5 Folgen und Grenzwerte - Wiwi Uni

5 Folgen und Grenzwerte
In diesem Kapitel werden Folgen und der für die Analysis grundlegende Begriff
des Grenzwerts behandelt.
5.1 Folgen
Definition 5.1 (Folge) Eine geordnete (unendliche) Liste von Zahlen
(a1 , a2 , . . . , an , . . .)
heißt Folge (engl.: sequence) und wird mit (an )n∈N bezeichnet. Dabei heißt n der
Index und die an heißen Glieder der Folge. Falls klar ist, daß n ∈ N der Index ist
wird meistens die verkürzte Schreibweise (an ) oder einfach an verwendet.
Der erste Folgenindex ist oft auch 0 oder jede andere beliebige natürliche Zahl
statt 1, also bedeutet oft auch (an ) = (a0 , a1 , . . . , an , . . .). Wir legen uns diesbezüglich nicht fest und verwenden verschiedene Notationen je nach Zusammenhang. Folgen können auf verschiedene Arten dargestellt werden. Falls für eine
Folge an ein Folgenglied an durch eine Funktionsgleichung nur in n angegeben
ist, heißt dies geschlossene Darstellung. Bei einer rekursiven Darstellung einer
Folge wird der Wert der ersten Folgenglieder a1 , . . . , ak angegeben und alle weiteren Folgenglieder n = k + 1, k + 2, . . . durch frühere Folgenglieder ausgedrückt.
Besonders einfach ist der Fall, bei dem für alle n ∈ N der Zusammenhang zwischen zwei aufeinander folgenden Folgengliedern an und an+1 über eine Funktionsgleichung beschrieben ist. Wenn klar ist, was mit damit gemeint ist, kann eine
Folge auch durch Angabe einiger Folgenglieder und . . . beschrieben werden. Die
rekursive Darstellung einer Folge ist oft unmittelbar aus der zu analysierenden
Fragestellung heraus gegeben, während die geschlossene Darstellung einfacher zu
analysieren ist. Daher ist es offenbar hilfreich, die rekursive Darstellung der betrachteten Folge in eine geschlossene Darstellung zu überführen. Dieses gelingt
oftmals, indem man die ersten Folgenglieder notiert und darin eine strukturelle
Gesetzmäßigkeit identifiziert, aus der sich eine geschlossene Darstellung der Folge ergibt. Der Beweis, daß die so gefundene geschlossene Darstellung tatsächlich
die selbe Folge beschreibt wie die rekursive Darstellung, ist damit noch nicht
erbracht, jedoch häufig mit Hilfe eines Induktionsbeweises leicht zu führen.
26
5 Folgen und Grenzwerte
Beispiel 5.1:
(i) Eine rekursive Darstellung der Folge an = (0, 0, 0, . . .) ist a1 = 0, an+1 = an .
Die geschlossene Darstellung dieser Folge ist an = 0.
(ii) Die rekursive Darstellung der Folge an = (1, 3, 5, . . .) ist a1 = 1, an+1 =
an + 2. Die zugehörige geschlossene Darstellung ist an = 2n − 1.
(iii) Bei der Folge (nt)t∈N steht n nicht für den Index der Folge sondern als
Symbol für die Folgenglieder. Für eine eindeutige Bedeutung wäre in diesem Fall
die weniger genaue Notation (nt) nicht ausreichend. Die ersten fünf Glieder dieser
Folge sind n, 2n, 3n, 4n und 5n.
(iv) Die Folge an = (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .) besitzt die rekursive Darstellung a0 =
1, a1 = 2, an+2 = an + an+1 .
(v) Sei (Kt ) eine Kapitalanlage mit Startkapital K1 = K, die mit einem Zinssatz
i pro Periode verzinst wird. Die Folge (Kt )t∈N beschreibt die Wertentwicklung der
Kapitalanlage im Zeitablauf. Falls keine Ein- oder Auszahlungen stattfinden, gilt
zwischen Kt in Periode t ∈ N und Kt+1 in der Folgeperiode t + 1 die rekursive
Beziehung
Kt+1 = Kt (1 + i).
Aus den ersten vier Gliedern dieser Folge,
K1 = K,
K2 = K(1 + i),
K3 = K(1 + i)2 und
K4 = K(1 + i)3
ist leicht erkennbar, daß die geschlossene Darstellung dieser Folge gegeben ist
durch
Kt = K(1 + i)t−1 .
