Natürliche und ganze Zahlen

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Kapitel 1
Natürliche und ganze Zahlen
Bei vielen Brett-, Würfel- oder Kartenspielen gewinnt der
Spieler, der die meisten Punkte sammeln kann. Manchmal
können diese Zahlen sehr groß werden und in manchen
Spielen gibt es auch Minuspunkte.
7
8
Wiederholung
Info
E: Einer
Z: Zehner
H: Hunderter
T: Tausender
ZT: Zehntausender
HT: Hunderttausender
Kapitel 1 · Natürliche und ganze Zahlen
Zahlen bis 1 Million
In der Grundschule hast du die Zahlen bis 1 Million kennengelernt. Du kennst
Zahlen in Wortform oder Ziffernschreibweise: vierzigtausenddreißig oder 40 030.
Du kannst sie auch in eine Stellenwerttafel eintragen.
▼ Beispiel 1: Stellenwerttafel
Trage folgende Zahlen in eine Stellenwerttafel ein. Notiere die ersten beiden
auch in Wortform.
a) 4 ZT 3 Z
c) vierhunderttausendzweiundzwanzig
b) 500 001
d) vierhundertzweiundzwanzig­tausend
Lösung:
Tausender
HT
a)
b)
c)
▲ d)
5
4
4
ZT
4
0
0
2
T
0
0
0
2
H
0
0
0
0
Z
3
0
2
0
E
0
1
2
0
vierzigtausenddreißig
fünfhunderttausendundeins
Ordnen von Zahlen
Mithilfe einer Stellenwerttafel kannst du schnell erkennen, welche von zwei Zahlen
die Größere ist.
▼ Beispiel 2
Info
Man liest 7 < 11
„7 ist kleiner als 11.“
Man liest 342 > 197
„342 ist größer als 197.“
Sortiere die beiden Zahlen jeweils der Größe nach.
a) 6499 und 7523
b) 898 005 und 888 006
Lösung:
b) Tausender
a) Tausender
HT
ZT
T
6
7
H
4
5
Z
9
2
HT
8
8
E
9
3
Also gilt: 6 499 <  7 523,
denn 6 Tausender sind weniger als
▲ 7 Tausender.
ZT
9
8
T
8
8
H
0
0
Z
0
0
E
5
6
Also gilt: 8 9 8 005 > 8 8 8 006,
denn 9 Zehntausender sind mehr als 8
Zehntausender.
▼ Beispiel 3
Gib den Vorgänger und den Nachfolger der Zahl 2400 an.
+1
−1
Lösung:
2399
2400
Der Vorgänger einer Zahl ist um 1
kleiner als die Zahl.
▲ 2399 ist der Vorgänger von 2400.
2401
Der Nachfolger einer Zahl ist um 1
größer als die Zahl.
2401 ist der Nachfolger von 2400.
Aufgaben
9
1 Trage folgende Zahlen in eine Stellenwerttafel ein und lies sie laut vor.
a) 12
b) 456 000
c) 6 HT 3 T 4 H 2 E
123
405 060
7 ZT 1 Z 5 E
1234
40 560
2 HT 1 ZT 4 Z
12 345
4056
9 T 3 H 7 Z 8 E
2 Trage die Zahlen in eine Stellenwerttafel ein und notiere sie in Wortform.
20 T 3 E
7 HT 1 H
350 000
8 T 3 Z
9999
40 280
3 Trage folgende Zahlen in eine Stellenwerttafel ein.
a) einhunderttausend, zehntausend, eintausend, hundert
b) zwanzig, zweihundertzwanzig, zwanzigtausendzwei, zweitausendzwanzig
c) fünfzig, elftausend, sechshundertsechs, siebentausendsiebenundsiebzig
d) dreihundertviertausend, dreihunderttausendvier, dreitausendvierhundert
4 Lies die Zahlen laut vor und setze dann die Zeichen < oder > richtig ein.
a) 34 □ 54
c) 27 □ 72
e) 3 HT □ 9 ZT
450 □ 550
779 □ 797
1 T 4 Z □ 1 T 4 H
8300 □ 5400
4006 □ 4060
7 ZT 3 Z □ 6 ZT 3 H
97 340 □ 17 340
11 211 □ 11 121
9 HT 3 H □ 9 HT 9 Z
b) 27 □ 28
321 □ 341
4620 □ 43 200
23 041 □ 22 041
d) 3 HT □ 30 000
1700 □ 2 ZT
6T □ 6999
8T □ 79 999
f ) 33 T □ 3 T
1 HT □ 11 T
77 Z □ 7 T
22 T □ 2 ZT
5 Erstelle eine Tabelle wie abgebildet. Trage die Zahlen und ihre Vorvorgänger,
Vorgänger, Nachfolger und Nachnachfolger ein. Lies dann alle Zahlen laut vor.
Vorvorgänger
498
Vorgänger
499
Zahl
500
Nachfolger
501
Nachnachfolger
502
a) 500, 600, 700, 800, 900, 1000
b) 9, 99, 999, 9999, 99 999, 999 999
c) 5 HT 9 H, 5 HT 9 E, 5 ZT 9 H, 5 ZT 9 E, 5 T 9 H, 5 T 9 E
d) 302 T 999 E, 56 ZT 99 Z, 7 HT 9 H, 12 Z, 98 E, 542 H
6 Gegeben sind die folgenden Zahlen 350 000; 83; 40 280; 9999; 191.
a) Zeichne eine Stellenwerttafel und trage die Zahlen ein.
b) Notiere die erste Zahl in Wortform und lies die übrigen Zahlen laut vor.
c) Ordne die Zahlen der Reihe nach. Beginne mit der kleinsten Zahl.
d) Gib den Vorgänger und den Nachfolger jeder Zahl an.
10
Kapitel 1 · Natürliche und ganze Zahlen
1.1 Der Zahlenstrahl und die Menge der
natürlichen Zahlen
Einstieg
Zahlenvergleich Ordne die Zahlen der Größe nach.
hundertzweitausendvierhunderteinunddreißig
754 692
Wissen
siebenhundertsechstausend
9692
68 756
Zahlenstrahl
Am Zahlenstrahl wird die Anordnung der Zahlen veranschaulicht.
0
1
5
10
15
20
Der Zahlenstrahl beginnt bei 0, endet aber nicht. Dies wird durch einen Pfeil
dargestellt. Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zahlen ist
stets gleich groß. Dieser Abstand wird als Einheit bezeichnet.
klein
groß
0
Je weiter links eine Zahl am Zahlenstrahl steht, desto kleiner ist sie.
Man schreibt: 5 < 20
15 > 10
„5 ist kleiner als 20“
„15 ist größer als 10“
Der Zahlenstrahl liefert einen Überblick über die Größenverhältnisse von Zahlen.
▼ Beispiel 1: Am Zahlenstrahl ablesen
0
1000
5000
10000
15000
Notiere die durch Pfeile markierten Zahlen.
a) Beginne mit der kleinsten Zahl.
b) Beginne mit der größten Zahl.
Lösung:
▲ 500 < 4600 < 9 700 < 13 400
Tipp
Suche zuerst die größte
Zahl. Überlege dir dann,
wie du den Zahlenstrahl
einteilst, damit alles gut
ins Heft passt. Zeichne
erst dann den Zahlenstrahl.
Lösung:
13 400 > 9 700 > 4600 > 500
▼ Beispiel 2: Einen Zahlenstrahl zeichnen
Zeichne einen Zahlenstrahl und trage die Zahlen 500, 1000, 15 000 und 20 000
möglichst genau ein. Wähle eine geschickte Einteilung am Zahlenstrahl.
Lösung:
1. Versuch: 1 cm entspricht 1000
500
0
1000
1000
5000
So wird der Zahlenstrahl sehr lang und passt nicht ins kleine Heft.
10000
11
1.1 Der Zahlenstrahl und die Menge der natürlichen Zahlen
2. Versuch: 1 cm entspricht 10 000
500 15000
1000
0
20000
50000
10000
100000
So wird es zu eng und unübersichtlich.
3. Versuch: 1 cm entspricht 2000
500 1000
0
15000
2000
10000
20000
20000
▲ So ist alles übersichtlich und der Platz genügt.
Tipp
Sind die Zahlen, die
man eintragen soll, alle
weit weg von 0, genügt
ein Ausschnitt des
Zahlenstrahls.
▼ Beispiel 3: Ausschnitt eines Zahlenstrahls
Zeichne einen Zahlenstrahl und trage die Zahlen 600, 900 und 1700 ein.
