Workshop Bochum 10.7.2013

Analysis – mehr als Tangenten und Flächen
ein anwendungsorientierter Einstieg in die Analysis mit elektronischen
Werkzeugen
Michael Rüsing
B. M. V. – Schule
Bardelebenstraße 9
45147 Essen
[email protected]
Vorgesehene Reihenfolge
1. Darstellung eines Einstiegs in die Differentialrechnung
mit CAS
2. Teile des Einstiegs, die mit GTR möglich sind
3. Einstiege der Teilnehmerinnen und Teilnehmer
4. Konsequenzen in der S I
5. Vergleich von Abituraufgaben mit und ohne CAS
6. Einstieg in die Integralrechnung
Zwischendurch:
Unterbrechungen, Kommentare, Fragen,
Änderungswünsche
Die Entwicklung mathematischer Kompetenzen wird durch den
sinnvollen Einsatz digitaler Mathematikwerkzeuge unterstützt. Das
Potenzial dieser Werkzeuge entfaltet sich im Mathematikunterricht
• beim Entdecken mathematischer Zusammenhänge, insbesondere
durch interaktive Erkundungen beim Modellieren und Problemlösen,
• durch Verständnisförderung für mathematische Zusammenhänge,
nicht zuletzt mittels vielfältiger Darstellungsmöglichkeiten,
• mit der Reduktion schematischer Abläufe und der Verarbeitung
größerer Datenmengen,
• durch die Unterstützung individueller Präferenzen und Zugänge
beim Bearbeiten von Aufgaben einschließlich der reflektierten
Nutzung von Kontrollmöglichkeiten.
Bildungsstandards
Einstieg in die Differentialrechnung
Voraussetzungen
Änderungsrate ist bei linearen Funktionen
bekannt
Intuitiver Grenzwertbegriff ist vorhanden
Einstiegsaufgabe zur Differentialrechnung
Schilderung eines Problemzusammenhangs
An einer meteorologischen Messstation werden
verschiedene Wetterdaten erhoben. Unter anderem wird
auch die Regenmenge registriert. In einem oben offenen
Glasrohr kann abgelesen werden, wie hoch der
Regenwasserstand ist.
Wird zu verschiedenen Zeitpunkten die Höhe des
Wasserstandes registriert, ergibt sich eine
Wasserstandsfunktion. Mit Hilfe dieser Funktion lassen
sich eine ganze Reihe von Fragen beantworten.
Die Höhe des Wasserstandes sei gegeben durch die Funktion mit
der Gleichung
3
2
t
t
h(t ) 

 3t
300 7
Dabei wird h in cm und t in Stunden gemessen t 
0;24
Wie hoch steht das Wasser nach 8 Stunden?
h(8)
Wann steht das Wasser 5 cm hoch?
h(t )  5
Um wie viel ist der Wasserstand von 10
Uhr bis 11 Uhr gestiegen?
h(11)  h(10)
Die Höhe des Wasserstandes sei gegeben durch die Funktion mit
der Gleichung
3
2
t
t
h(t ) 

 3t
300 7
Dabei wird h in cm und t in Stunden gemessen t 
0;24
Hat es um 15.00 Uhr stärker geregnet oder um 16.00 Uhr?
Erster Lösungsansatz
675
Also hat es um 16.00 stärker
h(15) 
 24,1
geregnet.
28
13168
h(16) 
 25,1
525
Zweiter Lösungsansatz
h(16)  h(15)  0,97
h(17)  h(16)  1,01
In der 16. Stunde ist mehr
Regen gefallen als in der 17.
Dritter Lösungsansatz
h(15,5)  h(15)  0,484
h(16,5)  h(16)  0,499
h(15,1)  h(15)  0,097
h(16,1)  h(16)  0,099
Die Werte werden so klein und
sind nicht mehr miteinander
vergleichbar.
Wie entscheidet man, ob es von
15 bis 15,5 heftiger geregnet hat
als von 15 bis 15,1?
Wähle ein gemeinsame Bezugsgröße, etwa eine Stunde:
h(15,1)  h(15) 10
wird verglichen mit
h(16,5)  h(16)  2
Verallgemeinerung
Bisher berechnet:
durchschnittliche Regenheftigkeit in Intervallen
Beobachtung:
Je kürzer das Intervall, desto besser stimmt der
Durchschnittswert mit der Heftigkeit des Regens zu dem
gewünschten Zeitpunkt überein.
Erinnerung:
Grenzwertbildung
Term (unendlich viele Durchschnittswerte) als
Voraussetzung für Grenzwertbildung
Im Unterricht beobachtete Alternativen
 1
h t    h(t )
 n
1
n


