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Basisinformationstechnologie
HK-Medien
Teil 1, 10.Sitzung
WS 02/03
BIT – Schaßan – WS 02/03
Literatur zu Algorithmen und
Datenstrukturen
Ottmann, T. / Widmayer, P.: Algorithmen
und Datenstrukturen. 3., überarbeitete
Auflage. Heidelberg, Berlin, Oxford:
Spektrum Akademischer Verlag, 1996.
BIT – Schaßan – WS 02/03
Ein Programm entsteht
Ein Computerprogramm soll ein Problem
lösen.
Dazu muss das Problem genau beschrieben, spezifiziert werden.
Danach muss ein Ablauf von Aktionen
entworfen werden, ein sog. Algorithmus.
Der Algorithmus stützt sich auf die in der
Beschreibungssprache vorgegebene
Strukturierung der Daten.
BIT – Schaßan – WS 02/03
Spezifikation
Eine Spezifikation ist eine vollständige,
detaillierte und unzweideutige
Problembeschreibung.
vollständig: alle Anforderungen und relevante
Rahmenbedingungen sind angegeben
detailliert: Nennung aller Hilfsmittel, insbesondere der zulässigen Basis-Operationen
unzweideutig: Kriterien, wann eine Lösung
akzeptabel ist
BIT – Schaßan – WS 02/03
Beispiel Spezifikation
"Berechne für beliebige Zahlen M und N den
größten gemeinsamen Teiler ggT(M,N)."
Vollständigkeit: Welche Zahlen M und N sind
zugelassen?
Detailliertheit: Welche Operationen sind erlaubt?
Unzweideutigkeit: Was heißt berechnen? Wie
soll das Ergebnis ausgegeben werden?
BIT – Schaßan – WS 02/03
Vor- und Nachbedingungen
Formale Spezifikation geschieht mittels der
Angabe von Vorbedingung P und
Nachbedingung Q.
P und Q sind logische Aussagen.
In {P} und {Q} sind alle relevanten
Eigenschaften aufgeführt, die vor Beginn
bzw. nach Beendigung des Programms
gelten sollen.
BIT – Schaßan – WS 02/03
Beispiel Bedingungen
Vorbedingung:
{M,N ∈ ℤ und unveränderlich (=Konstanten)
mit 0 < M < 32767 und 0 < N < 32767}
Nachbedingung:
{z = ggT(M,N), d.h. z ist Teiler von M und N
und für jede andere Zahl z', die auch M und
N teilt, gilt: z' ≤ z}
BIT – Schaßan – WS 02/03
Algorithmus
Definition:
"Ein Algorithmus ist eine detaillierte und explizite
Vorschrift zur schrittweisen Lösung eines
Problems."
Die Ausführung erfolgt in einzelnen Schritten.
Jeder Schritt besteht aus einer einfachen und
offensichtlichen Grundaktion.
Zu jedem Zeitpunkt muss eindeutig bestimmt sein,
welche Schritte als nächstes auszuführen sind.
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellungsweisen für Algorithmen
Ablauf/Flussdiagramm
BIT – Schaßan – WS 02/03
Darstellungsweisen (2)
In Pascal:
BEGIN
x := M ;
y := N ;
WHILE x <> y DO
IF x > y THEN x := x-y
ELSE y := y-x ;
z := x ;
END.
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Darstellungsweisen (3)
In Java:
{ x=M;
y=N;
while ( x != y ) {
if ( x < y ) x = x-y ;
else
y = y-x ;
}
z=x;
}
BIT – Schaßan – WS 02/03
Algorithmen zur Lösung von
Spezifikationen
{P} A {Q}
"Wenn ein Algorithmus in einer Situation
gestartet wird, in der {P} gilt, wird dann,
wenn er beendet ist, {Q} gelten."
Spezifikation als Gleichung mit einer
Unbekannten:
"Gesucht ist zu der Spezifikation {P} {Q} der
Algorithmus A mit {P} A {Q}."
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Terminierung
Algorithmen im strengen Sinne müssen
nach endlich vielen Schritten terminieren,
also beendet sein.