Existiert für eine Folge an ein reelle Zahl c ∈ R, so daß für alle n ∈ N die
Beziehung
an+1 − an = c
gilt, so heißt sie arithmetische Folge. Falls dagegen für eine Folge an ein Konstante
c ∈ R existiert, so daß für alle n ∈ N die Beziehung
an+1
=c
an
gilt, so heißt sie geometrische Folge. Die geschlossenen Darstellungen der arithmetischen Folge und der geometrischen Folge (gn ) sind an ist an = c(n − 1) + d
und gn = dcn−1 mit c, d ∈ R. Im vorhergehenden Beispiel sind (i),(ii) und (iii)
arithmetische Folgen, (v) ist geometrische Folge und (iv) keines von beiden.
27
5 Folgen und Grenzwerte
Eine Folge an heißt monoton steigend bzw. streng monoton steigend, (engl.: strictly increasing), wenn für alle n ∈ N gilt an+1 ≥ an (bzw.> für ’streng’). Entsprechend wird fallende Monotonie definiert. Monoton ist eine Folge also genau dann,
wenn die Veränderung zwischen zwei aufeinander folgenden Gliedern immer das
gleiche Vorzeichen hat bzw. in die gleiche Richtung geht. Die Folge an heißt nach
unten bzw. nach oben beschränkt (engl.: bounded from below, above), wenn eine
Konstante c ∈ R existiert, so daß für alle n ∈ N gilt an ≥ c (bzw. ≤). Sie heißt
beschränkt (engl.: bounded), wenn ein c ∈ R existiert, so daß für alle n ∈ N
die Beziehung |an | ≤ c gilt. Die Konstante c wird untere, obere bzw. einfach nur
Schranke (engl.: lower bound, upper bound, bound) genannt. Eine Folge an heißt
alternierend (engl.: alternating), wenn für alle n ∈ N gilt:
an · an+1 < 0,
also das Vorzeichen zwischen zwei aufeinander folgenden Folgengliedern alterniert, d.h. sich jeweils abwechselt.
Beispiel 5.2: (i) Die Folge n + n1 ist streng monoton steigend.
(ii) Die Folge (max{4 − n, 0}), deren erste fünf Glieder 3, 2, 1, 0 und 0 sind, ist
monoton aber nicht streng monoton fallend.1
(iii) Die Folge ((−1)n ) ist alternierend und daher weder monoton steigend noch
monoton fallend.
(iv) Für die Folge an mit an = 3 + 7n existiert mit c = 3 wegen an ≥ c für
alle n ∈ N offensichtlich eine untere Schranke. Die Folge ist somit nach unten
beschränkt.
(v) Die Folge n1 ist wegen 0 ≤ n1 ≤ 1 für alle n ∈ N beschränkt.
(vi) Die Folge ((−2)n ) ist alternierend und weder nach unten noch nach oben
beschränkt, da ihre Glieder beliebig groß und beliebig klein werden.
5.2 Konvergenz und Grenzwert
Von besonderem Interesse im Zusammenhang mit Folgen an ist ihr Verhalten für
sehr große n. Insbesondere gilt unser Interesse dem Fall, daß eine
Zahl existiert,
1
der sich die Folgenglieder beliebig gut annähern wie die Folge n der Zahl 0. Die
Begriffe Konvergenz und Grenzwert präzisieren dieses Verhalten.
1
Dabei nimmt max{x, y} für x ≥ y den Wert x und für x < y den Wert y an. Es ist also
beispielsweise max{3, 4} = 4.
28
5 Folgen und Grenzwerte
Definition 5.2 (Konvergenz und Grenzwert) Eine Folge (an )n∈N heißt konvergent (engl.: convergent) genau dann, wenn es ein a ∈ R gibt, so daß für alle
ε > 0 ein n(ε) > 0 mit
|an − a| ≤ ε
für alle n ≥ n(ε) existiert. Man schreibt dann
lim an = a
n→∞
oder an −→ a
und sagt, an konvergiere gegen den Grenzwert (engl.: limit) a.
Zeichnet man ein Intervall mit Radius ε um a, so müssen alle Folgenglieder außer
den ersten n(ε) − 1 in diesem Intervall liegen, gleichgültig wie klein der Radius
ε um a gewählt wurde. Mit anderen Worten, eine Folge an konvergiert genau
dann gegen a, wenn der Abstand zwischen den Folgengliedern und a ab einem
bestimmten n(ε) jedes noch so kleine vorgegebene ε > 0 nicht überschreitet.