Lösung:
600
▲ 500
900
1000
1700
1500
2000
2500
Menge der natürlichen Zahlen
Eine Zusammenfassung von verschiedenen Dingen heißt Menge. Die Bestandteile
einer Menge heißen Elemente. Elemente einer Menge schreibst du in geschweifte
Klammern. So kannst du alle Schulfächer zur Menge S zusammenfassen:
S = {​ Mathematik; Englisch; Deutsch; Biologie; Sport; … }​
ℕ
22
5
9
3
1
4
13
2
7
312
12
8
…
ℕ
0
5
42
Die Zahlen 1, 2, 3, 4, … werden natürliche Zahlen genannt und zu der
Menge der natürlichen Zahlen ℕ zusammengefasst.
ℕ = {​ 1; 2; 3; 4; … }​ ​
ℕ​ 0​= {​ 0; 1; 2; 3; 4; … }​
Schreibweise:
23 ∈ ℕ „23 ist Element der Menge der natürlichen Zahlen.“
 0 ∉ ℕ „0 ist kein Element der Menge der natürlichen Zahlen.“
Es gibt keine größte natürliche Zahl, sondern unendlich viele.
Weitere Zahlenmengen sind die Menge aller geraden Zahlen ​{ 0; 2; 4; 6; 8; … }​ und
die Menge aller ungeraden Zahlen {​ 1; 3; 5; 7; … }​.
▼ Beispiel 4: Aussagen überprüfen
Beachte
Um zu zeigen, dass eine
Aussage falsch ist,
genügt ein einziges
Gegenbeispiel.
Entscheide, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind. Gib zu jeder falschen
Aussage ein Gegenbeispiel an.
a) Jede natürliche Zahl hat eine natürliche Zahl als Vorgänger.
b) Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger.
Lösung:
a) falsch: Die natürliche Zahl 1 hat 0 als Vorgänger, 0 ist keine natürliche Zahl.
b) Richtig: Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen, somit gibt es auch immer
▲ einen Nachfolger.
12
Aufgaben
Kapitel 1 · Natürliche und ganze Zahlen
Trainieren
Vertiefen Herausforderung
Zahlenstrahl
1 Gib an, welche Zahlen jeweils durch die Pfeile markiert sind.
a) A B
C
0
D
1000
10000
C
D
E
F
20000
c) A B
C
0
Achtung
In d) und e) beginnt der
Zahlenstrahl nicht bei
Null.
F
5000
b) A B
0
E
D
E
F
150
A
d)
300
C
B
5000
D
F
10000
e) A B
C
10000
E
50000
D
E
F
100000
2 Gib an, welche Zahlen jeweils durch die Pfeile markiert sind.
a)
b)
c)
0
50000
0
100000
0
150000
200000
50000
d)
e)
100000
100000
5000
8000
0
200000
A
B
C
D
E
3 Fehler am Zahlenstrahl
Der folgende Zahlenstrahl ist teilweise fehlerhaft. Beschreibe alle Fehler.
10
20
30
40
50
60
80
90
100
110
120
4 Zeichne jeweils einen 16 cm langen Zahlenstrahl in dein Heft und trage die
folgenden Zahlen möglichst genau ein.
a) 250, 1000, 1500, 6000, 7250
b) 10 000, 100 000, 120 000, 250 000, 280 000
13
1.1 Der Zahlenstrahl und die Menge der natürlichen Zahlen
5 Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine
Entscheidung und berichtige alle falschen Aussagen.
a) Am Zahlenstrahl liegt die Zahl 50 000 in der Mitte von 0 und 100 000.
b) Die Zahl 10 000 ist am Zahlenstrahl doppelt so weit von 0 entfernt wie 1000.
c) Die Zahl 978 000 liegt am Zahlenstrahl links von der Zahl 987 000.
d) Wählt man am Zahlenstrahl die Einteilung „1 cm entspricht 10 000“, dann muss
man nach 10 cm die Zahl 100 000 eintragen.
e) Möchte man einen Zahlenstrahl bis 1 Million mit etwa 10 cm Länge ins Heft
zeichnen, dann ist es sinnvoll, die Einteilung „1 cm entspricht 1000“ zu wählen.
f ) 1000 ist am Zahlenstrahl von 0 gleich weit entfernt wie 9000 von 100 000.
Menge der natürlichen Zahlen
6 Setze in deinem Heft die Zeichen ∈ und ∉ so für die Kästchen ein, dass wahre
Aussagen entstehen.
a) 1000 □ ℕ
c) 0 □ ℕ
e) 0,33 □ ℕ
d) 473 □ ℕ
​ ​ 0​
b) 1 □ ℕ
​ ​ 0​ f ) 110 □ {​ 1; 3; 5; 7; … }​
7 Diskutiere mit deinem Nachbarn, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch
sind. Erklärt eure Entscheidung.
a) Es gibt eine größte und kleinste natürliche Zahl.
b) Du würdest mehrere Milliarden Jahre benötigen, um alle natürlichen Zahlen
aufzuzählen.
c) Jede gerade natürliche Zahl hat einen natürlichen Vorgänger.
d) Jede ungerade natürliche Zahl hat einen natürlichen Vorgänger.
e) Zwischen 10 und 100 liegen genau 89 natürliche Zahlen.
f ) Zwischen 500 und 5000 liegen genau 4499 natürliche Zahlen.
Noch fit?
I Beschreibe, nach welcher Regel die Zahlenfolge aufgebaut ist, und ergänze die
nächsten zwei Zahlen.
a) 575; 665; 755; 845; 935; …
b) 2; 5; 11; 20; 32; 47
Trainieren
Vertiefen Herausforderung
8 Beschreibe in Worten, welche Zahlenmengen hier notiert sind.
Gib je drei weitere Elemente der Mengen an.
a)
b)
3
6
1
15
9
12
4
…
9
16
25
…
14
Urlaubs­
ort
London
Wien
Athen
Amsterdam
Lissabon
0
Entfernung
von München
900 km
350 km
1500 km
650 km
1950 km
1000000
Info
Da die Division 10 : 5
aufgeht, ist 5 ein Teiler
von 10.
Kapitel 1 · Natürliche und ganze Zahlen
9 Luis hat mit seinen Eltern bereits
einige Städtereisen unternommen.
Er recherchiert im Internet die unge­fähren
Entfernungen nach München in Luftlinie.
a) Zeichne einen Zahlenstrahl mit
geeigneter Einteilung und trage alle Städte
darauf ein.
b) Erläutere, wie lang Luis den Zahlenstrahl aus a) zeichnen müsste, wenn er
auch das nächste Reiseziel Sydney
(ungefähre Entfernung: 16 300 km)
einzeichnen will.
10 Zeichne auf weißes Papier eine beliebig lange Linie. Sie ist dein Zahlenstrahl.
Markiere am einen Ende 0 und in der Nähe des anderen Ende 1 Million.
Schätze die Lage der Werte 500 000; 250 000; 75 000; 900 000; 100 000 und
50 000 und zeichne sie ein. Beschreibe dein Vorgehen.
11 Die Menge aller Teiler der Zahl 18 nennt man die Teilermenge von 18 und
kürzt sie mit T (18) ab.
a) Gib die Menge T (18) mit ihren sechs Elementen an.
b) Formuliere je drei wahre Aussagen der Form  ∈  T (18) und  ∉  T (18).
c) Gib die Teilermengen T (1), T (8), T (19) und T (24) an.
12 Die Menge aller Vielfachen der Zahl 5 nennt man die Vielfachenmenge von 5
und kürzt sie mit V (5) ab.
a) Formuliere fünf wahre Aussagen der Form  ∈  V (5). Erläutere, dass V (5)
unendlich viele Elemente hat.
b) Formuliere fünf wahre Aussagen der Form  ∉  V (5).
c) Gib je fünf Elemente der Vielfachenmengen V (1), V (8), V (19) und V (24) an.
Trainieren
Vertiefen Herausforderung
13 Zeichne einen Zahlenstrahl der Länge 16,5 cm auf kariertes Papier. Beschrifte
ihn wie im Bild und zerschneide ihn dann entlang der roten Linien in sechs Teile.
A
C
D
30000
0
B
a) Stelle durch Umordnung der Teile A bis D einen neuen Zahlenstrahl zusammen.
Zeichne alle Möglichkeiten ins Heft und beschrifte jeden Zahlenstrahl vollständig.
b) Für einen möglichen Zahlenstrahl gibt es keine Beschriftung der Teilstriche mit
natürlichen Zahlen. Beschreibe, um welche Kombination der Zahlenstrahlteile es
sich handelt und erkläre, warum sich hier keine natürlichen Zahlen ergeben.
15
1.2 Das Dezimalsystem und große natürliche Zahlen
1.2 Das Dezimalsystem
und große natürliche Zahlen
Einstieg
Wissen
Beachte
Zahlwörter unter einer
Million schreibt man
zusammen und klein.
Über einer Million
schreibt man sie
getrennt und die Stufe
jeweils groß.
Weitere Zahlwörter:
Billiarde, Trillion,
Trilliarde, Quadrillion,
Quadrilliarde, Quintillion,
Quintilliarde...
