Prädikatenlogik erster Ordnung

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Logik
© Wolfgang Hebold
Prädikatenlogik erster Ordnung
Definition
Die Aussagenlogik ist mit der Geltung von wahren oder falschen Sätzen beschäftigt. Dabei
spielt die Wahrheit oder Falschheit der einzelnen Sätze bzw. Aussagen keine Rolle. Es geht
allein um die Verknüpfung. Die Prädikatenlogik zielt dagegen auf den Inhalt der einzelnen
Sätze. Sie betrachtet daher nicht mehr Aussagen als ganzes, sondern zerlegt sie und schaut
auf den Inhalt.
Den Ausgangspunkt machen daher Teile von Sätzen, die für sich sich weder wahr noch
falsch sein können: Die Prädikate. Sie werden erst wahr oder falsch, indem man sie mit
Dingen verbindet. Das Bindeglied zwischen Satz und Ding sind die Variablen. Sie können für
Dinge stehen, dh. an Stelle der Variablen werden im konkreten Einzelfall Dinge gesetzt und
das Prädikat wird zur Aussage.
Entscheidend ist nun die Antwort auf die Frage, für welche Dinge die Variablen stehen
können, so dass ein Prädikat im konkreten Einzelfall wahr wird. Und weiter: Mit welchen
Bereichen von Dingen wird ein Prädikat auf jeden Fall wahr. Dabei geht die Prädikatenlogik
erster Ordnung niemals über die Belegung von Variablen hinaus, sie betrachtet als immer
nur eine bestimmte Welt von Dingen, nicht aber Welten, die man aus diesen jeweils
vorgegebenen Dingen wiederum bildet.
Prädikate
Ein Prädikat (predicate), auch Terminus, ist ein Satzteil, der sich auf die Elemente eines
Universums bezieht und einigen Elementen Eigenschaften zuordnet, indem er wahr liefert,
falls die Eigenschaft zutrifft und falsch, falls die Eigenschaft nicht zutrifft. Ein Prädikat ist
also weder wahr noch falsch. Es ist nicht mal ein Satz, es ist der Teil eines Satzes.
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Die Elemente, auf die sich ein Prädikat bezieht, sind real oder wirklich. Jene Elemente, zu
denen das Prädikat wahr oder falsch liefern kann, ergeben zusammengenommen den
Geltungsbereich (domain), auch Definitionsbereich des Prädikats. Dass ein Element zum
Geltungsbereich eines Prädikates gehört, heißt nicht, dass es die entsprechende Eigenschaft
auch tatsächlich hat. Hat es sie aber, dass gehört es zur Extension des Prädikats:
DEFINITION
Extension
Geg. sei ein Prädikat φ mit dem Geltungsbereich A.
Die Menge aller Elemente, auf die das Prädikat φ zutrifft, heißt die Extension des
Prädikats; geschrieben { φ }.
Anmerkung
Die Extension ist also ausdrücklich eine Teilmenge des Geltungsbereichs von φ. Für
diese Elemente ist das Prädikat φ wahr. Das Prädikat spezifiziert somit Elemente aus
einem vorhandenen Definitionsbereich.
Anmerkung
Ein Prädikat fasst die spezifizierten Elemente nicht unbedingt zu einer neuen Einheit
zusammen, die wiederum Element eines Universums werden könnte. Allerdings wird
diese Möglichkeit zunächst auch nicht ausgeschlossen.
Beispiel
Ein Prädikat ist die Eigenschaft »rot« bzw. die entsprechende Substantivierung »das
Rote«. Die Extension sind alle Dinge, die rot sind, der Geltungsbereich alle Dinge, die
eine Farbe haben und das Universum alle Gegenstände der Anschauung. Die so
definierte Einheit ist die Menge aller roten Gegenstände.
Beispiel
Der Terminus »grün« ist Teil des Satzes »Das Blatt ist grün«.
In der Prädikatenlogik werden unter Hinzunahme von Quantifizierungen »es gibt« und »für
alle« zwei Arten von Aussagen über Prädikate gemacht: Durch »es gibt« die Aussage, dass
in der durch das Prädikat spezifizierten Extension wenigstens ein Element existiert. Und
durch »für alle« die Aussage, dass alle überhaupt möglichen Elemente in der durch das
Prädikat spezifizierten Extension liegen. Wir sagen auch: Die Extension des Prädikats ist
nicht leer bzw. sie umfasst das gesamte Universum. Quantifizierungen führen zu Aussagen
über die Extension von Prädikaten: Dass diese nicht leer ist und ob sie alle umfasst.
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Die beiden Arten von Aussagen werden formal mit sogenannten Quantoren gebildet. Diese
Quantoren quantifizieren den Bereich, den der Terminus meint. Dabei handelt es sich zum
einen um den Existenzquantor; geschrieben ∃, der das »es gibt« vertritt. Zum anderen
handelt es sich um den Allquantor; geschrieben ∀, der das »für alle« vertritt.
