Raytracing einer triangulierten Szene

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Universität Leipzig
Institut für Informatik
Abteilung Bild- und Signalverarbeitung
Sommersemester 2007
Computergrafik-Praktikum
Betreuer: Heike Jänicke
5. Übungsblatt (Computergrafik-Praktikum)
Raytracing einer triangulierten Szene
Aufgabe 1 (Raytracing triangulierter Szenen)
Raytracing ist ein hochentwickeltes Renderingverfahren das zur Erzeugung photorealistischer Bilder eingesetzt wird. Im Gegensatz zu dem effizienteren z-Buffer
Algorithmus, der meistens in Graphikhardware implementiert ist, ermöglicht
Raytracing das Modellieren vieler Spezialeffekte, wie z.B. die Berücksichtigung
von spiegelndem und gebrochenem Licht an transparenten Materialübergängen.
Abbildung 1: Raytracing einer Szene.
Raytracing verfolgt das Licht entgegen seiner Ausbreitungsrichtung vom Betrachter zurück zu den Lichtquellen. Für jeden Bildpunkt (Pixel) wird ein Strahl
ausgehend vom Augpunkt mit der Szene geschnitten. Am ersten Schnittpunkt
wird mit Hilfe eines Beleuchtungsmodells die Farbe des Pixels ermittelt. Dazu
benötigen wir die Flächennormale und Materialeigenschaften am Schnittpunkt,
sowie die Position und Sichtbarkeit (vom Schnittpunkt) aller Lichtquellen, siehe
Abbildung 1. Im Falle einer partiell durchsichtigen oder spiegelnden Fläche wird
der Strahl gebrochen bzw. reflektiert und rekursiv weiter verfolgt.
1
Spezifikation
Implementieren Sie einen Raytracer zum realistischen Rendering triangulierter
Szenen mit folgenden Features:
• Vorgabe der Kameraperspektive und Beleuchtungssituation durch eine
manuell erstellbare Definitionsdatei.
• Ermittlung der Flächennormalen mit Hilfe von Phong Shading.
• Auswertung des (modifizierten) Beleuchtungsmodells von Phong für RGB
Farbanteile mit korrekter Ermittlung der Schatten.
• Rekursive Strahlverfolgung bei spiegelnden und transparenten Flächen.
• (freiwillige Zusatzaufgabe): Beschleunigung des Rendering Verfahrens
mit Hilfe einer uniformen Partitionierung des Raumes und entsprechender
Zerlegung einer Szene.
Der Raytracer beginnt mit dem Einlesen der Definitionsdatei, die dem hier beschriebenen Format entsprechen sollte:
• Dateiname der triangulierten Szene.
• Fenstergröße (Höhe und Breite in Pixels).
• Augpunkt (drei Koordinaten).
• Mittelpunkt der Bildebene (drei Koordinaten).
• Brennweite (reell).
• Rotationswinkel der Kamera um die Sichtrichtungsachse.
• RGB-Anteile der Hintergrundfarbe.
• RGB-Anteile der Ambienten Helligkeit.
• Anzahl der Partitionierungen für den Beschleunigungsansatz.
Die Bedeutung dieser Dateieinträge wird in den folgenden Abschnitten erläutert.
Es ist zu beachten, daß das Rendering eines Bildes (je nach Bildauflösung und
Komplexität der Szene) mehrere Minuten dauert. Die Ausgabe sollte daher
während der Berechnung erfolgen (Single-Buffering mit OpenGL).
Sichtdefinition
Für das Raytracing muß für jeden Pixel ein Strahl berechnet werden. Dazu
benötigen wir eine Funktion, welche die Bildkoordinaten in Weltkoordinaten
unter Berücksichtigung der Kameraperspektive umrechnet. Um diese Funktion
aufzustellen, ermitteln wir zwei orthogonale Basisvektoren x und y, welche die
2
Abbildung 2: Sichtdefinition
Bildebene ausgehend vom Bildmittelpunkt aufspannen, siehe Abbildung 2. Der
Vektor x soll zunächst horizontal ausgerichtet sein:
x = b × ey
und
y = x × b,
(1)
wobei b den Sichtrichtungsvektor bezeichnet und ey den vertikalen Einheitsvektor (b und ey dürfen nicht die gleiche bzw. entgegengesetzte Richtung haben).
Die Vektoren x und y sind noch zu normalisieren. Um nicht nur horizontale
Kameraeinstellungen zuzulassen, wird in der Definitionsdatei ein Rotationswinkel angegeben, um den das System {x, y} entgegen dem Uhrzeigersinn gedreht
wird.
