Christoph Vogelsang Nils Martin Stahl Matr.Nr. 6265347 Matr.Nr. 6263224 Seminar: Geometrie Dozent: Epkenhans Wintersemester 2005/2006 Erste Schnittpunktsätze und Anfänge einer Dreiecksgeometrie Ausarbeitung der Paragraphen 2 bis 4 des 2.Kapitels in „Ebene Geometrie“ von Koecher/Krieg S. 60 -74 Der Übersichtlichkeit halber führen wir die Nummerierung unserer Vorgängergruppe fort. §7 Erste Schnittpunktsätze Worum geht’s? - Betrachtung schon bekannter Schnittpunktsätze in der Koordinatenebene über einem Körper K - Satz von Pascal & Allgemeiner Satz von Desargues als weitere Schnittpunktsätze Satz 1 (Einfacher Strahlensatz) Seien ! a,b " K linear unabhängig und seien ", # , $ ,% & K /{0} . Folgende Aussagen sind äquivalent: ! (i) (ii) Die Verbindungsgeraden "a # $b und "a # $b sind parallel. ! Es gilt "# = $% Beweis: Es sind ! ! H := "a # $b = "a + K("a % $b) und ! G := "a # $b = "a + K("a % $b) . Nach Satz 2.8. gilt H G genau dann, wenn "a # $b und "a # $b linear abhängig sind, also wenn gilt det("a # $b, %a # &b) = 0 . ! " a1 % " b1 % Seien!nun a = $ ' und b = $ ' mit a1,a2 ,b1,b2 " K . #b2 & ! ! ! # a2 & Dann!gilt det("a # $b, %a # &b) ! ' * ! != det) "a1 # $b1 %a1 # &b1 , ("a2 # $b2 %a2 # &b2 + = "a1%a2 # "a1&b2 # $b1%a2 + $b1&b2 # %a1"a2 + %a1$b2 + &b1"a2 # $b2&b1 = a1b2 (%$ # "& ) # a2b1 ($% # &" ) = (%$ # "& )(a1b2 # b1a2 ) = (%$ # "& )det(a,b) ! ! ! Setze nun " " ! " ! ! ! ! det("a # $b, %a # &b) = 0 ("# $ %& )det(a,b) = 0 "# $ %& = 0 , da a,b linear unabhängig sind, ist det(a,b) " 0 . "# = $% ! Abb.1: Einfacher Strahlensatz ! Abb. 2: Allgemeiner Strahlensatz Satz 2 (Allgemeiner Strahlensatz) Seien a,b,c,d " K paarweise verschieden und nicht-kollinear, wobei p := (a " b) # (c " d) existiert. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (i) (ii) ! Die Verbindungsgeraden a " c und b " d sind parallel. ! p) und d " p = #(c " p) . Es existiert ein " # K mit b " p = #(a " Beweis: ! ! Die Aussagen (i) und (ii) sind nach Lemma 5.4 invariant unter affinen Abbildungen. ! ! ! Einschränkungen Wir nehmen daher ohne an p = 0 , verschieben die Situation also in den Ursprung. Wende nun den einfachen Strahlensatz an. (i) " (ii) Gesucht ist ein " # K mit ! ! b " 0 =!#(a " 0) $ b = #a und d " 0 = #(c " 0) $ d = #c . Da a,b und c,d kollinear sind, existieren ", # $ K mit b = "a und d = "c . Betrachte nun 1a "1c b " d = #a " $c . ! ! Nach Satz 1 folgt nun ! 1" = #1 $ # = " . Setze " = # . (ii) " (i) ! ! ! ! ! Es existiert ein " # K mit 1b = "a und ! 1d = "c . ! ! Betrachte nun 1a "1c und b " d = #a " #c . Da hierbei gilt 1" = "1 folgt mit Satz 1 a " c b " d . ! ! ! Bemerkung 3 ! ! Mit Hilfe des Einfachen Strahlensatzes lassen sich auch die schon bekannten Sätze von ! Desargues ! und Pappus in der Koordinatenebene über K beweisen. Die Beweisstrukturen sind ähnlich der Beweisstruktur von Satz 2. Satz 4 (Satz von Pascal) !seien a,a",a"" # F /G und b,b",b"" # G /F Seien F,G zwei nicht-parallele Geraden und paarweise verschiedene Punkte so, dass die folgenden Schnittpunkte existieren. p := (a " b#) $ (a#" b) q := (a#" b##) $ (a##" b#) ! ! ! r := (a " b##) $ (a##" b) Dann liegen p,q und r auf einer Geraden. ! ! ! Abb. 3: Satz von Pascal Beweis: Die Behauptung und die Voraussetzungen sind nach Lemma 5.4 invariant unter affinen Abbildungen. Insbesondere bilden affine Abbildungen Geraden auf Geraden ab. Daher sei ohne Einschränkungen F " G = 0 . Dann sind a,b " K 2 linear unabhängig und es existieren ", # , $ ,% & K mit a" = #a , a"" = #a , b" = #b und b"" = #b . Es gilt (" , #, $ ,% ) ! & (0,0,0,0) , ansonsten wären a,a",a"",b,b",b"" nicht paarweise verschieden. ! ! ! ! ! ! ! ! Mit Hilfe der Schnittpunktformel erhält man folgende Gleichung ! ! 