Manchmal ist aber gewünscht, dass ein
Algorithmus (ein Programm) nicht von selbst
abbricht.
Es ist manchmal (aufgrund von Schleifen) nur
schwer feststellbar, ob ein Algorithmus in
endlicher Zeit zu einem Ende kommt.
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Formale Eigenschaften von
Algorithmen
Korrektheit
 Aber: Man kann durch Testen die
Korrektheit von Algorithmen nicht
beweisen, nur deren Fehlerhaftigkeit!
Effizienz
benötigter Speicherplatz
benötigte Rechenzeit
BIT – Schaßan – WS 02/03
Effizienzmessung
Möglichkeiten der Messung:
mittels eines idealisierten Modellrechners als
Referenzmaschine
 vor allem: Wachstum der Laufzeit bei
steigender Komplexität des Problems
Messung der Komplexität anhand spezifischer,
charakteristischer Parameter
 Unterscheidung von best case, average
case und worst case-Szenarien
BIT – Schaßan – WS 02/03
Vom Algorithmus zum Programm
PROGRAM ggT ;
CONST M = 84 ; N = 30 ;
VAR x,y,z : Integer ;
BEGIN
x := M ;
y := N ;
WHILE x <> y DO
IF x > y THEN x := x-y
ELSE y := y-x ;
z := x ;
END.
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Datentypen (3, Wdh.)
Jeder Datentyp ist definiert durch die Menge
der zulässigen Werte (Wertebereich) und
die Menge der zulässigen Operationen.
Zwei Datentypen heißen strukturgleich,
wenn sie denselben Wertebereich besitzen.
BIT – Schaßan – WS 02/03
Datentypen und ihre Operationen
Auf verschiedene Datentypen kann
man unterschiedliche
Operationen
ausführen
BIT – Schaßan – WS 02/03
Operationen auf Datentypen:
Boolean
Werte: true, false
Operationen:
and, or, xor: Boolean x Boolean  Boolean
not:
Boolean  Boolean
True, false:  Boolean
Gleichungen:
true or x = true
BIT – Schaßan – WS 02/03
Operationen auf Datentypen:
Integer
Werte: alle ganzen Zahlen
Operationen:
+ - * div mod: Integer x Integer  Integer
- succ pred: Integer  Integer
0:
 Integer
Gleichungen:
0+x=x
succ(pred(x)) = x
pred(x) = x*y - y
BIT – Schaßan – WS 02/03
Operationen auf Datentypen: Real
Werte: alle realen Zahlen
Operationen:
+ - *:
/::
- exp:
sqrt::
ln::
sin, tan,…:
Real x Real  Real
Real x Real  Real
Real  Real
Real  Real
Real  Real
Real  Real
BIT – Schaßan – WS 02/03
(x/y) nur definiert für y>0
sqrt(x) nur definiert für x≥0
ln(x) nur defniert für x>0
Operationen auf Datentypen: Real
(2)
Gleichungen:
x+(y+z)=(x+y)+z
x * ( y + z ) = x*y + x*z
sqrt(x) * sqrt(x) = x
sin(x) / cos(x) = tan(x)
…
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Bedeutung der Datenstruktur
Gut gewählte Datenstrukturen können das
Programmieren vereinfachen und die Effizienz
steigern.
BEGIN
x := M ; y := N ;
WHILE x <> y DO
IF x > y THEN x := x mod y ELSE y := y mod x ;
z := x ;
END.
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Operationen auf Datentypen: Char
Werte: Alle ASCII- (bzw. Unicode-) Zeichen
Operationen:
succ, pred: Char  Char
chr:
Byte  Char
ord:
Char  Byte
Gleichungen:
ord(chr(n)) = n
succ(pred(n)) = n
BIT – Schaßan – WS 02/03
Operationen auf Datentypen:
Strings
Werte: alle Zeichenketten
Operationen:
+:
"":
length:
pos:
= <>,…
String x String  String
 String
String  Integer
String x String  Integer
String x String  Boolean
BIT – Schaßan – WS 02/03
Operationen auf Datentypen:
Strings (2)
Gleichungen:
"" + x = x
length(x+y) = length(x) + length(y)
…
Aber: in Java dürfen Strings nicht verändert
werden!