Um Quantoren und Prädikate zu einer Aussage zu verbinden, wird eine zusätzliche
Kategorie von Zeichen und Sätzen eingeführt. Wir schreiben zB. »∃ x ( x ist grün )« und
meinen die Aussage: »Es gibt ein Ding, das grün ist.« Das x übernimmt den Platz eines
Pronomen, zB. des »das« in dem beigefügten Satz. Entsprechend meint »∀ x ( x ist grün )«
die Aussage: »Für alle Dinge, die grün sind.« Das x übernimmt den Platz des »die« in dem
beigefügten Satz. Wir nennen x eine Variable. Sie steht zum einen hinter dem jeweiligen
Quantor – ∀ x, ∃ x – und zum anderen im beigefügten Satz bei dem Prädikat.
Anmerkung
Variablen sind mit Pronomen vergleichbar und von Platzhaltern zu unterscheiden. Denn
anders als Platzhalter, referieren Variablen auf etwas, für das wir einen Namen
vergeben könnten. Mit einer Variablen verbinden wir Gegenstände, die in der einen
oder anderen Form existieren.
Anmerkung
Die Quantoren beziehen sich immer nur auf Variablen, die sich auf Prädikate beziehen.
Über die Prädikate wird ausdrücklich nicht quantifiziert. Eine Formulierung der Art:
∀φ∃x(φ(x))
ist also nicht zugelassen.
DEFINITION
Geg. sei ein Prädikat φ mit der Variablen x.
Wir schreiben φ ( x ) für ein Prädikat, das die Variable x enthält. Für die Extension
ergibt das die weitere Schreibweise:
{ φ ( x ) } = { x : φ ( x ) ist wahr }
Anmerkung
φ und φ ( x ) sind zu unterscheiden: φ steht für ein beliebiges Prädikat, wohingegen der
Ausdruck φ ( x ) bzw. φ ( x1, … , xn ) zusätzlich die Variablen anzeigt.
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Der Terminus »grün« ist über den Satz »x ist grün« und das x mit dem jeweiligen Quantor
verknüpft. Der Satz »x ist grün« ist dabei so wenig eine Aussage, wie die Satzschemata der
Aussagenlogik. Er ist ein Satz für Sätze; ein Schema, das erst durch Einsetzen von Werten
für x zur Aussage wird. Wir nennen ihn daher für sich, also ohne Quantifizierung, einen
offenen Satz. Die Variable hat dabei eine Doppelbedeutung: Einmal verbindet sie Quantor
und Prädikat über den offenen Satz. Zum anderen steht sie für die Elemente, die wir einer
Menge von Elementen entnehmen, um mit dem offenen Satz Aussagen zu bilden. Ein offener
Satz hat eine Extension.
Der durch einen Quantor ergänzte offene Satz ist ein abgeschlossener Satz. Ein
abgeschlossener Satz ist eine Aussage. Allerdings ist auch der Satz, auf den sich die
Quantoren beziehen - der sogenannte innere Satz -, wenn man ein Element des Universums
für den Platzhalter einsetzt, eine Aussage. Diese durch Einsetzen von Werten für x im
inneren Satz entstehende Aussage ist jedoch nicht gemeint, wenn wir vom abgeschlossenen
Satz sprechen. Denn die Quantifizierung ist eine Aussage über alle Aussagen, die sich mit
Hilfe von »x ist grün« bilden lassen. Sie sagt beim Existenzquantor: Es gibt unter den durch
Einsetzen entstehenden Aussagen wenigstens eine, die wahr ist. Oder beim Allquantor:
Durch Einsetzen entstehen ausschließlich wahre Sätze.
Damit bezieht die Prädikatenlogik sich auf Aussagesätze, will heißen auf den Inhalt von
Sätzen. Während die Aussagelogik unabhängig vom Inhalt nur den logischen Wert einer
Aussage betrachtet, widmet sich die Prädikatenlogik dem Inhalt der Sätze. Es wird ja
überprüft, ob es unter den Sätzen, für die »x ist grün« steht, wenigstens einen wahren gibt
oder womögliche alle wahr sind.
Anmerkung
Wie schon in der Aussagenlogik kann die Aussage als Feststellung gemeint sein, dass es
in der Extension von »grün« wenigstens ein Ding gibt bzw., dass die Extension alle
Dinge umfasst. Wieder ergibt sich die Unterscheidung nach Objekt- und Metasprache.
In einer anderen Lesart ordnet man dem offenen Satz die Dinge zu, die ihn nach Einsetzen
des Dings für den Platzhalter zu einer wahren Aussage machen. Hier wird der offene Satz φ
also als Prädikat betrachtet und dessen Extension { φ } bestimmt. Die Quantoren sind dann
Aussagen über diese Extension bzw. die entsprechende Menge: Entweder ist die Extension
des offenen Satzes, d.h. { x : φ ( x ) }, nicht leer. Oder seine Extension umfasst alle
möglichen Dinge, auf die sich der Satz beziehen kann.
