Statische Magnetfelder

Statische Magnetfelder
Bewegte Ladungen erzeugen Magnetfelder.
Im Magnetfeld erfährt eine bewegte Ladung eine Kraft.
Elektrische Felder werden von ruhenden und bewegten Ladungen
gleichermaßen erzeugt. Die Kraft durch ein elektrisches Feld auf
eine Ladung ist unabhängig von ihrer Geschwindigkeit.
Elektrischer Strom bedeutet Bewegung von Ladungen.
Deshalb werden durch Ströme Magnetfelder erzeugt.
In diesem Kapitel werden Magnetfelder behandelt, deren Stärke und
Richtung nicht von der Zeit abhängen.
Sie werden durch Ströme erzeugt, die ebenfalls nicht zeitabhängig sind.
Auch ruhende Permanentmagnete erzeugen statische Magnetfelder.
94
Magnetische Feldstärke
r
Wir führen ein die magnetische Feldstärke B
Zur Bezeichnung:
Beim Magnetfeld wurde früher der Begriff „Magnetische Flussdichte“ anstelle
der magnetischen Feldstärke verwendet. Der Begriff Feldstärke wurde für die
Größe H verwendet. Es gilt ein ähnlicher Zusammenhang zwischen B und H
wie zwischen E und D:
r
r
B = μ0 H
Beim elektrischen Feld sind die Ladungen Quellen des Feldes
r
ε 0 div E = ρ
Poisson-Gleichung
Das Magnetfeld besitzt keine Quellen (keine magnetischen Monopole).
r
div B = 0
Magnetfeldlinien sind daher immer in sich geschlossen.
95
Erzeugung von Magnetfeldern, Ampèresches Gesetz
Magnetfelder werden nicht durch Quellen erzeugt aus denen Feldlinien
entspringen, sondern durch bewegte Ladungen um die herum sich ein
wirbelförmiges Feld ausbildet.
r
B
I
Magnetfeld eines
stromdurchflossenen Leiters
Die elementare Gleichung lautet daher
r
r
rot B = μ 0 j
bzw.
r r
rot H = j
96
r
Der mathematische Operator Rotation ( rot B ) berechnet die lokale
Wirbelstärke eines Vektorfeldes.
Die Richtung der Wirbelachse zeigt in Richtung der Stromdichte.
Berechnung der Rotation in kartesischen Koordinaten:
r ⎛
rot B = ⎜⎜
⎝
∂Bz ∂B y
−
∂y
∂z
,
∂Bx ∂Bz
−
∂z
∂x
,
∂B y
∂Bx
−
∂x
∂y
⎞
⎟⎟
⎠
r
Die Wirbelstärke des Magnetfeldes wird durch die Stromdichte ( j )
verursacht.
Die Konstante μ 0 heißt Induktionskonstante oder magnetische
Permeabilitätskonstante und ist aufgrund der Definition des Amperes exakt:
μ 0 = 4π ⋅10 −7
Vs
Am
97
Integrale Form der Quellenfreiheit von Magnetfeldern
Anschauliche Formulierung:
Wenn in einem ganzen Volumen keine Quellen vorhanden sind, müssen
durch die Oberfläche des Volumens genauso viele Feldlinien herauslaufen
wie hineinlaufen.
Analogie zum Wasser:
In einem Volumen unter Wasser ist die Quellstärke im Wasser überall
Null, deshalb muss genauso viel Wasser durch die Oberfläche des
Volumens heraus fließen, wie hineinfließt.
Wir führen ein den magnetischen Fluss
Definition:
r r
Φ = ∫ B ⋅ dA
Fläche
Maß dafür, wieviel Magnetfeld
durch die Fläche A durchtritt.
98
Mit dem Gaußschen Satz
r
∫ div f dV
=
Volumen
∫
r r
f ⋅ dS
Oberfläche
lässt sich nun mathematisch präzise formulieren:
r
∫ divB dV =
Volumen
r r
∫ B ⋅ dS = 0
Oberfläche
d.h. da es prinzipiell keine Quellen des Magnetfeldes gibt, gibt es keine
Quellen in dem Volumen. Deshalb ist der magnetische Fluss durch die
geschlossene Oberfläche des Volumens gleich Null.
differentielle Formulierung
Quellenfreiheit des
Magnetfeldes:
r
div B = 0
integrale Formulierung
r r
∫ B ⋅ dS = 0
Oberfläche
Die Äquivalenz wurde mathematisch mit dem Gaußschen Satz gezeigt.
