Experimentieren im Mathematikunterricht der Hauptschule
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Prof. Dr. Ludwig Bauer Universität Passau Sinus, Leipzig, 20.09.2005 Experimentieren im Mathematikunterricht der Hauptschule 1. Einführung 2. Begrifflichkeiten 3. Idealtypische Beschreibung 4. Legitimation und Diskussion 5. Unterrichtspraktische Anregungen 2. Begrifflichkeiten Experiment, Experimentieren • Lat. experiri: versuchen, probieren, erproben. • Wissenschaftlicher Versuch, durch den etwas entdeckt, bestätigt oder gezeigt werden soll. • Gewagtes, unsicheres Unternehmen, von dem man nicht weiß, wie es ausgeht. • Methodisch planmäßige Herbeiführung von meist variablen Umständen zum Zwecke wissenschaftlicher Beobachtungen. • Bestimmte, der Beobachtung zugängliche Größen, die verursachenden Variablen in einer experimentell erzeugten Situation, werden systematisch variiert, um die daraus entstehenden Wirkungen auf die abhängigen Variablen zu studieren (strukturierte Versuchsanordnung). • Durchführung eines Experiments als zielgerichtetes und systematisches Vorgehen ..., als Element eines Prozesses, der auch das Formulieren von Vermutungen, die Planung der Durchführung, die Interpretation der Ergebnisse, die Reflexion der Vorgehensweise umfasst (Broschüre SINUS Bayern). 2 3. Idealtypische Beschreibung (Phasenmodell) A Versuchsaufbau, Versuchsanordnung Realer oder mathematischer Kontext als Ausgangssituation a) Aufbauen, Anordnen, Herrichten, Bereitstellen, Herbeiführen, Arrangieren ... (Vorbereitung einer Lernumgebung) b) Auftrag, Aufgabe, Problem, Fragestellung, Zweck, Ziel ... Ziele formulieren, Hypothesen bilden, Vermutungen äußern, Fragen stellen, Plan entwickeln ... B Versuchsablauf, Versuchsdurchführung a) Mathematische Aktivitäten: Zählen, Messen, Berechnen ... Falten, Bewegen, Ausschneiden, Spannen, Abbilden, Zeichnen, Konstruieren ... Definieren, Schließen, Beweisen ... b) Mathematikübergreifende Aktivitäten: Sammeln von Erfahrungen Beobachten von Phänomenen Beschreiben von Sachverhalten Feststellen von Eigenschaften Strukturieren von Situationen Abändern von Merkmalen Kontrollieren von Bedingungen Ausprobieren von Möglichkeiten Erforschen von Sachverhalten Prüfen von Vermutungen Entdecken von Zusammenhängen ... 3 C Versuchergebnis Erarbeiten von Lösungen Feststellen, Darstellen, Zusammenfassen der Ergebnisse Auswerten der Ergebnisse Formulieren von Folgerungen Diskutieren von Konsequenzen Bestätigen, Ergänzen, Korrigieren, Verwerfen, Widerlegen von Vermutungen Erklären von Zusammenhängen Einordnen in einen Kontext Entwickeln von Modellen Festhalten offener Fragen Feststellen von Grenzen Ziehen eines Resumées Dokumentation des Gesamtzusammenhangs ... 4 4. Legitimation und Diskussion 4.0. Sichtweisen/Erlebnisformen von Mathematikunterricht Sicherheit Unsicherheit Gewissheit Risiko Determination Offenheit Zwang Freiheit Strenge Anschaulichkeit Motto Keine Experimente! Probieren geht über Studieren! In der Mathe geht man auf Wir wagen etwas, auch im Nummer sicher! Mathematikunterricht! Trau Dich! Aktivitäten Lehrer Determinieren Bereitstellen Demonstrieren Anregen Zeigen Unterstützen Erklären Beobachten Schüler Reproduzieren Experimentieren Aufnehmen Forschen, Erkunden Reagieren Entdecken Manipulieren Problemlösen Experimentieren als Haupterkenntnismethode der Naturwissenschaft! Die Mathematik ist keine Naturwissenschaft! Trotzdem: Experimentieren auch in der Mathematik / im Mathematikunterricht! 5 4.1. Anthropologischer Hintergrund • Probieren als effektive pragmatische Grundausstattung im Alltag ("Probieren geht über Studieren"). • Probieren/Experimentieren als kognitive Lernstrategie für den Wissenserwerb. • Experimentieren als systematische Methode in Wissenschaft und Kunst. 4.2. Epistemische Struktur der Mathematik • Mathematik – Naturwissenschaft – Geisteswissenschaft (Affinitäten, Beziehungen, Gemeinsamkeiten ... Unterschiede ...). • Mathematik im Entstehungszusammenhang (Genese); Mathematik im Begründungszusammenhang (Systematik). • Kognitives Profil der Mathematik (vielschichtig, komplex). • Experimentieren als unverzichtbares Wesenselement mathematischen Denkens. 4.3. Problemlösen • Mathematische Aufgaben und Probleme als inhaltlicher Kern des Mathematikunterrichts. • Mathematische Aufgaben und Probleme als "Versuchsanordnungen" (Experimente). • Aufgaben- und Problemlösen als Experimentieren (Mathematische Heuristik). 4.4. Bewusstheit, Reflexion • Spielerisches Experimentieren – zielgerichtetes, bewusstes Experimentieren. • Prospektion (Vorschau, Antizipation): Was muss man tun, damit ...? Was passiert, wenn man ...? • Retrospektion (Rückschau): Was ist passiert? Was hat sich verändert? Warum hat sich etwas verändert? Was bedeuten die Ergebnisse? 6 4.5. Dokumentation, Präsentation • Dokumentation von Experimenten in ihrem Gesamtzusammenhang. • Präsentation in verschiedenen methodischen Formen: direkte Leistungsvorlage, Portfolio, Bericht (mündlich/schriftlich), Lerntagebuch, Aufsatz, mathematische Aufgabensammlung mit Lösungen, Plakat, Wandzeitung, Ausstellung ... 4.6. Werkstattmathematik und Kopfmathematik • Experimentieren in konkreten mathematikhaltigen Situationen (Handexperimente). • Experimentieren mit mathematischen Gedanklichkeiten (Gedankenexperimente, Kopfexperimente). • Experimentieren im Klassenzimmer bzw. in mathematischen Lernwerkstätten. 4.7. Leistungsheterogenität • Heterogenität der Schülerkompetenzen; hochgradige Individualität des Mathematiklernens (individuelle Unterschiede). • Notwendigkeit von Maßnahmen zur Differenzierung (insbesondere Binnendifferenzierung). • Experimentieren ist offen für verschiedene Niveau- bzw. Kompetenzstufen. • Experimentieren bietet Möglichkeiten für innere Differenzierung. 