h t  10 n  ht 
10 n
Alle Alternativen sind brauchbar
h(t  x)  h(t )
x
Vorteile des Einsatzes von CAS
„Analysis ist schwer, weil man dabei so viel rechnen muss“
Neu zu lernen
f ( x  h)  f ( x )
h
leicht
notwendiges Werkzeug
algebraische Vereinfachung
schwer
Schülermeinung
Durch den Einsatz von CAS werden Schwierigkeiten isoliert
Erwartete Schülerlösung:
Kombinieren der Schwierigkeiten
Bei welchen Funktionstypen sollen die Schüler die
Umformung des Differenzenquotienten ohne Technologie
leisten?
Zu welchem Zeitpunkt soll das geschehen?
Klausuraufgabe:
Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung
f ( x)  2 x  3x  1
2
Bestimmen Sie
f '(2) als Grenzwert ohne Technologie
Geometrische Veranschaulichung
Geometrische Veranschaulichung
Geometrische Veranschaulichung
Geometrische Veranschaulichung
Geometrische Veranschaulichung
Geometrische Veranschaulichung
Beispielaufgabe
Die Füllmenge in einem Vorratsbehälter ist gegeben
durch die Funktion mit der Gleichung:
t3 1 2
V (t ) 
 t  3t  150
150 4
Dabei ist V in m³ und t in Stunden gemessen. Betrachtet
wird der Ablauf eines Tages, also t liegt zwischen 0 und
24.
a) Wie groß ist der Verbrauch im Laufe des Tages?
b) Ist der Vorratsbehälter im Laufe des Tages irgendwann
leer?
c) Wann ist die Hälfte der Anfangsmenge im Behälter?
d) Wie groß ist die durchschnittliche Verbrauchsrate während
des Tages?
e) Zu welchem Zeitpunkt ist die Verbrauchsrate maximal?
f) Zu welchem Zeitpunkt ist der Verbrauchsrate minimal?
g) Wie groß ist die minimale bzw. maximale Verbrauchsrate?
3
t
1 2
V (t ) 
 t  3t  150
150 4
Bearbeiten Sie die Aufgabe zur Differentialrechung.
Stellen Sie sich dabei auf den Kenntnisstand der Schüler
ein.
Noch nicht bekannt:
Ableitungsregeln
Ableitungsfunktion von CAS
Vergleich der Unterrichtsgänge zur Differentialrechnung
Vorgehensweise ohne CAS
Vorgehensweise mit CAS
Motivierendes Einführungsbeispiel
Motivierendes Einführungsbeispiel
Kriterium: Einfache Berechenbarkeit Kriterium: interessanter Kontext
Ableitungsregeln
Anwendungen: neue Begriffe mit
Hilfe der Ableitung
Kriterien für Kurvendiskussion
Ableitungsregeln werden an den
Beispielen entdeckt
Anwendungen: Kurvendiskussion
und Extremwertaufgaben
Kriterien als Hilfsmittel zum
Aufstellen von
Funktionsgleichungen
Übertragen Sie die vorgestellten Möglichkeiten auf Ihren
eigenen Unterricht.
Welchen Einstieg verwenden Sie für die Differentialrechung?
Diskutieren Sie, ob dieser Einstieg durch die Verwendung
von elektronischen Hilfsmitteln unterstützt werden kann.
Notieren Sie, an welchen Stellen eine Unterstützung sinnvoll
sein kann.
Bevorzugen Sie dabei GTR oder CAS?