1 p = ("a # b) $ (a # %b) = ("% (1a + 1b) &1'1("a + %b)) "% &1'1 (1) 1 1 = ("% (a + b) & ("a + %b)) = ("%u & v) "% &1 "% &1 Hierbei setze u := a + b und v := "a + #b . Analog erhält man mit w := "a + #b folgende Gleichungen. 1 ! q= ("#v $ %&w) und (2) ! !"# $ %& 1 !r = (w " #$u) (3) 1" #$ Forme ! Gleichung (1) nun um. 1 p= ("#u $ v) "# $1 ! " p("# $1) = "#u $ v (1´) " "# ($% &1) p = $%u"# & v"# ! analoge Schritte gelangt man von (2) zu (2´) und von (3) zu (3´). Durch ! ! (2´) ("# $ %& )q = "#v $ %&w (3´) "# (1$ %& )r = w"# $ %&u"# Addiere nun (1´), (2´) und (3´) und zwar jeweils die linke und die rechte Seite. ! Man erhält ! &1) p + ("# & $% )q + $% (1& "# )r = $%u"# & v"# + "#v & $%w + w$% & "#u$% = 0 . "# ($% ! ! Dies ist eine Linearkombination von p,q und r , die Null ergibt. Betrachte nun die Summe der Koeffizienten. "# ($% &1) + ("# & $% ) + $% (1& "# ) = "#$% & "# + "# & $% + $% & $%"# = 0 ! Bleibt zu zeigen, dass jeder!Koeffizient nicht gleich Null ist. Zeige hierzu "# $ 1, da sonst "# ($% &1) = 0 . Annahme: "# = 1. Es folgt, dass gilt " = # = ±1. Daraus folgt a = a" und b = b". Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung a,a",b,b" sind paarweise verschieden. Es folgt "# $ 1. Zeige analog "# $ 1. ! ! Damit sind alle Voraussetzungen für die Anwendung!des Korollars ! 2.5 erfüllt, aus dem ! ! nun direkt folgt: p,q und r sind kollinear. ! ! ! ! ! Satz 5 (Allgemeiner Satz von Desargues) Seien a,b,c " K 2 und a",b",c" # K 2 paarweise verschiedene, nicht-kollineare Punkte so, dass die folgenden Schnittpunkte existieren. p := (a " b) # (a$" b$) q := (b " c) # (b$" c$) ! ! r := (c " a) # (c$" a$) Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. (i) (ii) Die Verbindungsgeraden a " a# , b " b# und c " c# sind entweder parallel ! oder schneiden sich in einem Punkt. Die Schnittpunkte p,q und r liegen auf einer Geraden. ! ! ! ! ! Abb. 4: Allgemeiner Satz von Desargues Beweis: Ohne Beweis. Siehe Koecher/Krieg S.66f §8 Anfänge einer Dreiecksgeometrie Für das gesamte Kapitel wird vorausgesetzt: K ist ein Körper mit charK = 0 . Definition 1 Ein geordnetes Tripel a,b,c " K 2 heißt Dreieck, wenn die Eckpunkte a,b,c nicht kollinear ! ! sind. Wenn also gilt [ a,b,c ] " 0 . Die Geraden a " b , b " c und a " c heißen Seiten des Dreiecks a,b,c . ! Bemerkungen 2 (1) ! ! ! (2) (3) ! (4) ! Mit a,b,c sind alle daraus durch Permutation entstehende Tripel ! ! ebenfalls Dreiecke. 2 Die Menge der Dreiecke im K ist gegenüber affinen Abbildungen invariant. Zu zwei Dreiecken a,b,c " K 2 und a",b",c" # K 2 existiert genau eine affine Abbildung f mit f (a) = a" , f (b) = b" und f (c) = c" . ! 1 1 1 Die Punkte a" = (b + c) , b" = (a + c) und c" = (a + b) heißen 2 2 ! ! 2 2 Seitenmitten des Dreiecks a,b,c " K . ! ! ! ! Das Tripel a",b",c" # K 2 bildet wieder ein Dreieck, das so genannte Mittendreieck von a,b,c " K 2 . ! ! ! ! ! ! Abb.5 Mittendreieck Beweisskizzen: Zu (2): Zu (3): Zu (4) ! Sei f " Aff (K 2 ) beliebig mit x " f (x) := Mx + q . Nach 5.1 gilt [ f (a), f (b), f (c)] = det M [ a,b,c ] . folgt direkt aus Lemma 5.3. 