67 DM
26.666,67 DM 146.666,67 DM 266.666,67 DM
Anmerkung: Die Aktuelle Werte-Spalte repräsentiert die Werte der veränderbaren
Zellen zum Zeitpunkt, als der Übersichtsbericht erstellt wurde. Veränderbare Zellen
für Szenarios sind in grau hervorgehoben.
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Fallstudie Berger (LP-2)
M-1
M-2
Gesamt-DB
bisheriges Prod.-Programm
200
900
420 000 DM
optimales Prod.-Programm
1400
300
540 000 DM
optimal bei 2800 Einh. Dreherei
1000
900
660 000 DM
optimal bei max. 1000 St. M-1
1000
500
500 000 DM
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Fallstudie Berger (4)

höchster Stück-DB bei M-2
ergibt
M-1: 200 und M-2: 900 Gesamt-DB: 420 000 DM

Engpaßfaktor Dreherei, relativer Stück-DB bei M-1
ergibt M-1: 1500 und M-2: 150
Gesamt-DB: 510 000 DM

Berücksichtigung aller Restriktionen simultan
ergibt M-1: 1400 und M-2: 300
Gesamt-DB: 540 000 DM
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Berger - Handlungsvorschlag
Preiskalkulation
variable Kosten
DB-Differenz
Preis
M-1
50 DM
150 DM
200 DM
bei neuem Produktionsprogramm
M-2
100 DM
300 DM
400 DM
Handlungsempfehlung
angebotener Preis
variable Kosten
Preis Kapazität
Auftragsvergabe
gew. Produktion
eigene Produktion
M-1
210 DM
50 DM
160 DM
0 St.
1000 St.
1000 St.
M-2
380 DM
100 DM
140 DM
400 St.
900 St.
500 St.
M-1
M-2
1000 St.
900 St.
300 DM
400 DM
300.000 DM 360.000 DM
1400 St.
300 St.
-400 St.
600 St.
DB
660.000 DM
540.000 DM
120.000 DM
bei neuem Produktionsprogramm
max. Fremd-Kapazität
DB gesamte Produktion
variable Kosten
Fremdvergabe
Fixkosten
Gemeinkosten
Gewinn
660.000
40.000
152.000
276.600
116.733
154.667
800
DM
DM
DM
DM
DM
DM
Prof. Dr. Dr. J. Hansohm
Literatur: Lineare Optimierung












Domschke/Drexl: Einführung in Operations Research, 2. Aufl., Springer,
1991
Meyer/Hansen: Planungsverfahren des OR, 3. Aufl., Vahlen, 1985
Neumann: OR-Verfahren, Carl Hanser, 1977
Hillier/Liebermann: Introduction to OR, 4. Aufl., Holden-Day, 1986
Cook/Russel: Introduction to Management Science, 3. Aufl.., Prentice Hall,
1985
Render/Stair: Quantitative Analysis for Management, 3. Aufl., Allyn & Bacon
Inc., 1988
Gordon/Pressman: Quantitative Decision Making for Business, Prentice
Hall, 1978
Anderson/Sweeney/Williams: Quantitative Methods for Business, West
Publishing Company, 1986
Ellinger: OR, 3. Aufl., Springer, 1990
Bol: Lineare Optimierung, Athenäum, 1980
Noltemeier: Graphentheorie, de Gruyter, 1976
Hanssmann: Einführung in die Systemforschung, 3. Aufl., Oldenbourg, 1987
Prof. Dr. Dr. J. Hansohm
Interpretation der Lösung
des Modells
Sensitivität
Dualität
Spieltheorie
Prof. Dr. Dr. J. Hansohm
Sensitivität-Produktionsplanungsbeispiel
1. In welchem Rahmen darf der DB für QI
schwanken, damit die gefundene optimale
Lösung weiterhin optimal bleibt.
2. Wenn sich die Kapazität der Maschine M1
verändern ließe, in welchem Maße verändert
sich der Gesamtdeckungsbeitrag pro
veränderter Kapazitätseinheit?
3. Wie groß ist der Spielraum der
Kapazitätsveränderungen in 2)?
Prof. Dr. Dr. J. Hansohm
Sensitivität
1. In welchem Rahmen kann man den
Zielfunktionskoeffizienten ci verändern, ohne
daß sich die optimale Basis ändert; d.h. das
Endtableau immer noch ein Endtableau ist?
2. In welchen Rahmen kann man die Rechte Seite
so verändern, daß das Endtableau immer noch
ein Endtableau ist?
Prof. Dr. Dr. J. Hansohm
Sensitivität Koeffizienten
Fall 1: Entscheidungsvariable xk
in der Basis
xk
0
.
.
.
1...
.
.
.
0
0
~
~
aik
bi
dk
Fall 2: Entscheidungsvariable xk
nicht in der Basis
xk
ã1k
.
.
.
.
.
.
.
.
ãmk
dk
Variation des Zielfunktionskoeffizienten ck um