Planetensystem
Die Abstände der einzelnen Planeten
von der Sonne sind riesig und kaum
vorstellbar. In der Tabelle sind die
Planeten nach ihrer Größe sortiert.
a) Gib an, welche Entfernung zur
Sonne die kleinste und welche die
größte ist. Erkläre jeweils deine Antwort.
b) Ordne die Planeten nach ihrer
Entfernung zur Sonne. Beginne mit der
geringsten Entfernung.
Planet
Merkur
Mars
Venus
Erde
Neptun
Uranus
Saturn
Jupiter
Entfernung zur Sonne
in Kilometer
57 910 000
227 940 000
108 200 000
149 600 000
4 504 300 000
2 870 990 000
1 429 400 000
778 330 000
Dezimalsystem
Du kannst eine natürliche Zahl mithilfe von zehn Ziffern schreiben. Dabei hat die
Ziffer je nach Position eine andere Bedeutung. Zum Beispiel steht die Ziffer 5 in der
Zahl 59 für 5 Zehner, in der Zahl 590 dagegen für 5 Hunderter. Da die Stelle, an der
die Ziffer steht, ihren Wert festlegt, ist „unser“ Zahlensystem ein Stellenwert­
system. Es gibt auch andere Zahlensysteme, zum Beispiel das Römische Zahlensystem (S. 24/25), dies ist kein Stellenwertsystem.
Die Stellenwerttafel gibt den Wert jeder Ziffer an.
…
Billionen
… HB ZB
B
… 1
0
3
hundertdrei
Billionen
Milliarden
HMd ZMd Md
0
0
1
eine Milliarde
Millionen
HM ZM M
8
6
4
achthundertvierundsechzig Millionen
Tausender
HT ZT
T
0
4
0
vierzigtausend
H Z
E
3
5
2
dreihundertzweiundfünfzig
▼ Beispiel 1: Dezimalsystem
a) Schreibe in Ziffern:
vierzig Billionen zweihundertdrei
Millionen siebentausendunddrei
b) Schreibe in Worten:
23050004500505.
Lösung:
Notiere die wichtigsten Stufen und
wie häufig sie in der Zahl vorkommen.
B Md M
T
40 000 203 007 003
Lösung:
Schreibe die Zahl in Dreierblöcken.
B Md M
T
23 050 004 500 505
▲ Alternativ: 4 ZB 2 HM 3 M 7 T 3 E
dreiundzwanzig Billionen fünfzig Milliarden vier Millionen fünfhunderttausendfünfhundertfünf
16
·10
1000
·10
100
10
Kapitel 1 · Natürliche und ganze Zahlen
Die Zahlen 1; 10; 100; 1000; 10 000; 100 000; …, die du als Stufe aus der
Stellenwerttafel kennst, nennt man Stufenzahlen.
Da die nächste Stufenzahl jeweils den zehnfachen Wert der vorangehenden
hat, heißt unser Stellenwertsystem Zehnersystem oder Dezimalsystem.
Die Stufenzahlen lassen sich mithilfe von Zehnerpotenzen kürzer schreiben:
1 000 = ​10​ 3​ „10 hoch 3“
3 Endnullen
1 000 000 000 = ​10​ 9​ „10 hoch 9“
9 Endnullen
Bei Zehnerpotenzen gibt die Hochzahl die Anzahl der Endnullen an.
Auch große Zahlen mit vielen Endnullen lassen sich mit Zehnerpotenzen kürzer
schreiben, z. B. 300 000 = 3 · ​10​ 5​oder 27 000 000 = 27 · ​10​ 6​.
Hinweis
Das Zeichen „≈“ bedeutet „ist ungefähr gleich“.
Zahlen runden
Manchmal genügt es, eine Zahl nur ungefähr zu kennen.
Wenn du eine Zahl auf Zehner/Hunderter/Tausender/… rundest, dann näherst du
sie durch den nächstgelegenen Zehner/Hunderter/Tausender/… an.
H
Auf Hunderter runden: 12 7 4 5 ≈ 12 700
12745
Hier wird abgerundet.
12700
12800
T
Auf Tausender runden: 12 7 45 ≈ 13 000
12745 13000
12000
Hier wird aufgerundet.
Die Rundungsregel gibt an, ob du aufrunden oder abrunden musst. Dies
erkennst du nicht an der Stelle, auf die gerundet werden soll, sondern nur an
der nachfolgenden Stelle.
Bei 0, 1, 2, 3, 4 rundet man ab. ↓
Bei 5, 6, 7, 8, 9 rundet man auf. ↑
Vor allem bei großen Zahlen gewinnst du durch Runden eine bessere Übersicht.
Zum Beispiel gilt 1 967 567 ≈ 2 000 000.
▼ Beispiel 2: Runden
Runde die Zahl 3 743 968 auf …
a) Zehntausender.
Lösung:
Markiere die Zehntausen­der-Stelle
und nimm die nach­folgende Stelle
unter die Lupe.
Wegen der 3 musst du abrunden.
ZT
3 74 3 968 ≈ 3 740 000
Beachte: Auf die Ziffern rechts von
der 3 kommt es beim Runden nicht
▲ an!
b) Millionen.
Lösung:
Markiere die Millionen-Stelle und nimm
die nachfolgende Stelle unter die Lupe.
Wegen der 7 musst du aufrunden.
M
3 7 43 968 ≈ 4 000 000
17
1.2 Das Dezimalsystem und große natürliche Zahlen
Aufgaben
Trainieren
Vertiefen Herausforderung
Dezimalsystem
1 Trage die folgenden Zahlen in eine Stellenwerttafel ein.
a) 375 612 207
c) 5 HMd 3 ZMd 2 Md 2 ZM 5 ZT 4 E
d) 50 B 304 Md 27 M 9 T 22 E
b) 2 047 100 008
e) drei Billionen vierhundertzwölf Milliarden zweihundertsechs Millionen einunddreißigtausendfünfhundertsiebenundzwanzig
f ) dreihundertsechs Billionen drei Millionen sechzigtausendundvier
2 Trage die Zahlen in eine Stellenwerttafel ein und gib sie in Ziffern und
Wortform an. Beschreibe, welche Schwierigkeiten sich ergeben.
a) 4 HT 12 ZT 7 T 7 H 2 Z 22 E
b) 23 HMd 6 Md 14 HM 2 ZM 3 M 17 HT 305 E
3 Ordne zu, wer welche Zahl genannt hat. Eine Zahl bleibt übrig.
2 000 000; 22 000 000; 202 000 000; 220 000 000; 2 000 000 000;
22 000 000 000; 200 000 000 000; 202 000 000 000; 220 000 000 000 zweihundertzwei
Milliarden
zwei Millionen
Julia
Kevin
zweiundzwanzig
Millionen
Anton
Pepe
Luis
Clara
zweiundzwanzig
Milliarden
zweihundertzwanzig
Millionen
zwei Milliarden
Hanna
zweihundertzwanzig
Milliarden
zweihundertzwei
Millionen
Nele
4 Simon möchte die Zahl 43985891754 vorlesen. Dazu teilt er sie übersichtlich in
Dreierblöcke ein: 439 858 917 54. Beschreibe, was er dabei falsch gemacht hat.
Korrigiere seinen Fehler und lies die Zahl laut vor.
5 Notiere die folgenden Zahlen in Worten.
Eine Stellenwerttafel oder übersichtliche Dreierblöcke können dir helfen.
a) 3000, 3000000, 300000000, 30000000000000
b) 40080, 408000, 40800000, 4000080000
c) 202070, 2020700, 20207000, 2020700000
d) 100001110, 1010010001, 1010001000001, 11010000010000
18
Kapitel 1 · Natürliche und ganze Zahlen
6 Gib die Zahlen sowie ihren Vor­
Vorgänger
Zahl
Nachfolger
gänger und Nachfolger übersichtlich
56 080 078
56 080 079 56 080 080
in einer Tabelle an.
