Vorjahr
Werbung
Slide 1
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 2
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 3
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 4
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 5
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 6
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 7
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 8
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 9
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 10
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 11
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 12
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 13
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 14
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 15
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 16
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 17
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 18
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 19
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 20
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 21
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 22
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 23
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 24
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 25
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 26
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 2
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 3
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 4
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 5
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 6
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 7
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 8
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 9
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 10
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 11
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 12
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 13
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 14
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 15
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 16
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 17
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 18
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 19
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 20
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 21
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 22
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 23
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 24
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 25
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
BIT – Schaßan – WS 02/03
Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
BIT – Schaßan – WS 02/03
kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
BIT – Schaßan – WS 02/03
1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
BIT – Schaßan – WS 02/03
B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
BIT – Schaßan – WS 02/03
Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
BIT – Schaßan – WS 02/03
Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
BIT – Schaßan – WS 02/03
5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
BIT – Schaßan – WS 02/03
Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
BIT – Schaßan – WS 02/03
Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
BIT – Schaßan – WS 02/03
Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Slide 26
Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan WS
Sitzungen 1-2:
Sitzungen 3-5:
Sitzungen 6-8:
Sitzungen 9-12:
Sitzungen 13-16:
Grundlagen
Rechnertechnologie
Betriebssysteme
Programmiersprachen
Formale Sprachen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seminarplan SS
Sitzungen 1-3:
Sitzung 4:
Sitzungen 5-7:
Sitzungen 8-9:
Sitzungen 10-12:
Rechnerkommunikation
Text
Bild
Ton
Animation
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur
Gumm/Sommer: Einführung in die
Informatik. 5.Aufl. Oldenburg, 2002.
Broy: Informatik. Eine grundlegende
Einführung. 2 Bde. 2.Aufl. Springer, 1998.
Literatur der BIT-Veranstaltungen von
Christian Schulz.
http://www.spinfo.uni-koeln.de/~schulz/lehre
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
1.
2.
3.
4.
Repräsentation oder Darstellung
Bedeutung ("abstrakte" Information)
Bezug zur realen Welt
Gültigkeit (Wahrheitswert)
Verstehen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Definition:
Information ist der abstrakte Gehalt
(Bedeutungsinhalt, Semantik) eines
Dokumentes, einer Aussage, o.ä.
Repräsentation ist die äußere Form der
Darstellung (konkrete Form).
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Was ist Information(-sverarbeitung)?
Information
Repräsentation
Abstraktion
Daten
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Bits und Bytes
Bit: kleinstmögliche Informationseinheit
ja/nein, wahr/falsch, ein/aus
Binärer Code: 0/1
0 = ungeladen
1 = geladen
0 Volt
5 Volt
unmagnetisiert
magnetisiert
Gruppierung:
8 Bits = 1 Byte
4 Bits = Halb-Byte / Nibble (Hex-Zahlen)
2 Bytes = Wort (je nach Rechner unterschiedlich)
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kilo-, mega-, giga-...
Kilo
= 1024
= 210
Mega = 1024*1024
= 220
Giga
= 1024*1024*1024 = 230
Wenn Festplattenhersteller statt 230 den
Faktor 109 für Giga benutzen, können
80 GByte in Wirklichkeit 74,5 GByte
sein!
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Zahlendarstellung
Allgemein:
(dndn-1...d0)x = dn*xn + dn-1*xn-1 +...+ d0*x0
Binärzahlen:
(1010)2 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20 = (10)10
Hexadezimalzahlen:
(3FB)16 = 3*162 + 16*161 + 11*160 = (1035)10
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Umwandlung nach Binär
Von Dezimal nach Binär: sukzessives
Dividieren durch 2 und Aufschreiben der
Reste von rechts nach links
95 : 2 = 47 Rest 1
47 : 2 = 23 Rest 1
23 : 2 = 11 Rest 1
11 : 2 = 5 Rest 1
5 : 2 = 2 Rest 1
2 : 2 = 1 Rest 0
1 : 2 = 0 Rest 1
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1011111
Umwandlung nach Hex
Von Dezimal nach Hexadezimal:
sukzessives Dividieren durch 2 und Aufschreiben der Reste von rechts nach links
48267 : 16 = 3016 Rest 11
3016 : 16 = 188 Rest 8
188 : 16 = 11 Rest 12
11 : 16 =
0 Rest 11
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B C8 B
Umwandlung allgemein
Zahl z ∈ ℕ (natürliche, positive Zahlen)
z geteilt durch d ≠ 0
ergibt Quotienten q und Rest r
z=q*d+r
mit 0 ≤ r ≤ d
↓ ↓
div mod
z = (z div d) * d + (z mod d)
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Addition von Binärzahlen
Untereinanderschreiben und Addieren
(39)10 + (21)10 = (100111)2 + (10101)2
100111
+ 10101
(111100)2
Achtung: Übertrag ermöglicht "Überlauf"
(engl. carry) "carry overflow"
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Multiplikation von Binärzahlen
Untereinanderschreiben der Produkte
und anschließendes Addieren
Beispiel:
39
* 21
100111 * 10101
1001110
1001110
100111
1100110011
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Multiplikation von Binärzahlen (2)
Hinweis zum Übertrag: sollten mehr als
3 Einsen zu addieren sein, wird pro 2
Einsen eine Eins übertragen.