http://did.mathematik.unihalle.de/lehrerseite/Rechenfertigkeiten_Taschenrechner_2000.pdf
Kopfalgebra
Kopfalgebra
Kopfalgebra
Kopfalgebra
Kopfalgebra
Kopfalgebra
Kopfalgebra
Kopfalgebra
Interview mit einer 36jährigen Akademikerin
Aufgabenstellung des Versuchsleiters:
An einer Universität sind P Professoren und S Studenten. Auf
einen Professor kommen 6 Studenten. Drücken Sie das durch
eine Gleichung in S und P aus.
Versuchsperson
Versuchsleiter
Versuchsperson
(schreibt) 6S = P
nehmen wir einmal an, es sind 10
Professoren. Wie viele Studenten sind das
dann?
60
Versuchsleiter Setzen Sie das in die Gleichung ein.
Versuchsperson 6∙60 = 10. Aha, das kann nicht stimmen
(nach einer Pause schreibt sie): P + 6S = P + S
Versuchsleiter Was bedeutet das?
Versuchsperson Die Professoren und die auf jeden Professor
fallenden 6 Studenten ergeben zusammen alle
Professoren und Studenten
Versuchsleiter
Hhmm... Bei dieser Gleichung könnte man auf
beiden Seiten P subtrahieren. Was ergibt sich
dann?
Versuchsperson (streicht P auf beiden Seiten durch): 6S = S
Versuchsleiter Kann das stimmen?
Versuchsperson Ja natürlich ... Die Gruppen zu 6 Studenten
ergeben zusammen alle Studenten.
Versuchsleiter Setzen Sie wieder die Zahlen ein.
Versuchsperson 10 Professoren und 60 Studenten. Dann ist das
6∙60 = 10. Das kann nicht stimmen.
(nach einer Pause schreibt sie): P + S = 7
Versuchsleiter (räuspert sich)
Versuchsperson (bessert aus zu): P + 6S = 7
Versuchsleiter Was bedeutet das?
Versuchsperson Ein Professor und seine 6 Studenten sind
zusammen 7 Personen.
Gleichung zu einem Graphen
Zeichnung einer Schülerin
Konkretisierung nach
Diskussion
Einigung auf Modellierung durch eine Funktion 5. Grades:
g ( x)  ax 5  bx 4  cx 3  dx 2  ex  f
Forderungen an die Funktion
g (2)  1
g (5)  3
g (9)  6
g ' ( 2)  0
g ' (5)  0
g ' (9)  0
Ersetze die Bedingung
g (9)  6
durch
g ' ' (5)  0
Umkehraufgaben zur Differentialrechnung
Gegeben ist eine Volumenfunktion durch einen
Term V(t). Schreiben Sie jeweils auf, zu welcher
Fragestellung der Rechenansatz passt:
a)
b)
c)
d)
e)
V (17)
V (t )  5,3
V (12)  V (3)
V ' (5)
V ' (t )  0
Gegenüberstellung der beiden Versionen der
Zentralabituraufgabe HT 1 von 2012
Bei einem medizinischen Test leert eine Versuchsperson ein Glas Wein in einem Zug.
Anschließend wird der zeitliche Verlauf der Blutalkoholkonzentration (in Promille)
aufgezeichnet. Dies wird hier im Modell durch eine Funktion
beschrieben. Dabei ist a die Alkoholmenge im Wein in Gramm,
K das Körpergewicht
und t die Zeit in Minuten, die seit der Alkoholaufnahme vergangen ist. Die Funktion
auf die Lage der Maximalstelle und interpretieren Sie Ihre Ergebnisse im
Sachzusammenhang.
1
a   1  20 t  
1
f a ' (t ) 1
  e