Die Brennweite α ist das Verhältnis aus der Entfernung d des Augpunktes von
der Bildebene zur (virtuellen) Bildhöhe h. Bei großer Brennweite erhalten wir
näherungsweise eine Parallelprojektion, kleine Brennweiten führen hingegen zu
größeren Verzerrungen, wie bei einem “Fischauge” als Kameraobjektiv. Aus
der Brennweite werden die Bildhöhe h = αd und die Bildbreite w berechnet,
so daß deren Verhältnis mit dem der Fensterausmaße aus der Definitionsdatei
übereinstimmt.
Schnittpunktberechnung
Alle Primitive (Dreiecke) einer Szene werden zunächst mit dem Strahl
ray(t) = e + tb
(2)
geschnitten. Hierbei bezeichnet e den Augpunkt und b die Richtung des Strahls.
Von allen Schnittpunkten wird derjenige ermittelt, der dem Augpunkt am nächsten ist, d.h. derjenige mit kleinstem (positivem) Parameter t. Wurde kein Schittpunkt gefunden, so erhält der zugehörige Pixel die Hintergrundfarbe.
Um den Schnittpunkt des Strahls mit einem Dreieck, gegeben durch die Punkte
p1 , p2 , p3 , zu ermitteln, wird zunächst die Ebene des Dreiecks in Normalenform
3
aufgestellt:
(x − p1 ) · n = 0,
(3)
wobei n die Normale des Dreiecks ist. Durch Einsetzen des Strahls für x erhalten
wir den Parameter t des Schnittpunktes mit der Ebene,
t =
(p1 − e) · n
,
b·n
(4)
sofern Strahl und Ebene nicht parallel sind (b · n 6= 0).
Abbildung 3: Baryzentrische Koordinaten.
Mit dem Parameter t ist auch der Schnittpunkt p ermittelt, der jedoch nur
dann gültig ist, wenn er innerhalb des Dreiecks liegt und wenn t positiv ist.
Ersteres kann mit Hilfe der baryzentrischen Koordinaten αi festgestellt werden:
der Punkt p besitzt die Darstellung
X
p = α1 p1 + α2 p2 + α3 p3 , mit
αi = 1.
(5)
Liegt p außerhalb des Dreiecks, so ist mindestens eine der baryzentrischen Koordinaten negativ. Die baryzentrischen Koordinaten entsprechen den Flächenanteilen der in Abbildung 3 dargestellten Teildreiecke und können wie folgt berechnet werden:
area(p, pi+1 , pi+2 )
,
area(p1 , p2 , p3 )
area(a, b, c) = 12 k(b − a) × (c − a)k,
kαi k =
(6)
mit Indizes modulo 3. Die Vorzeichen der baryzentrischen Koordinaten können
durch Vergleichen der Orientierungen der Vektoren n und (b − a) × (c − a)
ermittelt werden.
Eine andere Möglichkeit festzustellen, ob der Punkt p innerhalb des Dreiecks
liegt, besteht darin, die (nicht orientierten) Flächen der Teildreiecke zu addieren
und mit der Gesamtfläche des Dreiecks zu vergleichen. Ist die Summe der einzelnen Teilflächen größer, so liegt der Punkt außerhalb. Bei diesem Test sollte
jedoch eine kleine Diskrepanz ε zugelassen sein, um numerische Fehler auszuschließen.
4
Abbildung 4: Winkel zur Auswertung des Beleuchtungsmodells.
Das Beleuchtungsmodell von Phong
Wurde ein gültiger Schnittpunkt p des Sichtstrahles mit der Szene ermittelt, so
ist nun noch die Farbe des entsprechenden Pixels zu berechnen, unter Berücksichtigung der Materialeigenschaften und der Beleuchtungssituation. Die Farbe
wird mit Hilfe eines Beleuchtungsmodells wie folgt ermittelt.
Zunächst benötigen wir die Flächennormale n im Punkt p. Um den Eindruck
einer glatten Fläche zu erwecken, verwenden wir Phong Shading, d.h.
n = α1 n1 + α2 n2 + α3 n3 ,
(7)
wobei ni die Normalen der Eckpunkte pi des Dreiecks und αi die baryzentrischen
Koordinaten von p bezeichnen.
Sei a der Vektor zum Augpunkt (umgekehrte Blickrichtung). Falls der Winkel
zwischen a und n mehr als 90◦ beträgt, so ist die Orientierung von n umzukehren. Angenommen, es existiert nur eine einzige (punktförmige) Lichtquelle, die
vom Punkt p aus in Richtung des Vektors l sichtbar ist. Dann würde gespiegeltes
Licht entlang der Richtung r, wie in Abbildung 4 dargestellt, reflektiert,
r = 2(n · l) n − l.