Lies dann alle Zahlen laut vor.
a) 693489999, 99999, 543990000000, 1100100100
b) 1 M, 3 Md, 101 B, 7 HB
c) 4 B 65 M 2 T, 76 Md 9 E, 4 ZM 8 ZT 9 Z, 1 HMd 4 ZM
d) sechs Millionen dreihundertdreizehntausendvierhundertsiebenundsiebzig,
zweiundzwanzig Milliarden dreihundertvier Millionen sechstausendundsiebzehn,
einhundertvierzig Billionen siebentausendachthundertneunundvierzig, siebenhundertsechs Billionen zweiundzwanzig Milliarden sechsundneunzig Millionen
7 Ordne die Zahlen wie angegeben und lies dabei alle Zahlen laut vor. Beginne
bei a) und b) mit der kleinsten Zahl und bei c) und d) mit der größten Zahl.
a) 745 900 000; 74 490 600; 745 395 700; 750 487 030; 74 500 000; 744 380 800
b) 4 689 468 535; 468 968 535; 49 862 000; 4 688 478 000; 467 645 300; 467 783 900
c) 5 Md 3 HT; 5 ZMd 3 HT; 5 ZMd 3 T; 5 HMd 3 H; 5 HMd 3 ZT; 5 Md 3 H
d) 300 B 622 T 49; 300 B 622 M 49; 300 B 622 M 49 T; 300 M 622 T 49; 300 B 622 Md 49 T; 300 B 622 Md 49
8 Gib die folgenden Zahlen in Ziffern an vier Millionen
zwölftausend
dreihundertsiebzig Milliarden
fünfhundertacht Millionen
neunhundertfünfzigtausendzweihundertzwölf
hundert Millionen
dreihundertachtzehntausendvierhundertvierunddreißig
zwei Billionen
hunertdreizehn Milliarden
neunhundertneunzig Millionen
achtzigtausendvierhundertsechsundfünfzig
dreihundert
Billionen
zwei Milliarden
vierhundert
9 Noa behauptet: „Die Zahl 50 293 020 ist größer als 405 293 020, da die 5 größer
als die 4 ist.“ Nimm kritisch dazu Stellung.
10 Gib die Zahlen ohne Zehnerpotenz-Schreibweise an und lies sie laut vor.
a) 7  · ​10​ 3​
c) 85  · ​10​ 4​
e) 70  · ​10​ 12​
d) 145  · ​10​ 10​
b) 11  · ​10​ 5​
f ) 99  · ​10​ 8​
11 Lies die Zahlen laut vor und gib sie mithilfe einer Zehnerpotenz an.
a) 1 000 000; 1000; 100; 100 000 000; 100 000; 100 000 000 000 000
b) 6 · 100; 6 · 1 000 000; 4000; 500 000; 75 000 000 000
c) 4 B; 45 Md; 78 Md 457 T; 57 Md 450 M
19
1.2 Das Dezimalsystem und große natürliche Zahlen
Hinweis
Manchmal findest du
für Million die Ab­
kürzung Mio. und für
Milliarde Mrd.
12 Jeweils drei Zahlen sind gleich. Gib alle Dreiergruppen an.
3 Mio.
300 Mio.
30 Mrd.
3000 Mio.
3 000 000
3 Mrd.
300 000 000
6
300  · ​10​  ​
30 000 000 000
30  · ​10​  9​
3  · ​10​  6​
9
3  · ​10​  ​
13 Gib an, welche Zahlen jeweils durch die Pfeile markiert sind.
a)
b)
c)
d)
0
50000
0
1 Md
0
100000
150000
200000
50 M
0
100 M
20 B
A
B
C
D
E
14 Trage die folgenden Zahlen auf einem Zahlenstrahl ein.
a) 12 Md; 3 000 000 000; 18 Md; 7 000 000 000
b) 60 B; 80 000 000 000 000; 1 HB 2 ZB; 2 ZB 5 B
Zahlen runden
15 Lies die folgenden Zahlen laut vor. Runde sie anschließend auf Tausender.
a) 83 214
d) 1 M
g) 145 H
e) 6 403 721
h) 209 590
b) 6 404 367
f ) 83 459
c) 210 487
i) 999 542
16 Lies die folgenden Zahlen laut vor. Runde sie anschließend auf die in
Klammern angegebene Stelle.
a) 568 030 (T)
b) 80 808 080 (HT)
c) 99 099 099 099 (M)
80 808 080 (M)
99 099 099 099 (HM)
568 030 (ZT)
80 808 080 (ZM)
99 099 099 099 (Md)
568 030 (HT)
17 In einer Zeitungsmeldung heißt es: Im Jahr 2014 besuchten 1 717 473 Personen den Münchner Tierpark; 700 000 davon nutzten Dauer- oder Familienkarten.
Erläutere, weshalb die Zahlenangaben so nicht sinnvoll sein können.
18 Gib die größte und die kleinste Zahl an, die zu dem angegebenen gerundeten
Wert führt.
a) Auf Hunderter gerundet: 700
b) Auf Tausender gerundet: 5000
?
600 ?
700
800
c) Auf Hunderter gerundet: 9600
d) Auf Millionen gerundet: 1 000 000
e) Auf Millionen gerundet: 233 000 000
20
Kapitel 1 · Natürliche und ganze Zahlen
19 Du kannst bei 47□□3 in die roten Kästchen Ziffern einsetzen. Finde drei verschiedene Ziffernpaare, so dass bei der entstehenden fünfstelligen Zahl …
a) das Runden auf Tausender 47 000 ergibt. Beschreibe, welche Ziffern möglich
sind.
b) das Runden auf Hunderter 47 600 ergibt.
c) sowohl das Aufrunden auf Hunderter als auch das Aufrunden auf Tausender zu
demselben Ergebnis führt.
Vermischte Aufgaben
20 Ein Journalist hat einen Bauern
über seinen Hühnerstall interviewt
und anscheinend die Sache etwas zu
genau genommen.
Runde die Zahlen so, dass die Informationen einprägsam sind.
Münsterlandkurier
Ein typischer Hühnerhof produziert
mit 15 346 Hennen täglich 11 243 Eier
und hat ständig 8971 Küken in der
Aufzucht. Jedes Huhn legt im ersten
Jahr 253 Eier, in den 25 Wochen danach noch mal 103 Eier. Das halbautomatische Sammeln, Sor­tieren und
Verpacken der Eier dauert eine Stunde am Tag. Die Tagesproduktion landet in 31,23 Kisten. Jede Woche werden 7618 kg Futtermittel ange­liefert.
21 Bill Gates ist seit vielen Jahren einer der reichsten Menschen der Welt. Im Jahr
2013 wurde sein Vermögen auf mehr als 60 Milliarden US-Dollar geschätzt.
a) Ermittle, wie viele Häuser zum Preis von 1 Million US-Dollar sich Bill Gates leisten
kann.
b) Ermittle, wie viele Monate (Jahre) Justin sein Taschengeld (10 $ pro Monat)
sparen müsste, damit er auch so viel Geld wie Bill Gates besitzt.
22 Seit Herbst 2014 gilt der FC Bayern München als weltweit
mitgliederstärkster Sportverein. Laut der offiziellen Bundes­
liga-Internetseite hatte er zu diesem Zeitpunkt 251 000 Mitglieder. Am selben Tag konnte man in der Zeitung lesen, dass
der Verein 250 000 Mitglieder umfasst, während die offizielle
Website des FC Bayern 251 315 angab.
Erläutere, wie es zu den unterschiedlichen Zahlenangaben
kommen kann.
23 Justus und Linus sollen 236 + 632 berechnen und auf Hunderter runden.
Justus schreibt:
Linus schreibt:
236 + 632 ≈ 200 + 600 = 800
236 + 632 = 868 ≈ 900
Erläutere beide Lösungen und gehe dabei auf einen möglichen Fehler ein.
24 Paula behauptet: „Es ist egal, ob ich eine Zahl sofort auf Tausender runde oder
ob ich sie zuerst auf Hunderter und im nächsten Schritt auf Tausender runde.“
Diskutiere mithilfe von Beispielen Paulas Aussage mit deinem Nachbarn.
1.2 Das Dezimalsystem und große natürliche Zahlen
21
Noch fit?
Anzahl Hörer/Tag
I Eine Umfrage hat die durchschnittbis 20
500000
liche Anzahl der Hörer pro Tag ermittelt.
21–50
ab 51
Die Hörer wurden außerdem gefragt,
400000
ob sie bis 20 Jahre, zwischen 21 und
300000
50 Jahre oder über 50 Jahre alt sind.
a) Gib an, wie viele Hörer zwischen 21
200000
und 50 Jahren der Sender Fun Radio
hat.
100000
b) Bestimme die Anzahl aller Hörer bis
20 Jahre, die einen der drei Sender
Rockwave Fun Radio Superwelle
hören.
c) Ermittle die Anzahl der Hörer ab 51 Jahren, die jeder Sender hat. Gib auch die
Unterschiede zwischen den Sendern an.
Trainieren
Vertiefen Herausforderung
25 In der Tabelle siehst du die Bevölke- Land
Bevölkerung in Mio.
rungszahlen der bevölkerungsreichsten
USA
321
Länder der Welt und der Europäischen
China
1367
Union mit 28 Mitgliedsstaaten (EU-28)
Brasilien
204
(Stand 2015).
EU-28
513
a) Ordne die Länder nach der
Indien
1251
Einwohner­zahl.
Indonesien
256
b) Veranschauliche die Bevölkerungszahlen am Zahlenstrahl. Runde dazu geeignet und finde eine passende Einteilung
des Zahlenstrahls.
c) Gib an, in welchen Ländern mehr als eine halbe Milliarde Menschen leben.
