2. Unterichtsbeispiele (M)

Mathematikunterricht (Informatikunterricht) mit
Computern
METHODIK UND DIDAKTIK
Karl Josef Fuchs, Universität Salzburg
Johannes Kepler Universität Linz
SS 2007
Didaktik: Spannungsfeld von Theorie
und Praxis – 1. Grundfragen
1.1 Spezifische Lernziele
Experimentieren
Anlehnung an E(naktiv),I(konisch),S(ymbolisch)
Zusätzliche Akzentuierung der aktiven Rolle des
Schülers (Prädikat: handelnd)
- anschaulich – handeln (Visualisieren)
- numerisch – handeln (Tabellen, Listen;
Einsetzen von Funktionswerten)
1. Grundfragen
1.1 Spezifische Lernziele
Argumentieren und Begründen
symbolisch – handeln (z. B. Kurvendiskussion, Prototypen
von Funktionen)
Verschiedene Exaktheitsniveaus / Präformales Beweisen
(z. B. Verketten von Funktionen, funktionierender
Bisektionsalgorithmus - quasialgorithmischer Beweis für
den Zwischenwertsatz)
1. Grundfragen
1.1 Spezifische Lernziele
Einstellungen initiieren und verändern
Motivation für mathematische – informatische Inhalte
Selbstvertrauen zu eigener Leistung
Bedingungen:
Mehr Selbsttätigkeit der Schüler
Veränderte Lehrerrolle
starke Handlungsorientierung des Unterrichts
1. Grundfragen
1.1 Spezifische Lernziele
Einstellungen initiieren und verändern
Bedingungen:
Soziale Parameter: Verstärkte Partner- und
Gruppenarbeit in Projekten
1. Grundfragen
1.1 Spezifische Lernziele
Modellbilden (Fundamentale Leitidee)
Mathematik: Entwickeln – Beschreiben – Bewerten
Informatik: Entwickeln – Implementieren - Bewerten
1. Grundfragen
1.1 Spezifische Lernziele
Verschiebung von Gewichten
Elemente der diskreten Mathematik (z.B. Grundlagen der
Logik)
Elemente der Stochastik (z.B. Regression)
Diskussion von Programmierparadigmen (z. B. Funktional
-> Verketten von Funktionen – Frage der Argumente)
1. Grundfragen
1.2 Forderungen an den Unterricht
Unterricht als Prozess
Mehrperspektivität (Verlagerung der Standpunkt,
Gegenüberhalten verschiedener Repräsentationsformen)
Unterricht durchsichtiger machen
Orientierung an fundamentalen Ideen und Begriffen
1. Grundfragen
1.2 Forderungen an den Unterricht
Stärkere Berücksichtigung intra- und
interindividueller Komponenten
Veränderte stress- und angstbeladene Unterrichtssituationen (d. h. vor allem Veränderung der
Prüfungssituation – Umfangreichere Beurteilungsgrundlagen)
Didaktik: Spannungsfeld von Theorie
und Praxis – 2. Unterichtsbeispiele (M)
2.1Die optimal approximierende Gerade
LI: Approximation, Prototypisches Verhalten
von Funktionen (Bemerkung F. Schweiger)
Aufgabe: Näherungsweises Beschreiben einer reellen Funktion
f in der Umgebung eines Punktes P.
2. Unterichtsbeispiele (M)
1. Schritt: Definition der Funktion f
2. Schritt: Betrachten des Funktionswertes an der Stelle x+u mit u = x-x0
3. Schritt: Linearisierung (d.h. Abspalten
der linearen Funktion und Festlegen auf
eine Stelle x0=2: y = f(2)+m(x-2))
4. Schritt: Erzeugung eines Büschels für
die Betrachtung unter dem Funktionenmikroskop (d.h. m = 2 x0±ε)
2. Unterichtsbeispiele (M)
5. Schritt: Mikroskopische Betrachtung
der ‚Sachlage‘ in P(x,x0)
2. Unterichtsbeispiele (M)
2.2 Vermutungen über Differentiationsregeln
anstellen
LI: Approximation, Modellieren
Problem: Lässt sich die Idee der Linearisierung (aus Aufgabe 2.1)
weiterführen zu Vermutungen über Regeln?
