Studentisches Skriptum zu diesem Teil

Projektarbeit Quantenmechanik II
Konzepte der Quantenmechanik – Kets, Bras und Operatoren
Gruppe Born
Stefan Brünner, Corinna Gressl, Barbara Krebl
Stefan Sattler, Hans-Peter Zach
Sommersemester 2008
Abstract Die Mathematik der Quantenmechanik ist die Funktionalanalysis.
In dieser Schreibweise identifizieren wir die Zustände mit Vektoren (Kets und
Bras) in einem Vektorraum und die Obervablen mit Operatoren, die auf diese
Vektoren wirken. In deisem Abschnitt erinnern wir an die wichtigsten Ideen
der Funktionalanalysis.[6]
Inhaltsverzeichnis
1 Kets, Bras und Operatoren
1.1 Vektorräume . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Definition eines Vektorraums
1.1.2 Wichtige Vektorräume . . . .
1.1.3 Ket- und Braspace . . . . . .
1.2 Kets . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Eigenkets . . . . . . . . . . .
1.2.2 Eigenzustände . . . . . . . .
1.3 Braspace und Dual Correspondence .
1.3.1 Inneres Produkt . . . . . . .
1.4 Operatoren . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Äußeres Produkt . . . . . . .
1.4.2 Das assoziative Axiom . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
2
2
2
3
3
4
4
4
5
6
7
1 Kets, Bras und Operatoren
1.1 Vektorräume
Unsere Überlegungen haben gezeigt, dass unsere eingeführten Zustände Elemente eines
komplexen Vektorraumes V sind:
|αi ∈ V
1
1
Kets, Bras und Operatoren
In diesem Kapitel werden wir die für die Quantenmechanik wichtigen Vektorräume einführen.
Es sind dies der Ket - Raum und dessen Dualraum der Bra - Raum (bra-c-ket vom engl.
bracket). Die mit diesen Räumen verbundene neue Notation wurde von P.A.M. Dirac
erdacht.
Bevor wir uns eingehender mit dieser neuen Notation beschäftigen, soll hier noch einmal
das Wichtigste über Vektorräume wiederholt werden.
1.1.1 Definition eines Vektorraums
Sei X eine Abelsche Gruppe und A ein Zahlenkörper (Elemente sind Skalare), so heißt X
Vektorraum V wenn für x, y ∈ X und α, β ∈ A gilt:
1. x + y = y + x
2. x + 0 = x, 0 ∈ X
3. α(x + y) = αx + αy
4. (α + β)x = αx + βx
5. α(βx) = (αβ)x
1.1.2 Wichtige Vektorräume
Für die Quantenmechanik von besonderem Interesse sind die Hilberträume. Als einen
Prähilbertraum bezeichnet man einen Vektorraum mit definiertem Skalarprodukt. Ist
dieser auch noch vollständig so spricht man von einem Hilbertraum. Der Raum der
Quantenzustände ist ein Hilbertraum.
Weiters soll nun besonders in Hinblick auf den Bra- und Ket-Raum der sogenannte
Dualraum eingeführt werden.
Der Dualraum zum über den Körper A definierten Vektorraum V wird als V ∗ bezeichnet.
Er besteht aus der Menge aller linearen Abbildungen von V nach A und ist selbst wieder
ein Vektorraum über dem Körper A. In der Physik wird auch häufig die Bezeichnungen
kontravariant für Elemente aus V und kovariant für Elemente aus V ∗ verwendet. Ein
Beispiel für einen Vektorraum und dessen Dualraum ist wie bereits erwähnt der Ket-Raum
als V und der Bra-Raum als V ∗ .
1.1.3 Ket- und Braspace
Als Ket bzw. Braspace betrachten wir einen komplexen Vektorraum, dessen Dimension der
Maximalzahl linear unabhängiger Elemente entspricht. Wir sprechen vom bereits erklärten
Hilbertraum.
Der Braspace ist der zum Ketspace duale Raum, was bedeutet, daß es zu jedem Ket einen
entsprechenden Bra gibt. Weiters existiert der Braraum nicht als Teil des Hilbertraums
der Kets, sondern ist ein eigener Hilbertraum H∗.