26 In einem Artikel über Rüdiger Gamm, eines der größten Rechengenies der
Welt, heißt es:
„Wie viel ist 43 hoch 20? Rüdiger Gamm schließt die Augen (…). Wenige Sekunden
später sprudeln Zahlen aus ihm heraus (…): „467 Quintillionen, 56 Quadrilliarden,
167 Quadrillionen, 777 Trilliarden, 397 Trillionen, 914 Billiarden, 441 Billionen,
56 Milliarden, 671 Millionen, 494 Tausend und eins.“ …
Erstelle mithilfe des Artikels eine Stellenwerttafel und trage die Zahl ein.
27 Ein Lichtjahr bezeichnet die Strecke, die das Licht in einem Jahr zurücklegt.
Es beträgt 9 460 730 472 580 800 m, das entspricht 946 073 047 258 080 000 cm beziehungsweise 9 460 730 472 580 800 000 mm.
Trage diese Zahlen in die Stellenwerttafel aus Aufgabe 25 ein und lies sie laut vor.
22
Kapitel 1 · Natürliche und ganze Zahlen
28 Luzia und Benedikt legen in einer Stellenwerttafel mit Plättchen Zahlen.
Luzia:
Benedikt:
HM ZM M
●●
HT ZT
T
H
Z
●
E
●
HM ZM M HT ZT
●
●●
T
H
●
Z
E
a) Schreibe beide Zahlen in Ziffern und in Worten.
b) Ordne die Zahlen. Verwende das Zeichen >.
c) Gib den Vorgänger und den Nachfolger von beiden Zahlen an. Erläutere dein
Vorgehen.
d) Notiere die drei größten Zahlen, die du mit fünf Plättchen legen kannst.
e) Gib die kleinste Zahl an, die du erhältst, wenn du bei Luzia ein Plättchen
entfernst.
f ) Gib die größte Zahl an, die du erhältst, wenn du bei Benedikt ein Plättchen
verschiebst.
29 In einem Stempelset gibt es einen Stempel für jede Ziffer von 0 bis 9.
a) Gib die größte achtstellige Zahl an, die du ohne die 9 drucken kannst.
b) Gib die kleinste elfstellige Zahl an, die du ohne die 0 drucken kannst.
c) Gib die kleinste zehnstellige Zahl an, die du drucken kannst, wenn alle Stempel
außer der mit der 1 mindestens einmal verwendet werden müssen.
d) Gib die größte neunstellige Zahl an, die du drucken kannst, wenn genau drei
verschiedene Stempel verwendet werden.
e) Notiere selbst solche Zahlenrätsel und erstelle für jedes eine Musterlösung.
30 In einem Zahlenbaukasten gibt es eine Karte
für jede Ziffer.
a) Sophia wettet mit Lukas, dass er es nicht
schafft, die kleinste elfstellige Zahl in 10 Sekunden zu legen. Erkläre, wie hoch ihre Gewinn­
chance ist.
b) Sophia legt die Zahl 012 345 678 und behauptet, dass das die kleinste neunstellige Zahl ist, die
man legen kann. Beschreibe Sophias Fehler und verbessere ihre Zahl.
c) Kilian hat den gleichen Baukasten. Er hat jedoch einige Karten verloren. Mit
seinen Karten ist 23 475 die kleinste fünfstellige Zahl, die er legen kann. Erläutere,
wie viele Karten er mindestens verloren hat und gib an, welche es sind.
Sebastian hat auch einen Zahlenbaukasten, der
eine Karte für jede Ziffer enthält sowie die zwei
zusätzlichen Zahlenkarten 75 und 205.
d) Gib die größte fünfzehnstellige Zahl an, die er
legen kann und begründe, weshalb er nicht mit
der größten Zahlenkarte 205 beginnen darf..
e) Gib die kleinste zehnstellige Zahl an, die er
legen kann.
f ) Gib die größte achtstellige Zahl an, die er legen kann, wenn er beide Zahlenkarten (75 und 205) verwenden soll.
1.2 Das Dezimalsystem und große natürliche Zahlen
23
31 Erläutere, welche der folgenden Zahlenangaben vermutlich gerundet sind. Gib
an, in welchem größtmöglichen Bereich der exakte Zahlenwert liegen kann.
a) Der Eurotunnel, der England mit Frankreich verbindet, ist 49 900 m lang.
b) Die Allianz Arena in München hat
66 575 Sitzplätze.
c) Vor 65 Millionen Jahren starben die
Dinosaurier aus.
d) Der Mount Everest ist mit seinen
8848 m der höchste Berg der Welt.
e) Die Entfernung von der Erde zum Mond beträgt 384 400 km.
f ) Ein Kilometer hat 1000 Meter.
32 Rechts siehst du zwei Anzeigen
Anzeigen: KFZ-Markt
für Gebrauchtwagen aus einer alten
Dasuki Bingo,
Dasuki Bingo,
Zeitung. Die Angaben für den Kilo­
Liberty,
rot,
FaltLiberty, Faltdach,
meterstand sind jeweils gerundet.
dach,
Bj. 7/14,
R/CD, Bj. 6/14,
a) Ermittle bei beiden Autos den größ25 tkm,
VB 4900 €
26 000 km, 4800 �
ten und kleinsten Kilometerstand, der
zu den gerundeten Kilometerangaben
führt.
b) Ermittle den größten und kleinsten Unterschied, den die Kilometerstände
beider Autos in Wirklichkeit haben können.
33 Bilde aus den Wortteilen „vierzig“; „Millionen“, „Milliarden“ „vier“ „hundert“ „acht“
möglichst viele Zahlen. Notiere sie in Worten und in Ziffern.
Trainieren
Vertiefen Herausforderung
34 In einem Stempelset gibt es einen Stempel für jede Ziffer.
a) Ermittle, wie viele verschiedene dreistellige Zahlen du damit stempeln kannst.
b) Ermittle, wie viele der dreistelligen Zahlen an der Einerstelle eine 1 haben.
c) Ermittle, wie viele verschiedene Zahlen es gibt, wenn ein Stempel fehlt.
d) Ermittle, wie viele zehnstellige Zahlen du drucken kannst, bei denen jeder
Stempel nur einmal verwendet werden darf.
35 Spiel für zwei Personen
Ihr benötigt einen Würfel und je ein Blatt mit einer Stellenwerttafel bis Hundert­
tausender. Es wird abwechselnd gewürfelt; jeder Spieler trägt die Augenzahl an
einer beliebigen Position seiner Stellenwerttafel ein.
Die größte sechsstellige Zahl gewinnt.
a) Spielt insgesamt drei Runden.
b) Beschreibe, wie du vorgehst, um eine möglichst große Zahl zu erhalten.
c) Erkläre, welche sechsstelligen Zahlen im Spiel nicht vorkommen können.
d) Erkläre, wie viele verschiedene Zahlen sich beim Spiel ergeben können.
24
Thema
Kapitel 1 · Natürliche und ganze Zahlen
Römische Zahlen
Im Alltag sind dir bestimmt schon „andere“ Zahlen aufgefallen. Unsere Schreibweise mit den arabischen
Ziffern ist noch gar nicht so alt. Wir verwenden sie
erst seit ca. 500 Jahren. Vorher wurden die römischen Zahlzeichen genutzt.
Du findest sie manchmal noch bei Uhren, an Häusern oder Denk­mälern. Schau dir das Bild ganz genau an und beschreibe, wie die Römer ihre Zahlen
1 bis 12 gebildet haben.
Als Marie sich im Klassenraum umsieht, wundert sie sich, dass
dieses Ziffernblatt der Uhr ein wenig anders aussieht. Lukas
erklärt ihr auch wieso. Die Römer hatten noch nicht so
feste Regeln. Sie haben die Zahlen teilweise sehr
unterschiedlich gebildet. Sie haben zum Beispiel auch mehr als drei
gleiche Zahlzeichen hintereinander geschrieben. Die Zahl 4
konnte zum Beispiel als ΙΙΙΙ oder als ΙV geschrieben
werden. Später wurden Regeln vereinbart, damit
es eindeutige Zahlen gibt.
Folgende Zahlzeichen gibt es bei den Römischen Zahlen:
So kannst du
dir die Zeichen leicht
merken.
Römisches
Zahlzeichen
Arabische Zahl
Merkhilfe
I
V
X
L
C
D
M
1
5
10
50
100
500
1000
ille
100 ct
Spätere Regeln für die römischen Zahlen
I.Die Zahlzeichen notiert man normalerweise der Größe nach und zählt ihre
Werte zusammen.
XVI = 10 + 5 + 1 = 16
DCXI = 500 + 100 + 10 + 1 = 611
II.Manchmal steht jedoch ein Zeichen für eine kleinere Zahl vor einer grö­ßeren.