1
 1 20
t
  t
600
a  2060
2



20
tm 
e

0e

1200a  1 t 600 1
a
20

 2 
1 e
2
1
1
600
1200
 t
ln

t


20

ln

t
 t


 a
a  1  20
f a ' ' (t ) 20

a   e
   a  e 20
1200  20 
24000
 30  a 
20  ln 

 k 
Das Glas Wein, das die Versuchsperson in
einem Zug leert, enthält 20 g reinen
Alkohol.
Die Versuchsperson wiegt 60 kg und das
Glas enthält 21 g reinen Alkohol.
beschrieben.
b) (1) Berechnen Sie die höchste Blutalkoholkonzentration der Versuchsperson nach
dem Leeren des Glases.
b) (2) Die Funktion F sei eine
Stammfunktion der Funktion f.
und interpretieren Sie diesen Ausdruck im Sachzusammenhang.
.
b) (4) Berechnen Sie die Blutalkoholkonzentration der Versuchsperson 140 (170)
Minuten nach dem Leeren des Glases.
u  e  v140  0.099696
u ve
 v140
 0.001651
c) (3) Begründen Sie, zu welchen Zeitpunkten die Blutalkoholkonzentration der
Versuchsperson bei Modellierung durch die Funktion h am schnellsten zu- bzw.
abnimmt, und berechnen Sie die zugehörigen Änderungsraten.
0.001651
v
 0.01656
0.99696
0.099696
u  0.001656140  0.10129
e
.
Einstiegsaufgabe Integralrechnung
Aufgabenstellung:
Bei einem Unfall in einer Fabrik wurden Schadstoffe
freigesetzt. Die Menschen, die in der Umgebung
lebten, wurden evakuiert. Es soll bestimmt werden,
wie viel diese Menschen von den Schadstoffen bis
zum Zeitpunkt der Evakuierung eingeatmet haben.
Menge Schadstoff in der Luft 500 l
Konzentration d. Schadstoffs pro l Luft 2% / 20 ml
Zeit bis zur Evakuierung 2 ½ Std
Menge Luft die ein Mensch pro Stunde einatmet = 100 l
Menge Schadstoffe
"
"
"
bis zur Evakuierung 5 l
:2l
Menge Schadstoff in der Luft 500 l
Konzentration d. Schadstoffs pro l Luft 2% / 20 ml
Zeit bis zur Evakuierung 2 ½ Std
Menge Luft die ein Mensch pro Stunde einatmet = 100 l
Menge Schadstoffe
"
"
"
bis zur Evakuierung 5 l
:2l
100 l = Menge d. Schadstoffes
4 h = Unfall bis Evakuierung
25 l pro h
ca 5 l bleiben in Luft
20 l auf 1000 Menschen verteilt
0,02 l pro h pro Person
0,08 l in 4 h
100 l = Menge d. Schadstoffes
4 h = Unfall bis Evakuierung
25 l pro h
ca 5 l bleiben in Luft
20 l auf 1000 Menschen verteilt
Aufnahmerate
Aufnahmerate * Zeit
0,02 l pro h pro Person
0,08 l in 4 h
Verbesserung des Ansatzes
Bei nicht konstanter Aufnahmerate muss diese durch eine
Funktion modelliert werden.
Im Unterricht beobachtete Modellierungen der Funktion a:
Quadratisch
Grad 3
a(t )  0,004  t  10
2
Exponentiell
a (t )  0,4  0,9 t
Problem: Wie multipliziert man eine Funktion mit der Zeitdauer?
Grundidee:
Teile die gesamte Zeitspanne in kurze Abschnitte ein und tue so,
als wäre die Rate innerhalb eines Abschnittes konstant.
Konkrete Ausführung:
Evakuierung nach 4 Stunden. Teile in 8 Abschnitte. Wähle als
konstanten Wert den Funktionswert jeweils am Anfang des
Abschnittes:
1
1
1
1
m8  a0   a0,5   a1     a3,5 
2
2
2
2
 1 1
m8   a i   
i 0  2  2
7
Bisher im Unterricht beobachtete Ansätze
Wähle als konstanten Wert
n1
Funktionswert am linken
Rand des Abschnitts
 4 4
mn   a i   
i 0  n  n
Funktionswert am rechten
Rand des Abschnitts
 4 4
mn   a i   
i 1  n  n
n
n 1
Funktionswert in der Mitte
des Abschnitts
 4 4  4
mn   a i    
i 0  n 2 n  n
Mittelwert der Funktionswerte an den Rändern
4
 4 