11110 * 111
11110
11110
11110
Übertrag von Position 3: 1 Eins
ges. 4 Einsen
Übertrag zu Position 5: 2 Einsen
Übertrag von Position 4: 2 Einsen
ges. 5 Einsen
Übertrag zu Position 6: 2 Einsen
11010010
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Division von Binärzahlen
Verschieben des Dividenden unter die erste
Stelle des Divisors und anschließendes
Subtrahieren der Werte.
Beispiel:
27
/9
11011 / 1001 = 11
1001
01001
1001
0
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Zahlen im Stellenwertsystem
Im Binärsystem als Stellenwertsystem
sind bei fester Anzahl N Bits
0,...,2N-1
Zahlen darstellbar.
N = 1 0,21-1
=2
N = 4 0,...,24-1 = 8
N = 8 0,...,28-1 = 256
N = 16 0,...,216-1 = 65536
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Darstellung ganzer Zahlen
Wie werden ganze Zahlen (absoluter
Zahlenwert plus Vorzeichen) dargestellt?
Idee: ein zusätzliches Bit für das
Vorzeichen
Für N = 4:
0000 = +0
0001 = +1
0010 = +2
usw.
1000 = -0
1001 = -1
1010 = -2
Problem: Nicht-Eindeutigkeit
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Zweierkomplementdarstellung
Zahl z ∈ ℤ
mit N = 4 (=16 Zahlen darstellbar)
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1
0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
0101 = 5
0110 = 6
0111 = 7
2
3 4
1000 = -8
1001 = -7
1010 = -6
1011 = -5
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5 6 7
8
1100 = -4
1101 = -3
1110 = -2
1111 = -1
Umgang mit ZKZ
Man erhält das Komplement einer Zahl,
indem man zu dem bit-weisen Komplement 1 addiert.
Das Komplement von (4)10, also (-4)10, ist:
(4)10 = (0100)2
bit-weises Vertauschen der Werte
1011 + 1
Addition von 1
1100
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Addition von ZKZ
Durch Addition ermittelt man das
Vorzeichen, anschließend wird der
absolute Wert der Zahl errechnet.
(2 + (-6))10 = (0010 + 1010)2 = (1100)2
Bit-weises Komplement:
0011 + 1
(0100)2 = (4)10
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Standardformate ZKZ
Bereich
Format
Java
-128...127
8 Bit
byte
-32768...32767
16 Bit
short
-231...231-1
32 Bit
int
-263...263-1
64 Bit
long
Vorsicht: auch hier ist der Überlauf zu beachten!
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Darstellung reeller Zahlen
Wie werden reelle Zahlen dargestellt?
Gesucht ist eine Darstellung, die
ein möglichst großes Intervall der reellen
Zahlen umfasst;
deren Genauigkeit bei kleinen Zahlen sehr
hoch, bei großen Zahlen niedriger ist.
Lösung: Gleitpunktdarstellung, mit
verschiebbarem Komma
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Gleitpunktzahlen
Beispiel:
384.000 = 0,384 * 106
0,000384 = 0,384 * 10-3
Benötigt werden:
Vorzeichenbit V
Exponent E
Mantisse M (Ziffernfolge)
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Standardformate GPZ
IEEE-Normen:
(Institute of Electrical and Electronics Engineering)
Name
Vorzeichen V Exponent E Mantisse M
short real
1 Bit
8 Bit
23 Bit
long real
1 Bit
11 Bit
52 Bit
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