Beispiel 5.3:
(i) Es gilt n1 → 0, da für jedes vorgegebene ε > 0 die gesuchte Grenze durch
n(ε) = 1ε gegeben ist, denn für alle n ≥ n(ε) gilt
1
− 0 = 1 ≤ 1 = ε
1
n
n
ε
.
(ii) Die konstante Folge (c) mit c ∈ R konvergiert offenbar gegen c.
(iii) Die Folgen ((−1)n ) und (2n ) konvergieren nicht.
Satz 5.1 Jede Folge besitzt höchstens einen Grenzwert.
Beweis. Indirekt: Angenommen, eine Folge an habe mehr als einen Grenzwert
also Grenzwerte a und a mit a = a . Sei
1
ε = |a − a|
4
(vgl. Abbildung 5.1). Dann existiert wegen an −→ a ein n(ε) mit |an − a| ≤
ε für alle n ≥ n(ε). Außerdem existiert wegen an −→ a auch ein n (ε) mit
|an − a | ≤ ε für alle n ≥ n (ε). Sei nun m = max{n(ε), n (ε)}. Dann ist offenbar
|am −a|+|am −a | < 2ε. Die sogenannte Dreiecksungleichung sagt aus, daß für alle
x, y ∈ R gilt |x+y| ≤ |x|+|y|. Daher ist |am −a|+|am −a | = |am −a|+|a −am | ≥
|am − a + a − am | = |a − a|, so daß insgesamt folgt:
|a − a| ≤ 2ε
29
5 Folgen und Grenzwerte
2ε
2ε
a
a’
|a’ − a| = 4εε
Abbildung 5.1: Veranschaulichung des Beweises von Satz 5.1
Dieses widerspricht aber ε = 14 |a − a|. Satz 5.1 ist damit bewiesen.
Während mit dem letzten Satz gezeigt wurde, daß eine Folge höchstens einen
Grenzwert besitzt, werden in den folgenden beiden Sätzen ohne Beweis notwendige bzw. notwendige und hinreichende Bedingungen genannt, unter denen eine
Folge konvergiert und also überhaupt einen Grenzwert hat.
Satz 5.2 Für jede Folge an gilt:
an konvergiert ⇒ an ist beschränkt.
Satz 5.3 Für jede monoton steigende Folge an gilt:
an konvergiert ⇔ an ist nach oben beschränkt.
Für jede monoton fallende Folge bn gilt:
bn konvergiert ⇔ bn ist nach unten beschränkt.
Beispiel 5.4:
1
1
(i) Die Folge an mit an = n1+n
2 en + 1 = n2 en + nen + 1 fällt offenbar monoton. Sie
ist wegen an ≥ 1 nach unten beschränkt und daher wegen Satz 5.3 konvergent.
(ii) Die Folge (n) steigt monoton und ist nicht nach oben beschränkt. Nach Satz
5.3 konvergiert sie also nicht.
Bei einer konvergenten Folge richtet sich das Interesse naturgemäß meistens auf
ihren Grenzwert. Besonders für komplizierte Folgen kann es aber sehr aufwendig
sein, ihre Konvergenz allein unter Verwendung von Definition 5.2 zu untersuchen.
Der folgende Satz macht Aussagen über die Konvergenz und den Grenzwert von
Folgen, die mittels der vier Grundrechenarten aus anderen konvergenten Folgen
zusammengesetzt sind.
30
5 Folgen und Grenzwerte
Satz 5.4 Seien an und bn zwei Folgen mit an −→ a und bn −→ b. Dann gilt
i) an + bn −→ a + b,
ii) an − bn −→ a − b,
iii) an · bn −→ a · b und
iv)
an
bn
−→ ab , für b = 0.
Nachfolgend ist nur der Beweis der Teilaussage i) von Satz 5.4 angegeben. Die
Beweise der anderen Teilaussagen entsprechen diesem.
Beweis. Betrachte ein vorgegebenes ε > 0. Wegen an −→ a existiert ein na (ε)
mit
ε
|an − a| <
2
für alle n ≥ na (ε). Analog existiert wegen bn −→ b ein nb (ε) mit
|bn − b| <
ε
2
für alle n ≥ nb (ε). Sei n(ε) = max {na (ε), nb (ε)}. Dann gilt für alle n ≥ n(ε)
|(an + bn ) − (a + b)| = |(an − a) + (bn − b)|
≤ |(an − a)| + |(bn − b)| (Dreiecksungleichung)
< 2ε + 2ε
= ε.
