2.5 Relationale Algebra 2.5.1 ¨Uberblick RA 2.5.1 ¨Uberblick RA 2.5

2.5 Relationale Algebra
2.5.1 Überblick RA
Bedeutung der Relationalen Algebra
2.5.1 Überblick
Codd-vollständige relationale Sprachen
• Formale Sprache für den Berechnungsweg von
• Relationale Algebra
Abfragen werden durch exakte Angabe der auf den Relationen
durchzuführenden Operationen formuliert
Abfrageergebnissen
• mathematische Rechenregeln ermöglichen Abfrageoptimierung
• Relationenkalküle
Abfrageergebnis wird durch seine Eigenschaften beschrieben
ohne Angabe einer Berechnungsprozedur
durch algebraische Umformung
• auch geeignet zur Formulierung von Integrity Constraints
Codd hat gezeigt, dass Relationale Algebra, Tupelkalkül
und Domänenkalkül gleich ausdrucksstark sind
Leistungsmaßstab“ ist Relationale Algebra:
”
mindestens so mächtige Sprache heißt Codd-vollständig
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2.5.1 Überblick RA
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2.5.1 Überblick RA
Wie verhält sich SQL dazu?
Was ist eine Algebra?
• besteht aus atomaren Operanden und Operatoren
Beispiel Algebra-Elemente:
SELECT nr, name FROM produkt
• Regelwerk um daraus Ausdrücke zu bilden; dabei
WHERE hnr IN (SELECT nr FROM hersteller);
im allgemeinen Gruppierung durch Klammern nötig
Beispiel Kalkül-Element:
SELECT nr, name FROM produkt
WHERE EXISTS (SELECT ’ ’ FROM hersteller
Beispiel: Algebra der Arithmetik
WHERE hersteller.nr=produkt.hnr);
• Operanden: Variablen (z.B. x) und Zahlenkonstanten (z.B. 42)
• SQL basiert hauptsächlich auf Relationaler Algebra, enthält aber
einzelne Elemente des Relationalen Kalküls.
• Operatoren: arithmetische Operatoren (+,-,*,/)
• Beispiele für Ausdrücke in dieser Algebra:
• SQL ist nicht nur Codd-vollständig, sondern mächtiger als die
Relationale Algebra
• SQL kann zwar optional Relationen (Mengen) erzeugen (distinct),
arbeitet aber ansonsten mit Bags (ungeordneten Listen)
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(x + 2*y) * z
(x + 5)/(y - 2) + x
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2.5.1 Überblick RA
2.5.2 RA Operatoren
Operanden der Relationalen Algebra
Mengen versus Bags
• Relationen-Variablen
• Relationales Modell ursprünglich (Codd 1970)
• Relationen-Konstanten
mit Relationen als Mengen definiert
I
I
Operatoren der Relationalen Algebra
• übliche Mengenoperationen (Vereinigung, Schnitt, Differenz)
keine Doubletten zulässig
Operatoren inperformant (warum?)
• Moderne Implementierungen bevorzugen Bags
(ungeordnete Listen)
• Extraktionsoperatoren Selektion“ und Projektion“
”
”
• Kombinationsoperatoren Cartesisches Produkt“ und Joins“
”
”
• Umbenennung ( Rename“)
”
I
I
Tupel ungeordnet, aber Doubletten möglich
Operatoren performant implementierbar
Operatoren der Relationalen Algebra haben
eine Mengen- und eine Bag-Version
Ausdrücke der RA heißen Queries (Abfragen)
Relationenänderung durch Zuweisung, z.B.
A := A \ σnr =0 H20 (A)
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2.5.1 Überblick RA
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2.5.2 RA Operatoren
Themen zur Relationalen Algebra:
a) Extraktionsoperatoren
• Operatoren und Rechenregeln
Welche Basis-Operatoren werden benötigt für Abfragen?
Unterschied Relationen versus Bags
• Projektion
πa1 ,...,an (R) = Auswahl der Spalten a1 , . . . , an
• Selektion
• Dreiwertige Logik
Behandlung von NULL-Werten
σBedingung (R) = Auswahl Tupel, die Bedingung erfüllen
• Eigenschaften der Operatoren
Berechnungskomplexität, begrenzte Ausdrucksstärke
π name, preis
• Algebraische Umformungen
Äquivalenz algebraischer Ausdrücke, Abfrageoptimierung
σpreis > 3
• Formulierung von Constraints mit RA
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pnr#
name
preis
hnr
P1
P2
P3
Pritt
Füller
Tinte
2.50
12.98
3.20
H1
H2
H2
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2.5.2 RA Operatoren
2.5.2 RA Operatoren
Definition von ∪, ∩ und \ für Mengen altbekannt.
Aber was ist bei Bags?
Bemerkungen:
• Verhalten des Selektionsoperators σ für
Bags und Mengen identisch (Warum?)
