Folien "Wiederholungen aus der Statik"

Wiederholungen aus
MMSM 1 (Statik)
Dr.-Ing. Ulrich Simon
Ulmer Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen (UZWR)
www.uni-ulm.de/uzwr
Inhalt
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Größen, Dimensionen, Einheiten
Kraft, Moment, Freikörperbild
Statisches Gleichgewicht
Spannung, Dehnung, Werkstoffgesetze
Einfache Lastfälle
Größen, Dimensionen, Einheiten
Standard: ISO 31, DIN 1313
Größe
= Zahlenwert  Einheit
Länge L = 2  m = 2 m
{Größe} = Zahlenwert
[Größe] = Einheit
falsch: Länge L [m]
richtig: Länge L / m
oder
Länge L in m
SI-Basiseinheiten (Mechanik):
m (Meter), kg (Kilogramm), s (Sekunde), K (Kelvin)
Kraft, Moment, Freikörperbild
Die Kraft [Force]
• Kräfte aus Erfahrung bekannt: Muskelkraft, ...
• Der Begriff „Kraft“ ist axiomatisch, d.h. ohne
Definition.
Zweites Newtonsches Axiom:
Kraft = Masse  Beschleunigung oder F = m  a
Zum Merken:
Die Kraft ist die Ursache für eine Beschleunigung
(Bewegungsänderung) oder eine Verformung
Dehnung) eines Körpers.
Einheit der Kraft
Newton
N = kgm/s2
1N
Zum Merken:
Gewichtskraft einer Tafel Schokolade  1 Newton
Schnittprinzip (Euler) und Freikörperbild
F
F
1 kg
Freikörperbild

10 N
Zum Merken:
Erst schneiden dann Kräfte und Momente eintragen.
Freikörperbild = völlig freigeschnittenes Teilsystem
Darstellen von Kräften
Kräfte sind
vektorielle Größen
mit Betrag und Richtung.
Wirkungslinie
Schraube
5N
Das Moment [Moment]
Schlitzschraube mit
SchraubenzieherKlinge (belastet)
weggeschnitten
Klinge
Schraube
F
F
F
F
Kräftepaar (F, a)
M = Fa
a
Moment M
Zum Merken:
Ein Moment ist die Ursache für eine Dreh-Beschleunigung
(Bewegungsänderung) oder eine (Dreh-) Verformung (Torsion,
Biegung) eines Körpers.
Zum Denken:
Moment gleich “Drehkraft”
Einheit des Moments
Newton-Meter
Nm = kgm2/s2
Rechte-Hand-Regel:
Darstellung von Momenten
... mit Drehpfeilen oder
Doppelpfeilen
Momente sind vektorielle
Größen
Achse
5 Nm
5 Nm
oder
 Betrag
 Richtung
 Richtungssinn
Drehpfeil
Doppelpfeil
Moment einer Kraft bezüglich eines Punktes P
F
F
P

P
F
h
F
Faxial
F

P

M = Fh
Zum Merken:
Moment = Kraft mal Hebelarm
(Hebelarm senkrecht zur Wirkungslinie)
M
P
Fquer
Verschiedene Schnittkräfte und -momente
Schnitt durch …
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Seil
Balken 2D
Balken 3D
(Scharnier-)Gelenk in 2D
Allg. Punktkontakt
Allg. Schnitt durch 3D Körper
(Kartoffel)
Freiheitsgrade, Bindungen
Freiheitsgrade [Degrees of Freedom, DOF]:
Objekt
Punktmasse in 2D
Punktmasse in 3D
Starrer Körper in 2D
Starrer Körper in 3D
n starre Körper in 3D
Freiheitsgrade f
Bewegungsarten
Freiheitsgrade, Bindungen
Freiheitsgrade [degrees of Freedom, DOF]:
Objekt
Freiheitsgrade f
Bewegungsarten
Punktmasse in 2D
2
2 Translationen
Punktmasse in 3D
3
3 Translationen
Starrer Körper in 2D
3
2 Transl., 1 Rotation
Starrer Körper in 3D
6
3 Transl., 3 Rotation
n starre Körper in 3D
nx6
…
Systeme von n starren Körpern mit Bindungen b [constraints]:
f = 3n – b
(in 2D)
f = 6n – b
(in 3D)
Statische Bestimmtheit
System ist statisch …
Freiheitsgrade
f = 6n - b
Gleichungssystem
unbestimmt
bestimmt
überbestimmt
>0
=0
<0
bestimmt
unterbestimmt
 Dynamik
Sechs Gleichungen für
sechs unbekannte
Auflagerkräfte /momente
Redundante Bindungen
führen zu
nichteindeutigen
Lösungen
Statisches Gleichgewicht
Statisches Gleichgewicht
F
F
10 N
Freikörperbild innerhalb der Hüllfläche
Wichtig:
Gleichgewicht nur an “Freikörperbildern”
3 Gleichgewichtsbedingungen für FKB in 2D:
!
Summe aller Kräfte in x - Richtung : F1, x  F2, x  ...  0,
!
Summe aller Kräfte in y - Richtung : F1, y  F2, y  ...  0,
!
Summe aller M omente bezüglich P : M  M  ...  F1, x h1  F2, x h2  ...  0.
 