4.8. Leistungsschwache Schüler • Auch leistungsschwache Schüler brauchen Gelegenheiten für eigene Erfahrung und Freiräume für individuelle Zugangsweisen. Beim Experimentieren bestehen dazu Möglichkeiten. • Leistungsschwache Schüler brauchen strukturierte Lernumgebungen, wirksame Hilfen und gezielte Fördermaßnahmen, auch beim Experimentieren. 7 4.9. Methodisches Profil Erfolgreicher Mathematikunterricht bewegt sich im Spannungsfeld von ... • Lehrerinstruktion und Schülerkonstruktion • Strukturierung und Öffnung • Vergleichbaren Anforderungen und Umgang mit Heterogenität • Ergebnisorientierung und Prozessorientierung. Mathematisches Experimentieren setzt in diesem Spannungsfeld wichtige Akzente. 4.10. Methodenrepertoire • Erfolgreicher Mathematikunterricht braucht Methodenvielfalt bzw. ein differenziertes Methodenrepertoire mit klaren Teilprofilen (bewegliche Unterrichtschoreographie, Methodenkultur). Dazu gehören ... • Die direkte, strukturierte Unterweisung im lehrerzentrierten, straff geführten Unterricht; • Der erarbeitende, fragend-entwickelnde Unterricht (Unterrichtsgespräch); • Das individualisierte, selbstgesteuerte Lernen, begleitet von Beratung, Hilfe, Unterstützung durch den Lehrer; • Gemeinsames, sozial gestütztes Lernen (Partnerarbeit, Gruppenarbeit, Teamarbeit); • Offene Formen des Lernens (Experimentieren, Lernspiel, Stations-, Frei-, Plan, Projekt-, Werkstattarbeit); • Neue Medien und Technologien (Computer). 4.11. Motivation, Einstellung, Interesse • Mathematisches Experimentieren kann Erfolgserlebnisse vermitteln (Motivation). • Mathematisches Experimentieren kann Freiräume schaffen und damit kognitivpsychischen Zwängen entgegenwirken, die sonst oft mit Mathematik (-lernen) verbunden sind. • Mathematisches Experimentieren kann Interessen fördern (Neugierde, Spannung, Staunen ...). 8 5. Unterrichtspraktische Anregungen 5.1. Rechnen mit natürlichen Zahlen 5.1.1. Produktives Üben Produktives Üben hat über weite Strecken Experimentiercharakter. Zahlreiche Beispiele, die auch in der Sekundarstufe I sinnvoll und gewinnbringend eingesetzt werden können, findet man in: Wittmann E.C., Müller G.N.: Handbuch produktiver Rechenübungen. Stuttgart. Band 1 1990, Band 2 1992 5.1.2. Schriftliche Normalverfahren Schriftliche Normalverfahren des Rechnens gelten als Teil der Schulmathematik, der total determiniert und festgelegt ist und deshalb keinen Spielraum für Experimente bietet. Dieser Eindruck muss korrigiert werden, denn auch bei den schriftlichen Normalverfahren gibt es Möglichkeiten zum Experimentieren. Beispiel: Normalverfahren der schriftlichen Division 9588 : 17 = ? Wie oft geht es? Für viele Schüler ist es eine Zumutung, sofort die richtige Schätzung zu notieren ... Folge: Blockade, Verweigerung ... Experimentieren, Probieren, Korrigieren 9588 : 17 = 4 - 68 27 zu klein geschätzt, weil ... 9588 : 17 = 6 - 102 zu groß geschätzt, weil ... 9588 : 17 = 5 - 85 10 richtig geschätzt, weil ... 9 Herrichten der Vielfachen für die Schätzung 9588 : 17 = Liste, Tabelle 0 · 17 = 0 1 · 17 = 17 2 · 17 = 34 Probieren, Experimentieren, Korrigieren Contra: ? "Probieren ist unmathematisch!" "Probieren führt zu Fehlern!" Pro: – Probieren als wichtige Strategie beim Problemlösen (Versuch – Irrtum – Strategie); – Probieren als originär mathematische Aktivität; – Verbot eines probierenden Verhaltens kann zu Blockaden/Sperren/ Hemmungen führen; – Verbot eines probierenden Verhaltens kann dazu führen, dass bei Fehlern (z.B. beim Schätzen) mit diesen weitergearbeitet wird; Schwierigkeit: Probieren in einer akzeptablen Notationsform; 10 Strategien/Techniken für den Überschlag 1) Weglassen der hinteren Stellen 137 : 23 = Ü: 13 : 2 = 2) Runden des Divisors, gleichsinniges Runden des Dividenden auf ein Divisorvielfaches 137 : 23 = Ü: 120 : 20 = 247 : 28 = Ü: 270 : 30 = 3) Runden des Divisors, Dividend unverändert 137 : 23 = Ü: 137 : 20 = 4) Konsequentes Aufrunden des Divisors 137 : 23 = Ü: 137 : 30 = 5) Aufgabenangepasstes Überschlagen; "Stützpunkte"; 137 : 23 = 5 · 23 = 115 6 · 23 = 138 6) Vergleich mit schon ausgeführten Teildivisionen ... Vor-/Nachteile; Auswahlkriterien – Quotenziffer zu groß, evtl. sogar zweistellig? – Anforderungen an die Schüler, erforderliche Fähigkeiten (leistungsschwache Schüler?) – Erfolgsquote 11 Stellenzahl des Quotienten – Im voraus bestimmen 8654 : 36 – – = 180900 : 36 = Stellenwerttafel, führende Nullen anschreiben T H Z E 8 6 5 4 T H Z E 3 2 8 4 T : 36 = H Z E 0 T :4= X ? H Z E ? Überschlag Ü: 8000 : 40 = 200 8654 : 36 = Teilfertigkeiten üben 7 : 3 = 2 Rest 1 4 : 3 = 1 Rest 1 3 : 4 = 0 Rest 3 0 : 3 = 0 Rest 0 1 : 5 = 0 Rest 1 10 : 4 = 2 Rest 2 Soweit möglich, dazu konkrete Situationen bzw. anschauliche Erklärungen. 12 Experimentieren/Probieren beim Normalverfahren der schriftlichen Division (Aufbau eines "Experimentierraums für Schüler) – Entdecken der Rechenschritte, Experimentieren, Probieren (Wo fängt man an? Eintauschen ...) – Erklären der Rechenschritte (Wie wird gerechnet?) – Begründen der Rechenschritte (Warum wird so gerechnet?) – Rechnen mit Sprechen (Verbalisierung) – Rechnen in der Stellenwerttafel – Konkretes Arbeiten mit Material (Spielgeld, Systemblöcke, Wertmarken, Plättchen ...); Interpretieren der Rechenschritte – Tintenklecksaufgaben; Aufgaben mit Ziffernlücken – Übungen zum Schätzen, Runden, Überschlagen (verschiedene Strategien) – Kontrollieren der Ergebnisse; äußere Kontrollen: Überschlag, Probemultiplikation; innere Kontrollen: Teilmultiplikationen, Teilsubtraktionen – Sonderfälle, insbesondere Rolle/Funktion der Null an verschiedenen Stellen – Arbeit an häufigen/individuellen Fehlern (Fehleranalyse) – Erfinden von Sachaufgaben; Erschließen von Sachfeldern – Variationen des Normalverfahrens – Halbschriftliches Rechnen – Spielerische Übungsformen – Verschiedene organisatorisch-methodische Formen (Einzel-, Partner-, Gruppenarbeit, Frontalunterricht, Stationsarbeit, Werkstatt, Freiarbeit, Karteikarten, Computer ...) 