dk
dk
~
~
max , ~ für aik  0   ck  min, ~ für aik  0
aik
aik




   ck  d k
Prof. Dr. Dr. J. Hansohm
Sensitivität Restriktionen
Fall 1: Schlupfvariable yk in der
Basis
yk
0
.
.
.
yk
~
~
1...
.
.
.
0
0
Fall 2: Schlupfvariable yk nicht in
der Basis
bj
Schattenpreis = 0 für
~
 b j  bk  
ã1k
.
.
.
.
.
.
b1
.
.
.
.
.
.
~
ãmk
dk
bm
Schattenpreis dk
für
~
~




bi
b
i
~
~
max , ~ für aik  0   bk  min, ~ für aik  0
aik
aik




Prof. Dr. Dr. J. Hansohm
Duales Problem
cTx MAX
ein lineares Optimierungsproblem
(*) A x b
x0
dann bezeichnet
das zu (*) duale Problem
bTy 
(**) ATy c
y 0
(*) wird dementsprechend primales Problem genannt
Sei
Es gilt: Das zu (**) duale Problem ist wieder (*) und besitzen (*) und
(**) zulässige Punkte, so gilt für alle zulässigen Punkte x von
(*) und y von (**) cTx bTy. Insbesondere besitzen in diesem
Falle beide Probleme Optimallösungen und die optimalen
Zielfunktionswerte beider Probleme sind gleich.
Prof. Dr. Dr. J. Hansohm
Duales Problem und Schattenpreise
Satz:
Besitzen das primale als auch das duale
Problem zulässige Lösungen, so sind die
Schattenpreise im Endtableau des
Simplexalgorithmus gerade die Lösung
des dualen Problems.
Begründung:Durch Veränderung von b verändert sich
auch der Zielfunktionswert von (**). Aufgrund
der Gleichheit im Optimum von (**) und (*)
verändert sich auch der optimale Zielfunktionswert des primalen Problems und bei der
Veränderung um eine Einheit von z.B. bk
genau um yk*, wenn (y1*, ..., ym*) die
optimale Lösung von (**) darstellt.
Prof. Dr. Dr. J. Hansohm
Berger - Schattenpreise
0
0
Zulässige Zulässige
Zunahme Abnahme
300
300
100
400
200
200
Name
Endwert Schattenpreis
Dreherei
2000
150
Bohrerei
1700
0
Stanzerei
1700
0
Spulenwicklerei
4800
50
Endmontage M-1
1400
0
Endmontage M-2
300
0
Nebenbedingung Zulässige Zulässige
Rechte Seite
Zunahme Abnahme
2000
800
200
2500
1E+30
800
2500
1E+30
800
4800
200
2400
1500
1E+30
100
900
1E+30
600
Zelle
Name
$A$4 M-1
$B$4 M-2
Endwert
1400
300
Reduzierte
Kosten
ZielKoeffizient
Nebenbedingungen
Zelle
$C$5
$C$6
$C$7
$C$8
$C$9
$C$10
Prof. Dr. Dr. J. Hansohm
Berger - Lösung
Preiskalkulation
variable Kosten
DB-Differenz
Preis
M-1
50 DM
200 DM
250 DM
bei neuem Produktionsprogramm
M-2
100 DM
400 DM
500 DM
Handlungsempfehlung
angebotener Preis
variable Kosten
Preis Kapazität
Auftragsvergabe
gew. Produktion
eigene Produktion
M-1
260 DM
50 DM
210 DM
0 St.
1000 St.
1000 St.
M-2
510 DM
100 DM
205 DM
0 St.
900 St.
500 St.
M-1
M-2
1000 St.
900 St.
300 DM
400 DM
300.000 DM 360.000 DM
1000 St.
500 St.
0 St.
400 St.
DB
660.000 DM
500.000 DM
160.000 DM
