Algorithmische Geometrie II, SS 05 ¨Ubungsblatt

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Algorithmische Geometrie II, SS 05
Übungsblatt 10
Universität Bonn, Institut für Informatik I
i i = 1,...,5 bei den Aufgaben sind ein Maß für den SchwieDie Ziffern ,
1 für ’leicht’
rigkeitsgrad der jeweiligen Aufgabe bzw. Teilaufgabe, mit 5 für ’schwer’.
und Aufgabe 1:
1 , 2 , 4 , 5
Produkt von Mengensystemen Gegeben seien zwei endliche Mengensysteme Σ1 = (X1 , F1 ), Σ2 = (X2 , F2 ). Das
Produktmengensystem Σ = (X, F ) ist definiert als Σ := Σ1 ⊗ Σ2 := (X1 × X2 , F ),
wobei F aus genau den Mengen F ⊆ X1 × X2 besteht, für deren ’Schnitte’ gilt:
Tx12 := {x ∈ X1 |(x, x2 ) ∈ T } ∈ F1 und Tx21 := {x ∈ X2 |(x, x1 ) ∈ T } ∈ F2
a) Illustrieren Sie zunächst diese Definition, indem Sie eine einfache, aussagekräftige Skizze für Σ = Σ1 ⊗Σ2 mit X1 = , X2 = und ’geeigneten’ F1 , F2 erstellen.
Ê
Ê
b) Zur weiteren Illustration wenden Sie die Definition nun bitte auf folgendes Beispiel an: Sei Σ1 das Mengensystem, das von n blauen Geraden und der Menge
aller Liniensegmente im 2 induziert wird, wobei die Elemente der Mengenfamilie aus Geraden bestehen, die von einem gegebenen Liniensegment geschnitten
werden. Σ2 sei völlig analog in Rot definiert.
Ê
Also: Was sind nun — in unserer gewohnten Sprechweise — X1 , X2 , F1 , F2 ?
Wie sieht das Produktmengensystem Σ1 ⊗ Σ2 aus? Erklären und zeichnen Sie!
c) Beweisen Sie folgende Aussage:
Für gegebenes 0 ≤ εi ≤ 1 sei Yi eine εi -Approximation für Σi = (Xi , Fi), mit
i = 1, 2. Dann ist das kartesische Produkt Y1 × Y2 eine (ε1 + ε2 )-Approximation
für Σ1 ⊗ Σ2 .
d) Die Aussage aus Teil c) lässt sich leicht wie folgt verallgemeinern: Sei Y eine
ε-Approximation für das Mengensystem Σ, dann ist das d-fache kartesische Produkt Y × · · · × Y eine (dε)-Approximation für das d-fache Produkt Σ ⊗ · · · ⊗ Σ.
Wenden Sie diese Aussage nun an, um die folgende Behauptung zu beweisen!
Ê
Gegeben sei eine Menge H von Hyperebenen in allgemeiner Lage im d . Jede Menge F ∈ F sei eine Teilmenge von Hyperebenen aus H, die von einem
(beliebigen) Liniensegment geschnitten werden. Sei die Menge C ⊆ k , k ≤ d
konvex und V (H, C) die Menge der ’Knoten’ von H, die in C liegen. Y sei eine
ε-Approximation für Σ = (H, F ). Dann gilt für jede konvexe Menge C
Ê
|V (H, C)|
|H|k
|V (Y, C)| −
≤ε.
|Y |k 1
Aufgabe 2:
1 , 5
Wdh: ε -Approximationen und V C-Dimension Betrachten wir folgendes Lemma (ohne Beweis):
Sei X eine Menge von n = 2k Punkten, F ein Mengensystem auf X mit V Cdim(F ) ≤
d, und sei r ≥ 2. Dann gibt es eine 1r -Approximation für (X, F ), deren Größe höchstens
C(d)r 2 log r beträgt.
In Worten bedeutet dies: Für Mengensysteme mit beschränkter V C-Dimension gibt
es kleine 1r -Approximationen.
a) In der Vorlesung haben Sie ein ähnliches Theorem (Alon, Spencer) kennen gelernt. Worin liegen die (relevanten) Unterschiede der beiden Aussagen?
b) Zeigen Sie, dass die Umkehrung der obigen Aussage nicht gilt! D.h. geben Sie ein
Beispiel für ein Mengensystem an, für das eine kleine 1r -Approximation existiert,
obwohl seine V C-Dimension unbeschränkt ist.
Hinweis: Betrachten Sie dazu eine Menge von Geraden und ihre Schnittpunkte
in einer konvexen Teilmenge des 2 . (Und bearbeiten Sie zuvor Aufgabe 1!)
Ê
Aufgabe 3:
3
Fette Dreiecke Gegeben sei eine Familie P von Polygonen in der Ebene. Sei h(P) die Anzahl der
Löcher, die von P gebildet werden, und sei H(P) die minimale Anzahl von nicht
überlappenden konvexen Polygonen, in die die Vereinigung der Löcher – die Menge
2 \ P – partitioniert werden kann. Weiter sei c(P) die Anzahl der konkaven Winkel
(Innenwinkel > π) der Vereinigung der Löcher.
Ê
Sei δ ≤ π/3 und k := 2π/δ, k ≥ 6. Sei l0 eine beliebige Gerade in der Ebene. Ein
Segment heisst kanonisch, wenn der Winkel zwischen der Stützgeraden des Segments
und der Geraden l0 ein ganzzahliges Vielfaches von π/k ist. Ein Rhombus heisst
kanonisch, wenn alle seine Seiten kanonisch sind und zwei seiner Winkel die Grösse
π/k haben.
Dann gelten folgende Lemmata (ohne Beweis):
Lemma 1
Für jede Familie P von Polygonen in der Ebene gilt
h(P) ≤ H(P) ≤ h(P) + c(P).
Lemma 2
Seien P und P zwei Familien von Polygonen in der Ebene, so dass (a) P ⊆ P
und (b) jedes Segment, das zwei Punkte von 2 \ P verbindet und P schneidet,
schneidet auch P . Dann gilt: H(P) ≤ H(P ).
Ê
Lemma 3
Jede Familie R von n kanonischen Rhomben in der Ebene hat O(nk log k) viele
Löcher.
Zeigen Sie mit Hilfe der Lemmata 1-3:
Jede Familie von n δ-fetten Dreiecken in der Ebene hat O( nδ log 2δ ) viele Löcher.
2
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