Dargestellt werden Bra und Ket mittels der sogenannten Dirac-Notation:
BRA
hα|
KET
|βi
2
1
Kets, Bras und Operatoren
1.2 Kets
Ein Zustandsvektor, der alle Informationen zum physikalischen Zustand des betrachteten
Systems enthält.
Definierte Verknüpfungen von Kets in H
1. Addidtion:
|αi + |βi = |βi + |αi
Die Summe ist wieder ein Ket, das Element von H ist.
2. Multiplikation mit komplexer Zahl c ∈ C:
c |αi = |αi c = |cαi
- der sich ergebende Ket ist natürlich wieder Element von H - es gibt kein Unterschied
zwischen den oben angeführten 3 Möglichkeiten
Wie auch im Vektorraum gilt die Assoziativität und Distributivität, es existiert ein
Nullvektor und ein inverses Element bezüglich der Addition.
Physikalisch betrachtet repräsentieren c |αi mit c 6= 0 und |αi denselben Zustand, was
bedeutet, daß nur die Richtung zählt. Daraus ergibt sich das man es mathematisch gesehen
eher mit Zeigern als mit Vektoren zu tun hat.
1.2.1 Eigenkets
Die Eigenkets zu den Eigenwerten einer Observablen, kann man sich als Eigenvektoren zu
den Eigenwerten einer Matrix vorstellen.
Als Observablen betrachtet man z.B. den Impuls, den Ort, etc. Sie werden als Operatoren dargestellt, die rechnerisch als Matrizen behandelt werden.
Operatoren wirken von links auf Zustände und erzeugen damit wieder ein neues Ket:
b · (|αi) = A
b |αi
A
Wie später noch zu sehen sein wird, ist der Operator nicht als Konstante zu verstehen,
b |αi gleich einem Vielfachen von |αi wäre.
sodaß A
b γ 1 , γ 2 , γ 3 , ...
Die Eigenkets eines Operators A
haben die Eigenschaft
b γ 1 = γ 1 γ 1
A
b γ 2 = γ 2 γ 2
A
..
.
b
mit γ n als Eigenwerte des Operators A.
b
Anwendung des Operators A auf einen seiner Eigenkets produziert also einen Ket, der
dem Vielfachen des benutzen Eigenkets entspricht.
3
1
Kets, Bras und Operatoren
1.2.2 Eigenzustände
Der physikalische Zustand zum Eigenket wird nun als Eigenzustand bezeichet. Er beinhält
den Eigenwert, sowie den Eigenket.
Ein Beispiel aus dem Stern-Gerlach Versuch:
Sz |Sz ; +i =
~
|Sz ; +i
2
~
Sz |Sz ; −i = − |Sz ; −i
2
Sz ...Operator |Sz ; ∓i ...Eigenkets des Operators Sz ± ~2 ...Eigenwerte
also: Operator wirkend auf den Eigenket = Eigenwert mal Eigenket
b spannen einen n-dimensionalen Raum auf, in dem
Die n Eigenkets eines Operators A
sich ein Ket |α >i folgendermaßen darstellen lässt:
|αi =
X
c · n |γ n i
n
Die Eigenkets sind zueinander orthogonal bzw. wenn normiert orthonormal.
1.3 Braspace und Dual Correspondence
Wie bereits erwähnt ist der Braspace der duale Raum zum Ketspace. Die oben erwähnten
Rechenregeln gelten in gleichem Maß für den Braspace. Die Verbindung zwischen Bra und
Ketspace kann man mit der sogenannten dual correspondence (DC) beschreiben.
1. Zu jedem Ket existiert auch ein Bra |αi DC hα|
2. Der Braraum wird durch Eigenbras aufgespannt, zu denen es auch entsprechende
Eigenkets gibt und umgekehrt |γ1 i, |γ2 i,... DC hγ1 |, hγ2 |,...