bei neuem Produktionsprogramm
max. Fremd-Kapazität
DB gesamte Produktion
variable Kosten
Fremdvergabe
Fixkosten
Gemeinkosten
Gewinn
500.000
276.600
116.733
106.667
800
DM
DM
DM
DM
DM
DM
Prof. Dr. Dr. J. Hansohm
Modellierung linearer
Entscheidungsmodelle
in verschiedenen
Funktionalbereichen
Prof. Dr. Dr. J. Hansohm
EXCEL - Liquiditätsproblem
Liquidität
600
500
400
300
200
100
0
-100
-200
-300
-400
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Mona te
Prof. Dr. Dr. J. Hansohm
EXCEL - Lineares Entscheidungsmodell
Kre d ittyp
1
1
1
1
0,55
0,55
0,55
Va ria b le
1
Pe rio d e
2
3
5
6
100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 189,473252 -191,367984
0
0
0
0
0 95,7048909 -96,6619398
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
100 -0,55555556 -0,55555556 -101,565657
0
0
0 200,555556 -1,11419753 -1,11419753 -203,695567
0
0
0 101,669753 -0,56483196 -0,56483196 -103,261552
0
0
0 13,7714344 -0,07650797 -0,07650797
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
99
-101
100
4
1
2
3
4
12
13
14
-0,55
99
-101
100
-0,55
-0,55
99
-101
100
-100,55
-0,55
-0,55
12
-101
-100,55
-0,55
-100,55
x(.)
0
0
0
1,89473252
0,95704891
0
0
0
0
0
0
1,01010101
2,02581369
1,0269672
0,1391054
0
0
0
0
0
Kre d itsa ld o
Liq uid itä tsp ro g no se
M ind e stka sse nb e sta nd
So ll-Kre d itsa ld o
Diffe re nz
100
0
100
100
0
300
-200
100
300
5,6843E-14
400
-300
100
400
5,6843E-14
500
-400
100
500
5,6843E-14
200
-100
100
200
-5,6843E-14
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-5,6843E-14 -13,9870478
100
100
100
100
0
0
-5,6843E-14 -13,9870478
- 13,987048
Prof. Dr. Dr. J. Hansohm
EXCEL-Antwortbericht
M ic rosoft Exc e l 5.0 Antwortbe ric ht
Ta be lle : [EUSOPTVL.XLS]EUSOPT
Be ric ht e rste llt a m: 9.9.95 16:54
Zie lze lle (M a x)
Ze lle
Na me
$O $47 Diffe re nz
Ne b e nb e d ing ung e n
Ze lle
Na me
$C $43 Kre d itsa ld o
$D$43 Kre d itsa ld o
$E$43 Kre d itsa ld o
$F$43 Kre d itsa ld o
$G $43 Kre d itsa ld o
$H$43 Kre d itsa ld o
$I$43 Kre d itsa ld o
$J$43 Kre d itsa ld o
$K$43 Kre d itsa ld o
$L$43 Kre d itsa ld o
$M $43 Kre d itsa ld o
$A$23 Va ria b le
$A$24 Va ria b le
$A$42 Va ria b le
Ausga ngswe rt
-13,98704778
Ze llwe rt
100
300
400
500
200
-5,68434E-14
-13,98704778
-13,98704778
-13,98704778
-13,98704778
-13,98704778
0
0
0
Lösungswe rt
-13,98704778
Forme l
$C $43>=$C $46
$D$43>=$D$46
$E$43>=$E$46
$F$43>=$F$46
$G $43>=$G $46
$H$43>=$H$46
$I$43>=$I$46
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$K$43>=$K$46
$L$43>=$L$46
$M $43>=$M $46
$A$23>=0
$A$24>=0
$A$42>=0
Sta tus
Einsc hrä nke nd
Einsc hrä nke nd