(8)
Hierbei wurde vorausgesetzt, daß die Vektoren a, n und l normalisiert sind. Die
entscheidenden Größen für das Beleuchtungsmodell sind die Winkel θ (zwischen
n und l) und α (zwischen a und r).
Die zu berechnende Farbintensität setzt sich aus drei Termen zusammen:
• Die ambiente Intensität ist ein (in der Regel schwacher) Anteil des Lichtes, das von anderen Flächenkomponenten diffus reflektiert wird und im
Punkt p eintrifft. Der Einfachheit halber wird dieser Term als konstant
(unabhängig von p) angenommen. (Eine genaue Berechnung dieser Intensität ist mit dem Radiosity Verfahren möglich.)
• Als diffus bezeichnen wir das Licht, welches von einer oder mehreren Lichtquellen ausgehend am Punkt p eintrifft und von dort (wie das ambiente
5
Licht) gleichmäßig in alle Richtungen abgestrahlt wird. Die diffuse Intensität hängt daher nicht von der Position des Augpunktes, wohl aber von
der Beleuchtungssituation ab.
• Spiegelndes Licht ist genau dann anzutreffen, wenn sich, vom Augpunkt
gesehen, eine Lichtquelle in p spiegelt. In diesem Fall ergibt sich in der
Umgebung von p ein (meistens sehr intenses) “Highlight”, dessen Größe
auch von der Glänzigkeit (Shininess) des Materials abhängt.
Diese drei Terme sind in dem Beleuchtungsmodell von Phong zusammengefaßt,
das die Intensität für eine bestimmte Wellenlänge λ liefert:
Iλ = Iaλ ka Odλ + fatt (dl )Ilλ (kd Odλ cosθ + w(θ)coss α) .
(9)
Das Beleuchtungsmodell kann z.B. für rote, grüne und blaue Farbanteile berechnet werden, d.h. λ ∈ {λR , λG , λB }. Die einzelnen Konstanten und Funktionen
haben folgende Bedeutung:
• Iaλ beschreibt die Intensität des ambienten Lichtes (konstant für jede einzelne Wellenlänge).
• Ilλ ist die Intensität der Lichtquelle (für jede Wellenlänge).
• Odλ ist die Materialfarbe (Intensität diffus reflektierten Lichtes für jede
Wellenlänge).
• ka und kd sind zusätzliche Materialkonstanten (wellenlängenunabhängig)
zur Gesamteinstellung der ambienten und diffusen Intensität.
• fatt (dl ) ist eine Funktion der Entfernung dl der Lichtquelle zum Punkt p,
zum Modellieren der Abschwächung (Attenuation) während der Ausbreitung des Lichtes.
• w(θ) ist eine materialabhängige Funktion.
• s ist eine Konstante für die Glänzigkeit des Materials. Der Term coss α
modelliert das Abfallen des spiegelnden Highlights entlang der Fläche und
hat empirischen Charakter (keine theoretische Grundlage).
Die Abschwächung des Lichtes fatt ist in der Natur quadratisch proportional
zum Ausbreitungsweg d, d.h. fatt (d) = d12 . Dies führt jedoch beim Rendering
nicht immer zu zufriedenstellenden Resultaten. Wir verwenden daher eine Allgemeinere Form dieser Funktion,
fatt (d) =
1
.
c0 + c1 d + c2 d2
(10)
Die Konstanten ci befinden sich in der Definitionsdatei und erlauben es, quadratische, lineare, und konstante Abschwächung oder jede gewünschte Kombination
zu modellieren.
6
Das Beleuchtungsmodell für den Praktikumsraytracer hat noch einige (kleine)
Besonderheiten: die Konstanten ka und kd , sowie die Funktion w(θ) werden
durch Eins ersetzt. Statt dessen sind die ambienten, diffusen, und spiegelnden
RGB-Farbanteile des Materials voneinander unabhängig und werden mit Oaλ ,
Odλ und Osλ bezeichnet. Die diffusen und spiegelnden Terme sind für jede vom
Punkt p aus sichtbare Lichtquelle l aufzuaddieren. Das zu implementierende
Beleuchtungsmodell hat diese Form:
X
Iλ = Iaλ Oaλ +
fatt (dl )Ilλ (Odλ (n · l) + Osλ (max{0, r · a})s ) . (11)
l sichtbar
Hier wurde bereits n·l für cosθ und r·a für cosα eingesetzt. Der spiegelnde Term
verschwindet für Winkel α ≥ 90◦ . Eine Lichtquelle l ist vom Flächenpunkt p
(mit Normale n) aus sichtbar, wenn θ < 90◦ und wenn das Geradensegment von
p bis zur Position der Lichtquelle keine anderen Objekte (Dreiecke) schneidet.
