Verallgemeinerung des Lieb`schen Variationsprinzips

Verallgemeinerung des Lieb’schen Variationsprinzips
Verallgemeinerung des Lieb’schen
Variationsprinzips
gemeinsame Arbeit mit V. Bach, S. Breteaux und E. Menge
Hans Konrad Knörr
LG Angewandte Stochastik
FernUniversität in Hagen
Ghiffa, 25. September 2014
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Verallgemeinerung des Lieb’schen Variationsprinzips
Inhalt
Quantenmechanik von Vielteilchensystemen
Lieb’sches Variationsprinzip für Bogoliubov–Hartree–Fock–Theorie
Beweis des Theorems
Zusammenfassung
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Verallgemeinerung des Lieb’schen Variationsprinzips
Quantenmechanik von Vielteilchensystemen
Wellenfunktionen
I
Die Arena der Quantenmechanik ist der Hilbertraum H.
I
Ein (normiertes) Element f des Hilbertraums wird als
Wellenfunktion bezeichnet.
I
Skalarprodukt h·, ·i
I
Beispiel: L2 (R3 ; C) mit hf, gi :=
R
R3
d3 x f (x)g(x)
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Verallgemeinerung des Lieb’schen Variationsprinzips
Quantenmechanik von Vielteilchensystemen
Observablen und Zustände
I
Die Observablen sind selbstadjungierte Operatoren auf H und
repräsentieren physikalisch messbare Größen.
I
Zustände werden dargestellt durch selbstadjungierte
Operatoren ρ auf H mit ρ ≥ 0, tr(ρ) = 1, die sogenannten
Dichtematrizen (DM). Sie beschreiben die inneren
Freiheitsgrade des Systems.
I
Der Erwartungswert der Observablen A im Zustand ρ ist
gegeben durch tr(ρ A).
I
ρ heißt rein, falls ρ = Pf ist, d.h. die Projektion auf den von
der Wellenfunktion f aufgespannten Unterraum.
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Verallgemeinerung des Lieb’schen Variationsprinzips
Quantenmechanik von Vielteilchensystemen
Energie
Eine besondere Bedeutung hat der Hamiltonoperator H.
I
e−iHt ist der Generator der Zeitentwicklung.
I
Er repräsentiert die Energie des Systems; sein Spektrum σ(H)
entspricht der Menge der möglichen Energiewerte.
I
Nach dem Rayleigh–Ritz’schen Variationsprinzip gilt für die
Grundzustandsenergie
Egs := inf{σ(H)} = inf{tr(ρH)| ρ ist DM} .
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Quantenmechanik von Vielteilchensystemen
Beispiele
I
ein Teilchen mit externem Potential U :
~2
∆ + U (x) auf L2 (R3 ; C)
H = − 2m
I
Molekül mit N Elektronen und K Kernen mit Kernladung Zk
an festen Positionen Rk :
H
(N )
:=
N
X
i=1
K
X gZk
~2
∆i −
−
2m
|xi − Rk |
k=1
!
+
X
1≤i<j≤N
g
|xi − xj |
auf L2− (R3N ; C) ⊂ L2 (R3N ; C).
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Quantenmechanik von Vielteilchensystemen
Zweite Quantisierung
Quantenstatistik
I
Quantenmechanische Teilchen wie z.B. Elektronen sind
ununterscheidbar, d.h.:
für eine Vielteilchenwellenfunktion mit N Teilchen an
Positionen x1 , . . . , xN gilt
fN (x1 , . . . , xN ) = (±1)τ fN (xτ (1) , . . . , xτ (N ) )
für jede Permutation τ ∈ SN .
I
Teilchen mit symmetrischer Wellenfunktion heißen Bosonen,
solche mit antisymmetrischer Wellenfunktion Fermionen.
I
Hier und im Folgenden ist jeweils das obere Vorzeichen für
Bosonen und das untere für Fermionen gültig.
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Quantenmechanik von Vielteilchensystemen
Zweite Quantisierung
Fockraum
Der symmetrische bzw. antisymmetrische Fockraum ist
F
±
:=
∞
M
± ⊗N
SN
H
,
S0± H⊗0 := C ,
S1± H⊗1 := H .
