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Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1, 3.Sitzung
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Verknüpfungstabelle AND
Wird die Wertetabelle "AND" auf zwei
Aussagen A und B angewandt, erhält
man folgende Verknüpfungstabelle:
A
B
A⋀B
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gumm/Sommer benutzen
statt A ⋀ B auch A * B
Verknüpfungstabelle OR
Wird die Wertetabelle "OR" auf zwei
Aussagen A und B angewandt, erhält
man folgende Verknüpfungstabelle:
A
B
A⋁B
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gumm/Sommer benutzen
statt A ⋁ B auch A + B
Verknüpfungstabelle XOR
Wird die Wertetabelle "XOR" auf zwei
Aussagen A und B angewandt, erhält
man folgende Verknüpfungstabelle:
A
B
A ⋀ B'
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleichungen
Ob zwei Aussagen gleich sind, kann man
durch Wertevergleich herausfinden.
x
y
z
y⋁z
x ⋀ (y ⋁ z)
x⋀y
x⋀z
(x ⋀ y) ⋁ (x ⋀ z)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
BIT – Schaßan – WS 02/03
Distributiver Verband
Eine Menge gültiger Gleichungen, die die
folgende Struktur erfüllt, heißt distributiver
Verband.
x⋁x=x
Indempotenz
x⋀x=x
x⋁y=y⋁x
Kommutativität
x⋀y=y⋀x
x ⋁ (y ⋁ z) = (x ⋁ y) ⋁ z Assoziativität x ⋀ (y ⋀ z) = (x ⋀ y) ⋀ z
x ⋀ (x ⋁ y) = x
Absorption x ⋁ (x ⋀ y) = x
x ⋀ (y ⋁ z) = (x ⋀ y) ⋁ (x ⋀ z) Distributivität
x ⋁ (y ⋀ z) = (x ⋁ y) ⋀ (x ⋁
z)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Chips
Ein Chip ist ein Silizium-Plättchen, auf das die
Transistoren aufgebracht werden. Der
entstehende Schaltkreis heißt Integrated
Circuit (IC).
Die Verbindung nach außen wird mittels
Golddrähten und sog. Beinchen (pins)
realisiert, die an den Seiten und unter dem
Chip herausführen. Es entsteht ein Pin Grid
Array (PGA).
Ein Intel Pentium-4 hat 423 Pins.
BIT – Schaßan – WS 02/03
Chip-Größen
Intel Pentium-4:
42 Mio. Transistorfunktionen auf 217 mm2
Motorola PowerPC 7450:
33 Mio. Transistorfunktionen auf 106 mm2
Benötigte Energie pro Schaltvorgang:
1 pJ (Picojoule) = 10-12 J
Schaltverzögerungen:


NMOS-Transistoren: 0,8 ns
CMOS-Transistoren: 0,08 ns
BIT – Schaßan – WS 02/03
Transistoren
MOS = Metal-Oxide-Semiconductor
BIT – Schaßan – WS 02/03
Transistoren als Schalter
Der Transistor besitzt drei Anschlüsse:

Emitter, Gate und Kollektor (Source, Gate, Drain)
Ist auf dem Gate keine Ladung, dann ist der
Schalter offen und es kann kein Strom fließen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Schaltkreise
Schaltkreise sind aus Transistoren
zusammen gesetzt. Die Transistoren
werden als elektrische Ein-Aus-Schalter
benutzt.
Durch Kombination von solchen
Schalter entstehen Schaltkreise, die
beliebige Schaltaufgaben lösen können.
Für die Lösungen wird die boolesche
Algebra gebraucht.
BIT – Schaßan – WS 02/03
Einfache Schaltungen
Stromkreis aus Batterie B, Widerstand
R (bzw. Lampe L) und Schalter S:
BIT – Schaßan – WS 02/03
S
L
0
0
1
1
Serienschaltung
Ersetzt man den Schalter S durch S1 und
S2, erhält man folgendes mögliche
Schaltbild:
Und folgende Wertetabelle:
S1
S2
L
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
BIT – Schaßan – WS 02/03
Parallelschaltung
Eine zweite mögliche Schaltung mit den
Schaltern S1 und S2 ergibt:
Und folgende Wertetabelle:
BIT – Schaßan – WS 02/03
S1
S2
L
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
Schaltungen gleicher Funktion
Es kann vorkommen, dass zwei Terme
dieselbe Schaltfunktion beschreiben:
x ⋀ (y ⋁ z)
=
(x ⋁ y) ⋀ (x ⋁ z)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Wechselschaltung
Eine Schaltung, die nicht durch eine
SP-Schaltung zu realisieren ist, ist die
Wechselschaltung.
Aufgabe: Eine Lampe soll von zwei
verschiedenen Schaltern unabhängig einund ausgeschaltet werden können.
D.h., jede Veränderung an einem Schalter
ändert den Zustand der Lampe.
 Welche Wertetabellen erfüllen dies?