Sie können in einen Puffer (stringBuffer)
kopiert, dort verändert und in einen neuen
String zurück verwandelt werden.
BIT – Schaßan – WS 02/03
Operationen auf Datentypen:
Benutzerdefiniert
Benutzer können in modernen PSS
Datenstrukturen konstruieren.
Mögliche Werte, Operationen und
Gleichungen sind dann festzulegen.
Beispiel Datum:
Darstellung durch die Anzahl der vergangenen
Tage seit einem "Anfangszeitpunkt"
Darstellung durch drei Integers, jeweils für Tag,
Monat und Jahr
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Variablen und Speicher
Je nach Art einer Variable wird unterschiedlich
viel Platz im Speicher reserviert.
BIT – Schaßan – WS 02/03
Deklaration
Dazu muss eine Variable in den meisten
höheren Programmiersprachen vor der
ersten Benutzung deklariert werden.
D.h., dem System muss mitgeteilt werden,
welche Variablen zur Verfügung stehen
sollen, welchen Datentyp und welchen
Speicherbedarf sie haben.
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Initialisierung
Nach der Deklaration einer Variable enthält
der zugewiesene Speicherplatz noch
keinen oder einen falschen Wert. Es ist
daher sinnvoll, jede Variable möglichst früh
zu initialisieren, d.h. mit einem
Ausgangswert zu versehen.
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Fehlerhafte Variablenverwendung
Bei der Verwendung von Variablen muss
man vor allem auf zwei mögliche
Fehlerquellen achten:
Typfehler
Seiteneffekte
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Typfehler
Typfehler treten auf, wenn Variablen
unterschiedlichen Typs verknüpft werden.
Seien x,y,z : Integer
r,s : Real u : Char
x+2*(y–z)
 typkorrekt
chr(ord(u) + ord('A')
 typkorrekt
r * x  Real
 typkorrekt
x+u
 Typfehler
length(s+1) statt length(s)+1  Typfehler, da
Ausdruck unsinnig, egal ob s Integer oder
String ist
BIT – Schaßan – WS 02/03
Seiteneffekte
Seiteneffekte entstehen, wenn durch die
Auswertung eines Ausdruckes der Inhalt
der Variablen verändert wird.
(x+1) * (x+1)
 ersetzbar durch sqr(x+1)
(x+1) - (x+1)
 ersetzbar durch 0
In C oder Java kann man (x+1) als ++x
schreiben
 Auftreten eines Seiteneffektes, da x
inkrementiert wird, d.h.
(++x) - (++x) = -1 !!!
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Zuweisungen
Eine Zuweisung besteht in der Belegung
der Variablen mit konkreten Werten
(=Speicherzustand) aus einer Folge
elementarer Operationen (=Berechnung),
die
einen Ausdruck auswerten,
das Ergebnis speichern.
BIT – Schaßan – WS 02/03
Zuweisungen (2)
Auf der rechten Seite einer Zuweisung
bezeichnet eine Variable einen Wert, auf
der linken Seite steht sie für einen
Speicherplatz.
Die Zuweisung ist die einfachste Form
eines Befehls, einer Anweisung einer
Programmiersprache.
 Eine Anweisung beschreibt einen Effekt,
ein Ausdruck einen Wert.
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Kontrollstrukturen
Kontrollstrukturen sind Folgen von Anweisungen, die gezielt und kontrolliert zu neuen
komplexeren und abstrakteren Anweisungen zusammengesetzt worden sind.
Drei grundlegende Konstrukte reichen aus,
um alle Algorithmen aufzubauen:
sequentielle Komposition (Verbundanweisung)
Alternativanweisung
while-Schleife
BIT – Schaßan – WS 02/03
Sequentielle Komposition
Sequentielle Komposition ist die Hintereinander-Ausführung von Anweisungen.
Syntax in Pascal:
BEGIN A1; A2;…; An END
Syntax in C und Java:
{ A1; A2;…; An }
Semantik:
A1; A2;…;An werden nacheinander ausgeführt.