R enthalte Tupel t n-mal
S enthalte dasselbe Tupel t m-mal
• Projektionsoperator π für Bags und Mengen verschieden
R ∪ S enthält Tupel t dann (n + m)-mal
R ∩ S enthält Tupel t dann min(n, m)-mal
R \ S enthält Tupel t dann max(0, n − m)-mal
Wie verhält sich SQL-Befehl select dazu?
• Kombination von Selektion und Projektion:
SELECT name FROM produkt WHERE preis > 3;
entspricht
πname (σpreis>3 (produkt))
R
a b
1 2
1 1
• normalerweise Bagoperation,
mit Modifier distinct aber Mengenoperation
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S
a b
1 2
1 2
R∪S
a b
1 2
1 1
1 2
1 2
R∩S
a b
1 2
R\S
a b
1 1
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2.5.2 RA Operatoren
S\R
a b
1 2
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2.5.2 RA Operatoren
Achtung:
b) Mengenoperatoren
Rechenregeln für Mengen- und Bag-Version
können unterschiedlich sein:
• Vereinigung: R ∪ S
• Schnitt: R ∩ S
• Differenz: R \ S
I
R ∪ S = S ∪ R gilt für Mengen und Bags
I
(R ∪ S) \ T = (R \ T ) ∪ (S \ T ) gilt für Mengen, aber nicht Bags
Bemerkungen:
Mengenoperationen in SQL
• Voraussetzung: identische Attributnamen in R und S
• union, intersect und except für ∪, ∩ und \
nur möglich bei gleichen Rückgabetypen der
verknüpften select-Statements
• Schnittoperator eigentlich überflüssig wegen
• normalerweise Mengenoperation (!), Bagoperation mit
R ∩ S = (R ∪ S) \ ((R \ S) ∪ (S \ R))
Modifier all, z.B. select ... except all select ... ;
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2.5.2 RA Operatoren
2.5.2 RA Operatoren
Join = Selektion auf Kartesischem Produkt
c) Umbenennung
Ro
nBed S
Rename-Operator:
%S(B1 ,...,Bn ) (R) = Kopie von R mit anderen Namen
= σBed (R × S)
Spezialfall Natural Join“:
”
Bei Bedingung der Form a = b entstehen Spalten, die in
allen Werten identisch sind
⇒ Vereinfachungskonvention Natural Join
Wozu braucht man das?
• um zwei Relation kompatibel für Mengenoperationen
I
∪, ∩ oder \ zu machen
I
• Vermeidung doppelter Attributnamen im Cartesischen Produkt
I
Joinbedingung ist Gleichheit gleichnamiger Attribute
identische Ergebnisspalten nur einmal aufgeführt
Notation durch Weglassen der Bedingung
Beispiel: Natural Join von R(a, b, c) und S(a, e, f ):
Ro
n S = πa,b,c,e,f R o
nR.a=S.a S
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2.5.2 RA Operatoren
σBedingung , πSpaltenliste
∪, ∩ und \
%S(b1,...,bn )
×, o
nBedingung
= Relation Q mit allen Attributen
aus R und S, wobei jedes Tupel ∈ R
mit jedem Tupel ∈ S kombiniert wird
S c d
x y
x z
R× S
a
1
1
3
3
b c
2 x
2 x
4 x
4 x
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Selektion, Projektion
Vereinigung, Schnitt und Differenz
Umbenennung
Kreuzprodukt, Join
einige Rechenregeln
d
y
z
y
z
σBed1 (σBed2 (R)) = σBed2 (σBed1 (R))
R ∪ (S ∩ T ) = (R ∪ S) ∩ (R ∪ T )
πY (σBed (R)) = σBed (πY (R))
wenn in Bed nur Atrribute aus Y vorkommen
σBed1 (R o
nBed2 S) = σBed1 (R) o
nBed2 σBed1 (S)
Tupelanzahl: |R × S| = |R| · |S|
wenn in Bed1 nur Atrribute aus attr (R) ∩ attr (S) vorkommen
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Zusammenfassung
Cartesisches Produkt (Kreuzprodukt):
R a b
1 2
3 4
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2.5.2 RA Operatoren
d) Kombinationsoperatoren
R ×S
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2.5.2 RA Operatoren
2.5.3 Dreiwertige Logik
Behandlung von NULL-Werten bei Vergleichs- operatoren und
logischen Verknüpfungen?