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Schreibweise
Die Schreibweisen für Sätze der Prädikatenlogik erster Ordnung sind in der Literatur
unterschiedlich. Grundsätzlich sind aber zwei Formen in Gebrauch. Für »Es gibt ein x, das
grün ist« schreibt man:
∃ x : x ist grün
oder
∃ x ( x ist grün )
dh. der Quantor steht vor dem Prädikat und gibt neben der Art der Quantifierung an, welche
Variablen gebunden werden. Dabei ist die erste Schreibweise etwas kürzer. Dafür ist bei der
zweiten unmissverständlich klar, über welchen Geltungsbereich der Quantor sich erstreckt.
Diese Eindeutigkeit geht bei der ersten Schreibweise immer wieder verloren.
Beispiel
Der Ausdruck:
∃x:x>m∧m=5
kann entweder als:
(∃x:x>m)∧m=5
oder als
∃x:(x>m∧m=5)
gelesen werden.
Diese Mehrdeutigkeit gilt es zu vermeiden. Daher wählen wir die zweite Schreibweise, dh.
um den offenen Satz stehen immer Klammern und die Quantoren beziehen sich auf diesen
offenen Satz.
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Verknüpfungen von Prädikaten
Solange mit Hilfe von Quantoren nur Sätze über einzelne Prädikate gebildet werden, ist die
Bedeutung der jeweiligen Aussagen klar: Die beziehen sich auf dessen Extension. Treten im
inneren Satz aber mehrere Prädikate auf, geht die Klarheit mitunter verloren, obgleich die
Grundidee gleich bleibt. Nehmen wir die beiden offenen Sätze »x ist ein Mensch« und »x ist
sterblich«. Im ersten ist das Prädikat Mensch, im zweiten die Sterblichen. Beide inneren
Sätze werden durch Konjunktion zu einem weiteren inneren Satz, dem Satz »x ist ein
Mensch und x ist sterblich«. In ihm sind die beiden Prädikate miteinander durch das x in
Beziehung gesetzt. Wir haben also ein neues Prädikat, das die Menge aller Dinge meint, die
Menschen und zugleich sterblich sind. Nun sagt die Quantifizierung »∃ x ( x ist ein Mensch
und x ist sterblich )«, wenn man sie als Feststellung versteht, dass es etwas gibt, dass ein
Mensch ist und stirbt. Hier ist also im Grunde noch alles klar. Doch schon die Verwendung
des Allquantors macht die Sache unübersichtlich. Der Satz »∀ x ( x ist ein Mensch und x ist
sterblich )«, wiederum verstanden als Feststellung, besagt nämlich nun, dass die Extension
des inneren Satzes »x ist ein Mensch und x ist sterblich« sich über alle Dinge erstreckt: Alle
Dinge sind Menschen und sterblich. Man könnte auch sagen: Die Menge der Menschen und
die Menge der Sterblichen sind deckungsgleich; und beide stimmen mit allen Dingen
überein. Auch wenn die Behauptung sicherlicher falsch ist - jeder versteht schnell, was
gemeint ist.
Verbindet man die beiden Sätze aber durchs Konditional, entsteht der Satz »x ist ein Mensch
folgt x ist sterblich« und nun entsteht Verwirrung. Der innere Satz »x ist ein Mensch folgt x
ist sterblich« meint zunächst alle Dinge, bei denen das Konditional gilt. Das ist zum einen für
alle Menschen der Fall, die sterblich sind und zum anderen für alles, was kein Mensch ist.
Quantifiziert bedeutet damit »∃ x ( x ist ein Mensch folgt x ist sterblich )«, dass es einen
sterblichen Mensch gibt oder etwas, das kein Mensch ist. Für den Allquantor folgt hingegen
aus »∀ x ( x ist ein Mensch folgt x ist sterblich )«, dass für alle Dinge gilt, dass sie entweder
sterbliche Menschen sind oder keine Menschen. Der Bezug zu allen Dingen stiftet hier
Verwirrung. Zumal der Satz meist mit »Alle Menschen sind sterblich« übersetzt wird, was er
aber eben nicht nur sagt, auch wenn in der Essenz Menschen und Sterbliche verbunden
werden.
Wie schon beim letzten Beispiel erkennbar, können Quantoren als Verbindung von
Prädikaten gelesen werden. Die einfachsten Verbindungen von Prädikaten sind die
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kategorischen Sätze: Die universell bejahenden, die universell verneinenden, die partikulär
bejahenden und die partikulär verneinenden, kurz A, E, I und O. Für die beiden erstmal
nicht näher spezifizierten Prädikate φ und ψ ergeben sich dann:
A ist die Form »Alle φ sind ψ«.
E ist die Form »Kein φ ist ψ«.
I ist die Form »Einige φ sind ψ«.