13 5.2. Bruchrechnen 5.2.1. Lernen mit Materialien an Stationen Für das Bruchrechnen gibt es viele handlungsorientierte und zugleich mental strukturierte Übungen, die experimentell angelegt sind (siehe z.B. Besuden H.: Bruchbegriff und Bruchrechnen – erlernt an Materialien und in Stationen. In: Mathematik lehren, Heft 122, 2004). 5.2.2. Natürliche Zahlen und Brüche an Punktfeldern 1. Aufgaben zu Punktmustern: Figurierte Zahlen (ab 5. Jgst.) Aufgabenintention: Förderung visuell-mentaler Fähigkeiten für die Darstellung und den rechnerischen Umgang mit natürlichen Zahlen. Wenn man Zahlen mit Hilfe von Plättchen materialisiert oder mit homogenen Symbolen zeichnerisch darstellt, dann werden dadurch räumlich-geometrische Strukturierungen von Zahlen (Punktmuster) möglich. Die Ergebnisse solcher Strukturierungen nennt man "Zahlbilder" oder "figurierte Zahlen". Figurierte Zahlen stellen eine Verbindung zwischen Arithmetik und Geometrie, zwischen Zahl und Form her. Deshalb sind sie mathematikdidaktisch hoch relevant. Im Umgang mit figurierten Zahlen können Visualität, Anschauung, mentale Repräsentation von Zahlen sowie wichtige rechnerische Fähigkeiten gefördert werden. Insbesondere geben Punktmuster Anstöße für Entdeckungen von Zahleigenschaften und beziehungen (breite kognitive Förderung). Die folgenden Aufgaben können bearbeitet werden, indem man Punktmuster zeichnet (Punkte, Kringel) oder auch konkret legt (Plättchen, Steckwürfel) und die Muster dann arithmetisch/rechnerisch beschreibt. Konkrete bzw. zeichnerische Figuren ("Figurierungen") können dabei die rechnerische Phantasie anregen. 14 1. "Dreieckzahlen": n n nn n nn nnn n nn nnn nnnn 1 1+2= 1+2+3= 1 +2 + 3 + 4 = Wie geht es weiter? Lege! Zeichne! Rechne! 2. " Quadratzahlen": n 1·1=1 nn nn 2·2= (1+2) + 1 = nnn nnn nnn 3·3= (1+2+3) + (1+2) = Lege, Zeichne und rechne weiter! 15 3. Dreieckzahlen und Quadratzahlen: Dreieckzahlen 1 3 6 10 ... Quadratzahlen 1 4 9 16 ... Wie geht es weiter? Wie hängen die beiden Reihen zusammen? Erkläre! 4. 4 x 4 Feld: n n n n n n n n n n n n n n n n 1 + 3 + 5 + 7 = 16 4 · 4 = 16 1 +3 + 5 + 7 = 4 · 4 Prüfe! Erkläre! Begründe! 5. 5 x 5 Feld: Arbeite wie beim 4x4 Feld (legen, zeichnen, rechnen, erklären)! 6. 10 x 10 Feld (Hunderterfeld) Arbeite wie beim 4x4 Feld! 1 + 3 + 5 + ... = 10 · 10 = 1 + 3 + 5 + ... = 10 · 10 7. Rechne auf verschiedene Arten! Rechne geschickt! a) 1 +2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = b) 1 + 2 + 3 + ... ... + 99 + 100 = 8. Aufgaben am Hunderterfeld (siehe 2.) 16 2. Aufgaben am Hunderterfeld: Rechnen mit natürlichen Zahlen und mit Brüchen Aufgabenintention: Förderung visuell-mentaler Fähigkeiten für die Darstellung und den rechnerischen Umgang mit natürlichen Zahlen und Brüchen am Hunderterfeld. Das Hunderterfeld (ein mit 10x10 Punkten bzw. Feldern angeordnetes Schema) ist ein fundamentales Arbeitsmittel für den Rechenunterricht in der Grundschule. Im Mathematikunterricht der Hauptschule ist es meist nicht mehr anzutreffen, wohl auf Grund der Meinung, es sei für die Sekundarstufenmathematik nicht mehr relevant. Dabei kann es, wie viele andere Arbeitsmittel aus der Grundschule auch, in diesem Bereich wertvolle Dienste leisten. Allerdings wirkt das Hunderterfeld nicht selbsterklärend. Der Umgang mit ihm muss erlernt und immer wieder geübt werden. Insbesondere müssen Aktivitäten am Feld mit den Rechenstrategien zusammenpassen (strukturelle Übereinstimmung). Anzustreben ist ein visuelles, verinnerlichtes Arbeiten (mentales, geistiges Operieren, Aufbau von Vorstellungsbildern). Die folgende Aufgabenserie dient dazu, arithmetische Fähigkeiten mit natürlichen Zahlen zu sichern (permanentes Wiederholen!) und auf Brüche auszudehnen. Zeigen, Deuten am Feld und in der Vorstellung (etwa bei geschlossenen Augen) sowie Erklärungen und Begründungen (Verbalisierung) unterstützen die anzustrebende Verinnerlichung. 1. Zahldarstellung: a) 1, 100, 10, 5, 20, 25, 73 ... Zeige die Zahlen jeweils am Feld! (Zeigen, Aufdecken, Abdecken, Umfahren, Einkreisen, Markieren ...). b) Umkehrung: Ablesen! (Markierte Felder sind gegeben, die zugehörigen Zahlen sind jeweils gesucht). 17 2. Rechnen: a) 25 + 25 = 3 · 20 = 18 + 7 = 4· 5= 43 – 20 = 100 : 10 = 36 – 17 = 56 : 8 = Rechne, Zeige, Erkläre, Begründe am Feld! b) Umkehrung: Ablesen! (Felder sind markiert, evtl. mehrfarbig, die zugehörigen Rechnungen sind gesucht). c) 27 + 19 = Rechne auf verschiedene Weise! Zeige, Erkläre, Begründe am Feld! Lösungsmöglichkeiten zu c): 27 + 19 = 20 + 10 + 9 + 7 = 30 + 16 = 46 27 + 19 = 27 + 10 + 9 = 37 + 9 = 46 27 + 19 = 19 + 7 + 20 = 26 + 20 = 46 27 + 19 = 19 + 20 + 7 = 39 + 7 = 46 27 + 19 = 30 + 16 = 46 27 + 19 = 27 + 20 – 1 = 47 – 1 = 46 27 + 19 = 26 + 20 = 46 d) Erfinde Rechnungen mit dem Ergebnis 60! Zeige, Erkläre, Begründe am Feld! Beispiele: 60 = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 6 · 10 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 10 · 6 = 20 + 20 + 20 = 3 · 20 = 25 + 25 + 5 + 5 = 50 + 10 =6·5+6·5 = 30 + 30 = : · 18 e) Zeige, Erkläre auch diese Aufgaben auf dem Feld! 60 : 10 = 6 60 : 6 = 10 60 : 2 = 30 60 : 5 = 12 : 3. Bruchdarstellung: a) 1 1 1 1 2 , , , , ... 100 10 5 4 5 Zeige die Brüche jeweils am Feld! (Zeigen, Aufdecken, Abdecken, Umfahren, Einkreisen, Markieren ..., und zwar jeweils zuerst ein Ganzes und dann einen geeigneten Teil des Ganzen). b) Umkehrung: Ablesen! (Zu einem festgelegten Ganzen, z.B. das gesamte Hunderterfeld, sind markierte Felder als Teil gegeben. Der dadurch bestimmte Bruch als Teil vom Ganzen ist gesucht). 