Darstellung von Queries
Was sind die Produkte des Herstellers ’H1’,
”
die mehr als 3 Euro kosten?“
a) Vergleichsoperatoren
logischer Wert von (a ∼ b) ist unbekannt“ (ω),
”
wenn a oder b den Wert NULL (unbekannt) hat
a) Verkettung der Operatoren
πpnr, name σpreis > 3 (produkt) ∩ σhnr = ’H1’ (produkt)
b) Logische Verknüpfungen
AND
F
ω
T
b) Definition temporärer Variablen
R (nr, name, hnr, preis) := σpreis > 3 (produkt)
S (nr, name, hnr, preis) := σhnr = ’H1’ (produkt)
Ergebnis (nr, name) := πpnr, name (T )
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OR
F
ω
T
F
F
ω
T
ω
ω
ω
T
T
T
T
T
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2.5.3 Dreiwertige Logik
Beispiele:
Was sind die Produkte des Herstellers ’H1’, die mehr als 3
”
Euro kosten?“
(a > NULL) AND (1 = 2) → unwahr (F)
(NULL = NULL) OR (1 = 2) → unbekannt (ω)
c) Baumdiagramm
Bei Duplikatslöschung (z.B. bei ∪ nötig) werden
NULL-Werte wie normale Werte behandelt
π nr, name
Verarbeitung
T
F
ω
T
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2.5.2 RA Operatoren
R
Operatoren
∩
a
b
1
NULL
NULL NULL
σpreis > 3
σ hnr = ’H1’
produkt
produkt
Operanden an
den Blättern
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ω
F
ω
ω
Not (F) = T
Not (T) = F
Not (ω) = ω
T := R ∩ S
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F
F
F
F
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S
a
1
1
b
NULL
2
S ∪R
a
b
1
NULL
NULL NULL
1
2
E.F. Codd: Extending the Relational Model.
ACM Transactions on Database Systems (4) 1979, p 397-434
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2.5.4 Eigenschaften der RA
2.5.5 Algebraische Optimierung
An der Tafel vorgeführt:
Ausdrücke (1) und (2) sind äquivalent,
d.h. liefern dasselbe Ergebnis
• Komplexität der Operatoren
I
Operationen effizient (vgl. THI, 4. Semester) durchführbar
I
Bagoperatoren geringere Komplexität als Mengenoperatoren
(1)
(2)
π lieferant, produkt
π lieferant, produkt
σlieferant=’Henkel’
• Grenzen der Relationalen Algebra
σlieferant=’Henkel’
I
es gibt Abfragen, die nicht in RA möglich sind
(z.B. Berechnung der transitiven Hülle)
I
Grund: RA ist nicht Turing-vollständig (vgl. THI)
Lieferant
Produkt
Lieferung
Lieferant
Produkt
Lieferung
Selektion wird in (2) früher durchgeführt
⇒ kleinere Zwischenergebnisse ⇒ performanter
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2.5.5 Algebraische Optimierung
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2.5.5 Algebraische Optimierung
Beispiel:
Allgemeine Optimierungsstrategie
Lieferant (A)
lnr#
lieferant
Produkt (B)
pnr#
produkt
preis
• Selektionen zu Blättern verschieben
Lieferung (C)
nr#
lnr
pnr
menge
I
I
Selektionen verkleinern Zwischenergebnisse ⇒ möglichst früh
durchführen
Joins sind besonders teuer. Nutze Regel
σBed (R ∼ S) = σBed (R) ∼ S
Die Abfrage
πlieferant, produkt σlieferant = ’Henkel’ (A o
nBo
n C)
für ∼ ∈ {×, o
n, ∩}
wenn R alle Attribute aus Bed enthält
(1)
• zusätzliche Projektionen einfügen
kann wegen A o
nB=Bo
n A, σC (R o
n S) = σC (R) o
n S und
(A o
n B) o
nC =Ao
n (B o
n C ) umgeformt werden in
πlieferant, produkt C o
n (σlieferant = ’Henkel’ (A) o
n B)
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I
(2)
nicht benötigte Spalten können entfernt werden
⇒ nicht weniger Tupel, aber weniger Attribute
Garcia-Molina, Ullman, Widom: Database Systems - The
Complete Book. Prentice Hall 2002. Kapitel 16.2
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2.5.6 Erweiterte RA Operatoren
2.5.7 RA für Constraints
Beispiel b)
Foreign Key
Constraint
An der Tafel erläutert:
δ
τ
γ
◦
./
Duplikatslöschung
Sortierung
Gruppieren
hersteller
produkt
hnr#
name
pnr#
name
hnr
preis
πhnr (produkt) ⊆ πhnr (hersteller)
oder
Outer Join
πhnr (produkt) \ πhnr (hersteller) = ∅
Bemerkungen:
• Projektionen oben sind Mengen-Operationen (warum?)
• Ungleichung immer als Gleichung formulierbar wegen
R⊆S
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2.5.7 RA für Constraints
Integritätsbedingungen durch (Un-) Gleichungen
der Relationalen Algebra formulierbar:
A1 = ∅
A1 = A2
A1 ⊆ A2
wobei A1, A2 Ausdrücke der Relationalen Algebra
Beispiel a)
NOT NULL Constraint auf Attribut a in R:
σa
is NULL (R)
=∅
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⇐⇒
R \S =∅
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