P
1, z
P
2, z
Explizit gegeb.Momente
Momente aus Kraft mal Hebelarm
 Kräfte-GG können durch Momenten-GG ersetzt werden, aber …
 die 3 Bezugspunkte dieser Momenten-GGs dürfen nicht auf einer
Geraden liegen.
 Kräfte-GG sind wie Momenten-GG mit Bezugspunkt im Unendlichen
6 Gleichgewichtsbedingungen für FKB in 3D:
Summe aller Kräfte in x - Richtung :
F
ix
!
 0,
i
Summe aller Kräfte in y - Richtung :
F
iy
!
 0,
i
Summe aller Kräfte in z - Richtung :
F
iz
!
 0,
i
Summe aller M omente um x - Achse bezüglich Punkt P :
M
P
ix
!
 0.
i
Summe aller M omente um y - Achse bezüglich Punkt Q :
M
Q
iy
!
 0.
i
Summe aller M omente um z - Achse bezüglich Punkt R :
M
R
iz
!
 0.
i
 Kräfte-GGs können durch Momenten-GGs ersetzt werden, aber …
 max. 2 Momenten-GGs um parallele Achsen
Lösungsrezept
Schritt 1: Modellbildung. Generieren eines Ersatzmodells (Skizze mit
Geometrie, Lasten, Einspannungen). Weglassen unwichtiger Dinge. Das “reale
System” muss abstrahiert werden.
Schritt 2: Koordinaten (Wege, Winkel) einführen. Ausgelenktes System
hinzeichnen und Auslenkungen gegenüber Referenzlage beschreiben.
Schritt 3: Schneiden, FKB: System aufschneiden, Schnittkräfte/-momente,
 Freikörperbild (FKB).
Schritt 4: Gleichgewichte: Kräfte-/Momentengleichgewichte für Freikörper
anschreiben  Gleichungen.
Schritt 5: Gleichungen lösen.
Schritt 6: Auswerten: Ergebnisse prüfen, deuten, darstellen.
Verifizieren:
Mathematisch korrekt? Plausibilität, Konvergenz, … prüfen.
Validieren:
Annahmen gültig? Mit Experimenten vergleichen.
Spannungen, Dehnungen,
Werkstoffgesetze
Die Spannung [Stress]
500 N
Fotos: Lutz Dürselen
Definition der Spannung
 F 
 : lim 

A0 A


Zum Merken:
• Spannung = „verschmierte“ Schnittkraft
• Analogie: Nutella-Brot
• Spannung = Kraft pro Fläche oder  = F/A
Einheit der Spannung
Pascal:
Mega-Pascal:
Bar:
Pound per Square-Inch:
1 Pa = 1 N/m2
1 MPa = 1 N/mm2
1 bar = 105 Pa = 0,1 MPa
30 PSI ≈ 2 bar
Normal- und Schubspannungen
P
1
P
2
F
Zugstab
P
P
1
2
Schnitt 1:
mit Normalspannung 1
2
Schnitt 2: mit Normalspannung 2
und Schubspannung 2
Allgemeiner (3D) Spannungszustand ...
... in einem Punkt des Körpers:
 3 Spannungskomponenten pro Schnitt (Normalsp., 2x Schubsp.)
*
 3 Schnitte (lin. unabh.)
=
 9 Spannungskomponenten  Spannungstensor
aber nur
 6 Komponenten davon sind unabhängig („Gleichheit der zugeord. Schubsp.“)
 xx

   yx
  zx

 xy
 yy
 zy
 xz 

 yz 
 zz 
 xx

   xy
  xz

 xy
 yy
 yz
 xz 

 yz 
 zz 
Der „Spannungstensor“
Allgemeiner Spannungszustand ...
Sechs Komponenten
Der „Spannungstensor“
Darstellung von Spannungskomponenten
 Problem: Will man bunte Bilder machen, muss man sich (pro
Bild) für eine Komponente entscheiden.
 Für die gesamte Information sind eigentlich alle 6 Bilder
notwendig!
 Was tun, wenn man nur ein Bild zeigen will?
 Man kann eine „Mischung“ der Komponenten verwenden.
 So genannte „Invariante“ sind besonders „schlaue“
Mischungen, da ihr Werte unabhängig vom willkürlich
gewählten KOS bleibt.
Mises xx 2yy 2zz2xx yyxx zzyy zz3 xy 23 xz 23 yz 2
Invarianten
6 kartesische
Komponenten
Dehnungen [Strain]
Beispiel: Kletterseil
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•
•
•
•
•
•
Durchmesser: 10.5 mm
Imprägnierung: ohne
Gewicht: 72 g pro Meter
Fangstoß: 9.6 kN
Anz. Stürze: 10
Mantelverschiebung: 0 mm
Dehnung statisch: 7.7 %
Dehnung dynamisch: 32 %
Knotbarkeit: 0.7
Farbe: mix
Zum Merken:
Dehnung = relative Längenänderung (oder Winkeländerung)
Einfache technische Definition der uniaxialen Dehnung
Längen - Änderung
Dehnung 
Ursprungs - Länge
L