99
Stokesscher Satz
Für stetig differenzierbare Vektorfelder gilt folgender Zusammenhang:
r r
∫ rot B ⋅ d A =
Fläche
r r
∫ B ⋅ ds
Randkurve
Die Größe eines Wirbels lässt sich auf zwei Weisen erfassen:
die lokale Wirbelstärke ( rot B ) integriert über eine Fläche (linke Seite), oder
die Feldstärke B selbst, integriert entlang des Randes der Fläche, d.h. z.B.
entlang einer geschlossenen Feldlinie des Magnetfeldes (rechte Seite).
r
rot B
r
B
100
Integrale Form des Ampèreschen Gesetzes
Für den Strom der durch eine bestimmte Fläche tritt erhält man:
μ0 I = μ0
r r
∫ j ⋅dA =
Fläche
r r
∫ rot B ⋅ d A =
Fläche
r r
∫ B ⋅ ds
Randkurve
Und damit das Ampèresche Gesetz in der integralen Form
μ0 I =
r r
∫ B ⋅ ds
bzw.
Randkurve
I=
r r
∫ H ⋅ ds
Randkurve
Erinnere: die differentielle Form lautete
r
r
rot B = μ 0 j
bzw.
r r
rot H = j
Die Integrale Form rechnet mit Strömen durch eine ganze Fläche,
die differentielle Form berechnet lokal die Wirbelstärke aus der Stromdichte.
101
Beispiele zur Berechnung von Magnetfeldern
Magnetfeld eines geraden Leiters:
r
B
I
Die Feldlinien laufen kreisförmig um den
Leiter. Der Betrag von B ist überall auf dem
Kreis gleich, also gilt:
μ0 I =
r
r
r r
∫ B ⋅ d s = 2π r B
kreisförmige
Randkurve
⇒ B(r ) =
μ0 I
2π r
Vektoriell geschrieben, ergibt sich für einen Strom entlang der z-Achse:
r r
μ I (− y, x,0)
μ 0 I (− y, x,0)
=
B(r ) = 0
2π
r2
2π x 2 + y 2 + z 2
102
Magnetfeld einer langen, dünnen Spule
Das Feld im Innern der Spule ist näherungsweise homogen:
(a)
Integrationsweg
(b)
(b)
r
B
a) Außerhalb der Spule ist ein vergleichsweise kleines Feld,
b) Senkrecht zu den Feldlinien liefert das Linienintegral keinen Beitrag
Durch die Fläche, die vom Weg umschlossen wird, tritt n mal der Strom I.
Es ergibt sich:
μ0 I =
r r
∫ B ⋅ ds = l B
Randkurve
In einer Spule der Länge l mit n Windungen herrscht die Magnetfeldstärke:
B = μ0
n
I
l
103
Biot-Savart-Gesetz
Mit diesem Gesetz kann das Magnetfeld einer beliebigen Stromverteilung
berechnet werden.
Es folgt aus dem Ampèrschen Gesetz (Herleitung wird hier nicht gezeigt).
r
ds
z
r
r12
r
r2
r
r1
y
r
B
x
r
r
r r
μ
r × ds
B(r ) = − 0 I ∫ 12r 3
4π Draht r12
Das Wegintegral läuft entlang des gesamten
stromführenden Drahtes.
Jedes Drahtstück trägt zum Magnetfeld am
Ort
r
r1 bei
104
Mit dem Biot-Savart-Gesetz können auch komplizierte Spulen
berechnet werden:
Beispiele von Spulen zum Einschluss von Plasma bei der Kernfusion
Max-Planck-Institut für Plasmaphysik
105
Magnetfeld einer Leiterschleife: (Anwendung des Biot-Savart-Gesetz)
Aus Symmetriegründen hat das B-Feld entlang der z-Achse nur
eine z-Komponente
z
r
r
r r
μ0
r12 × ds
B(r ) = −
I ∫ r 3
4π Draht r12
r
r
r12 steht senkrecht auf ds .