O ist die Form »Einige φ sind nicht ψ«.
Oder etwas übersichtlicher:
universell partikulär
bejahend
A
I
verneinend
E
O
Beispiel
Den Satz »Es gibt einen Philosophen« schreibt man nun also:
∃x(φ(x))
dabei steht φ ( x ) für »x ist ein Philosoph«.
Formalisiert lautet der Satz »Alle Philosophen haben lange Haare«:
∀x(φ(x)→ψ(x))
Beide Sätze sind entweder wahr oder falsch. Ob sie wahr oder falsch sind, bekommt
man durch Untersuchung entweder aller Menschen oder aller Philosophen heraus.
Diese 4 Grundaussagen können mit Hilfe der Quantoren formuliert werden:
A-Urteil ∀ a ( φ ( a ) → ψ ( a ) )
E-Urteil ∀ a ( φ ( a ) → ¬ ψ ( a ) )
I-Urteil
∃a(φ(a)∧ψ(a))
O-Urteil ∃ a ( φ ( a ) ∧ ¬ ψ ( a ) )
Eine weitere Formulierungsweise basiert auf der Extension der Prädikate:
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A-Urteil { φ } ⊆ { ψ }
E-Urteil { φ } ∩ { ψ } = ∅
I-Urteil
{φ}∩{ψ}≠∅
O-Urteil { φ } ⊈ { ψ }
Syllogismen sind logische Verknüpfungen von zwei kategorischen Sätzen zu einem
kategorischen Satz. Nimmt man bei den Syllogismen nur die offene Sätze, dann ist deren
Extension etwas, das ein Prädikat meint, das die beiden Ausgangsprädikate in der
entsprechenden Weise verknüpft.
Endliche Objektmenge
Bei endlichen Extensionen können Quantoren und zugehöriger offener Satz explizit als
Verbindung von Aussagen gelesen werden. Der Allquantor entspricht einer Kette von
Konjunktionen, der Existenzquantor einer Kette von Adjunktionen. In beiden Fällen handelt
es bei der Wahrheitsfunktion um eine Kette von Sätzen, die mit den einzelnen Entitäten
gebildet werden. Wenn xi eine endliche Menge von Elementen bezeichnet, dann wird aus »∃
x : x ist grün« die Aussagenverknüpfung x1 ∨ x2 ∨ … xn und entsprechend aus ∀ x : x ist grün
die Aussagenverknüpfung x1 ∧ x2 ∧… xn.
Relative Prädikate
In der allgemeinen Prädikatenlogik gibt es zwei Erweiterungen, die aber im Grunde nur eine
sind: Prädikate werden mehrstellig und es sind verschachtelte Quantoren erlaubt. Den
Ausgangspunkt machen die sogenannten relativen oder auch mehrstelligen Prädikate,
die einzelne, sogenannte absolute Prädikate in Beziehung zueinander setzen. Die
Verschachtelung der Quantoren ergibt sich daraus zwangsläufig.
Beispiel
Das Prädikat Hauptstadt in »Hauptstadt von Israel« ist relativ, da er nur im
Zusammenhang mit Israel einen Sinn macht. Natürlich kann man sagen, dass es sich
um den Satz »∃ x ( x ist Hauptstadt )« oder um die Aussage »Jerusalem ist Hauptstadt«
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handelt. Aber der Bezug muss für das Prädikat im Satz »Hauptstadt von Israel«
hergestellt werden.
Relative Prädikate beziehen sich nicht mehr auf die Extension jeweils einzelner, sondern auf
die Extension von Paaren, Tripeln, Quadrupeln, etc., d.h. n-Tupeln von Elementen. Dabei ist
die Reihenfolge der Elemente in den Tupeln im gewissen Sinne zwar willkürlich, da wir zu
einer Beziehung auch eine Umkehrbeziehung bilden können. Aber in einem mehrstelligen
Prädikat ist die Reihenfolge festgelegt und nicht beliebig veränderbar.
Beispiel
Beim zweistellige Terminus Vater ist die Reihenfolge der Elemente explizit nicht
vertauschbar.
Sind die Prädikate einstellig, wird speziell von monadischen Prädikaten gesprochen. Die
0-stelligen Prädikate werden durch die Zeichen ⊤ und ⊥ symbolisiert und sind Konstanten.
Allgemein handelt es sich bei der auf Basis dieser Prädikate entwickelten Logik um die
Prädikatenlogik erster Ordnung. Oftmals wird von Quantorenlogik erster Ordnung
gesprochen. Sie ist von der Prädikatenlogik zweiter Ordnung zu unterscheiden, bei der
Variablen nicht nur auf Dinge, sondern auch auf Prädikate referieren. An Stelle von Ordnung
wird nicht selten Stufe gesagt, dh. von Prädikatenlogik erster Stufe gesprochen.