Freiwillige Zusatzaufgabe (Beschleunigung)
Der Zeitaufwand für das Rendering wird im Wesentlichen dadurch bestimmt,
daß jeder Strahl mit allen Dreiecken einer Szene geschnitten werden muß. Da
die meisten Strahlen jedoch nur geringe Teile der Szene durchdringen, ist eine
räumliche Partitionierung der Szene und eine darauf basierende Vorauswahl der
zu verschneidenden Dreiecke sinnvoll.
Abbildung 5: Drei Unterschiedliche Fälle des Hineinragens eines Dreiecks in
einen Voxel.
Zuerst bestimmen wir die kleinste Bounding Box (umschließenden Quader) der
Szene. Diese wird in n3 Voxels (Quader gleicher Größe) unterteilt. Die Konstante
n befindet sich in der Definitionsdatei. Unmittelbar nach dem Einlesen der Szene
wird für jeden Voxel eine Liste mit Dreiecken angelegt, die in diesen Voxel
hineinragen (es empfiehlt sich, Zeiger auf die Dreiecksobjekte zu verwalten, da
einzelne Dreiecke häufig in mehrere Voxels hineinragen). Ein Dreieck, gegeben
durch die Punkte p1 , p2 , p3 , ragt in einen Voxel hinein, wenn mindestens einer
der folgenden drei Tests positiv ist (siehe auch Abbildung 5):
1. Einer der Eckpunkte pi liegt innerhalb des Voxels.
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2. Eine der drei Kanten p1 p2 , p2 p3 und p3 p1 schneidet die Oberfläche des
Voxels.
3. Eine der vier Hauptdiagonalen des Voxels schneidet das Dreieck.
Bei der Strahlverfolgung wird nun zuerst ermittelt, welche Voxels ein bestimmter Strahl durchdringt. Dieser wird dann nur noch mit denjenigen Dreiecken
geschnitten, welche sich in den zugehörigen Listen befinden. Insbesondere bei
komplizierten Szenen bestehend aus sehr vielen Dreiecken erhöht dieses Vorauswahlverfahren erheblich die Effizienz des Raytracers.
Spiegelnde Flächen
Für die Materialfarbe sind im Dateiformat jeweils vier Komponenten (RGBA)
vorgesehen. Der Wert von A, der (eigentlich) die Transparenz eines Materials darstellt, wurde bislang ignoriert. Wir verwenden hier die Komponente A
der spiegelnden Farbeigenschaft um partiell spiegelnde Flächen zu rendern. Ein
Wert von Eins bedeutet, daß das Material matt ist, wie bisher angenommen.
Ein kleinerer, positiver Wert bedeutet, daß das Material partiell spiegelnd ist.
in diesem Fall wird die Farbe nur zu einem Anteil von A durch Iλ aus dem
Beleuchtungsmodell bestimmt. Der verbleibende Anteil von (1-A) wird durch
rekursive Verfolgung des reflektierten Strahls ermittelt. Die Rekursionstiefe ist
zu begrenzen.
Abbildung 6: Brechung eines Strahls am Materialübergang.
Transparente Flächen
In der Natur stellen Flächen Übergänge unterschiedlicher Materialien dar. In
diesem Fall verringert oder erhöht sich der Winkel β eines Strahls zur Flächennormalen beim Austreten auf der anderen Flächenseite, siehe Abbildung 6. Je
nach Richtung des Strahls, bezogen auf die ursprüngliche Orientierung der
Flächennormale, wird der Winkel β mit einem Brechungsfaktor multipliziert
oder durch selbigen geteilt. (Der Brechungsfaktor kann z.B. in der ambienten
Komponente A gespeichert werden.) Erhöht sich der Winkel β auf über 90◦ , so
wird der Strahl reflektiert statt gebrochen. (Für ein korrektes Rendering müßte
die Brechung auch bei der Auswertung des Beleuchtungsmodells berücksichtigt
werden, was nicht zu realisieren ist, da die Strahlen immer in einer Lichtquelle
enden müssen. Hier helfen andere Verfahren, wie z.B. Radiosity.)
8
Um transparente Flächen zu rendern, verwenden wir die Komponente A der
diffusen Farbeigenschaft (Eins bedeutet undurchsichtig und Null bedeutet voll
transparent). Wie im spiegelnden Fall wird der gebrichene Strahl fortgesetzt
und rekursiv weiter verfolgt. Die zurückgelieferte Farbe des rekursiven Strahls
bestimmt zu einem Anteil von (1-A) die aktuelle Pixelfarbe. Um nur jeweils
einen Strahl verfolgen zu müssen, wird angenommen, daß die Flächen entweder
spiegelnd oder transparent sind, aber nicht beides zugleich. Auch hier ist die
Rekursionstiefe zu begrenzen.
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