In diesem Fall wird der kleinere Wert vom größeren abgezogen.
IX = 10 – 1 = 9
XL = 50 – 10 = 40
III.Die Zeichen I, X, C und M dürfen höchstens dreimal direkt hintereinander
notiert werden.
IV.Die Zeichen V, L und D dürfen in einer Zahl höchstens einmal notiert
werden.
25
Aufgaben
1 Finde passende Paare.
CXV
47
IIV
57
XLVII
DCCV
113
7005
LXVII
3
CXIIV
115
MCCV
1205
2 Jahreszahlen an Gebäuden sind oft
als römische Zahl geschrieben.
a) Finde heraus, wann die abgebildeten Gebäude erbaut worden sind.
b) Gehe selbst auf Erkundung in deiner
Stadt. Fotografiere römische Zahlen
und rechne sie in „unsere“ Zahlen um.
3 Stellenwertsystem
Anna sollte bei der Hausaufgabe
die Zahlen umschreiben. 51 = VI
515 = VIV
IIV = 115
VIII = 5111
a) Erkläre, welchen Denkfehler Anna bei jeder Lösung gemacht hat.
b) Erkläre Anna, was sie beim Umwandeln beachten muss und gib die richtigen
Lösungen an.
c) Begründe, warum es sich beim Römischen Zahlensystem im Gegensatz zum
Dezimalsystem um kein Stellenwertsystem handelt.
d) Erläutere, welche Vorteile ein Stellenwertsystem gegenüber dem Römischen
System hat.
4 Lege jeweils ein Streichholz um, damit die Gleichung stimmt.
5 Marie hat ein altes Papyrus-Stück
mit einem magischen Quadrat gefunden. Leider
sind paar Zahlen nicht mehr lesbar.
Ergänze die Zahlen so, dass die Summe in jeder
Zeile, jeder Spalte und jeder Diagonale gleich groß
ist.
26
Kapitel 1 · Natürliche und ganze Zahlen
1.3 Messen unter Null – negative Zahlen
Einstieg
°C
50
40
30
20
10
0
10
20
30
40
Temperaturmessungen
höchste
Datum
In Würzburg wurden in der ersten
Temperatur
Januarwoche die tiefsten und höchsten 01. 01.
3 °C
Tagestemperaturen gemessen.
02. 01.
5 °C
Beantworte die folgenden Fragen:
03. 01.
7 °C
• Wann war es am wärmsten?
04. 01.
2 °C
• An welchem Tag war es am kältesten?
05. 01.
1 °C
• Wie groß war der Temperaturunter06. 01.
−1 °C
schied am 04. 01.?
07. 01.
0 °C
• Um wie viel °C war die tiefste Tagestemperatur am 06. 01. kälter als die höchste?
• An welchem Tag war der Temperaturunterschied am größten?
tiefste
Temperatur
−2 °C
−1 °C
−2 °C
−3 °C
−5 °C
−8 °C
−7 °C
50
Wissen
Menge der ganzen Zahlen
Werte von Größen können „unterhalb der Null“ liegen. Vor ihnen steht dann ein
Minuszeichen.
Temperatur:
−7° C steht für 7° C unter dem Gefrierpunkt von Wasser.
Kontostand:
−230 € steht für 230 € Schulden.
Geografische Höhe: −230 m steht für 230 m unter dem Meeresspiegel.
ℤ
−3
−462
−1 0 1
−28
−2
…
ℕ
2
137
3
59
…
46
Zahlen unter Null sind negative Zahlen. Sie haben ein negatives Vorzeichen
(Minuszeichen). Die natürlichen Zahlen sind positive Zahlen.
Die 0 ist weder positiv noch negativ.
Die Menge der natürlichen Zahlen ℕ = {​ 1; 2; 3; … }​wird mit der Null und der
Menge der negativen Zahlen {​ −1; −2; −3; … }​ zur Menge der ganzen Zahlen
ℤ = {​ …; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; … }​ erweitert.
Die natürlichen Zahlen kannst du zur besseren Unterscheidung mit einem Pluszeichen schreiben, z. B. +3 statt 3 oder +12 statt 12.
Zahlengerade
Ein Thermometer zeigt Werte unterhalb und oberhalb von „null Grad“. Durch
Drehen des Thermometers liegen diese Werte links und rechts von der „Null“.
Der Teil rechts von der Null erinnert an den dir bekannten Zahlenstrahl.
positive Werte
°C
50
40
30
20
10
0
10
20
30
40
50
negative Werte
27
1.3 Messen unter Null – negative Zahlen
Durch Erweiterung des Zahlenstrahls erhältst du eine Zahlen­gerade.
−12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0
negative Zahlen
1
2
3
4
Null
5
6
7
8
9 10 11 12
positive Zahlen
Je weiter rechts eine Zahl auf der Zahlengeraden steht, desto größer ist sie.
▼ Beispiel 1: An der Zahlengeraden vergleichen
Wähle zwei der grün eingetragenen Zahlen aus und vergleiche sie miteinander.
−13
−25
−30
−20
−1
−10
−5
7
0
5
10
20
30
Lösung:
▲ Z. B.: 7 liegt rechts von −1, es gilt 7 > −1; −25 liegt links von −13, es gilt −25 < −13.
| −7 |
−7
|7|
0
7
Der Abstand einer Zahl von der Null auf der Zahlengeraden heißt Betrag
dieser Zahl. Man schreibt z. B. |​ −7 |​ = 7 oder |​ 7 |​ = 7 bzw. |​ +7 |​ = 7.
Es gilt |​ 0 |​ = 0.
Zahlen mit gleichem Abstand zu 0 heißen Zahl und Gegenzahl.
Die Gegenzahl zu 4 ist − 4. Die Gegenzahl zu −12 ist 12.
▼ Beispiel 2: Beträge von Zahlen
a) Bestimme die ganzen Zahlen, die den Betrag 5 haben.
b) Markiere an einer Zahlengeraden alle Zahlen, deren Betrag kleiner als 4 ist.
Lösung:
a) −5 und 5 haben den Abstand 5 von der Null. Es gilt |​ −5 |​ = ​| 5 |​ = 5.
▲
b)
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
Einfache Rechnungen
Rechnungen mit negativen Werten kannst du an der Zahlengeraden darstellen.
Beim Addieren wanderst du nach rechts und beim Subtrahieren nach links.
▼ Beispiel 3: Einfache Rechnungen an der Zahlengeraden
a) Die Temperatur beträgt −5 °C und
steigt um 3 °C. Bestimme die jetzige
Temperatur.
Lösung:
−8
+3
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0
Start
b) Lisa hat 2 € und will etwas für 8 €
kaufen. Bestimme, wie viel Geld sie sich
leihen muss.
1
2
3
Ergebnis: −5 + 3 = −2
▲ Die Temperatur beträgt jetzt −2 °C.
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0
Ergebnis: 2 − 8 = −6
Lisa muss sich 6 € leihen.
1
2
Start
3
28
Kapitel 1 · Natürliche und ganze Zahlen
Trainieren
Aufgaben
Vertiefen Herausforderung
Menge der ganzen Zahlen
A
°C
30
1 Ordne den am Thermometer markierten Punkten folgende Temperaturen zu:
6 °C, 0 °C, −7 °C, −18 °C, 18 °C, −1 °C.
20
2 Gib die geografischen Höhen der
eingezeichneten Orte an.
10
B
C
D
E
F
0
10
20
3 Setze in deinem Heft die Zeichen
∈ und ∉ so für die Kästchen ein, dass
wahre Aussagen entstehen.
a) 1 □ ℕ
e) 1□ ​ℕ​ 0​
f ) −1 □ ​ℕ​ 0​
b) 1 □ ℤ
g) 0 □ ℕ
c) −5 □ ℕ
h) 0 □ ℤ
d) −5 □ ℤ
Geografische Höhe in m
500
Piratenkopf
400
Festungshügel
300
Sturmfelsen
200
100
0
−100
−200
Todessenke
−300
−400
Wrackgraben
−500
4 Überprüfe auf Richtigkeit. Begründe deine Entscheidung.
a) Die kleinste ganze Zahl ist Null.
c) Es gibt keine kleinste ganze Zahl.
d) Jede natürliche Zahl ist der
b) Jede ganze Zahl ist eine natürliche
Vorgänger einer ganzen Zahl.
Zahl.
Zahlengerade
5 Welche Zahlen stehen an den grünen Markierungen? Suche zuerst die Null
und notiere dann die gesuchten Zahlen. a)
−20
b)
c)
Hinweis
Einheit 1 cm bedeutet,
dass zwei aufeinanderfolgende Zahlen auf
dem Zahlenstrahl den
Abstand 1 cm haben.