Anmerkung
Etwas missverständlich ist die Formulierung, die Prädikatenlogik erster Ordnung
würde sich nur mit Gegenständen, nicht aber mit Mengen beschäftigen. Daraus könnte
man schließen, dass Prädikate mit Variablen, die auf Mengen refererien, würden zur
Prädikatenlogik zweiter Ordnung gehören. So ist der begriffliche Unterschied aber
nicht gemeint: Tatsächlich geht es im einen Objektbereich � und die auf � gebildeten
Mengensysteme, zB. Funktionen. In der Prädikatenlogik erster Stufe referieren
Variablen ausnahmslos auf Objekte aus �, in der Prädikatenlogik zweiter Stufe
referieren sie ggf. auf Objekte aus zB. � → �. Die Formulierung, Variablen verweisen in
der Prädikatenlogik zweiter Ordnung auf Prädikate besagt im Grunde das gleiche, denn
Prädikate beschreiben ja Mengen auf der Basis einer Ausgangsmenge.
Die Umschreibungen monadischer Prädikate lassen sich auf mehrstellige Prädikate
übertragen. In einem Satz, der ein mehrstelliges Prädikat enthält, befinden sich mehrere
Variablen. Jede Variable kann an höchstens einen Quantor gebunden werden. Sind alle
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Variablen eines Satzes gebunden, ergeben sich abgeschlossene Sätze. Sind einige
Variablen ungebunden, ergeben sich offene Sätze. Ein offener Satz hat wie ein Terminus
eine Extension. Die ungebundenen Variablen heißen frei; die anderen gebunden.
Offene Sätze mit mehrstelligen Prädikaten führen durch die Quantifizierung zu offenen und
schließlich zu abgeschlossenen Sätzen mit mehr als einem Quantor. Diese Quantoren sind
ineinander verschachtelt. Und so wie die Reihenfolge der Elemente festgelegt ist, kann auch
die Folge der Quantoren nicht beliebig verändert werden. Die Quantoren sind im
allgemeinen nicht vertauschbar. Daher müssen sie entsprechend so gekennzeichnet werden,
dass Position und Zuordnung eindeutig sind.
Beispiel
Eine Funktion f heißt im Punkt x stetig falls:
∀ε∃δ∀ξ(|f(x)−f(ξ)|<ε→|x−ξ|<δ)
Syntax
Wie in der Aussagenlogik, lässt sich die Bildung von Sätzen unabhängig von ihrem
Wahrheitswert systematisieren. Dabei geht man rekursiv vor, bildet also zunächst eine
Ausgangsmenge von Sätzen und darauf aufbauend die Menge aller Sätze der
Prädikatenlogik erster Ordnung. Diese Sätze werden jetzt aber unabhängig von der
natürlichen Sprache gebildet, dh. die grundlegenden Sätze werden nicht mehr
ausformuliert, sondern nur noch über Kurzformen benannt.
Informell wird die Syntax der Sätze der uniformen Prädikatenlogik wie folgt induktiv
beschreiben: Im ersten Schritt werden die Zeichen, im zweiten elementaren Zeichenfolgen
und im dritten Schritt die Bildungsgesetze für weitere Sätze, sogenannte Formeln, definiert:
DEFINITION
Zeichensatz
Die Menge Σ der Zeichen, auch Symbole, der Prädikatenlogik erster Ordnung sind:
Eine Menge V von Variablennamen x, y, z,… bzw. x1, x2, x3, …
Eine Menge P von Namen für n-stellige Prädikate.
Die Wahrheitsfunktionen ¬, ∧, ∨, → und ↔.
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Die Wahrheitswerte ⊤ und ⊥.
Die Quantoren ∀ und ∃.
Klammer, Komma und Doppelpunkt als Hilfszeichen mit »(« und »)« zur Festlegung
des Vorrangs, »,« Trennung der Variablen in einer Parameterliste und »{« und »}« als
Mengenklammern im Rahmen der Anwendung der Quantoren.
Anmerkung
Die Menge der Variablen ist beliebig groß, aber abzählbar.
Die Sätze der Prädikatenlogik, also die Formeln, werden nun wie folgt beschrieben:
DEFINITION
Terme, Formeln
Geg. sei eine Menge Σ von Zeichen. Die Menge ℱ1 der Formeln der Prädikatenlogik
erster Ordnung ist rekursiv definiert:
Mit den Variablen x1,…,xn sind alle mehrstelligen Prädikat p ∈ P Formeln; geschrieben
p ( x1, …, xn ).
Die Wahrheitswerte ⊤ und ⊥ sind Formeln.
Mit der Variablen x und der Formel φ sind ∀ x ( φ ) und ∃ x ( φ ) Formeln.
Sind φ und ψ Formeln, dann auch φ ∧ ψ, φ ∨ ψ, ¬ φ, φ → ψ und φ ↔ ψ.