a
i


a
i

1

 

n 
4
n
n




mn  

2
n
i 1
Anwendungssituationen für Integralrechnung
Situation
Multiplikation
Integration
Schadstoffmenge
Aufnahmerate * Zeit
Aufnahmeratenfunktion
Fläche
Breite * Länge
Breitenfunktion
Volumen
Querschnittsfläche * Höhe
Querschnittsflächenfunktion
Nahrungsbedarf
Bedarfsrate * Zeit
Bedarfsratenfunktion
Energiebedarf
Bedarfsrate * Zeit
Bedarfsratenfunktion
Wassermenge
Zulaufrate * Zeit
Zulaufratenfunktion
Aufgabenbeispiel
Gegeben ist die Zulaufratenfunktion für ein Wasserbecken
durch
3
2
t
15t
5t 275
z (t ) 



64 64 64 64
im Intervall [0; 6]. Dabei ist t in Stunden in z in m³/h
gemessen. Negative Werte der Zulaufratenfunktion
bedeuten, dass Wasser abläuft.
a) Bestimmen Sie die Zeitintervalle, in den Wasser zuläuft,
und die Intervalle, in denen Wasser abläuft.
b) Wie viel Wasser ist bis zum Ende der ersten Zulaufphase
zugelaufen?
c) Zu welchem Zeitpunkt ist während der Ablaufphase der
Anfangswasserstand wieder erreicht?
d) Zu welchem Zeitpunkt ist das Becken am stärksten
gefüllt?
e) Zu welchem Zeitpunkt liegt die größte Zulaufrate vor?
f) Zu welchem Zeitpunkt liegt die größte Ablaufrate vor?
g) Zu welchem Zeitpunkt liegt die maximale Änderung der
Zulaufrate vor?
h) Nehmen Sie an, es würde sich bei der Funktion um eine
Geschwindigkeitsfunktion handeln. Geben Sie zu jedem
der Aufgabenteile a) bis g) an, was Sie dann
ausgerechnet hätten.
Bearbeiten Sie die Aufgabe zur Integralrechnung.
Stellen Sie sich dabei auf den Kenntnisstand der Schüler ein.
Noch nicht bekannt:
Integration mit Hilfe der Stammfunktionsmethode
Integralfunktion von CAS
Eventuell beschränken Sie sich auf die
Teile zur Integralrechung
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Differentialrechnung
Gegeben ist eine Volumenfunktion
V (t )  0,02t 3  0,3t 2  2t  5
Gesucht ist die Zulaufratenfunktion
z (t )  0,06t 2  0,6t  2
Integralrechnung
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Differentialrechnung
Integralrechnung
Gegeben ist eine Volumenfunktion
V (t )  0,02t 3  0,3t 2  2t  5
Gesucht ist die Zulaufratenfunktion
Gegeben ist eine Zulaufratenfunktion
z (t )  0,06t 2  0,6t  2 z (t )  0,06t 2  0,6t  2
Gesucht ist das Volumen, das im
Zeitraum [1;2] zuläuft
2
24
 z (t )dt  25
1
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Differentialrechnung
Integralrechnung
Gegeben ist eine Volumenfunktion
V (t )  0,02t 3  0,3t 2  2t  5
Gesucht ist die Zulaufratenfunktion
Gegeben ist eine Zulaufratenfunktion
z (t )  0,06t 2  0,6t  2 z (t )  0,06t 2  0,6t  2
Gesucht ist das Volumen, das im
Zeitraum [1;2] zuläuft
24
V (2)  V (1) 
25
Gesucht ist das Volumen, das im
Zeitraum [1;2] zuläuft
2
24
 z (t )dt  25
1