Die z-Komponente des Vektors
r
r
r12 × ds ist gleich − R ds
r
r12
y
r
r1
r
ds
x
R
μ0
R
Bz (0,0, z ) =
I ∫ r 3 ds
4π Draht r12
r
r12 ist immer gleich, also folgt
R2
μ0 R
μ0
Bz (0,0, z ) =
I r 3 2π R =
I
4π r12
2 (R 2 + z 2 )3 2
106
Helmholtz-Spule:
homogenes Feld
z
Mit einer Anordnung aus zwei kreisy
förmigen Spulen im Abstand von dem
halben Durchmesser kann ein sehr
x
homogenes Magnetfeld erzeugt werden.
(Abweichung <1% für z < 0.3·R)
Bz (0,0, z ) =
μ 0 ⎛⎜
I
(
R2
2 ⎜ R 2 + ( z + R )2
2
⎝
)
3
2
⎞
⎟
+
3
2
R 2 2 ⎟
R + (z − 2 )
⎠
(
R2
)
Entwicklung in eine Potenzreihe liefert näherungsweise
Bz (0,0, z ) =
μ0 I
⎛ 144 z 4 ⎞
⎜1 −
⎟
2
32 ⎜
4 ⎟
(5R / 4) ⎝ 125 R ⎠
107
Kräfte auf bewegte Ladungen
Eine bewegte Ladung erfährt im Magnetfeld eine Kraft, die senkrecht
zur Bewegungsrichtung und senkrecht zur Feldstärke des Magnetfeldes
gerichtet ist. Die Kraft nennt man Lorentz-Kraft.
Da Kraft und Bewegungsrichtung immer senkrecht aufeinander stehen,
wird durch diese Kraft keine Arbeit verrichtet.
Ist gleichzeitig ein elektrisches Feld vorhanden wirkt die Coulomb-Kraft
zusätzlich zur Lorentz-Kraft in der bekannten Weise.
Die Lorentz-Kraft ist proportional zur Geschwindigkeit der Ladung v
zur Ladungsmenge Q und zur magnetischen Feldstärke B .
Die Richtung der Lorentz-Kraft wird durch das Kreutzprodukt ausgedrückt:
(
r
r r
F =Q v×B
)
Lorentz-Kraft
108
Ist elektrisches Feld und Magnetfeld gleichzeitig vorhanden, wirkt die
Gesamtkraft:
(
r r
r
r r r
F = FCoulomb + FLorentz = Q E + v × B
)
Beachte: die Coulomb-Kraft ist nicht von der Geschwindigkeit abhängig.
r
F
r
FCoulomb
r
FLorentz
r
B
r
E
Q
r
v
109
Einheit der magnetischen Feldstärke B:
Man hätte die Einheit für das Magnetfeld frei wählen können und dann
die Lorentz-Kraft mit einer zusätzlichen Naturkonstanten K erhalten:
(
r
r r
F = K Q v×B
)
Man hat aber nicht die Einheit für das Magnetfeld definiert, sondern die
Naturkonstante K = 1 definiert. Damit erhält man als Einheit für B :
N
N
N
Nm
J
Ws
VA s Vs
[B ] =
=
=
=
=
=
=
= 2
2
2
2
2
C m/s As m/s A m A m
Am
Am
Am
m
Die Einheit der magnetischen Feldstärke ist das Tesla
Vs
T= 2
m
Analog war man vorgegangen bei der Einheit der elektrischen Feldstärke
N Nm
J
VA s V C V
[E ] = =
=
=
=
=
C Cm Cm Cm Cm m
110
Energiedichte des Magnetfeldes:
Erinnere: beim elektrischen Feld ist die Energiedichte
1
1
w = ε0E 2 = E D
2
2
Ganz ähnlich ergibt sich für das Magnetfeld (siehe auch Seite 163)
1
1 1 2
w= BH =
B
2
2 μ0
Vergleich: Energiedichte E-Feld und B-Feld:
Beispiel: Energiedichte eines elektrischen Feldes mit 2· 106 V/m
(maximales Feld in Luft bevor Blitz entsteht).
2
1
(As)
J
⎛
6 V⎞
2
10
=
17
.
7
⋅
w = 8.85 ⋅10 −12
⎜
⎟
2
Nm 2 ⎝
m⎠
m3
110b
Beispiel: Energiedichte eines Magnetfeldes mit 20 Tesla
(maximales Feld das heute erzeugt werden kann).
