Die Kirchhoffschen Regeln

Die Kirchhoffschen Regeln
Analyse von Schaltungen mit
vernetzen Bauteilen
Kirchhoffsche „Maschenregel“
In statischen Feldern sind die Potentiale
vom Weg unabhängig
• Deshalb ist die Summe über alle
Spannungen auf einem beliebigen
geschlossenen Weg innerhalb einer
Schaltung Null
0
N
U
i 1
i
N Anzahl der Spannungsquellen in der Masche, so heißt
ein „geschlossener Weg“
Anleitung zur Kirchhoffschen
„Maschenregel“
• Von einem beliebigen Punkt ausgehend
bewegt man sich auf einem
geschlossenen Weg
– in Richtung des technischen Stromflusses,
von Plus nach Minus,
• und summiert alle Spannungen über den
Bauteilen
– Spannungen aus Spannungsquellen, die von
Minus nach Plus durchlaufen werden, werden
mit negativem Vorzeichen in die Summe
aufgenommen.
Anmerkung: Vorzeichen der Spannung an einer Spule bei
Anschluss an eine Spannungsquelle
U L  ( L  I(t ))
U R  RI
U~
U0
*Bei
Anschluss einer Spule an eine Spannungsquelle stellt
sich der Strom so ein, dass die durch sein Magnetfeld
induzierte Spannung gleich der Spannung an der Quelle
ist: Das Vorzeichen der Spannung an der Quelle (es sei links
momentan „Plus“) überträgt sich deshalb auf die Spule
Beispiel für die Analyse einer Schaltung nach der Kirchhoffschen
Maschenregel, Umlauf von + nach -, Quellen von + nach – zählen
positiv, im Gegensinn durchlaufene negativ
Start und
Ziel
UC  Q / C
2U L  ( L  I(t ))
1
U0
U0
U R1  R1I1
0  U L  U R1  U 0
0  U L  U C  U R 2  U 0
U R 2  R2 I 2
1V
Masche 1
1V
Masche 2
Analyse der abgeglichenen Wheatstoneschen Brücke nach der Kirchhoffschen
Maschenregel, Umlauf von + nach -, Quellen von + nach – zählen positiv, im
Gegensinn durchlaufene negativ
2
Start und
Ziel
R0
Rx
1
1 0
I1
0,5
I2
Start und
Ziel
R1
R2
U0
 I1  R0  I 2  R1  0
1V
Masche 1
 I1  Rx  I 2  R2  0
1V
Masche 2
Analyse der abgeglichenen Wheatstoneschen Brücke nach der Kirchhoffschen
Maschenregel, Umlauf von + nach -, Quellen von + nach – zählen positiv, im
Gegensinn durchlaufene negativ
2
Start und
Ziel
1
R0
Rx
10
0,5
Start und
Ziel
R1
R2
U0
I1  R0  I 2  R1
I1  Rx  I 2  R2
Rx / R0  R2 / R1  l2 / l1
1V
1V
1
Masche 1
Masche 2
Nach Division beider
Gleichungen
Längen am Schiebewiderstand
2
Start und
Ziel
1
R0
Rx
10
0,5
Start und
Ziel
R1~l1
R2~l2
U0
R2 / R1  l2 / l1
Rx  R0  l2 / l1
1
Widerstände verhalten
sich wie die Längen
1Ω
Wert des unbekannten
Widerstands
Kirchhoffsche „Knotenregel“
In jedem Verzweigungspunkt einer
Schaltung, den „Knoten“, muss ebensoviel
Ladung zu- wie abfließen
• Deshalb ist die Summe über alle Ströme,
die in den Knoten münden, Null
0
N
I
i 1
i
N Anzahl der Zweige, die in den Knoten münden
Anleitung zur Kirchhoffschen „Knotenregel“
• Man zählt Ströme, die in den Knoten
einfließen, positiv, die abfließenden
negativ
Knoten
IL
ICR2
IR1
0   I L  I CR 2  I R1
Beispiel für die Analyse einer Schaltung nach der Kirchhoffschen
Knotenregel
Knoten 1
IL
ICR2
IR1
U0
I0
IR1
ICR2
Knoten 2
0   I L  I CR 2  I R1
0   I CR 2  I R1  I 0
Knoten 1
Knoten 2
Zusammenfassung
• Knotenregel: Die Summe über alle Ströme, die in einen
„Knoten“ genannten Verzeigungspunkt einer Schaltung
münden, ist Null
• Maschenregel: Die Summe über alle Spannungen auf
einem beliebigen geschlossenen Weg (einer „Masche“)
innerhalb einer Schaltung ist Null
• Jede Anwendung eines der beiden Kirchhoffschen
Gesetze liefert eine Gleichung mit einigen Unbekannten
(Spannungen, Strömen, Widerständen, usw.)
• Ziel ist, so viele Gleichungen aufzustellen, wie es
unbekannte Größen gibt
• Die Lösung dieses „linearen Gleichungssystems“ liefert
die Unbekannten
– Bei mehreren Gleichungen ist die Lösung mit einem geeigneten
Programm sinnvoll
finis
U L   L  I(t )
Knoten
IL
ICR2
U0
U0
U R1  R1I1
IR1
0   I L  I CR 2  I R1
0  U L  U R1  U 0