Anmerkung
Für die Prädikatenlogik erster Ordnung wird meistens zusätzlich die Menge F von
Funktionen eingeführt, die jeweils auf demselben Definitionsbereich, wie die Prädikate
erklärt sind. Ebenso wird die Identität als weitere Verknüpfung zwischen Formeln
zugelassen. Während die erste Erweiterung nur die Schreibweise erleichtert, führt die
Identität zu einer echten Erweiterung der Logik.
Anmerkung
Welche Prädikate Teil einer konkreten Prädikatenlogik erster Ordnung sind, das muss
festgelegt werden. Nur zur Definition werden Platzhalter für Prädikate verwendet. In
den Formeln treten also ausdrücklich keine Variablen für Prädikate auf. Insbesondere
wird über Prädikate nicht quantifiziert. Damit würde die Prädikatenlogik zweiter
Ordnung erreicht.
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Anmerkung
Die Symbole aus P und F haben nicht nur einen Namen, sondern zusätzlich eine
Information über die mögliche Stelligkeit der Objekte, auf die sie potentiell verweisen
können. Denn wir haben es im Gegenstands ganz allgemein mit Abbildungen �n → �
bzw. �n → � zu tun. Daher schreiben wir Pn bzw. Fn, falls die Stelligkeit explizit
angegeben werden soll.
Semantik
Werden die Formeln der Prädikatenlogik erster Ordnung auf einen Gegenstandsbereich
bezogen, nennt man diesen den semantischen Bereich Prädikatenlogik. Jetzt stehen Fragen
im Raum, welche Gegenstandsbereiche � man mit einem formalen System tatsächlich
beschreiben kann und man begibt sich in den Bereich der Modellierung, dh. der Zuordnung
von Aussagen zu Gegenständen bzw. von Aussagemengen zu Gegenstandsbereichen. Der
konkrete Gegenstandsbereich wird als Modell bezeichnet.
Bei der Definition der Semantik von Sätzen der Prädikatenlogik erster Ordnung wird im
Grund ähnlich vorgegangen, wie bei Aussageformen, dh. den Sätzen werden Abbildungen
zugeordnet, deren Definitionsbereich � sich aus den Gegenstandsbereichen der Prädikate
und deren Wertebereich sich zu � ergibt. Dabei wird die Zuordnung rekursiv entlang des
syntaktischen Aufbaus der Sätze entwickelt.
Interpretation
Für die Zuordnung dieser Prädikat- und Funktionsnamen zu konkreten Prädikaten und
Funktionen sorgt die sogenannte Interpretation:
DEFINITION
Interpretation
Geg. sei eine Menge von Sätzen, dh. Formeln der Prädikatenlogik erster Ordnung.
Eine Interpretation ℑ ist ein Paar ( �, ℑ0 ) mit � als Wertebereich und ℑ0 als
Zuordnung, die jedem f ∈ F0 und p ∈ P0 ein Element aus � bzw. � und jedem f ∈ Fn und
p ∈ Pn ein Element aus Dn → D bzw. �n → �.
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Anmerkung
Rein informationstechnisch gesprochen handelt es sich bei P und F um die innerhalb
eines Programms deklarierten Funktionen, die Werte eines booleschen bzw. sonstigen
Datentyps liefern. Die Interpretation ordnet diesen Elementen des Programms
Elemente des Programmspeichers zu. Man kann ℑ0 als Linker verstehen, mit der 0 als
Symbol für die grundlegende Interpretation.
Anmerkung
Entsprechend der üblichen Sprechweise, wird zwischen den Gegenstandsbereichen �
und � unterschieden. Es gibt also zum einen die logischen Werte und daneben die
Gegenstände. Diese Unterscheidung hat auf den ersten Blick etwas willkürliches, denn
in beiden Fällen handelt es sich um semantische Bereiche. Berücksichtigt man
allerdings das Besondere von Aussagen und Prädikatenlogik, also eben die Verknüpfung
von Logik und Dingen, dann wird die Unterscheidung verständlich. So gesehen ordnet
die Logik nicht nur Sätzen Bedeutung zu, sondern verknüpft zusätzlich zwei
semantische Bereiche: Die Logik und die Dinge.
Anmerkung
Im 0-stelligen Fall handelt es sich um die beiden Abbildungen T und F bzw. die
Konstanten aus �.
Weiter wird jeder Variablen durch die Abbildung σ : V → � ein Wert aus � zugeordnet. Dh.
zusätzlich zu den Abbildungen, die jedem Element aus P und F zugeordnet werden, müssen
auch die Werte d ∈ � der Variablen v ∈ V spezifiziert werden.
DEFINITION
Belegung
Geg. sei die Menge V der Variablen und � ein Wertebreich.
Die Abbildung σ, die jeder Variablen v einen Wert d ∈ � zuordnet, heißt
Belegungsfunktion; kurz Belegung (assignment). Σℑ oder kurz Σ ist die Menge aller
Belegungsfunktionen.