1
1 1 2
w= BH =
B
2
2 μ0
2
J
1 1 Am ⎛ Vs ⎞
w =
⎜ 20 2 ⎟ = 159 000 000 3
−7
2 4π 10 Vs ⎝ m ⎠
m
Die in einem m³ gespeicherte Feldenergie entspricht bei E = 2· 106 V/m
17,7 J = ein Gramm Wasser um 4 Grad erwärmen
= ein Kilogramm um 1.8 m anheben
Die in einem m³ gespeicherte Feldenergie entspricht bei B = 20 T
1.6 108 J = 44 kWh
= 500 Liter Wasser zum Kochen bringen
= 2 Tonnen auf den Himalaja tragen
110c
Bewegung einer Ladung im homogenen Magnetfeld:
Als Spezialfall betrachten wir eine Ladung im homogenen Magnetfeld
r
B
Eine Ladung im homogenen Magnetfeld
bewegt sich auf einer Kreisbahn.
Der Betrag der Geschwindigkeit
r
v
bleibt konstant, da aus dem Magnetfeld
keine Energie übertragen wird.
Die Lorentz-Kraft verursacht die
z
r
F
y
Radialbeschleunigung:
r
r
F = ma
v2
QvB=m
r
mv
r=
QB
x
Ist Ladung, Feldstärke und Geschwindigkeit
bekannt, kann das Verhältnis Q/m gemessen
werden.
111
Frei fliegende Elektronen werden erzeugt, indem sie in einem elektr. Feld
beschleunigt werden. Nach dem Durchlaufen der Spannung U haben
sie die Energie W = Q U
Ihre Geschwindigkeit ist dann
1
2
mv = Q U
2
Q
⇒ v= 2 U
m
Auch hier geht wieder das Verhältnis Q/m ein.
Aus der Bahnkurve einer Ladung kann immer nur Q/m, nicht aber Q oder m
alleine bestimmt werden.
-100 V
0V
Elektronen mit Energie 100 eV
Glühemission von
Elektronen
Für das Elektron ergibt sich e/m = -1.758 820 12 x 1011 C kg-1
( bekannt mit einer relativen Genauigkeit von 8.6 x 10-8 )
Versuch: e/m nach Busch
112
Bewegung von Elektronen in Teilchenbeschleunigern:
Ablenkung der Elektronen erfolgt
in Dipolmagneten.
Spule
homogenes
Feld
Spule
Im homogenen Feld werden
die Elektronen durch die
Lorentz-Kraft seitlich abgelenkt.
Dipolmagnete (grau)
113
Zur Fokussierung des Strahls verwendet man die Kombination von
zwei Quadrupolmagneten. Ein Quadrupolmagnet fokussiert in einer
Richtung und defokussiert in der anderen Richtung.
Elektronen unterschiedlicher Energie
laufen auf verschiedenen Bahnen
(chromatische Aberration). Dies wird
mit Sextupol-Magneten kompensiert.
114
Kräfte auf stromdurchflossene Leiter:
Auf die bewegten Elektronen in einem stromdurchflossenen Leiter
wirkt im Magnetfeld die Lorentz-Kraft.
Obwohl sich die Elektronen im Leiter sehr langsam mit der
Driftgeschwindigkeit vD (einige cm / Minute) bewegen, ergibt sich durch
die hohe Anzahl von Elektronen eine starke Kraft (Bsp. Elektromotor).
Die Kraft F auf ein Leiterstück der Länge dL in dem der Strom I fließt
ergibt sich zu:
⇒
⇒
(
)
r
r r
F =Q v×B
r
r
r
F = ρ A dL v D × B
r
r r
F = j A dL × B
(
(
(
r
r r
F = I dL × B
)
)
)
r
r
mit j = ρ vD
und dL in Richtung von vD folgt
Lorentz-Kraft auf ein Leiterstück dL
115
Experiment:
Kraft auf Leiterstück im homogenen Magnetfeld
Die Kraft auf ein Leiterstück
von 10 cm Länge, das in
einem Magnetfeld von 1T
r
B
rI
F
von einem Strom I = 1A
durchflossen wird, beträgt
(
r
r r
F = I dL × B
F = I LB
)
(da alle Vektoren senkrecht aufeinander stehen)
F = 0.1 Newton.