BIT – Schaßan – WS 02/03
Wertetabelle für WS
x
y
L
x
y
L
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
Wie findet man den booleschen Term
zu einer gegebenen Schaltfunktion?
BIT – Schaßan – WS 02/03
Realisierung von Schaltfunktionen
Definition: Ein Literal ist eine Variable
oder eine negierte Variable. Ein Monom
ist ein Produkt vom Literalen.
Ein Monom wird nur dann zu 1, wenn jedes
darin enthaltene Literal 1 oder jedes
negierte Literal 0 ist.
x'yz' ist 1, wenn y = 1 und x,z = 0
 Eine Summe zweier Monome wird 1, wenn
mindestens ein Monom 1 ist.

BIT – Schaßan – WS 02/03
Realisierung (2)
Die Schaltfunktion liefert an zwei Stellen
eine 1, sie ist also als Summe von 2
Monomen m1, m2 zu schreiben:
x
0
0
1
y
0
1
0
m1
0
1
0
m2
0
0
1
m1 ⋁ m 2
0
1
1
1
1
0
0
0
m1 = x'y m2 = xy' g(x,y) = x'y + xy'
BIT – Schaßan – WS 02/03
Disjunktive Normalform
Die Form des auf die geschilderte
Vorgehensweise gebildeten Terms heißt
disjunktive Normalform (DNF).
Jede Variable hat in jedem Monom direkt
oder negiert vorzukommen.
 Aber: Bei Schaltfunktionen, welche mehr
Einsen als Nullen haben, ist diese
Vorgehensweise unpraktisch.

BIT – Schaßan – WS 02/03
Konjunktive Normalform
Definition: Eine Elementarsumme ist eine
Summe von Literalen.
Die Schaltfunktionen einer Elementarsumme
ergibt genau für einen Input eine 0, sonst
immer 1.
 Das Produkt zweier Elementarsummen
ergibt 0, wenn beide Summen eine 0 haben.

BIT – Schaßan – WS 02/03
KNF (2)
Gesucht sei eine
Schaltfunktion, die
es erlaubt, eine
Lampe durch drei
verschiedene
Schalter
unabhängig einund auszuschalten.
x
0
0
y
0
0
Z
0
1
g(x,y,z)
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
BIT – Schaßan – WS 02/03
KNF (3)
x
y
z
g(x,y,z) e1 e2 e3 e4 e1*e2*e3*e4
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
g(x,y,z) = e1*e2*e3 = (x+y+z) * (x+y'+z') * (x'+y+z') * (x'+y'+z)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Regeln
Beliebige Schaltfunktionen können
entweder als Ergebnis einer Addition
von Monomen oder als Produkt von
Elementarsummen geschrieben
werden.
Jede Schaltfunktion lässt sich durch
einen booleschen Term realisieren.
BIT – Schaßan – WS 02/03
Negation
Definition: Ist S ein Schaltglied, dann sei
S' dasjenige Schaltglied, welches genau
dann offen ist, wenn S geschlossen ist.
S' heißt die Negation von S.
BIT – Schaßan – WS 02/03
Regeln der Negation
Gleichungen für das Verhalten der
Negation:
(x ⋁ y)' = x' ⋀ y' deMorgansche Regel (x ⋀ y)' = x' ⋁ y'
x ⋁ x' = 1
Komplementregel x ⋀ x' = 0
x'' = x
BIT – Schaßan – WS 02/03
Transistoren als Schalter (2)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Transistoren als Schalter (3)
Vext = externe elektrische Spannung
Vin = Spannung zwischen g und s
Vout = Spannung zwischen s und d
VR = Vext – Vout
 komplementär
Vin
Vout
Vin
Vout
Vin
VR
0
Vext
0
1
0
0
Vext
0
1
0
1
1
BIT – Schaßan – WS 02/03
NAND-, NOR-Schaltungen
NAND
NOR
BIT – Schaßan – WS 02/03
AND-, OR-Schaltungen
AND
OR
BIT – Schaßan – WS 02/03