4. Bruchrechnen: a) 1 3 + = 4 10 1 3⋅ = 5 1 1 + = 2 5 1 1 ⋅ = 2 5 3 2 − = 5 10 4 2 : = 10 10 Rechne, Zeige, Erkläre, Begründe am Feld! b) Umkehrung: Ablesen! (Felder sind markiert, evtl. mehrfarbig, die zugehörigen Rechnungen sind gesucht. Beachte mögliche/nötige Vereinbarungen über Ganzes und Teil vom Ganzen!). c) Bestimme ein 2·3 Feld (durch Abdecken bzw. Markieren)! Rechne, Zeige, Erkläre, Begründe an diesem Feld: 1 1 1 1 + = ⋅ = 2 3 2 3 d) Bestimme jeweils geeignete Felder! Rechne, Zeige, Erkläre! 1 1 + = 4 5 1 1 ⋅ = 4 5 1 1 + = 3 10 1 1 ⋅ = 3 10 19 5. Bruch, Dezimalbruch, Prozent, Verhältnis, Quotient: Division (Quotient) 4 : 25 a) 2 5 Verhältnis Anteil Bruch Hundertstel bruch 4 : 25 4 von 25 4 25 16 100 b) 0,25 c) 65% d) 5 von 12 e) 17 100 Dezimalbruch 0,16 Pronzentangabe 16% f) 12:25 Gib jeweils die fehlenden Schreibweisen an! Markiere am Hunderterfeld! 6. Modifikationen, Variationen, Erweiterungen des Hunderterfelds: a) hinsichtlich der räumlichen Anordnung der Punkte: – Betonung, Hervorhebung der 5 ("Kraft der Fünf"), der 10 ("Kraft der Zehn") – Felddarstellung (10x10 Punkte) – Lineardarstellung (100 am Strahl angeordnete Punkte) – Weitere/andere figürliche Anordnung (siehe bei Punktmuster, siehe Beilage); b) hinsichtlich der Größe des Zahlbereichs: Zahlen bis 10, 20, 100, 1000 ... usw. Durch geeignetes Verkleinern eines Tausenderfeldes kann man z.B. auf einem DIN A3 Blatt 50000 Punkte in einer Felddarstellung (20x2500) unterbringen. Mit Hilfe mehrerer solcher Blätter wird es möglich, Zahlen bis 100000 und sogar bis zur Million anschaulich zu visualisieren und für Lernprozesse nutzbar zu machen. c) Hinsichtlich der Repräsentationsebenen bzw. –formen: – konkret-enaktiv: mit Hilfe von Kugeln (starr montiert oder beweglich auf Stangen bzw. Schnüren verschiebbar; Rechenrahmen, Rechenkette, Abakus) – anschaulich-ikonisch: mit Hilfe von n Punkten bzw. Kringeln oder Felder ohne Zahlen Feldern oder 1 Felder mit Zahlen d) Zu einzelnen Modifikationsformen gibt es eine Fülle weiterer anregender Aufgabenstellungen, welche die Zahlvorstellung, den Zahlensinn und die Rechenfähigkeit fördern: 20 21 5.3. Gleichungen Methoden des Lösens von linearen Gleichungen 1. Konkretes Lösen in Handlungssituationen (mit Material; szenische Darstellungen) 2. Einsetzverfahren (Belegung der Variablen) a) Raten, einfaches Probieren, zufälliges Einsetzen b) Systematisches, sukzessives Einsetzen c) Gezieltes Einsetzen; Suchstrategie 3. Lösen mit Hilfe zeichnerischer Darstellungen (z.B. Längen, Streifen) 4. Graphisches Lösen (Gleichung, zugehörige Funktion, Funktionsgraph im Koordinatensystem, Nullstellen der Funktion liefern Lösung der Gleichung) 5. Lösen durch Ausnutzen operativer Zusammenhänge, z.B. Umkehroperation (Beispiel: 5x-17=38) 6. Lösen durch Analogieüberlegungen: x+28=47 x+28=19+28 Also ... 7. Lösen durch Hilfsgleichungen: 102,7-x=31,4 Hilfsgleichung: 10-x=3 8. Lösen durch äquivalentes Umformen (Umformen einer Seite/eines Terms; Umformen beider Seiten/beidseitiges Umformen) a) Modellgebunden (z.B. Waage) b) Formal: beidseitig gleiche Operationen (Langform) c) Formal: verkürztes Verfahren (Kurzform) Beispiele/Typen von Gleichungen: 1. 5x = 100 2. x · 7 = 28 3. 3x - 5 = x+2 4. 5x - 17 = 38 5. x + 28 = 47 6. 4x = 2x + 18 7. (x+1,75) · 0,4+1,2 = 2,4 8. x : 3 = 6 9. (x-7) · 5 = 1 2 · 3x 10. 10 - x = 4 22 Experimentieren/Probieren bei verschiedenen Methoden bzw. Gleichungstypen (siehe oben) Beispiel: 4 x = 2 x + 18 Einsetzverfahren (Belegung der Variablen): a) Raten; für x Zahl wählen, einsetzen, prüfen. b) Systematisch einsetzen, z.B. Zahlen sukzessiv vergrößern (1, 2, 3 ...). c) Gezielt einsetzen; Suchstrategie (Überlegungen von einem Versuch zum nächsten ...). x 1 10 5 9 4x 4 40 20 36 2x+18 20 39 38 36 4x=2x+18 – – – wahr Beispiel: Experimentieren mit der Waage 23 24 5.4. Addition und Subtraktion ganzer Zahlen Aufgabentypen: (+5) + (+2) = (+5) + (-2) = (+5) – (+2) = (+5) – (-2) = (-5) + (+2) = (-5) + (-2) = (-5) – (+2) = (-5) – (-2) = Modelle bzw. Veranschaulichungen bzw. Erklärungen: 1. Beide Zahlen als "Pfeile" (Vektoren): Addition: • Fuß des zweiten Pfeils an die Spitze des ersten Pfeils setzen; • Ergebnis weist vom Fuß des ersten Pfeils zur Spitze des zweiten Pfeils; Subtraktion: • Spitze des zweiten Pfeils an die Spitze des ersten Pfeils setzen; • Ergebnis weist vom Fuß des ersten zum Fuß des zweiten Pfeils; 2. Bewegungen auf der Zahlengeraden: • Erste Zahl als Punkt auf der Zahlengeraden (Ausgangspunkt), • Zweite Zahl mit Vorzeichen: (+2) 2 Schritte vorwärts (-2) 2 Schritte rückwärts • Operationszeichen: + Blick nach rechts - Blick nach links 25 3. Arbeit mit Gutscheinen und Schuldscheinen: • Erste Zahl mit Vorzeichen: Kontostand zu Beginn (Guthaben, Schulden) • Zweite Zahl mit Vorzeichen: Gutscheine, Schuldscheine (+1) Gutschein vom Wert 1 (-1) Schuldschein vom Wert 1 • Rechenoperationen: + Schein bekommen (buchen) - Schein abgeben (löschen) • Wechselkasse für eventuell nötige Wechselvorgänge 4. Subtraktion als Addition der Gegenzahl: (+3) – (+3) = 0 (+3) + (-3) = 0 (-3) – (-3) = 0 (-3) + (+3) = 0 Die Subtraktion einer ganzen Zahl führt zum gleichen Ergebnis wie die Addition ihrer Gegenzahl. Experimentieren mit Modellen bzw. Veranschaulichungen: z.B. Modell 3 (siehe oben): Arbeit mit Gutscheinen und Schuldscheinen, evt. eingebunden in ein Spiel mit Ereigniskarten an verschiedenen Stationen... Arbeitsrichtungen (Reversibilität): • Arbeit mit Gutscheinen und Schuldscheinen, dann dazu Notation der zugehörigen Rechnungen. • Umkehrung: zuerst sind Rechnungen vorgegeben, dazu sollen passende Handlungen mit Scheinen durchführt werden Beispiel: (-5) Kontostand am Anfang: -5€ – Abgeben (-2) = (-3) 2 Schuld- Kontostand am scheine Schluss: -3€ (5 Schuldscheine) (3 Schuldscheine) 26 5.5. Sachaufgaben (Typ "Textgleichungen") 1. Wenn ich eine Zahl um 7 vermindere und die entstehende Differenz mit 5 multipliziere, so erhalte ich halb so viel wie das Dreifache dieser Zahl. 2. Subtrahiert man vom 5fachen einer Zahl 8, so erhält man halb so viel, wie wenn man zum 8fachen dieser Zahl 6 hinzuzählt. Wie heißt die Zahl? 3. Der Vater ist viermal so alt wie der Sohn. Zusammen sind sie 35 Jahre! 