Einsc hrä nke nd
Einsc hrä nke nd
Einsc hrä nke nd
Einsc hrä nke nd
Nic ht e insc hrä nke nd
Nic ht e insc hrä nke nd
Nic ht e insc hrä nke nd
Nic ht e insc hrä nke nd
Nic ht e insc hrä nke nd
Einsc hrä nke nd
Einsc hrä nke nd
Einsc hrä nke nd
Diffe re nz
0
0
0
0
0
0
186,0129522
286,0129522
486,0129522
386,0129522
286,0129522
0
0
0
Prof. Dr. Dr. J. Hansohm
EXCEL - Empfindlichkeitsbericht
M ic rosoft Exc e l 5.0 Se nsitivitä tsbe ric ht
Ta be lle : [EUSOPTVL.XLS]EUSOPT
Be ric ht e rste llt a m: 9.9.95 16:54
Ve rä nd e rb a re Ze lle n
Ze lle
$A$23
$A$24
$A$25
$A$26
$A$27
$A$42
Na me
Va ria b le
Va ria b le
Va ria b le
Va ria b le
Va ria b le
Va ria b le
0
0
0
1,894732516
0,957048909
0
Re duzie rte
Koste n
-0,001892973
-0,001882515
-0,338853169
0
0
-2,65
Zie lKoe ffizie nt
-0,999999997
-0,999999997
-0,999999997
-1
-1
-2,65
Endwe rt
100
300
400
500
200
-5,68434E-14
-13,98704778
-13,98704778
-13,98704778
-13,98704778
-13,98704778
Sc ha tte npre is
-0,010422041
-0,010318956
-0,006880445
-0,010167303
-0,010066637
-0,006663703
0
0
0
0
0
Ne be nbe dingung
Re c hte Se ite
100
300
400
500
200
0
-200
-300
-500
-400
-300
Endwe rt
Zulä ssige
Zulä ssige
Zuna hme
Abna hme
0,001892973
1E+30
0,001882515
1E+30
0,338853169
1E+30
0,336610099 0,001874055
0,335120674 0,001863747
2,65
1E+30
Ne b e nb e d ing ung e n
Ze lle
$C $43
$D$43
$E$43
$F$43
$G $43
$H$43
$I$43
$J$43
$K$43
$L$43
$M $43
Na me
Kre d itsa ld o
Kre d itsa ld o
Kre d itsa ld o
Kre d itsa ld o
Kre d itsa ld o
Kre d itsa ld o
Kre d itsa ld o
Kre d itsa ld o
Kre d itsa ld o
Kre d itsa ld o
Kre d itsa ld o
Zulä ssige
Zuna hme
201,6759777
102,2377405
95,16834858
18295,21013
18478,16224
96,13259857
186,0129522
286,0129522
486,0129522
386,0129522
286,0129522
Zulä ssige
Abna hme
100
95,70891014
101,6697531
191,3891667
96,66726263
13,89445923
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
1E+30
Prof. Dr. Dr. J. Hansohm
EXCEL - Grenzbericht
M ic rosoft Exc e l 5.0 Gre nze nwe rtbe ric ht
Ta be lle : [EUSOPTVL.XLS]EUSOPT
Be ric ht e rste llt a m: 9.9.95 16:54
Zie lze lle
Ze lle
Na me
$O $47 Diffe re nz
Ze lle
$A$23
$A$24
$A$25
$A$26
$A$27
$A$28
$A$29
$A$30
$A$31
$A$32
$A$33
$A$34
$A$35
$A$36
$A$37
$A$38
$A$39
$A$40
$A$41
$A$42
Ve rä nde rba re Ze lle n
Na me
Va ria b le
Va ria b le
Va ria b le
Va ria b le
Va ria b le
Va ria b le
Va ria b le
Va ria b le
Va ria b le
Va ria b le
Va ria b le
Va ria b le
Va ria b le
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Va ria b le
Va ria b le
Va ria b le
Va ria b le
Va ria b le
Va ria b le
We rt
-13,98704778
We rt
0
0
0
1,894732516
0,957048909