3. Addition und Multiplikation mit komplexer Zahl
|αi + |βi DC hα| + hβ|
c1 |αi + c2 |βi DC c∗1 hα| + c∗2 hβ| ... der Faktor ist komplex zu konjugieren
Den Bra zum Ket und umgekehrt erhält man durch komplexe Konjugation.
1.3.1 Inneres Produkt
Ein Inneres Produkt wird immer aus einem Bra und einem Ket gebildet und hat folgende
Form:
hα|βi
Im allgemeinen ergibt sich daraus eine komplexe Zahl
Mathematische Regeln zum Inneren Produkt
1. hα|βi = hβ|αi∗
2. hα|αi ≥ 0, = 0 wenn |ai ein Nullket
4
1
Kets, Bras und Operatoren
3. Orthogonalität die KETS |ai und |bi sind orthogonal wenn hα|βi = hβ|αi = 0
p
4. Norm eines Ket hα|αi
..wird als Norm eines Kets analog zum Betrag eines Vektors im euklidischen Raum bezeichnet
Der normierte Ket - analog zum normierten Vektor - hat folgende Form:
1
|αn i = ( p
) · |αi
hα|αi
es folgt hαn |αn i = 1
Im Euklidischen Raum wird das Innere Produkt auch Skalarprodukt genannt
~a · ~b = ~b · ~a
In der Quantenmechanik muss allerdings strikt zwischen hα|βi und hβ|αi unterschieden
werden. Das Wort Skalar wird hier lediglich für eine unter Rotation im 3R invariante
Größe benutzt.
1.4 Operatoren
Wie wir sehen werden werden in der Quantenmechanik Observablen durch Operatoren
beschrieben welche auf Zustände, kets wirken (z.B. Impulsoperator, Ortsoperator,...). Ein
Operator wirkt auf einen Ket von links, also
b · (|αi) = A
b · |αi
A
und das Ergebnis ist wieder dein Ket. Dagegen wirkt ein Operator auf einen Bra von rechts
und das Ergebnis ist wieder ein Bra.
An dieser Stelle seien ein paar wichtige Eigenschaften der Operator-Rechnung zusammengefasst:
b B
b sind dann gleich wenn gilt:
1. Zwei Operatoren A,
b · |αi = B
b · |αi
A
b für denn gilt:
2. Ein Operator A
b · |αi = 0
A
heißt Null-Operator.
b B
b,C
b gilt:
3. Für die Operatoren A,
b+B
b=B
b+A
b
A
b + (B
b + C)
b = (A
b + B)
b +C
b
A
bB
b 6= B
bA
b
A
bB
b B)
b = (A
bB)
b C
b
A(
bB
b |αi) = (A
bB)
b |αi = A
bB
b |αi
A(
bB
b = hβ| (A
bB)
b = hβ| A
bB
b
(hβ| A)
bB)
b †=B
b†A
b†
(A
5
1
Kets, Bras und Operatoren
4. Für lineare Operatoren (fast alle Operatoren in der QM sind linear) gilt:
b |αi + cβ A
b |βi
b α |αi + cβ |βi) = cα A
A(c
5. Für Adjungierte Operatoren gilt:
E
D
E D
b† Ψ|Φ
b
Ψ|AΦ
= A
6. Ein Operator heißt Selbstadjungierter Operator wenn gilt:
b=A
b† . . . ∀ hΨ| ∈ V ? , |Φi ∈ V
A
Selbstadjungierte Operatoren haben weiters die schöne Eigenschaft, dass sie reele Eigenwerte haben und ihre Eigenvektoren orthogonal zueinander sind. Das heißt aber, dass
somit die Eigenvektoren eine vollständige, orhogonale Basis aufspannen.
E
E
(i)
(i) (i)
b
A a
= a a
mit a(i) ∈ R
D
E
a(i) |a(j) = δij
Wie wir gesehen haben bildet ein Operator ein Objekt aus einem Vektorraum in einen
anderen ab. Für den diskreten Fall ist der Operator durch eine Matrix darstellbar:
E
D
E D
bdagger β|α
b |αi = β|Aα
b = A
hβ| A
Oder in Komponentenschreibweise:
b
b = β?A
hβ| A
k kj
b |αi = A
bkj αj
A
E? D
b† β = A
b? βk )? = A
b† β = (A
kj
b† )ij = A
b? Der Operator A
b wirkt im Ket-Raum, während der Operator
Es gilt also: (A
ji
b† im Bra-Raum wirkt!