4. Eine Erbschaft von 20400 € wird unter drei Kindern so verteilt, dass das zweite Kind doppelt so viel erhält wie das erste und das dritte 3600 € mehr als das erste. 5. Bei einer Sportveranstaltung, zu der 386 Zuschauer kamen, wurden 829,80 € durch den Verkauf von Eintrittskarten eingenommen. Ein Sitzplatz kostete 2,60 €, ein Stehplatz 1,50 €. Wie viele Sitzplatz- und Stehplatzkarten wurden verkauft? 6. Auf einem Bauernhof gibt es Fasanen und Kaninchen. Sie haben insgesamt 35 Köpfe und 94 Beine. Wie viele Tiere sind es von jeder Sorte? (alte chinesische Aufgabe, ca. 4000 Jahre alt). 7. Anja bringt 38 Karten und Briefe zur Post. Am Schalter muss sie für das Porto 21,10 € bezahlen. Das Porto beträgt für eine Karte 0,50 € und für einen Brief 0,60 €. Wie viele Karten und Briefe hat Anja zur Post gebracht? 8. In einem Betrieb waren 40 Frauen mehr als Männer beschäftigt. Durch den Rückgang der Aufträge wurden 30 Frauen und 1/10 der Männer entlassen, so dass der Betrieb jetzt nur noch 428 Angestellte zählt. Wie viele Männer und wi viele Frauen beschäftigte der Betrieb ursprünglich? 27 Experimentieren bei der Bearbeitung/Lösung z.B. Aufgabe 3 Der Vater ist viermal so alt wie der Sohn Sohn 1 5 6 7 10 Vater 4 20 24 28 40 ... x ... 4x Zusammen sind sie 35 Jahre. Sohn ...6 7 10 Vater 24 28 40 4x zusammen 30 35 50 x+4x Ansatz: x + 4x = 35 z.B. Aufgabe 6 Köpfe Beine Kö Bei Fasanen 10 2·10 20 2·20 Kaninchen 25 4·25 15 4·15 Tiere 35 120 35 100 Kö Bei Fa x 2·x Ka 35-x 4·(35-x) T 35 94 (zusammen) (zusammen) Ansatz: 2x + 4 · (35-x) = 94 28 x Lösungshilfen zu Sachaufgaben - Konkretisierung des Sachverhalts (Handlung, Material); - Anschaulich-bildhafte Hilfen (Skizze, Zeichnung ...); - Arbeitsschritte; - Optisch-verbale Hilfen: Lesen; Wiedererzählen; Arbeit am Text: Wörter klären, Schlüsselwörter finden (Verbalindikatoren), "Lexikon" ... Auseinanderziehen des Textes; Unterstreichen (Farben); ... - Raten, Probieren (Ratezahl, Rechnung, Variable, Gleichung); - Zahlen vereinfachen; - Strukturschema, Rechenplan; - Tabellen zur Strukturierung des Sachverhalts; - Gleichungen, Gleichungssysteme; - Unterstützende Motivationsmaßnahmen; - Systematischer Aufbau; gestufter Lehrgang; - Fehleranalyse (Aus Fehlern Lernen); - Fordern und Fördern; ... 29 5.6. Geometrie 5.6.1. Flächeninhalt I Aufbau des Begriffs Flächeninhalt (GS, 5. Jgst.): Flächen ausschneiden, zerschneiden, zusammensetzen, bemalen, schraffieren, überdecken, auslegen, parkettieren; Beziehung zum Umfang! II Bestimmung des Rechtecksflächeninhalts (5. Jgst.): 1) Aufbau des Begriffs "Flächeninhalt" (siehe oben I): (Rechtecks-) Flächen ausschneiden, zerschneiden, zusammensetzen, bemalen, schraffieren, überdecken, auslegen, parkettieren; Vergleichende Aktivitäten zu den Dimensionsbegriffen (Länge, Flächeninhalt, Rauminhalt); 2) Vergleich von zwei Rechtecksflächen hinsichtlich ihrer Größe (Kinderzimmer, Klassenzimmer ...; Tischdecken; Couverts, ...; usw.) - Direkter Vergleich; - Indirekter Vergleich mit Hilfe selbst gewählter Maßeinheiten; 3) Ausmessen von Rechtecksflächen mit Hilfe genormter Maßeinheiten (Auszählen, geschicktes Zählen) 4) Wahl und Vergleich verschiedener genormter Maßeinheiten (evtl. auch erst nach 5.): Repräsentanten für 1m2, 1dm2, 1cm2, ...; Beziehungen zwischen den Maßeinheiten; Umrechnungszahlen; Aufbau von Größenvorstellungen; 5) Erarbeitung einer Formel für den Flächeninhalt des Rechtecks (Entwicklung der Formel F = l ⋅ b aus konkreten Handlungsvollzügen und geschickten Zählvorgängen) 6) Funktionale Betrachtungen: Vergrößern bzw. Verkleinern von Länge bzw. Breite des Rechteckes (Verdoppeln, ... Halbieren ...); Prüfen der Wirkungen auf den Flächeninhalt; Abhängigkeit des Flächeninhalts von Länge und Breite; Arbeit an und mit der Formel (Variation der gesuchten Größe); Bestimmen des Flächeninhalts für den Spezialfall des Quadrats; Formel für den Flächeninhalt des Quadrats; ... 7) Anwendungen (mathematikintern, mathematikübergreifend; insbesondere Sachaufgaben 8) Mechanisierende und operative Übungen (zu allen Schritten) 30 9) Explizite Konfrontation des Flächeninhalts mit dem Umfang, später auch mit dem Rauminhalt (Unterscheidung der Dimensionen; Einsicht in die Unabhängigkeit von Umfang und Flächeninhalt, z.B. Rechtecke mit gleichem Umfang, aber verschiedenem Flächeninhalt und umgekehrt) III Bestimmung des Flächeninhalts von Parallelogramm, Dreieck, Trapez (7. Jgst.): Inhaltsgleiches Verwandeln der Figuren in Rechtecksflächen; Transformation der Formel; IV Bestimmung des Flächeninhalts von Vielecken (8. Jgst): Zerlegungs- und Ergänzungsgleichheit; V Bestimmung des Flächeninhalts von Kreisen (8. Jgst): VI Begrenzungsflächen von Körpern (ab 6. Jgst.): Grund-, Deck-, Seiten-, Oberfläche, Mantel; 5.6.2. Messen und Berechnen am Kreis (8. Jgst.) 1. Umfang: Abrollmethode, Bindfadenmethode, Messen mit Maßband, Aufbiegen bzw. Begradigen, Ersetzen des Kreises durch Streckenzüge (Polygone); Feststellen der Proportionalität zwischen d und U (Proportionalitätsfaktor "∏"); Mathematisches Verfahren: Integrationsverfahren mit Grenzwertbildung; 2. Flächeninhalt: Auslegen mit Einheitsquadraten ("Parkettieren"), z.B. mit Hilfe von