N =0
Jedes Element ist von der Form Ψ = (f0 , f1 , f2 , . . . ) mit
± ⊗N
fN ∈ SN
H . Ω := (1, 0, 0, . . . ) heißt Vakuum.
Hier ist durch
± (1)
SN
(g ⊗ · · · ⊗ g (N ) ) :=
1 X
(±1)τ g (τ (1)) ⊗ · · · ⊗ g (τ (N ))
N!
τ ∈SN
der (Anti-) Symmetrisierungsoperator gegeben, g (k) ∈ H, N ≥ 2.
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Verallgemeinerung des Lieb’schen Variationsprinzips
Quantenmechanik von Vielteilchensystemen
Zweite Quantisierung
Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
Auf F ± sind Erzeugungsoperatoren a∗ (f ) und
Vernichtungsoperatoren a(f ), f ∈ H, gegeben durch
a(f )Ω = 0 ,
a∗ (f )Ω = f ,
√
±
a∗ (f )fN = N ! SN
+1 (f ⊗ fN ) ,
√
a(f )fN =
N!
N
X
(n)
±
(±1)n+1 hf, fN i SN
−1
n=1
O
(i)
fN
.
i6=n
Es ist a∗ (f ) = (a(f ))∗ . Weiters gelten die kanonischen
(Anti-)Vertauschungsrelationen
a(f )a∗ (g) ∓ a∗ (g)a(f ) = hg, f i ,
a(f )a(g) ∓ a(g)a(f ) = 0 .
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Quantenmechanik von Vielteilchensystemen
Reduzierte Dichtematrizen und quasifreie Dichtematrix
Erstes Moment und Einteilchendichtematrix
Für eine Dichtematrix ρ auf F ± definieren wir ihr erstes Moment
bρ ∈ H durch
hf, bρ i := tr ρ a(f )
∀f ∈ H .
Ihre Einteilchendichtematrix (1-pdm) γρ ist definiert durch
hf, γρ gi := tr(ρ a∗ (g)a(f ))
und der Operator αρ durch
hf, αρ gi := tr(ρ a(g)a(f )) ,
f, g ∈ H.
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Quantenmechanik von Vielteilchensystemen
Reduzierte Dichtematrizen und quasifreie Dichtematrix
Verallg. Einteilchendichtematrix
Die zu ρ gehörige verallgemeinerte Einteilchendichtematrix ist
γρ
αρ
γ
eρ :=
.
αρ∗ 1 ± γ ρ
I
γ
eρ ist ein positiv semidefiniter Operator auf H ⊕ H. Für
Fermionen gilt ferner γ
eρ ≤ 1.
I
γρ ist ein positiv semidefiniter Spurklasseoperator auf H,
tr(γρ ) < ∞ ist gleich dem Teilchenzahlerwartungswert und
γρ ≤ 1 für Fermionen.
I
αρ ist symmetrisch für Bosonen und antisymmetrisch für
Fermionen: αρT = ±αρ .
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Quantenmechanik von Vielteilchensystemen
Reduzierte Dichtematrizen und quasifreie Dichtematrix
Quasifreie Dichtematrix
I
Eine Dichtematrix ρ auf F ± wird quasifrei genannt, falls sie
eindeutig durch ihr erstes Moment bρ und ihre
verallgemeinerte 1-pdm γ
eρ charakterisiert ist.
I
Für Fermionen schränken wir ein, dass Erwartungswerte von
Termen, die eine ungerade Anzahl an Operatoren
{a∗ (f ), a(f )}f ∈H enthalten, verschwinden. Insbesondere ist
bρ = 0, d.h. fermionische Dichtematrizen sind zentriert.
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Lieb’sches Variationsprinzip für Bogoliubov–Hartree–Fock–Theorie
Bogoliubov–Hartree–Fock–Energie
Sei H der Hamiltonoperator auf F ± , der nicht notwendig
teilchenzahlerhaltend ist. Seine Grundzustandsenergie wird
angenähert durch die Bogoliubov–Hartree–Fock–Energie1
EBHF := inf{tr(ρH)| ρ ist quasifreie DM}.
Nach dem Rayleigh–Ritz–Prinzip ist dies eine obere Schranke an
die Grundzustandsenergie.