116
Messung von Magnetfeldern, Halleffekt:
Zur Messung der magnetischen Feldstärke wird meistens der Halleffekt
ausgenutzt:
In einem stromdurchflossenen Leiter werden die Elektronen zur einen Seite
abgelenkt, bis sich quer zum Leiter ein kompensierendes elektrisches Feld
aufgebaut hat.
(
r
r r
Q E = −Q v × B
)
r
B
Dieses Feld verursacht eine Spannung
(Hall-Spannung) quer zur Stromrichtung.
(
)
r
r
U Hall = E b = vD × B b
r
r
Mit j = ρ vD folgt
U Hall =
jBb
ρ
=
IB
ρd
-r
-
-
- F
Lorentz
r
vD
-
r
−
e Fel
+
r
E
+
+
+
+
I
d
b
Halbleiter mit sehr geringer Ladungsdichte zeigen hohe Hallspannungen.
117
Zusammenhang elektrisches und magnetisches Feld:
Physikalische Experimente liefern in jedem Inertialsystem die gleichen
Physikalischen Gesetze.
Gedankenexperiment: zwei Teilchen mit Ladung +Q, -Q und Masse m
z
+
r
v
–
r
v
y
Koordinatensystem „ruht“,
Ladungen bewegen sich.
x
z
+
Ladungen „ruhen“,
y
Koordinatensystem
bewegt sich mit.
–
r
v
x
118
In der Klassischen Physik erhält man ein unterschiedliches Ergebnis
Bei ruhenden Ladungen wirkt nur die Coulomkraft und Newtons
Aktionsprinzip liefert:
oberes Teilchen (Index 2)
Q2
m&z&2 = −
4πε 0 ( z 2 − z1 )2
1
unteres Teilchen (Index 1)
Q2
m&z&1 = +
4πε 0 ( z1 − z 2 )2
1
Bei ruhendem Koordinatensystem erzeugen die bewegten Ladungen
zusätzlich ein Magnetfeld
r r
r r
μ 0 r12 × v
B (r2 ) =
Q r 3
4π
r12
⇒
By ( z2 ) =
μ0 Q v
4π ( z 2 − z1 )2
Umgeformtes Gesetz von Biot-Savart
(andere Ladung analog)
119
Auf die obere Ladung wirkt die Lorenzkraft im Magnetfeld der unteren
Ladung:
(
r
r r
F =Q v×B
)
Es ergibt sich eine Kraft nach oben auf die obere Ladung
μ0 Q 2 v2
Fz = Q v B y =
4π ( z 2 − z1 )2
Beide Kräfte zusammen ergeben
Fz = FCoulomb + FLorentz
μ0 Q 2 v2
Q2
=−
+
2
4πε 0 ( z 2 − z1 ) 4π ( z 2 − z1 )2
1
(
)
(
)
Q2
2
Fz = −
1
−
ε
μ
v
0
0
4πε 0 ( z 2 − z1 )2
1
Q2
2
m&z& = −
1
−
ε
μ
v
0 0
4πε 0 ( z 2 − z1 )2
1
Die Beschleunigung der Ladung ist
hier um den Faktor 1-ε0μ0v2 kleiner
120
Ferner gibt es den Zusammenhang zwischen ε0, μ0 und der
Lichtgeschwindigkeit c (siehe weiter hinten bei elektromagnetischen Wellen).
ε 0 μ0 =
1
c2
⎛ v2 ⎞
Die Beschleunigung ist also um den Faktor ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ kleiner.
⎝ c ⎠
Dieser Faktor erinnert sofort an die relativistische Mechanik!
In der relativistischen Beschreibung laufen die Experimente in beiden
Inertialsystemen gleich ab.
Beim Übergang von einem in des andere Koordinatensystem muss die
relativistische Lorentz-Transformation verwendet werden. Beim Übergang
ändern sich Masse, Zeit, Längen, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen
und die Felder. Alles zusammen ergibt eine konsistente Beschreibung.
Bei der Transformation werden elektrische und magnetische Kräfte ineinander umgewandelt. Man spricht daher von „elektromagnetischen Kräften“.
121