Karopapier, Millimeterpapier, ...; Umschüttmethode, Wiegemethode; Umwandlung des Kreises in ein Rechteck bzw. Quadrat: - exaktes, flächeninhaltserhaltendes Umwandeln nicht möglich ("Quadratur des Kreises"); - näherungsweises Umwandeln; Ersetzung des Kreises durch Vielecksflächen; Feststellen der Proportionalität zwischen r2 und F (Proportionalitätsfaktor ∏); Mathematisches Verfahren: Integrationsverfahren mit Grenzwertbildung; 31 Unterscheidung: - empirisch-physikalische Methoden: prinzipielle Ungenauigkeit des Zeichnens, Messens, Wiegens; fehlende Allgemeingültigkeit; - mathematische Methode ("Integration"): in der Hauptschule nur ansatzweise bzw. andeutungsweise realisierbar; 5.6.3.Senkrecht / rechter Winkel (siehe Bauer L.: Fördern und Fordern – Anregungen zum Verstehen der senkrecht-Beziehung. In: Mathematiklehren, Heft 131, August 2005) Schülervorstellungen (Diagnose) Im Rahmen einer Befragung wurden Schülerinnen und Schüler einer 7. Klasse einer Hauptschule gebeten, ihre Vorstellungen zu folgenden vorgegebenen geometrischen Begriffen schriftlich zu fixieren: Punkt, Gerade, Fläche, Höhe, Körper, senkrecht, parallel. Nur wenige Schülerinnen und Schüler hatten offenbar eine im Sinne der Mathematik korrekte Vorstellung von senkrecht. Für die meisten Schüler ist "senkrecht" • eine Eigenschaft einer einzigen geraden Linie, • und zwar besteht die Eigenschaft darin, entweder schräg oder gerade nach unten zu laufen Aus mathematischer Sicht sind diese Vorstellungen unzureichend bzw. fehlerhaft. Sie müssen zwangsläufig bei vielen Gelegenheiten des Geometriecurriculums in der Sekundarstufe zu Fehlern mit weitreichenden Folgen führen. Dies ist bemerkenswert, weil das Thema "senkrecht/rechter Winkel" sowohl in der Grundschule als auch in der Sekundarstufe mehrfach explizit behandelt wird, und zwar bereits vor der Jahrgangsstufe 7. Offensichtlich ist diese vorausgehende Behandlung nicht erfolgreich. Die intendierten Begriffsvorstellungen werden nicht angenommen und aktiv umgesetzt. Vielmehr gleiten sie ab und die Schülerinnen und Schüler verbleiben in problematischen, fehlerhaften Alltagsvorstellungen. Begriffserklärungen (Analyse) Die ursprüngliche Bedeutung von "senkrecht" ist empirisch-physikalisch bestimmt. Sie prägt auch heute noch über weite Strecken die Alltagsvorstellung der meisten Menschen. Senkrecht in diesem ursprünglichen, alltäglichen Sinn meint die in 32 Richtung des Senklotes (Senkbleis) verlaufende Linie. Ein Senkblei (Schnur, an deren einem Ende ein Gewicht befestigt ist) wurde früher zum Messen von lichten Höhen (z.B. bei Brücken, Giebelfenstern) oder von Wassertiefen (z.B. bei Flüssen, Brunnen, in der Schifffahrt) verwendet. "Lot" ist ein altes Wort für Blei bzw. für eine Gewichtseinheit. Synonyme zum Begriff "senkrecht" sind die Wörter "lotrecht" und "vertikal". Im Begriff "rechtwinkelig" wird das Wort "recht" nicht als Gegenbegriff zu "links" verwendet, wie viele Schülerinnen und Schüler fälschlicherweise meinen, sondern im Sinne des alten deutschen Worts "recht", "aufrecht", "richtig". Ein rechter Winkel ist also ein "richtiger Winkel", der überall vorfindbar ist, wo Gegenstände "richtig", "aufrecht" (senkrecht, lotrecht) auf der Erde stehen. Die mathematische Bedeutung von "senkrecht" weicht von der empirischen, alltäglichen Bedeutung ab. Für die mathematische Bedeutung gilt: • Senkrecht bezeichnet eine Beziehung zwischen zwei Geraden (senkrecht ist ein Beziehungsbegriff, kein Eigenschaftsbegriff). • Die beiden Geraden schneiden sich in einem rechten Winkel. • Ansonsten spielt die Lage der Geraden keine Rolle (Unabhängigkeit von der Lage der Geraden in der Ebene oder im Raum). Mögliche Definitionen für "senkrecht" sind: Zwei Geraden g und h stehen aufeinander senkrecht (in Zeichen: g┴h) genau dann, wenn gilt: • die entstehenden Nebenwinkel sind gleich; • g schneidet h in einem 90° Winkel (g und h bilden einen rechten Winkel), • bei Spiegelung an g wird h auf sich abgebildet (und umgekehrt). Das Wort "Lot" bezeichnet in der Mathematik eine Gerade g, die auf einer anderen Geraden h senkrecht steht (Lot fällen, Lot errichten). Der Begriff "lotrecht" ist daher im mathematischen Sinn synonym zum Begriff "senkrecht". Häufig werden die Begriffe "senkrecht" und "lotrecht" auch dann verwendet, wenn Halbgeraden oder auch Strecken vorliegen. Die Bedeutung der Begriffe ist dann analog festgelegt (siehe oben), d.h. man operiert eigentlich mit den entsprechenden Geraden, auf denen die Halbgeraden bzw. Strecken jeweils liegen. 33 Offensichtlich überlagern sich im Unterricht alltäglich-empirische mit schulischmathematischen, konkret-ganzheitliche mit formal-analytischen Vorstellungen zum Begriff "senkrecht". Dies führt auf Seiten der Schülerinnen und Schüler zu Schwierigkeiten, Brechungen, Irritationen, bei denen meist das Alltagsdenken der Sieger über mathematische Konventionalität bleibt. Konsequenzen Die bisherigen Überlegungen zeigen, dass eine einmalige Behandlung des Begriffs "senkrecht", etwa in Form einer Lehrererklärung, für den Aufbau eines angemessenen Begriffsverständnisses nicht ausreicht. Erforderlich sind vielmehr ... • ein mehrmaliges Aufgreifen des Themas in geeigneten Situationen des Alltags und der Mathematik; • eine intensive Auseinandersetzung mit dem Thema mit Hilfe geeigneter Modelle und vielfältigen Aktivitäten der Schülerinnen und Schüler; • eine Konzentration der Aufmerksamkeit auf relevante Begriffselemente; • eine schrittweise Weiterentwicklung eines konkret-ganzheitlichen zu einem formal-analytischen Verständnis; • eine Behandlung der Thematik auf verschiedenen Darstellungsebenen (Handlung, Zeichnung, Sprache, Symbole, Vorstellung) und Maßnahmen zur Verbindung bzw. Integration dieser