Der Operator / ist eine Abbildung Σ ⨯ V ⨯ � → Σ, die einer Variable einer Belegung
einen bestimmten Wert aus � zuordnet; statt / ( Σ, v, d) wird eine Art Infixschreibweise
σ ( v / d ) verwendet.
Anmerkung
Der Ausdruck σ ( x ) ergibt also einen der Variable x zugeordneten Wert aus �. Der
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Ausdruck σ ( y / 10 ) weist der Variablen y der Belegung σ den Wert 10, der Ausdruck
σ ( x / σ ( y ) ) der Variablen x der Belegung σ den Wert der Variablen y der Belegung σ
zu.
Anmerkung
Die Belegungsfunktion ist eine Interpretation für Variablen, also ebenfalls eine
Semantik.
Eine Semantik ℑ ergibt sich jetzt direkt aus Interpretation und Belegung. Die entscheidende
Erweiterung von ℑ gegenüber ℑ0 ist, dass ℑ0 sich allein auf Prädikate und Funktionen, die
Semantik ℑ sich dagegen auf beliebig komplexe Sätze der Prädikatenlogik und mögliche
Variablenbelegungen bezieht. Die Interpretation ordnet also nicht weiter zerlegbaren
Prädikaten und Funktionen entsprechende Abbildungen zu. Die Semantik beschreibt darauf
aufbauen die rekursive Zerlegung von Sätzen und ihre Auswertung für bestimmte
Belegungen.
DEFINITION
Semantik der Prädikatenlogik erster Ordnung
Die Semantik der Prädikatenlogik erster Ordnung ist eine Abbildung ℑ : ℱ ⨯ Σ → �, dh.
Terme, Formeln und Belegungen werden auf T oder F ∈ � abgebildet.
Terme:
(1)
ℑ ⟦ c ⟧ ( σ ) = ℑ0 ( c ) für Konstanten c.
(2)
ℑ ⟦ v ⟧ ( σ ) = σ( c )
(3)
ℑ ⟦ f ( t1, …, tn) ⟧ ( σ ) = ℑ0 ⟦ f ⟧ ( ℑ ⟦ t1 ⟧ ( σ ),…,ℑ ⟦ t1 ⟧ ( σ )) für Funktionen
für Variablen v.
f und Terme ti.
Formeln:
(4)
ℑ⟦⊤⟧(σ)=T
(5)
ℑ⟦⊥⟧(σ)=F
(6)
ℑ ⟦ p ( t1, …, tn) ⟧ ( σ ) = ℑ0 ⟦ p ⟧ ( ℑ ⟦ t1 ⟧ ( σ ), …, ℑ ⟦ t1 ⟧ ( σ ) )für Prädikate
p und Terme ti.
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{
T :ℑ ⟦ω⟧(σ)=⊥
F : sonst
(7)
ℑ⟦¬ω⟧(σ)=
(8)
ℑ ⟦ ω1 ∧ ω2 ⟧ ( σ ) =
{
(9)
ℑ⟦∀x(ω)⟧(σ)=
{
(10) ℑ ⟦ ∃ x ( ω ) ⟧ ( σ ) =
{
T :ℑ ⟦ω1 ⟧(σ )=⊤ ; ℑ⟦ω2⟧(σ)=⊤
F :sonst
T : für alle d ∈� , so dass ℑ ⟦ω⟧(σ[ x/ d])= T
F :sonst
T : es gibt ein d ∈�, so dass ℑ ⟦ω⟧(σ [x / d])=F
F :sonst
Anmerkung
Wie schon bei der Semantikfunktion ℑ der Aussagenlogik, schreiben wir an Stelle von
ℑ ( φ ) ( s ) den Ausdruck ℑ ⟦ φ ⟧ ( s ). Die doppelte Klammer deutet die
Anführungszeichen um einen Satz an.
Anmerkung
Insgesamt ist die Semantik der Prädikatenlogik erster Ordnung damit durch die
Mengen �, P, V, ℱ1 und die Abbildungen ℑ0, σ und ℑ erklärt.
Anmerkung
ℑ ist damit eine Abbildung der Menge ℱ1 aller Formeln und der Menge Σ aller
Wertebelegungen auf �, dh. ℑ : ℱ1 ⨯ Σ → �. Konkret für eine Formel φ: ℑ ( φ ) : Σ → �.
Da in aller Regeln eine Formel ausgewertet wird und in diesem Sinne das Kreuzprodukt
nicht im Vordergrund steht, wird an Stelle von ℑ ( φ, s ) meistens ℑ ( φ ) ( s )
geschrieben.
Anmerkung
Es ist hier wichtig, im Auge zu behalten, dass die Semantikfunktion zwar unabhängig
von den konkreten Prädikaten definiert wird, dass die Auswertung dann aber nur mit
den konkreten Prädikaten möglich ist. ℑ definiert damit für jede Interpretation ℑ0 und
jede Formel φ eine spezielle Abbildung �n → �. Gelegentlich wird ℑ daher als
Funktional oder auch als Operator bezeichnet.