0
0
0
0
0
0
1,01010101
2,025813692
1,026967203
0,139105398
0
0
0
0
0
Unte re
Gre nze
Zie lErge bnis
Obe re
Gre nze
Zie lErge bnis
0
0
0
1,894732516
0,957048909
5,68434E-16
0
0
0
0
0
1,01010101
2,025813692
1,026967203
0,139105398
5,77384E-16
5,74176E-16
0
0
0
-13,98704778
-13,98704778
-13,98704778
-13,98704778
-13,98704778
-13,98704778
-13,98704778
-13,98704778
-13,98704778
-13,98704778
-13,98704778
-13,98704778
-13,98704778
-13,98704778
-13,98704778
-13,98704778
-13,98704778
-13,98704778
-13,98704778
-13,98704778
-5,68434E-14
-5,68434E-14
-5,68434E-14
1,894732516
0,957048909
186,0129523
286,0129522
286,0129522
286,0129522
286,0129522
#NV
1,01010101
2,025813692
1,026967203
70,33267225
107,929416
107,9294159
107,9294159
107,9294159
#NV
-13,98704778
-13,98704778
-13,98704778
-13,98704778
-13,98704778
-200,0000001
-300
-300
-300
-300
#NV
-13,98704778
-13,98704778
-13,98704778
-199,9999999
-300,0000002
-300
-300
-300
#NV
Prof. Dr. Dr. J. Hansohm
Beispiel: Personaleinsatzplanung
In einem Krankenhaus besteht durchschnittlich folgender Bedarf an
Aufsichts- und Pflegepersonal:
Von 0.00 - 4.00 Uhr: 30 Personen
Von 4.00 - 8.00 Uhr: 50 Personen
Von 8.00 - 12.00 Uhr: 100 Personen
Von 12.00 - 16.00 Uhr: 80 Personen
Von 16.00 - 20.00 Uhr: 100 Personen
Von 20.00 - 0.00 Uhr: 50 Personen
Schichtbeginn ist jeweils um 0.00, 4.00, 8.00, 12.00, 16.00, 20.00 Uhr,
eine Schicht dauert jeweils 8 Stunden. Wie muß der Schichtplan lauten,
damit insgesamt möglichst wenig Aufsichts- und Pflegepersonal
benötigt wird?
Prof. Dr. Dr. J. Hansohm
Transportproblem
(c11, )
F1
V1
(cij, )
(0, ai)
Fm
(cmn, )
(0, bj)
Vn
(- max cij, )
F = Fabriken
V = Verbraucher
ai = Kapazität der Fabrik Fi
bj = Nachfrage des Verbrauchers Vj
cij Transportkosten pro Einheit von Fi nach Vj
Prof. Dr. Dr. J. Hansohm
Zuordnungsproblem
S1
K1
(0, 1)
(cij, )
(0, 1)
Km
Sn
(- max cij, )
K = Kandidaten
S = Stellen
cij = Grad der "Un"-eignung von Kandidat
Ki für Stelle Sj
Prof. Dr. Dr. J. Hansohm
MEHRZIELOPTIMIERUNG
Prof. Dr. Dr. J. Hansohm
Entscheidung bei mehrfacher Zielsetzung (1)
Beispiel:
Eine Firma stelle zwei Produkte A und B in den
Quantitäten x1 und x2 her (jeweils in 1000 Stück).
Die erzielbaren Absatzpreise seien 6 (für A), bzw.
4 (für B) Geldeinheiten pro hergestellter Einheit
(= 1000 Stück), wobei aber nur 7 Einheiten von B
abgesetzt werden können. Die beiden Produkte
durchlaufen drei Abteilungen, wobei folgende
Kapazitätsrestriktionen gegeben sind:
x1 + 2x2 16
x1 + x2 10
4x1 + x2 28
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Entscheidung bei mehrfacher Zielsetzung (2)