2. Unterichtsbeispiele (M)
1. Schritt: Definition der beiden
Tangentenfunktionen tf und tg
2. Schritt: Summe aus tf und tg mit
u = x-x0, a=f (x0), b=g(x0) m=f ‘(x0),
n=g ‘(x0)
3. Schritt: (m+n) u Verm.: (f+g)‘ =f‘+g‘
4. Schritt: Linearisierung - (a.n+b.m) u
Vermutung: (f.g)‘ = f. g‘+ g. f‘
2. Unterichtsbeispiele (M)
2.3 Zur Beschreibung von Punktmengen –
Einpassen einer Geraden (y = k x)
LI: Approximation, Präformales Beweisen,
Verschiedene Exaktheit, Modellieren
Problem: Einpassen einer Geraden (y = k x) in eine Menge von
m(=3) Punkten des 2. (Soll beim Schüler eine Motivationslage
schaffen, die Arbeitsweise eines CAS zu hinterfragen)
2. Unterichtsbeispiele (M)
1. Schritt: Definition der Funktion f (mit
P1(3,3), P2(4,4) und P3(5,3))
2. Schritt: Vereinfachen führt zu einer
quadratischen Funktionsausdruck in k
2. Unterichtsbeispiele (M)
3. Schritt: Extremwertaufgabe
Notwendige und Hinreichende
Bedingung für ein Minimum
2. Unterichtsbeispiele (M)
2.4 Entwickeln – Beschreiben – Bewerten
LI: Approximation, Modellieren
Aufgabe: Aus einem Testbericht wurde die folgende Tabelle für
verschiedene PKWs entnommen:
Entwickle ein Modell für die funktionale Abhängigkeit des
Kraftstoffverbrauchs von der Geschwindigkeit.
2. Unterichtsbeispiele (M)
1. Schritt: Übertragen der Werte aus der
Tabelle
2. Unterichtsbeispiele (M)
2. Schritt: Beschreibung 01 Quadratische Regression (Einpassen
einer quadratischen Funktion)
2. Unterichtsbeispiele (M)
3. Schritt: Beschreibung 01 Quadratische Regression
Grafische Darstellung
2. Unterichtsbeispiele (M)
4. Schritt: Beschreibung 02 - Einpassen
einer Polynomfunktion vom Grad 4
2. Unterichtsbeispiele (M)
5. Schritt: Beschreibung 02 –
Polynomfunktion vom Grad 4
Grafische Darstellung
2. Unterichtsbeispiele (M)
6. Schritt: Beschreibung 03 - Einpassen
einer Polynomfunktion vom Grad 4
Ermittlung der Koeffizienten durch Lösen
des angegebenen Gleichungssystems
2. Unterichtsbeispiele (M)
7. Schritt: Bewertung des Graphen führt
zu Beschreibung 04 - Einpassen zweier
quadratischer Funktionen
Didaktik: Spannungsfeld von Theorie
und Praxis – 3. Strukturmodell (Inf)
3. Strukturmodell
3.1 Informatische Konzepte
Programmierparadigmen (am
Beispiel funktional)
hier: Modularisierung / Modulprinzip
3.2 Pädagogische – Psychologische
Konzepte (vgl. 1.1 /1.2)
Didaktik: Spannungsfeld von Theorie
und Praxis - 3. Strukturmodell
3.1 Entwickeln – Implementieren – Bewerten
LI: Modellieren durch Funktionen,
Modularisieren
Aufgabe: Implementierung eines logischen Systems (Konjunktion,
Disjunktion, Negation) durch funktionale Kodierung
3. Unterichtsbeispiele (INF)
1. Schritt: Definieren der
Funktionen des logischen
Systems
3. Unterichtsbeispiele (INF)
3.2 Entwickeln – Implementieren – Bewerten
LI: Funktion (Argumente, Verkettung),
Algorithmisches Denken
Aufgabe: ‚Auf der Suche nach Gesetzmäßigkeiten (Äquivalenzen)
illustriert am Beispiel De Morgan‘
3. Unterichtsbeispiele (INF)
1. Schritt: Verketten der zuvor
definierten Funktionen
2. Schritt: Gegenüberstellung der
Outputs (Tabellen)
3. Unterichtsbeispiele (INF)
3. Schritt: Verifizierung der Äquivalenz
mittels 4 x 3 - Tabelle
3. Strukturmodell
Abschließende (positive) Bemerkungen zu
Informatische Konzepte – Modularisierung /
Die Funktion als Baustein
Schaffung eines Systems
Konstruktives Exaktifizieren