A
1.4.1 Äußeres Produkt
Neben dem Inneren Produkt zwischen zwei Zuständen |αi und hβ| existiert auch noch ein
Äußeres Produkt:
|αi hβ|
Dieses Äußeres Produkt ist selbst ein Operator, da:
|αi hβ|γi = |αi · c = c · |αi
mitc ∈ C
Wie leicht zu erkennen ist gilt für einen selbstadungierten Operator:
b = |αi hβ|
A
b† = |βi hα|
A
Und weiter:
b |δi = h|αi hβ|δi
h| A
b |δi)? = (h|αi hβ|δi)? = hδ|βi hα|i = hδ| A
b† |i
(h| A
6
1
Kets, Bras und Operatoren
1.4.2 Das assoziative Axiom
Wie bereits im vorangegangenen Abschnitt gezeigt wurde, sind Multiplikationsoperationen
gegenüber Operatoren assoziativ. Dieses Postulat wird von Dirac als assoziatives Axiom
der Multiplikation bezeichnet.
Um dieses Axiom zu zeigen, nehmen wir zuerst ein äußeres Produkt an, dass auf ein
Ket wirkt:
(|βihα|) · |γi.
(1)
Wendet man hierauf das assoziative Axiom an, erhält man
|βi · (hα|γi),
(2)
wobei hα|γi lediglich eine Zahl ist. Das äußere Produkt, das auf ein Ket wirkt ergibt wieder ein Ket. Anders gesagt, |βihα| kann als Operator betrachtet werden. Weil Gleichung
1 und 2 identisch sind, können wir auf die verwendeten ·“ verzichten und |βihα|γi steht
”
schließlich für den Opterator |βihα| der auf |γi wirkt, oder, analog zur vorherigen Beziehung, die Zahl hα|γi multipliziert mit |βi. Bemerkung: Der Operator |βihα| dreht |γi in
die Richtung von |βi. Es ist leicht nachzuvollziehen, dass wenn
X = |βihα|,
dann
X † = |αihβ|
ist.
Für eine zweite wichtige Illustration des assoziativen Axiom nehmen wir an, dass
(hβ|) · (X|αi) = (hβ|X) · (|αi) .
| {z } | {z } | {z } | {z }
Bra
Ket
Bra
(3)
Ket
Da beide Seiten der Gleichung gleich sind, kann sie in eine kompakte Form gebracht werden
hβ|X|αi.
Diese Form steht auf beiden Seiten der Gleichung 3. Wir erinnern uns, dass h|X † das zu
X|αi duale Bra ist, dann gilt:
hβ|X|αi = hβ| · (X|αi)
= ((hα|X † ) · |βi)∗
= hα|X † |βi∗
wobei hier zusätzlich zum assoziativen Axiom, die Eigenschaften des inneren Produkts
angewandt wurden. Für einen hermit’schen Operator X gilt:
hβ|X|αi = hα|X † |βi∗
[3, Übersetzung angelehnt]
7
Literatur
Literatur
[1] Gruppe Born. Vorlesungsmitschrift Quantenmechanik Prof. C.B. Lang. Sommersemester 2008. Universität Graz
[2] HEBENSTREIT, Florian. Vorlesungsmitschrift Quantenmechanik Prof. C.B. Lang.
Sommersemester 2004. Universität Graz
[3] SAKURAI, J.J. Modern Quantum Mechanics. (Addison-Wesley, Reading: 1994)
[4] T. Fließbach: Quantenmechanik (Spektrum Verlag Heidelberg: 1995)
[5] LANG, C.B. Mathematische Methoden in der Physik (Springer-Verlag: 1997)
[6] http://physik.uni-graz.at/~cbl/QM/
8