L0
Einheit der Dehnung
Ohne Einheit, also z.B.:
• m/m
•1
• 1/100 = %
• 1/1.000.000 = με (micro strain)
Definition des lokalen 3D Dehnungszustands
6 Komponenten:
ε yy  lim
y0 0
ε xy
Δy
,
y0
1
  Δγ,
2
ε xx  lim
x0 0
ε xz
Δx
,
x0
1
  Δβ,
2
ε zz  lim
y0 0
ε yz
Δz
z0
1
  Δα
2
y0
unverformt
(spannungsfrei)
0
z0
0
0
x0
oder:
 ij 
1
ui, j  u j ,i ,
2
i, j  {x, y, z}
Dehnungstensor:
 xx

   xy
 xz

 xy  xz 

 yy  yz 
 yz  zz 
y0+y
0+
verformt
0+
z0+z
0+
x0+x
Werkstoffgesetze [Material laws]
• Auch: „Konstitutive Gleichungen“
Stress σ
linear
• Verknüpfen Spannungen und Dehnungen
Lineares Werkstoffgesetz
  E 
1D, uni-axial, Hooke’sches Gesetz
  E 
3D mit Werkstoff-Tensor 4. Stufe
ij  Eijkl   kl
… in Indexschreibweise
  E 
3D mit Werkstoff-Tensor 2. Stufe
Strain ε
Zustand/Symmetrieannahme
Anzahl der Werkstoffparameter
Linear
Elastic
Law
• Voll besetzter Tensor 4. Stufe für drei Dimensionen
81
• Gleichheit zugeord. Schubspannungen (Boltzmann Kontinua) und Scherdehnungen
36
• Maxwellscher Reziprozitätssatz  sogenannte „Volle Anisotropie“
21
• Orthotropie
9
• Transverse Isotropie
5
• Isotropie
2
Isotropie:
v
v
(1  v)

 xx 
(1  v)
v

 

(1  v)
 yy 

  zz 
E

 

(
1

v
)

(
1

2
v
)

 xy 

  yz 

 

  zx 
 sym

E

0
0
0
0
0
(1  2v)
2
0
0
(1  2v)
2

  xx 
  
0   yy 
  
0    zz 
   xy 
0    yz 
  
(1  2v)    zx 

2 
0
0
- Elastizitätsmodul, E-Modul [Young‘s modulus]
- Querkontraktionszahl [Poisson‘s ratio] (0 ... 0.3 ... 0.5)
Kompliziertere Werkstoffgesetze:
Spannung σ
.
.
.
• Nicht-linear
• Nicht-elastisch (= plastisch)
Dehnung ε
• Viskoelastisch, Typ: innere Dämpfung
Spannung σ
Typ: Gedächtniseffekt
Belastung
Entlastung
Dehnung ε
Spannung σ
b1
k
b
Belastung
k0
k1
Entlastung
Dehnung ε
4 einfache Lastfälle
1 Zug und Druck
Zugstab (Dehnsteifigkeit EA)
F
L0
d0

d0-d
A
L
F
unbelastet
belastet
Schnitt
EA
EA
L , k 
L0
L0
2 Scherung
Scherstift (Schersteifigkeit GA)
A

F
w
τ
F
L
unbelastet
belastet
Schnitt
GA
GA
w, k 
L
L
3 Biegung (Kragbalken [Cantilever beam])
Kragbalken (Biegesteifigkeit EIa, Länge L)
z
Schnitt
Zugsp.
x
F
w

M
Neutrale
Faser
Drucksp.
Schubsp.
Drucksp.
L3
L2
w
F
M,
3EI a
2 EI a
L2
L

F
M.
2 EI a
EI a
4 Torsion
Torsionsstab (Torsionssteifigkeit GIT)
M
M
L
0
τ
R

Länge L, Radius r
Schnitt
GIT
GI
, c  T
L
L
Flächenmomente zweiten Grades [Second moment of area]
(alt: Flächenträgheitsmoment [Moment of inertia])
Vollkreis
Rechteck
D
h
Rohr
D d
b
Ia 
Axiales Flächenmoment zweiten Grades (für Biegung):
b  h3
 4

12
Ia 
64
Ia 
D
64
(D4  d 4 )
Polares Flächenmoment zweiten Grades (für Torsion):

 4
─
IT  I P 
32
D
IT  I p 
Zum Merken:
• Rechteckquerschnitt hochkant biegen  höhere Steifigkeit
• Röhre bei gleicher Masse vgl. mit Vollstange  höhere Steifigkeit
32
( D4  d 4 )