−10
10
−30
−30
10
18
6 Zeichne eine Zahlengerade …
a) mit der Einheit 1 cm und trage die Zahlen −1; −7; 7; −3; − 4; 2 und −5 ein.
b) mit der Einheit 5 mm und trage die Zahlen −12; −3; 14; −2; 10; −10; −8 ein.
c) mit der Einheit 1 mm und trage alle 5 mm eine Markierung ein. Veranschauliche
die Zahlen −55; 25; 12; −37; 70; −64; −5 und 33.
7 Temperaturen ordnen
Aus dem Europawetterbericht: „Berlin bedeckt 4 °C, Paris bedeckt 10 °C, London
Regen 6 °C, Reykjavik sonnig −2 °C, Oslo Schnee −6 °C, Stockholm wolkig − 4 °C,
Moskau heiter −6 °C, Warschau heiter 0 °C, Wien bedeckt 5 °C, Athen sonnig 22 °C,
Rom heiter 16 °C, Madrid heiter 10 °C.“
Sortiere die Städte nach ihrer Temperatur. Beginne mit der kältesten Stadt.
29
1.3 Messen unter Null – negative Zahlen
Hinweis
NN bedeutet „Normal
Null“. Die Höhe wird
dabei von einer festgelegten Meeresspiegelhöhe gemessen.
8 Höhenlagen ordnen
Aus einem Geographiebuch stammen
die nebenstehenden Angaben.
Sortiere die Orte nach ihrer geogra­
fischen Höhe.
Ort
Totes Meer (Ufer)
Feldberg, Schwarzwald
Mount Everest
Marianengraben
Quito, Ecuador
9 Ganze Zahlen ordnen
Setze für das richtige Zeichen ein (<, >).
a)   2   7
d) −7   2
e)   0 −3
b) −2 −7
f ) −3 −8
c) −2   7
Höhe
420 m unter NN
1493 m über NN
8848 m über NN
11 034 m unter NN
2850 m über NN
g) 22
−23
h) −2345 23 456
i) −23 456 −2345
10 Gib jeweils die Gegenzahl und den Betrag an.
a) 17; 3; 2; 31
c) −201; 614; − 447; 1632 e) −12 312; 4007; −7102
d) 0; 6862; −1742; 2015 f ) 1 H 2 Z 6 E; −1 M
b) −1; −12; − 46; −14
11 Zahlen und Beträge sortieren
Sortiere die Zahlen nach ihrer Größe. Beginne mit der größten Zahl. Sortiere dann
ihre Beträge aufsteigend.
a) 12; −5; 2; 6; −9; − 4
b) −222; 436; −1138; −532; 478; −1459
12 Wähle aus den nebenstehenden Zahlen aus:
a) drei Zahlen, die kleiner sind als −11.
b) alle Zahlen, die größer sind als −10.
1; −4; 3; 14; −10; 13; −13; 17; −12;
−22; 2; −11; −33;
Einfache Rechnungen
13 Am Montag betrug die Temperatur 2 °C. Am nächsten Tag fiel die Temperatur
um 4 Grad, am darauf folgenden Tag um weitere 3 Grad.
An den beiden nächsten Tagen wurde es etwas wärmer, die Temperatur stieg
jeweils um 3 Grad. Gib die Temperatur am Freitag an.
14 Sina hat noch 8 Euro Taschengeld. Damit möchte sie ins Kino gehen und
Popcorn und Cola kaufen. Die Eintrittskarte kostet 6 Euro, eine mittlere Portion
Popcorn mit Cola 5 Euro. Beschreibe Sinas Problem und schlage eine Lösung vor.
15 Eine zweitägige Fahrradtour um das
IJsselmeer (Niederlande) begann auf einer geografischen Höhe von −5 m. Die
Strecke am ersten Tag führte immer
leicht aufwärts. Die Stadt für die Übernachtung lag 6 m höher als der Startpunkt. Am zweiten Tag ging es mit einem Höhenunterschied von 17 m
abwärts. Bestimme die geografische
Höhe am Ende der Fahrradtour.
30
Tipp
Du kannst Rechnungen
wie in Nr. 16 immer in
Sachzusammenhänge
wie in Nr. 13, 14 oder 15
„übersetzen“.
Kapitel 1 · Natürliche und ganze Zahlen
16 Zeichne eine Zahlengerade von −12 bis 12 und rechne daran.
a) 6 − 4
c) 6 − 8
e) − 4 − 5
g) −9 + 14
d) 2 − 8
b) 6 − 6
f ) −12 + 5
h) 12 − 24
Lösungswort: −12 (r); −9 (a); −7 (n); −6 (i); −3 (e); −2 (d); 0 (n); 2 (i); 3 (s); 5 (e); 6 (l)
17 Rechne an einer Zahlengeraden.
Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, was dir auffällt
a) 7 + 11
c) 7 − 11
e) 11 + 7
d) −7 − 11
b) −7 + 11
f ) −11 + 7
g) 11 − 7
h) −11 − 7
18 Kontostände
Berechne die fehlenden Größen.
alter Kontostand
Belastung (Soll)
Gutschrift (Haben)
neuer Kontostand
+200 €
—
+300 €
+500 €
+700 €
–500 €
—
+200 €
+300 €
–800 €
—
− 400 €
—
+600 €
—
+500 €
−300 €
–200 €
—
− 400 €
+750 €
—
−250 €
−550 €
—
+250 €
–300 €
—
0 €
Vermischte Aufgaben
19 Gib jeweils zwei Zahlen mit den geforderten Eigenschaften an:
a) ganze Zahlen, die zwischen 1 und 99 liegen
b) negative Zahlen, die zwischen −50 und 50 liegen
c) natürliche Zahlen, die zwischen −1 und 21 liegen und kleiner als 3 sind
d) ganze Zahlen, die zwischen −88 und −82 liegen und größer als −85 sind
20 Wahrheit oder Lüge?
Überprüft auf Richtigkeit. Begründet falsche Aussagen mit einem Gegenbeispiel.
a) Die größte zweistellige negative Zahl ist −99.
b) Die kleinste dreistellige ganze Zahl ist 100.
c) Alle ganze Zahlen sind positiv.
d) Der Betrag einer ganzen Zahl ist stets positiv.
e) Von zwei ganzen Zahlen ist diejenige größer, die den größeren Betrag hat.
f ) Die Menge der ganzen Zahlen besitzt kein kleinstes Element.
g) Jede ganze Zahl hat eine Gegenzahl.
21 Vorgänger und Nachfolger
Bestimme zu jeder Zahl den Vorgänger und den Nachfolger.
a) 0
c) −20
e) 179
g) 2000
d) −179
b) −1
f ) −1199
h) −2000
31
1.3 Messen unter Null – negative Zahlen
22 Erkläre, nach welchem System die Zahlenfolgen aufgebaut sind. Notiere jeweils die nächsten drei Zahlen:
a) 2; 4; 6; 8; …
c) −3; −1; 1; 3; …
e) 5; 3; 4; 2; …
f ) −1; −3; −6; −10; …
b) −2; − 4; −6; −8; … d) 4; −1; −6; −11; … Lösungswort:
−22 (s); −8 (n);  −5 (u);
−3 (e); −1 (m); 0 (i);
3 (t); 12 (l); 14 (p);
19 (r)
Info
Bei einem Spielwürfel
ergeben die Augen­
zahlen auf gegenüber­
liegenden Seiten
immer 7.
23 Finde auf der Zahlengeraden die Mitte zwischen den beiden angegebenen
Zahlen.
a) 8 und 20
c) − 4 und 4
e) −8 und −2
d) − 4 und 2
f ) −30 und −14
b) 7 und 31
Noch fit?
I Der Spielwürfel wird wie angezeigt
in Feld 1, dann in Feld 2, in Feld 3 bis in
Feld 4 gekippt.
a) Gib für jedes der Felder 1 bis 4 an,
welche Augenzahl auf der oberen Seite
des Würfels zu sehen ist.
b) Stell dir vor, dass der Würfel im gleichen Zickzack-Muster weiter gekippt
wird. Gib an, welche Augenzahl auf
Feld 8 oben liegen würde.
Trainieren
1
2
3
4
Vertiefen Herausforderung
24 Die Zahlen A, B und C sollen bestimmt werden.
A
C
B
0
Tim, Sophie, Felix und Marie haben die Aufgabe gelöst und vergleichen ihre
Ergebnisse:
Tim: A = −10; B = −6; C = 5
Sophie: A = −50; B = 25; C = −25
Felix: A = −30; B = 18; C = −15 Marie: A = −100, C = −50; B = 60
Wer hat die Aufgabe richtig gelöst? Begründe deine Antwort.
25 Bei einem Fernsehquiz ist Herr Kluge
bei der 64 000-€-Frage angekommen.