Die Stückkosten betragen bei Produkt A 5
Geldeinheiten und bei B eine Geldeinheit.

Das Management verfolgt zum einen das Ziel
eines möglichst hohen Gesamtdeckungsbeitrages, zum anderen das Ziel einer hohen
Auslastung sowie aus Marktgründen einen
möglichst hohen Absatz und damit eine
möglichst hohe Produktion des Produktes A.
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Effiziente - Ineffiziente Entscheidungen
Eine zulässige Entscheidung heißt effizient
bzgl. der Ziele z1,..., zm (funktional effizient),
wenn es keine andere zulässige
Entscheidung gibt, die bzgl. aller Ziele
mindestens gleich gut, bzgl. mindestens
eines Zieles aber echt besser ist.
 x effizient <==> x zulässig und es existiert
keine zulässige Entscheidung y mit:
zi(y) > zi(x) (i=1,...,m) und zk(y) > zk(x) für ein k
(bei Maximierung der zi )

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Beispiel
a1
a2
a3
a4
a5
z1 z2
0 2
z3 z4
7 2
4
4
14
10
8
14
15
20
4
2
1
2
6
3
4
3
a1 ineffizient, da von a2 dominiert
a3 ineffizient, da von a5 dominiert
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Mehrzieloptimierung - Graphik
4x1+x2<=28
Deckungsbeitrag
Auslastung
Produktion A
x2
x2<=7
x1+2x2<=16
x1+x2<=10
x1
Prof. Dr. Dr. J. Hansohm
Methoden der Mehrzieloptimierung

Einmalige Methoden
Zielgewichtung
 Zielprogrammierung (Goalprograming)


Interaktive Methoden
Setzen von Anspruchsniveaus (STEM)
 Tauschratenverfahren (Geoffrion)

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Zielgewichtung





Artenpräferenz durch Angabe der Gewichte
g1,...,gm mit Sgi=1
Lösen des Problems mit der Zielfunktion
z(x)= Sgi*zi(x)
bei gi > 0 ergibt sich immer eine effiziente
Lösung
jede effiziente Lösung läßt sich durch geeignete
gi als Optimallösung des obigen Problems
erreichen
Angabe für den Entscheidungsträger zu
schwierig
Prof. Dr. Dr. J. Hansohm
Goalprogramming

Angabe von gewünschten Zielwerten zi* und
Wahl der Entscheidung x, die
S|zi(x) - zi*| minimiert

ergibt durch Transformation eine lineare
Zielfunktion
führt nicht notwendigerweise zu einer effizienten
Entscheidung


Präferenzen für den Entscheidungsträger gut
angebbar
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Setzen von Anspruchsniveaus





Aufstellen der Payoff-Matrix, bestimmt durch die
Zielwerte zj(xi), wobei xi die optimale
Entscheidung für Ziel zi ist.
min{zj(xi)|i} und max{zj(xi)|i} geben die Spannweite der erreichbaren Zielwerte für Ziel zj an
Setzen eines Anspruchsniveaus, z.B. durch
zj(x) z° als zusätzliche Restriktion und
Eliminierung dieses Ziels bis eine akzeptabel
Lösung erreicht oder nur noch ein Ziel da ist.
ergibt immer eine effiziente Lösung
sehr gute Akzeptanz des Verfahrens
Prof. Dr. Dr. J. Hansohm
Tauschratenverfahren