Ebenen; • Impulse, Hilfen, Erklärungen des Lehrers ebenso wie eigene Aktivitäten und selbständige Erfahrungen der Schülerinnen und Schüler. Lernaktivitäten zum Thema "senkrecht" / "rechter Winkel": Die folgenden Lernaktivitäten stellen Kristallisationspunkte dar, an denen das Verständnis der Schüler entwickelt werden kann. Ihre Realisierung kann in Einzel-, Partner-, Gruppenarbeit erfolgen, ebenso auch im Rahmen eines Lernens an vorbereiteten Stationen bzw. Theken. • Experimentieren mit einem Lot bzw. Senkblei, um die ursprünglich-alltägliche Bedeutung der Begriffe explizit herausarbeiten und später mit mathematischen Festlegungen konfrontieren zu können. • Herstellen von geeigneten Modellen für rechte Winkel, und zwar Flächenmodelle (aus Papier, Pappe, Holz, Metall, Plastik, Geodreieck ...). Am einfachsten ist das Herstellen eines Papierflächenmodells durch zweimaliges 34 • • • • Falten (zweite Faltung so, dass die Kanten der ersten Faltung genau aufeinander liegen). Linienmodelle (z.B. mit Hilfe von Meterstab, Schere, Uhrzeiger, losen Stäben, Gummi auf dem Geobrett, farbig markierte Faltlinien von Flächenmodellen) Flächenmodelle unterstützen eher ein ganzheitliches Verständnis des Gesamtobjekts "rechter Winkel", Linienmodelle eher ein analytisches Verständnis der Linien und der "senkrecht"-Beziehung. Suchen, Auffinden und Untersuchen von rechten Winkeln bzw. senkrechtBeziehungen an Gegenständen des Alltags (Spielzeug, Schachtel, Schulsachen, Möbel ...), im Klassenzimmer, im Schulhaus, in der Vorstellung, an arrangierten Alltagssituationen, in mathematischen Situationen, z.B. Flächenformen (Quadrat, Rechteck), symmetrische Figuren, Gitterkreuz, Höhen in Figuren, Abstand, Satz des Pythagoras. Zeichnen von rechten Winkeln bzw. aufeinander senkrecht stehenden Geraden (freihändig, Schablone, Modelle, Lineal, Geodreieck, Karopapier), entsprechend auch das Konstruieren mit Zirkel und Lineal. Gedankliches Durchdringen der oben genannten Situationen durch begleitendes Verbalisieren, Erklären und in Verbindung mit vorstellungsbezogenem Operieren. Explizites, bewusstes Anwenden und Verwenden der entwickelten Bedeutungsvorstellungen in weiteren relevanten Situationen. Wenn man z.B. Rechtecke bzw. Quader mit Hilfe von Rechtwinkeligkeit bzw. der senkrechtBeziehung "definiert", werden dadurch Quadrat bzw. Würfel in angemessener Weise als Sonderfälle eingebettet (Inklusionsidee) und nicht, wie sonst häufig, gegenüber gestellt und voneinander unterschieden. 35 36 5.6.4. Satz des Pythagoras Mögliche Einstiege in das Thema "Satz des Pythagoras" - Konstruktive Übungen zum Spezialfall des gleichschenkelig-rechtwinkeligen Dreiecks; - Konstruktive Aktivitäten zum Problem der Quadratverdoppelung bzw. halbierung; - "Zwölfknotenseil" und seine kulturhistorische Bedeutung (Seilspanner); 3dm, 4dm, 5dm Stäbe (Bedeutung in Handwerk); - Arithmetisch-algebraisches Experimentieren mit Zahlentripel (Zahlentripel und Rechtwinkligkeit zugehöriger Dreiecke); 3cm, 4cm, 5cm; - Anwendungs- bzw. Sachaufgaben zu rechtwinkeligen Dreiecken; - Ähnlichkeitsbeziehungen am rechtwinkeligen Dreieck; Begründungsrichtungen Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, dann gilt für die Seiten a2 + b2 = c2. (rechtwinklige Dreiecke zeichnen/konstruieren, Seiten messen, Formel prüfen/rechnen) Wenn für die Seiten eines Dreiecks a2 + b2 = c2 gilt, dann ist das Dreieck rechtwinklig. (Seiten gemäß Formel wählen/rechnen, Zeichnen/Konstruieren, Rechtwinkligkeit prüfen/messen) Begründungsarten: - empirisch (Zeichnen, Messen, Rechnen); - anschaulich - zeichnerisch; - induktiv (spezielle Fälle); - mathematisch-logisch (allgemeingültig); Defizite, Schwierigkeiten, Fehler - Defizite bei Vorkenntnissen (Arithmetik, Geometrie, Algebra) - Merkdefizite - Verständnisdefizite (Voraussetzung, Folgerung, Variable, Strecken/Flächeninhalte ...) 37 - Algebraische Defizite (Formel, Einsetzen, Auflösen, Ausrechnen, Wurzelziehen ...) - Vorstellungsdefizite (Visualisierung, Vorstellung, Räumlichkeit ...) - Anwendungsdefizite (Sachaufgaben) Hilfen bzw. Strategien für den Umgang mit dem Satz. a) Merkhilfen (Formel, umgangssprachliche Formulierung, fachsprachliche Formulierung, zeichnerisch-bildhafte Darstellung) b) Anwendungshilfen, z.B.: in der Aufgabenstellung geeignetes rechtwinkeliges Dreieck suchen; Begriffe Hypotenuse und Kathete zuordnen; gegebene und gesuchte Größen farbig markieren; Pythagorasformel ansetzen; gegebene Größen einsetzen; gesuchte Größe ausrechnen; c) Übungen zu einzelnen Bearbeitungsschritten, z.B.: Übungen zum Auffinden rechtwinkeliger Dreiecke in realen Situationen; in Zeichnungen, in verbalen Beschreibungen; variative Übungen zum Ansetzen der Pythagorasformel; d) Arbeit an individuellen und häufig vorkommenden Fehlern und Schwierigkeiten zum Thema. Experimentieren zum Satz des Pythagoras Experimentieren ... mit dem Zwölfknotenseil (Herstellung eines rechten Winkels) mit Stäben der Länge 3, 4, 5 Längeneinheiten in realen Situationen (rechte Winkel aufsuchen, herstellen ...) beim Vermessen und Berechnen (Klassenzimmer, Schulhaus, im Gelände ...) mit ausgeschnittenen Flächenformen (Zerlegungen, Zusammenpassungen) mit geeigneten Parkett-Mustern mit Einheitsquadraten (Legen von Pythagorasfiguren) mit gleichschenkelig-rechtwinkeligen Dreiecken (z.B. Geodreiecken): Legen, Formen, Zeichnen von Pythagorasfiguren Konstruktive Übungen (Quadratverdoppelung, gleichschenkelig-rechtwinkelige Dreiecke) mit rechtwinkligen Dreiecken und ähnlichen Teildreiecken 38 mit Zahlen, insbesondere mit pythagoräischen Zahlentripel (Zahlen mit der Eigenschaft a2+b2=c2) mit Variablen (Übungen zum Ansetzen der Pythagoras-Sätze) mit Anwendungs- und Sachsituationen zum Satz des Pythagoras mit konkreten oder