Zum Glück kennt er die Geburtsjahre:
Plutarch 46 n. Chr., Hadrian 76 n. Chr.,
Caesar 100 v. Chr., Seneca 4 v. Chr.,
Augustus 63 v. Chr., Kleopatra 69 v. Chr.,
Pythagoras 580 v. Chr.
Der Moderator drängt auf eine Antwort.
Erläutere, welche Antwort Herr Kluge
geben soll.
Welche der folgenden
Persönlichkeiten aus der Antike
wurde als drittes geboren?
Plutarch
Hadrian
Caesar
Seneca
Augustus
Kleopatra
32
Kapitel 1 · Natürliche und ganze Zahlen
26 Zähle abwechselnd mit deinem Nachbarn. Stellt euch gegenseitig ähnliche
Aufgaben.
a) Zähle in 5-er Schritten von −75 bis + 50.
b) Zähle in 25-er Schritten von −200 bis + 100.
c) Zähle von −100 000 in fünf Schritten bis 0.
d) Zähle von −1000 in acht Schritten bis 0.
e) Zähle von −1000 in acht Schritten bis + 1000.
27 Zeichne eine Zahlengerade von −7 bis +7 und kennzeichne in der entsprechenden Farbe alle ganzen Zahlen,
a) die von +2 genau 4 Einheiten entfernt sind in orange,
b) die von −3 höchstens 3 Einheiten entfernt sind in grün,
c) die von −2 mindestens 4 Einheiten entfernt sind in blau,
d) die kleiner als +3 sind in rot,
e) die größer als −5 sind in gelb.
f ) Erstelle eine Aufgabe, die als Lösung die Punkte auf der Zahlengerade hat, die
sowohl grün als auch gelb markiert sind.
28 Zeichne jeweils Zahlengeraden von −6 bis +6 und kennzeichne die ganzen
Zahlen, für die folgende Zahlenrätsel gelten.
Gib deine Lösung auch in Mengenschreibweise an.
a) |​ ? |​= 0
b) |​ ? |​= 3 c) |​ ? |​= −3 d) |​ ? |​< 4
29 Welche ganze Zahl kann das sein? Erläutere deine Antwort.
a) die kleinste positive Zahl
d) Stelle eine ähnliche Frage und lasse
sie von deiner Nachbarin bzw. deinem
b) die größte positive Zahl
Nachbarn beantworten.
c) die größte negative Zahl
Trainieren
Vertiefen Herausforderung
30 In einem Bürohaus hat Mr Bean seinen Teddy verloren,
bevor er in einen Aufzug stieg.
Leider weiß er das Stockwerk nicht mehr.
Er erinnert sich:
„Ich wollte sechs Stockwerke nach oben fahren, aber auf
halbem Weg stieg eine Frau mit einem seltsamen Hut ein
und fuhr mit mir acht Etagen hinunter.
Dann wollte ich aussteigen, aber drei dicke Männer drängten
mich in den Aufzug zurück. Sie wollten neun Etagen nach
oben fahren.
Drei Etagen davor drückte ich schnell auf HALT und stieg aus.
Ich nahm den nächsten Aufzug und fuhr acht Stockwerke
nach unten.
Dort war es dunkel: Ich war im Keller gelandet!“
Hilf Mr Bean, seinen Teddy zu finden.
Ausgang
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Tiefgarage A
–1
Tiefgarage B
–2
Tiefgarage C
–3
Keller
–4
Chefetage
Chefetage
Entwicklung
Einkauf
Werbung
Kantine
Buchhaltung
Marketing
Personalabteilung
Callcenter
33
Check up
Was kannst du? Was musst du noch üben?
Mit diesen Aufgaben kannst du deinen Lernfortschritt überprüfen.
Lösungen findest du im Anhang.
1 Tassilo hat mit seinen Eltern schon
einige Wanderungen unternommen.
Aus den Urlauben hat er jeweils die maximale Höhe über dem Meeresspiegel
herausgesucht, die sie erreicht haben.
a) Runde alle Höhenangaben auf
Hunderter.
b) Zeichne dann einen Zahlenstrahl mit
geeigneter Einteilung und trage alle
gerundeten Höhenangaben ein.
Reiseland (Berg)
Italien (Vesuv)
Niederlande
(Vaalserberg)
Deutschland
(Zugspitze)
Zypern (Olympos)
Spanien (Puig Major)
Maximal erreichte
Höhe in m
1281
327
2962
1952
1445
2 Gib folgende Zahl in Ziffern an:
vierzig Billionen vierhunderteine Million dreißigtausendundzwei
3 Gib Vorgänger und Nachfolger der folgenden Zahlen in Ziffern an.
a) 4 Milliarden
b) ​10​ 6​
c) −1000
4 Auf den folgenden Ausschnitten von Zahlengeraden sind jeweils zwei Zahlen
sowie die Mitte zwischen ihnen markiert. Gib die fehlenden Zahlen an.
Beschreibe jeweils dabei, wie du vorgegangen bist.
a)
A
C
B
1
b)
13
A
C
10
c)
A
B
60
C
B
8
48
5 Die Flugentfernung von Frankfurt nach Tokio beträgt auf Tausender gerundet
9000 km.
Gib die größte und die kleinste Entfernung an, die gerundet 9000 km ergibt.
6 Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Begründe jeweils deine Antwort.
a) Jede gerade vierstellige natürliche Zahl enthält die Ziffer 2.
b) Jede natürliche Zahl hat eine ganze Zahl als Vorgänger.
c) Die kleinste dreistellige ganze Zahl ist −100.
d) Der Betrag einer ganzen Zahl ist größer als diese Zahl.
7 Anja hat momentan 7 € in ihrer Spardose. Sie möchte sich ein Buch für 10 €
und ein Eis für 3 € kaufen. Ihre Oma schenkt 5 €. Berechne, wie viel Geld sie sich
noch leihen muss, damit sie alles bezahlen kann.
34
Auf einen Blick
Zahlenstrahl und Menge der natürlichen Zahlen
0
groß
klein
0
ℕ
22
5
9
3
1
13
2
7
ℕ
312
4
…
8
12
Kapitel 1 · Natürliche und ganze Zahlen
0
5
42
1
5
10
15
20
Der Zahlenstrahl beginnt bei 0, endet aber nicht. Dies wird durch einen Pfeil dargestellt. Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Zahlen ist stets gleich
groß und wird als Einheit bezeichnet. Je weiter links eine Zahl am Zahlenstrahl
steht, desto kleiner ist sie.
Die Zahlen 1; 2; 3; 4; … werden natürliche Zahlen genannt und zur Menge der
natürlichen Zahlen ℕ zusammengefasst.
ℕ = {​ 1; 2; 3; 4; … }​ ​
ℕ​ 0​= {​ 0; 1; 2; 3; 4; … }​
Schreibweise:
23 ∈ ℕ „23 ist Element der Menge der natürlichen Zahlen.“
 0 ∉ ℕ „0 ist kein Element der Menge der natürlichen Zahlen.“
Stellenwerttafel und Dezimalsystem
Die Stellenwerttafel kann auf beliebig große Zahlen erweitert werden:
…
Billionen
… HB ZB
B
… 1
0
3
Milliarden
HMd ZMd Md
0
0
1
Millionen
HM ZM M
8
6
4
Tausender
HT ZT
T
0
4
0
H
3
Z
5
E
2
Die Zahlen 1; 10; 100; 1000; 10 000; 100 000; … nennt man Stufenzahlen.
Da die nächste Stufenzahl jeweils den zehnfachen Wert der vorangehenden hat,
heißt unser Stellenwertsystem Zehnersystem oder Dezimalsystem.
Die Stufenzahlen lassen sich mithilfe von Zehnerpotenzen kürzer schreiben:
1 000 = ​10​ 3​ „10 hoch 3“
1 000 000 000 = ​10​ 9​ „10 hoch 9“
3 Endnullen
9 Endnullen
Runden
Ob du aufrunden oder abrunden musst, erkennst du nicht an der Stelle, auf die gerundet werden soll, sondern nur an der nachfolgenden Stelle.
Bei 0, 1, 2, 3, 4 rundest du ab. ↓ Bei 5, 6, 7, 8, 9 rundest du auf. ↑
H
T
Auf Hunderter runden: 12 7 4 5 ≈ 12 700. Auf Tausender runden: 12 7 45 ≈ 13 000
ℤ
−3
−462
−1 0 1
−28
−2
…
ℕ
2
137
3
59
…
Menge der ganzen Zahlen und Zahlengerade
Die Menge der natürlichen Zahlen ℕ = {​ 1; 2; 3; … }​wird mit der Null und der
Menge der negativen Zahlen {​ −1; −2; −3; … }​ zur Menge der ganzen Zahlen
ℤ = {​ …; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; … }​erweitert. Die 0 ist weder positiv noch negativ.
46
−12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0
negative Zahlen
Null
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
positive Zahlen
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