Algorithmische Geometrie II, SS 06 ¨Ubungsblatt

Algorithmische Geometrie II, SS 06
Übungsblatt 10
Universität Bonn, Institut für Informatik I
i i = 1,...,5 bei den Aufgaben sind ein Maß für den SchwieDie Ziffern ,
1 für ’leicht’
rigkeitsgrad der jeweiligen Aufgabe bzw. Teilaufgabe, mit 5 für ’schwer’.
und Aufgabe 1:
3
Querschnitts- und Packungszahl am Beispiel (Wdh.) Für gegebene natürliche Zahlen k ≤ n betrachten wir die Grundmenge X = {1, . . . , n}
und das Mengensystem
F := {Y ⊆ X | |X| = k}.
Bestimmen Sie die Querschnittszahl τ (F ), die Packungszahl ν(F ), und deren gebrochene Varianten τ ∗ (F ) und ν ∗ (F ). Beweisen Sie die Gültigkeit der gefundenen Werte
allein mittels der Definitionen!
Aufgabe 2:
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VC-Dimension des Art-Gallery-Problems In der Vorlesung haben wir eine obere Schranke für die VC-Dimension des ArtGallery-Problems bewiesen. D.h. wir haben gezeigt, dass die VC-Dimension von V :=
{visP (p) | p ∈ P }, wobei P das Innere einer einfachen Jordankurve ist, durch eine
Konstante C nach oben beschränkt ist.
Nun wollen wir eine untere Schranke für dimVC (V) suchen. Zeigen Sie dazu: Für die
folgende Art-Gallery gilt dimVC (V) ≥ 5.
Bitte wenden!
1
Aufgabe 3:
3
VC-Dimension von Sternen im Graph Basierend auf einem ungerichteten, schlichten Graphen G = (V, E) betrachten wir
das Mengensystem (X, F ), wobei X gleich der Kantenmenge E ist, und F die Menge
aller Sterne von G bezeichnet. Ein Stern ist hier die Menge aller zu einem bestimmten
Knoten v inzidenten Kanten.
Welche VC-Dimension hat das Mengensystem (X, F ) höchstens? Beweisen Sie Ihre
Behauptung.
Welches klassische Graphenproblem ergibt sich, wenn wir versuchen einen minimalen
Querschnitt für das duale Mengensystem (X̃, F̃), X̃ := F , F̃ := {{F ∈ X̃|x ∈ F }|x ∈
X}, zu bestimmen?
Aufgabe 4:
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VC-Dimension von polynomiell begrenzten Gebieten Betrachten wir die Familie Pd,D aller Mengen im d , die jeweils durch eine polynomiale Ungleichung mit Maximalgrad D beschrieben werden. D.h. es sei R[x1 , x2 , . . . , xd ]≤D
die Menge aller reellen Polynome in d Variablen mit Grad ≤ D, und damit sei
Pd,D := {{x ∈
d
| p(x) ≥ 0} | p ∈ R[x1 , x2 , . . . , xd ]≤D } .
Zeigen Sie, dass dann gilt:
dimVC (Pd,D ) ≤
d+D
d
Hinweis: Führen Sie dazu folgende Abbildung durch: Sei M die Menge aller nichtkonstanten Monome1 mit Maximalgrad D in den Variablen x1 , . . . , xd . Sei m := |M|.
Die Koordinaten des m seien durch die Monome in M bezeichnet. Die Abbildung
φ sei wie folgt definiert: φ : d → m mit φ(x)µ = µ(x), wobei das Monom µ auf
der linken Seite lediglich als symbolischer Index dient, während auf der rechten Seite
µ(x) den Wert des Monoms an der Stelle x ∈ d bezeichnet.2
Zeigen Sie nun, dass eine Menge A ⊂ d von Pd,D zerschmettert wird, falls φ(A) von
Halbräumen im m zerschmettert wird und greifen Sie dann auf den in der Vorlesung
bewiesenen Satz über die VC-Dimension des Systems aller Halbräume im d zurück!
Besprechung am Montag, 10.07.2006, 13:15 Uhr, im Raum N 327
1
Ein Monom ist ein Polynom, das nur aus dem Produkt von Potenzen der Variablen besteht, also
z.B. x1 , x32 , x21 x2 x43 , ... Der Grad eines Monoms ist die Summe der Potenzen seiner Variablen.
2
Bsp. für d = D = 2: φ(x1 , x2 ) ∈ 2 7→ (x1 , x2 , x1 x2 , x21 , x22 ) ∈ 5
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