Beachte, dass für Fermionen immer noch tr(ρa(f )) = 0 gilt,
während für Bosonen i. Allg. tr(ρa(f )) 6= 0.
1
Bach, Lieb, Solovej 1994; Solovej 2006, 2007; Nam 2011
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Lieb’sches Variationsprinzip für Bogoliubov–Hartree–Fock–Theorie
Lieb’sches Variationsprinzip für
Bogoliubov–Hartree–Fock–Theorie
Theorem
Sei H ein nach unten beschränkter Hamiltonoperator auf F ± .
Dann gilt
rein
.
EBHF = inf tr(ρH) ρ ist reine quasifreie DM =: EBHF
I
I
I
I
Lieb 1981: Fermionensysteme mit rein abstoßender
Paarwechselwirkung
Bach, Breteaux, Tzaneteas 2013: Pauli–Fierz–Modell
Der Satz gilt für Bosonen und Fermionen bei beliebiger“
”
Wechselwirkung.
Der Hamiltonoperator muss nicht teilchenzahlerhaltend sein,
für Fermionen aber gerade in {a∗ (f ), a(f )}f ∈H .
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Lieb’sches Variationsprinzip für Bogoliubov–Hartree–Fock–Theorie
Beweis des Theorems
Beweisskizze (nur für Bosonen)
I
Es genügt, die Aussage für positiv semidefinite
Hamiltonoperatoren zu zeigen.
I
rein
EBHF ≤ EBHF
I
Da H ≥ 0 und ρ = κκ∗ ≥ 0, ist
⇒
rein
Wir zeigen: tr(ρH) ≥ EBHF
X
1
1
1
1
hκ∗ H 2 Ψk , κ∗ H 2 Ψk i ,
tr(ρH) = tr H 2 κκ∗ H 2 =
k
wobei {Ψk }k eine vollständige Orthonormalbasis von F +
bezeichnet.
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Lieb’sches Variationsprinzip für Bogoliubov–Hartree–Fock–Theorie
Beweis des Theorems
Zerlegung der Eins
Sei (Hn )n eine aufsteigende Folge von n-dimensionalen
Hilberträumen. Es gilt: Hn ∼
= Cn . Dann gibt
Z
hΨ,Ψi = lim
|hΨ, Φz i|2 dµn (z)
n→∞ H
n
eine Zerlegung der Eins in kohärente Zustände
kzk2
⊗2
Φz = e− 2 (1, z, z√2! , . . . ) ∈ F + , z ∈ Hn . Beachte, dass
kohärente Zustände insbesondere rein und quasifrei (gemäß obiger
Definition) sind.
Somit haben wir:
∗
1
2
∗
1
2
Z
hκ H Ψk , κ H Ψk i = lim
n→∞ H
n
2
∗ 12
hκ H Ψk , Φz i dµn (z) .
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Lieb’sches Variationsprinzip für Bogoliubov–Hartree–Fock–Theorie
Beweis des Theorems
Wir haben bisher gezeigt:
tr(ρH) =
X
k
I
Z
lim
n→∞ H
n
1
2
2
hH Ψk , κΦz i dµn (z) .
Die k-Summation wird nach innen gezogen und ausgeführt:
Z
tr(ρH) = lim
hκΦz , H κΦz idµn (z) .
n→∞ H
n
I
κΦz definiert einen quasifreien Zustand, sodass
rein
hκΦz , HκΦz i ≥ EBHF
kκΦz k22 .
I
Damit:
R
2
rein lim
rein
tr(ρH) ≥ EBHF
n→∞ Hn kκΦz k2 dµn (z) = EBHF .
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Verallgemeinerung des Lieb’schen Variationsprinzips
Zusammenfassung
Zusammenfassung
I
Beweis einer Verallgemeinerung des Lieb’schen
Variationsprinzips
I
für Bosonen: Einführung des Begriffes der Quasifreiheit“ für
”
allgemeinere Systeme
I
Verallgemeinerung der Hartree–Fock–Theorie
Offene Fragen:
I
Unter welchen Voraussetzungen existiert ein reiner quasifreier
Minimierer?
I
Gibt es eine einfache Klassifikation der verallgemeinerten
1-pdm reiner quasifreier Dichtematrizen?
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