anschaulichen Modellen zum Satz des Pythagoras 39 5.6.5. Vergrößern und Verkleinern Vergrößerung Das Viereck ABCD wird mit dem Projektor an die Wand geworfen. Es entsteht ein größeres Viereck A'B'C'D', das auf Papier abgezeichnet wird. a) Vergleiche die beiden Vierdecke. Was fällt auf? (Was bleibt gleich? Was ändert sich?) b) Man kann Verschiedenes messen: a= a' = b= b' = c= c' = d= d' = c) Man kann rechnen, vergleichen: a' : a = a' : b' = b' : b = b' : b' = c' : c = a :b= d' : d = c :c= d) Maßstab a' : a = : 40 Verkleinerung Maßstab 1 : 100 = 1 = 0,1 100 z.B. beim Bauplan eines Hauses Hausmaße :100 Planmaße ⎯⎯→ (Wirklichkeit) ←⎯⎯ ⎯ (Bauplan) ⋅100 Hausmaße ⋅0,01 ⎯⎯⎯ → Planmaße ←⎯⎯ ⎯ :0,01 (direkte Proportionalität) 1 m = 100 cm 1000 cm :100 1 cm ⎯⎯→ ⋅100 ←⎯⎯ ⎯ 10 cm =10m (1 : 100 bedeutet : 1 cm auf dem Bauplan entsprecht 100 cm beim Haus) 41 5.6.6. Papierfalten (Aktivitäten für Freiarbeit, Lernwerkstatt, Geometrieunterricht ...) Material (Schreibblätter, quadratische Blätter, ...) Faltobjekte (Alltag, Spiel, Mathematik) Handlungen, Übungen, Aufgaben: 1. Grundübungen mit einem Blatt (z.B. DIN A4) (eventuell für jede Übung neues Blatt verwenden; Faltlinien mit dem Stift nachfahren; Faltfiguren geometrisch interpretieren und begründen) a) Einmal falten: Gerade(nstück), Faltlinie nachfahren, Lineal ... b) Zweimal falten: Geradenkreuzung, Punkt, Winkel ... c) Winkel gegeben: Falten der Winkelhalbierenden d) Falten eines rechten Winkels; Lot fällen; Lot errichten; Falten zweier zueinander paralleler Linien; e) Größtmögliches Quadrat falten; Rest untersuchen; f) Diagonalen im Quadrat falten; Fortsetzen; 2. Weitere Übungen mit einem Blatt a) Blatt entlang einer Diagonalen falten; überstehende Teile abfalten; Faltlinien nachfahren; entstehende Figur untersuchen (Parallelogramm, Raute); b) Blatt entlang der längeren Mittellinie falten; zwei "kurze" Ecken zur Mittellinie falten; Fortsetzung: Falten eines symmetrischen Drachens (ursprüngliche Mittellinie als Längsdiagonale); Figur untersuchen; c) Weitere Vierecke durch Falten herstellen und untersuchen; 3. Faltungen am Dreieck Vorbereitung: DIN A4 Blatt entlang einer Diagonalen falten und zerschneiden; auf diese Weise entstehen Dreiecke, mit denen Übungen durchgeführt werden können. 42 a) Linien im Dreieck: Jeweils in einem eigenen Dreieck durch Falten die Höhen, Mittelsenkrechten, Winkelhalbierenden, Seiten halbierenden erzeugen; jeweilige Vorschriften für das Falten bzw. Konstruieren; geometrische Eigenschaften; b) Übertragen der entstehenden Schnittpunkte in ein Dreieck; geometrische Eigenschaften; c) Faltungen in einem Dreieck vornehmen, sodass Formeln für den Flächeninhalt des Dreiecks verständlich werden; 4. Vielecke Zerlegungs- und Ergänzungsgleichheit; Flächeninhaltsgleichheit; Situationen/Übungen, in denen diese Begriffe durch entsprechende Faltungen verständlich gemacht werden; 5. Körper Durch geeignete Faltungen Körper herstellen (z.B. Würfel); 6. Zusätzliche Handlungen Falten und Lochen; Falten und Reißen; Falten und Schneiden; 7. Papierformate DIN A... a) Beschaffen von Informationen über die DIN Formate A (Maße, Legitimationen ...) b) Blatt DIN A4 entlang der kürzeren Mittellinie falten, das entstehende Blatt DIN A5 ebenso und so weiter (fortgesetzte Halbierung); 1 1 1 + + + ... = 2 4 8 Geometrische Reihe mit an+1 : an = q = 1 2 c) Blatt DIN A3, DIN A4, DIN A5 usw. jeweils geeignet übereinander legen (eine gemeinsame Ecke, eine gemeinsame Diagonale); geometrische Eigenschaften; d) Geometrisch-algebraische Untersuchung: x4 kurze Seite des DIN A4 Blattes, y4 lange Seite des DIN A4 Blattes; Es gilt: y5 = x4, ... 43 Seitenverhältnisse: x4 : x5 = k y4 : y5 = k y4 : x4 = k Flächenverhältnisse (A4 Flächeninhalt des Formats A4): A4 : A5 = k2 = 2 also k = 2 e) Start: DIN A0 mit A0 = 1m2 Damit können die Seitenlängen der DIN A Blätter berechnet werden. f) Interpretation der DIN A Formate auf dem Hintergrund folgender mathematischer Situationen/Themen: Proportionalität, Vergrößern/Verkleinern, Maßstab, Ähnlichkeit, zentrische Streckung, Strahlensatz/Vierstreckensatz ... g) Beschaffung der DIN A Formate (A0, A1, A2, A3, A4, A5, A6 ...) h) DIN A Formate in der Praxis: Situationen/Gegenstände mit Bezug zu DIN A Formaten (Block, Heft, Postkarte, Banküberweisung, Führerschein, Personalausweis, Passfoto...) Reflexion: Mathematische Bezüge ... Didaktische Funktion, Legitimation, Bedeutung: - mathematische Ergiebigkeit (wichtige mathematische Aktivitäten, Ideen, Begrifflichkeiten) - didaktisch-psychologische Bedeutung (Handlungen als Grundlage für mentales Operieren) - motivationale Funktion (Erfolg, Bestätigung, Freude durch gelingende Tätigkeiten bzw. durch ästhetisch ansprechende Faltobjekte) - Umwelterschließung; Bezüge zu Alltagssituationen - Unterrichtspraktische Relevanz (Bezug zu Themen/Aufgaben des Curriculums) Literatur zum Papierfalten: Besuden H.: Handbuch mit Handlungsanweisungen für die Verwendung von Arbeitsmitteln im Geometrieunterricht. Oldenburg 1988 44 Besuden H.: Handbuch mit Handlungsanweisungen für die Verwendung von Arbeitsmitteln im Geometrieunterricht der Grundschule/Orientierungsstufe. Oldenburg 1994 Kneissler J.: Origami Kinderbuch. Ravensburg 1982 Radatz H., Rickmeyer K.: Handbuch für den Geometrieunterricht an Grundschulen. Hannover 1991 Ritter U.: Papier kreativ. Freiburg 1989 Sakoda J.M.: Origami, München 1981 Schipper W. u.a.: Handbuch für den Mathematikunterricht in der 4. Jahrgangsstufe. Hannover 2000 Steibl H.: Geometrie aus dem Zettelkasten 1997 Wolf E.: Origami – Neue Faltideen. Freiburg 1988 Wollring B.: Papier ... Falten ... Geometrie. Ein Parcours zum Origami. Mathe-Welt (Schüler Arbeitsheft). In Mathematik lehren, H. 113, August 2002 45
