Grundlagen der Algebra und der elementaren Zahlentheorie

UNIVERSITÄT KOBLENZ LANDAU, CAMPUS LANDAU
INSTITUT FÜR MATHEMATIK
Dr. Dominik Faas
Grundlagen der Algebra und der elementaren Zahlentheorie
Sommersemester 2011
Lösungen zu den Übungsaufgaben zur Vorlesung vom 09.06.2011
Aufgabe Ü14
(a) Die Zahlen werden wie folgt aufgeteilt:
• −10, −3, 4, 11, 18, 25
• −9, −2, 5, 12, 19, 26
• −8, −1, 6, 13, 20, 27
• −7, 0, 7, 14, 21, 28
• −6, 1, 8, 15, 22, 29
• −5, 2, 9, 16, 23, 30
• −4, 3, 10, 17, 24
• Falls a ≡ 3 mod 5 hat a die Endziffer 3 oder 8.
(b)
• Falls a ≡ 3 mod 100 muss a die beiden Endziffern 03 haben.
• Falls a ≡ 3 mod 25 hat a die beiden Endziffern 03 oder 28 oder 53 oder 78.
• Im Fall a ≡ 3 mod 11 kann man nichts über die Endziffern von a sagen.
Wir wollen aber hier nicht beweisen, dass jede beliebige Ziffernfolge tatsächlich als
Endziffern einer geeigneten Zahl a ∈ N mit a ≡ 3 mod 11 vorkommt.
(c) Für m ∈ N und a, b ∈ Z gilt:
a ≡ b mod m
⇔
m | (a−b)
VFS 1.2
=⇒
m | ((a − b) · (a + b))
|
{z
}
⇔
a2 ≡ b2 mod m
=a2 −b2
Die umgekehrte Implikation ist falsch. Gegenbeispiel: a = 2, b = 0, m = 4.
Aufgabe Ü15
(i) x + 25 ≡ mod 11
(ii) 4x − 3 ≡ 5 mod 7
+(−25)
⇐⇒
+3
⇐⇒
x ≡ −16 mod 11
4x ≡ 8 mod 7
−16≡6
⇐⇒
:4, (ggT(4,7)=1)
⇐⇒
x ≡ 6 mod 11
x ≡ 2 mod 7
(iii)
4x − 3 ≡ 5 mod 10
+3
⇐⇒
⇐⇒
4x ≡ 8 mod 10
10
x ≡ 2 mod
2
∃u ∈ {0, 1} x ≡ 2 + u · 5 mod 10
⇐⇒
x ≡ 2 mod 10 ∨ x ≡ 7 mod 10
:4, (ggT(4,10)=2)
⇐⇒
(iv)
2
⇐⇒ x ≡ 2 mod 1
2
Diese Kongruenz ist somit für alle ganzen Zahlen x ∈ Z erfüllt, denn zum Modul 1
sind alle Zahlen kongruent zueinander. Also.
4x−3 ≡ 5 mod 2
+3
⇐⇒
4x ≡ 8 mod 2
4x − 3 ≡ 5 mod 2
⇐⇒
:4, (ggT(4,2)=2)
⇐⇒
x ≡ 2 mod
x ≡ 0 mod 2 ∨ x ≡ 1 mod 2
(v)
2x + 2 ≡ 11 mod 15
+(−2)
⇐⇒
2x ≡ 9 mod 15
·8, (s.u.)
⇐⇒
16x ≡ 72 mod 15
16x≡x, 72≡12
⇐⇒
x ≡ 12 mod 15
Zur Erläuterung des zweiten Schrittes: Um den Faktor 2 vor dem x zu eliminieren,
muss man mit einer Zahl u ∈ Z multiplizieren, für die u·2 ≡ 1 mod 15 gilt. Eine solche
Zahl u findet man, wenn man (z. B. mit dem Erweiterten Euklidischen Algorithmus)
Zahlen u, v ∈ Z mit u · 2 + v · 15 = 1 bestimmt. Hier wurde u = 8 und v = −1
durch Ausprobieren bestimmt.
Weiterhin ist zu beachten, dass ggT(8, 15) = 1 gilt. Die Multiplikation mit 8 ist also
in der Tat eine Äquivalenzumformung.
+1
(vi) 6x − 1 ≡ 4 mod 10 ⇐⇒ 6x ≡ 5 mod 10
Die lineare Kongruenz (4) 6x ≡ 5 mod 10 entspricht der Diophantischen Gleichung
(∗) 6x + 10y = 5 . Wegen ggT(6, 10) - 5 ist (∗) und damit auch (4) nicht lösbar.
+3
(vii) 6x − 3 ≡ −1 mod 10 ⇐⇒ 6x ≡ 2 mod 10
Die lineare Kongruenz (4) 6x ≡ 2 mod 10 entspricht der Diophantischen Gleichung
(∗) 6x + 10y = 2 . Wegen ggT(6, 10) | 2 ist (∗) und damit auch (4) lösbar.
Man kann nun zunächst (∗) lösen und dann auf die Lösungen von (4) schließen:
(∗) 6x + 10y = 2
Eine Lösung: (x0 , y0 ) = (2, −1)
Lösungsmenge: L∗ = {(2 + 5t, −1 − 3t); t ∈ Z}
(nach 3.15)
=⇒
(4) 6x ≡ 2 mod 10
Eine Lösung: x0 = 2
Lösungsmenge: L4 = {2 + 5t; t ∈ Z}
(nach 4.5)
Alternativ (und einfacher) lässt sich die gegebene Kongruenz wie folgt lösen:
6x − 3 ≡ −1 mod 10
+3
6x ≡ 2 mod 10
:2
3x ≡ 1 mod
⇐⇒
⇐⇒
10
ggT(10, 2)
| {z }
=5
·2, (s.u.)
⇐⇒
6x ≡ 2 mod 5
6x≡x
⇐⇒
x ≡ 2 mod 5
⇐⇒
x ≡ 2 mod 10 ∨ x ≡ 7 mod 10
(vergleiche dies mit der oben ermittelten Lösungsmenge)
Oben wird mit 2 multipliziert, da dann 6x entsteht, was (modulo 5) kongruent zu x
ist. Dies ist eine Äquivalenzumformung, denn es gilt ggT(2, 5) = 1.
Diese Lösungen finden sie auch unter
http://www.uni-koblenz-landau.de/landau/fb7/mathematik/team/dominik-faas/material/azt