1 :Durch Nachrechnen!ergibt sich [ a",b",c"] = [ a,b,c ] . 4 ! ! Definition 3 Sei a,b,c " K 2 ein Dreieck, Die Verbindungsgerade eines Eckpunktes mit der „gegenüberliegenden“ Seitenmitte des Dreiecks heißt Seitenhalbierende. Die Seitenhalbierenden sind folgende Geraden: Sa := G 1 = Ga,b +c"2a a, (b +c )"a 2 ! Sb := G Sc := G 1 b, (a +c )"b 2 1 c, (a +b )"c 2 = Gb,a +c"2b = Gc,a +b"2c Satz 4 (Schwerpunktsatz) In jedem Dreieck a,b,c " K 2 schneiden sich die drei Seitenhalbierenden in genau einem 1! Punkt s mit s := (a + b + c) . s heißt Schwerpunkt des Dreiecks a,b,c " K 2 . 3 ! ! ! ! ! Abb. 6 Schwerpunktsatz Beweis: Alle Punkte der Geraden Sa haben die Form a + " (b + c # 2a) mit " # K . 1 1 1 1 2 1 Wähle nun " = . s = a + (b + c " 2a) = a + b + c " a = (a + b + c) = s . 3 3 3 3 3 3 Hieraus folgt s " Sa . Durch analoge Wahl von " für die! Geraden Sb und Sc ergibt ! ! sich: s " Sa und s " Sb . ! ! ! ! ! Zeige nun die Eindeutigkeit. ! ! ! ! Hierzu zeigen wir, dass Sa ,Sb und S c paarweise verschieden sind. ! ! Annahme: Sei Sa = Sb . Es folgt b " Sa und es existiert ein " # K /{0} mit b = a + " (b + c # 2a) . " 0 = a " b + # (b + c " 2a) = a " b + #b + #c " 2#a = (1" 2# )a + (# "1)b " #c ! ! Dies ist eine Linearkombination von a,b und c, die Null ergibt, ! nun die Summe ! der Koeffizienten. ! Betrachte (1" 2# ) + (# "1) + # = 0 Wegen " # 0 gilt auch (1" 2#,# "1,# ) $ (0,0,0) . ! Damit sind alle Voraussetzungen für die Anwendung von Korollar 2.5 erfüllt und es folgt: a,b und c sind kollinear. ! Dies ist aber ein Widerspruch zu der Voraussetzung a,b,c " K 2 ist ein Dreieck. ! ! Daher gilt b " Sa # Sa $ Sb . Analog ! zeigt man Sa " Sc und Sb " Sc . ! ! ! ! ! Lemma 5 (Dreieckskoordinaten) Sei a,b,c " K 2 ein Dreieck. Dann existieren zu jedem x " K 2 eindeutig bestimmte ", # , $ % K , für die folgende Aussagen gelten. (i) (ii) ! ! x = "a + #b + $c ! " + # + $ =1 [ x,b,c ] , " = [a, x,c ] und " = [a,b, x ] "= [a,b,c ] [a,b,c ] [a,b,c ] (iii) ! ! Beweis: (1) Existenz: ! Eine ! solche Darstellung von x mit! (i) und (ii) existiert nach Lemma 5. (2) Eindeutigkeit: Seien " #, $ #, % # & K mit x = " #a + $ #b + % #c und " # + $ # + % # = 1. Subtrahiere hiervon!(ii) und es ergibt sich: 0 = (" # $ " )a + (% # $ % )b + (& # $ & )c Da a,b,c nicht kollinear sind, folgt mit 2.5 " # $ " = 0 % " # = " . ! Analog ergibt!sich " # = " und " # = " .! ! Das Tripel (" , #, $ ) mit den Nebenbedingungen (i) und (ii) heißt die auf das Dreieck ! ! 2 a,b,c " K bezogenen Dreieckskoordinaten beziehungsweise baryzentrischen Koordinaten ! ! des Punktes x " K 2 . ! Beispiel 6 (Geradengleichung in Dreieckskoordinaten) Sei a,b,c " K 2 ein Dreieck. ! Die Punkte einer beliebigen Geraden q(" ) erhält man in der Form q(" ) := (#" + # )a + ($" + $ )b + (%" + % )c mit " # K und den Nebenbedingungen ! ! a) b) ! " + # + $ =1 ! " + # + $ = 0 , wobei!(" , #, $ ) % (0,0,0) q(" ) = Gu, p mit u := "a + #b + $c und p := " a + #b + $c . Dabei gilt ! Da a,b,c nicht ! kollinear sind und ! wegen der Nebenbedingung b) gilt p " 0 . ! ! ! ! ! Literatur: Koecher, Max / Krieg, Aloys: Ebene Geometrie. Berlin/Heidelberg/New York: Springer (2. Aufl.) 2000, S. 60 -74