Ausgehend von einer nicht zufriedenstellenden
effizienten Lösung werden Tauschraten zum Ziel
z1 festgelegt
Mit diesen Tauschraten z1/zi wird eine Zielgewichtung durchgeführt und es wird in
Richtung dieser so ermittelten Entscheidung
gegangen, bis die Lösung akzeptabel ist oder
neue Tauschraten festgelegt werden
u.U. ergibt sich keine effiziente Lösung
mit den Tauschraten z1 zu z2 und z3 ergibt sich
auch die Tauschrate z2 zu z3, deshalb keine so
gute Akzeptanz des Verfahrens
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Fall Goldtaler AG - Ausgangssituation
Ausgangssituation
Absatz
Zahlung sofort
Zahlung später
Einzahlungen
Lieferantenkredit
zahlw. Kosten
Kontokorrent
Auszahlungen
Kasse
250.000 DM
nein
Monat 1
4.000 DM
288.000 DM
250.000 DM
538.000 DM
-1.520.000
-200.000
-200.000 DM
-203.000
-1.923.000
DM
DM
DM
DM
80.000 DM -1.305.000 DM
EK-Preis
VK-Preis
zahlw. Kosten
Skonto VK
Abschreibung
Skonto EK
Zahl.-Verhalt.
best. Stück
Kontokorrent
Monat 2
8.000 DM
576.000 DM
300.000 DM
876.000 DM
Monat 3
12.000 DM
864.000 DM
600.000 DM
1.464.000 DM
-400.000 DM
0 DM
-600.000 DM
-400.000 DM
-600.000 DM
-829.000 DM
35.000 DM
80,00 DM
150,00 DM
50,00 DM
4,00%
5,00 DM
5,00%
50,00%
20000
1,50%
Prof. Dr. Dr. J. Hansohm
Fallstudie Goldtaler AG (1)
Liquiditätsentwicklung
200.000 DM
-
DM
-200.000 DM
-400.000 DM
-600.000 DM
-800.000 DM
-1.000.000 DM
-1.200.000 DM
-1.400.000 DM
Ausgangssituation
Monat 1
Monat 2
Monat 3
Prof. Dr. Dr. J. Hansohm
Fallstudie Goldtaler AG (2)
Art
Zins
Kontokorrent 1
1,50%
Kontokorrent 2
1,50%
Kontokorrent 3
1,50%
Bank A1
2,50%
Bank A2
2,50%
Bank B
4,00%
Termingeld 1
1,00%
Termingeld 2
1,00%
Termingeld 3
1,00%
Kontokorrent 1
- DM
Kontokorrent 2
300.000 DM
Kontokorrent 3
- DM
Bank A1
167.317 DM
Bank A2
332.683 DM
Bank B
497.551 DM
Termingeld 1
744.868 DM Termingeld 2
- DM
Termingeld 3
- DM
Kreditsaldo
Liquiditätsprognose
Liquidität
Mindestkassenbestand
Ausgangss.
100,00%
Monat 1
-101,50%
100,00%
100,00%
Monat 2
Monat 3
-101,50%
100,00%
-102,50%
-101,50%
100,00%
100,00%
-100,00%
101,00%
-100,00%
- DM
- DM
- DM
300.000 DM - DM
- DM
167.317 DM
- DM - DM
332.683 DM
497.551 DM
- DM
744.868 DM
752.317 DM
- DM
- DM
- DM
- DM
80.000 DM
1.305.000 DM
80.000 DM - 1.305.000 DM 0 DM 0 DM - DM
- DM
Grenze
-102,50%
-104,00%
101,00%
-100,00%
- DM
304.500 DM
- DM
171.500 DM
- DM - DM - DM
- DM
- DM
829.000 DM 829.000 DM
0 DM
- DM
101,00%
- DM
- DM
- DM
- DM
341.000 DM
517.453 DM
- DM
- DM
- DM
29.453 DM
35.000 DM
5.547 DM
- DM
100.000
300.000
300.000
500.000
332.683
1.300.000
DM
DM
DM
DM
DM
DM
Prof. Dr. Dr. J. Hansohm
Fallstudie Goldtaler AG (3)
Art
Kontokorrent 1
Kontokorrent 2
Kontokorrent 3
Bank A1
Bank A2
Bank B
Termingeld 1
Termingeld 2
Termingeld 3
Kontokorrent 1
Kontokorrent 2
Kontokorrent 3
Bank A1
Bank A2
Bank B
Termingeld 1
Termingeld 2
Zins
1,50%
1,50%
1,50%
2,50%
2,50%
4,00%
1,00%
1,00%
1,00%
- DM
300.000 DM
- DM
167.317 DM
332.683 DM
497.551 DM
744.868 DM - DM
Ausgangss.
100,00%
Monat 1
-101,50%
100,00%
100,00%
Monat 2
Monat 3
-101,50%
100,00%
-102,50%
-101,50%
100,00%
100,00%
-100,00%
- DM
- DM
- DM
167.317 DM
- DM
497.551 DM
744.868 DM
- DM
101,00%
-100,00%
- DM
300.000 DM - DM
- DM 332.683 DM
- DM
752.317 DM
- DM
-102,50%
-104,00%
101,00%
-100,00%
- DM
304.500 DM
- DM
171.500 DM
- DM - DM - DM
- DM
101,00%
- DM
- DM
- DM
- DM
341.000 DM
517.453 DM
- DM
- DM
Prof. Dr. Dr. J. Hansohm