( ohne Sprungbefehle)
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Sequentielle Komposition Beispiel
Aufgabe: Gib Wechselgeld für einen Betrag
zwischen 0 und 100 Cent. Es stehen jeweils
genügend Münzen im Wert von 1, 2, 5, 10, 20, 50
Cent und 1 Euro zur Verfügung. Ziel ist es, mit
möglichst wenig Münzen auszukommen.
P: { Betrag > 0 }
Q: { Betrag = k1*1 + k2*2 + k3*5 + k4*10 +
k5*20 + k6*50 + k7*100,
mit k1+k2+k3+k4+k5+k6+k7 minimal }
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Sequentielle Komposition Beispiel
(2)
BEGIN
rest := Betrag ;
k7 := rest div
rest := rest mod
k6 := rest div
rest := rest mod
k5 := rest div
rest := rest mod
k4 := rest div
rest := rest mod
k3 := rest div
rest := rest mod
k2 := rest div
rest := rest mod
k1 := rest
END
100 ;
100 ;
50 ;
50 ;
20 ;
20 ;
10 ;
10 ;
5;
5;
2;
2;
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Alternativanweisung
Die Alternativanweisung erlaubt die
Auswahl zwischen zwei Anweisungen A1
und A2 in Abhängigkeit von dem Ergebnis
eines zuvor auszuführenden Tests.
Der Test wird als boolescher Ausdruck B
formuliert und heißt Bedingung, A1 heißt ifZweig, A2 heißt else-Zweig der Anweisung.
BIT – Schaßan – WS 02/03
Alternativanweisung (2)
Syntax in Pascal:
IF B THEN A1 ELSE A2
Syntax in C und Java:
if (B ) A1 else A2
Semantik:
Zunächst wird B ausgewertet. Ist das Ergebnis
true, dann wird A1 ausgeführt, andernfalls A2.
BIT – Schaßan – WS 02/03
while-Schleife
Eine Schleife ist ein Programmteil, der
wiederholt ausgeführt werden kann, je
nachdem, ob eine Bedingung erfüllt ist oder
nicht.
Syntax in Pascal:
WHILE B DO A
Syntax in C oder Java:
while (B ) A
BIT – Schaßan – WS 02/03
while-Schleife (2)
Semantik:
Die Bedingung B wird ausgewertet. Ist B true,
wird die Anweisung A ausgeführt.
Anschließend wird B erneut ausgewertet. Sollte
B false sein, ist die Schleife beendet.
 Kurz: Solange B wahr ist, wird A ausgeführt.
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while-Schleife (3)
In der Form "while B do A" wird B vor der
möglichen Ausführung von A geprüft. Die
Umkehrung ist möglich, d.h. B erst zu
überprüfen, nachdem A einmal ausgeführt
worden ist.
Syntax in C oder Java:
do { A } while (B ) ;
BIT – Schaßan – WS 02/03
Weitere Schleifenkonstrukte
In manchen Zusammenhängen mag es
sinnvoll sein, die Bedingung B weder genau
am Anfang noch genau am Ende zu prüfen.
Syntax in Pascal:
LOOP
A1 ; A2 ; …; Ak ;
IF B THEN EXIT ;
Ak+1 ; …; An
END
BIT – Schaßan – WS 02/03
REPEAT
…
UNTIL
for-Schleife
Die for-Schleife ist für Fälle vorgesehen, in denen
man eine bestimmte Anweisung mehrfach
wiederholen will, wobei sich die Anzahl der
Wiederholungen vor Beginn der Schleife
bestimmen lässt.
Eine Variable bezeichnet nacheinander alle
Elemente des Intervalls, dessen Grenzen durch
zwei Ausdrücke festgehalten sind und das
aufwärts oder abwärts durchlaufen werden kann.
Diese Variable heißt Laufvariable.
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for-Schleife (2)
Syntax in Pascal:
FOR v := t1 TO t2 DO A END
Syntax in Java:
for { Init1, …, Initk ; test ; Inc1, …,Incn) A
 { Init1, …, Initk
while (test) { A
Inc1 ; …; Incn ; }
for { ; B ; } A
gleich
BIT – Schaßan – WS 02/03
while ( B ) A