Beispiel
Einfache Arithmetik mit F = { 0, 1, …, +, − } und P = { ≤ }. Der Gegenstandsbereich
ist ℕ, die Interpretation ℑ0 ergibt sich aus den entsprechenden Rechenregeln.
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Mit Hilfe der Semantik lassen sich die Begriffe erfüllbar, allgemeingültig und
widersprüchlich auch für Prädikate erklären. Dabei werden allerdings, anders als in der
Aussagenlogik, zwei Fälle unterschieden: Ist der Bereich der Interpretation von Bedeutung
oder ist er es nicht. Für den spezieller Fall, dass � zum Ausgangspunkt genommen wird,
sagt man:
DEFINITION
erfüllbar, allgemeingültig, widersprüchlich
Eine Formel φ ∈ ℱ1 heißt in einer Interpretation ℑ erfüllbar, wenn es eine
Variablenbelegung σ ∈ V → � gibt, für die ℑ ( φ ) ( σ ) wahr ist.
Eine Formel φ ∈ ℱ1 heißt in einer Interpretation ℑ allgemeingültig, oder auch gültig;
geschrieben ⊨ℑ φ, wenn φ für alle σ ∈ V → � erfüllt ist.
Eine Formel φ ∈ ℱ1 heißt in einer Interpretation ℑ widersprüchlich, wenn φ für kein
σ ∈ V → � erfüllbar ist; geschrieben ⊭ℑ φ.
Anmerkung
Die Begriffe sind also allesamt auf eine Ausgangsmenge � bezogen. Wir haben es bei φ
also mit Formel zu tun, die etwas über alle Elemente des Bereichs � aussagen, zB. über
die Menge aller natürlichen Zahlen.
All diese Charakterisierungen von Prädikaten lassen sich nun weiter verallgemeinern, indem
von einer konkreten Menge � abstrahiert wird:
DEFINITION
logisch allgemeingültig, logisch widersprüchlich
Eine Formel φ ∈ ℱ1 heißt in einer Interpretation ℑ logisch gültig; geschrieben ⊨ φ,
wenn φ für alle � erfüllt ist.
Eine Formel φ ∈ ℱ1 heißt in einer Interpretation ℑ logisch widersprüchlich;
geschrieben ⊭ φ, wenn φ für kein � erfüllbar ist.
Anmerkung
Die Begriffe allgemeingültig und widersprüchlich sind jetzt von der Semantik
unabhängig, daher die Bezeichnung logisch. Hier ergibt sich die Gültigkeit allein aus
der logischen Struktur des Satzes. In diesem Sinne handelt es sich um eine Tautologie
und ist von der Allgemein
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Da in den Formeln die Prädikate spezifiziert sind, dh. nur die Variablen können beliebige
Werte annehmen, ergibt sich aus der Erfüllbarkeit einer Formel eine Spezifizierung der
Variablen mit denen die Formel erfüllt ist. Und umgekehrt: Eine Menge von Variablenwerten
kann eine Menge von Formeln spezifizieren, die mit dieser speziellen Variablenbelegung
allgemeingültig sind.
Mit Hilfe des Begriffs der Erfüllbarkeit wird nun die Modellbildung beschrieben. Dabei wird
im gewissen Sinne die Blickrichtung umgedreht. Nicht mehr die Formeln werden
charakterisiert, sondern die Menge der Interpretationen ℑ, die zu einer Formelmenge
passen.
DEFINITION
Modell
Eine Interpretation ℑ heißt ein Modell für eine Menge ℱ von Formeln, falls alle Sätze
aus ℱ mit der Interpretation ℑ gültig sind; formal:
∀ w [ w ∈ ℱ → ⊨ℑ w ]
Anmerkung
Die Menge der zum Modell passenden Formeln sind im gewissen Sinne Beschreibungen
der jeweiligen Geltungsbereiche. Sie geben den formeln Rahmen vor, in dem sich die
Elemente des Geltungsbreichs bewegen.
Anmerkung
Ausdrücklich ist die Interpretation das Modell und nicht der Gegenstandsbereich.
Entscheidend ist der nächste Punkt bzw. die folgende Frage: Können Formeln aus
bestehenden Formelmengen so abgeleitet werden, dass sie unter allen Interpretationen
gültig bleiben? Wir sagen kurz: Kann eine Formel w rein logisch, also ohne Bezug zu
irgendwelchen Gegenständen, abgeleitet werden? Oder noch anders: Ist w eine logische
Konsequenz aus den Formeln von W.
DEFINITION
logische Konsequenz
Eine Formel w heißt eine logisch Konsequenz aus einer Formelmenge W; geschrieben
W ⊨ w, falls w in jedem Modell � von W gültig ist, dh. ⊨ℑw.
Anmerkung
w ist also dann logisch gültig, wenn alle v ∈ W logisch gültig sind.