Die Konvergenz von (an + bn ) gegen a + b ist damit bewiesen.
Beispiel 5.5:
3
2 +1
(i) Die Folge an mit an = 2n3n−n
konvergiert gemäß Satz 5.4 gegen 23 , wie
3 +n
sich aus der Darstellung der Folgenglieder in der Form
→0
→0
1
1
2 −
+ 3
n
n
an =
1
3 + 2
n
→2
→3
→0
und den
1 angegebenen Grenzwerten der konvergenten Einzelfolgen (2),
und n2 ergibt.
31
1 1 , n3 ,(3)
n
5 Folgen und Grenzwerte
2
(ii) Die Folge an mit an = 6nn5−2 konvergiert gemäß Satz 5.4 gegen 0, wie aus
der Darstellung der Folgenglieder in der Form
→0
→0
6
2
− 5
3
n
an = n
1
→1
zu sehen ist.
Alternativ zur Dezimalschreibweise lassen sich reelle Zahlen mit Hilfe von Folgen und Konvergenz definieren indem man verschiedene konvergente Folgen von
rationalen Zahlen miteinander identifiziert und einer reellen Zahl zuordnet, falls
ihre Differenz gegen 0 konvergiert.2 Mit anderen Worten, zwei konvergente Folgen an und bn heißen äquivalent, falls an − bn −→ 0. Alle zueinander äquivalenten
konvergenten Folgen bilden eine Äquivalenzklasse. Die Menge aller konvergenten
Folgen rationaler Zahlen zerfällt also in – d.h. ist disjunkte Vereinigung von –
Äquivalenzklassen von konvergenten Folgen, wobei jeweils zwei Repräsentanten
der gleichen Äquivalenzklasse gegen den gleichen Grenzwert streben. Die reellen
Zahlen sind also die Menge der Äquivalenzklassen konvergenter Folgen rationaler
Zahlen. Die im Kapitel Zahlen eingeführte Dezimalschreibweise mit Zehnerpotenzen ist jeweils ein Repräsentant einer solchen Äquivalenzklasse, also nur eine
von vielen Möglichkeiten, reelle Zahlen mit Hilfe von rationalen Zahlen zu approximieren. Satz 5.4 zeigt, daß die Rechenregeln der rationalen Zahlen sich auf die
reellen Zahlen übertragen.
5.3 Grenzwerte im Unendlichen
Folgen, die jede beliebig große Grenze m ab einem gewissen n(m) ∈ N nicht
mehr unterschreiten oder aber jede beliebig kleine Grenze m ab einem gewissen
n(m) ∈ N nicht mehr überschreiten streben offenbar gegen ∞ bzw. −∞. Da
dieses keine reellen Zahlen sind, nennen wir sie uneigentliche Grenzwerte.
Definition 5.3 (Uneigentlicher Grenzwert) Eine Folge an hat den uneigentlichen Grenzwert ∞, wenn für jedes m ∈ R ein n(m) mit
an ≥ m
für alle n ≥ n(m) existiert. Man schreibt limn→∞ an = ∞ oder an −→ ∞.
2
Um reelle Zahlen zu definieren, darf deren Definition nicht schon reelle Zahlen verwenden.
Unsere bisherige Definition von Konvergenz beruht aber auf einem reellen Grenzwert. In
diesem Zusammenhang verwendet man daher eine alternative Definition von Konvergenz,
die sogenannte Cauchy-Konvergenz, bei der eine Folge an konvergiert falls für jedes ε > 0
ein n(ε) existiert, so daß für alle Folgenglieder an , am mit n, m ≥ n(ε) gilt |an − am | ≤ ε.
32
5 Folgen und Grenzwerte
Der uneigentliche Grenzwert −∞ wird entsprechend definiert.
Beispiel 5.6:
(i) Die Folge (n) hat den uneigentlichen Grenzwert ∞.
(ii) Die Folge 0, 2, 0, 4, 0, 6, 0, . . ., konvergiert nicht, auch nicht gegen einen uneigentlichen Grenzwert.
Der folgende Satz zeigt, daß mit gewissen Einschränkungen die Rechenregeln der
reellen Zahlen auf die uneigentlichen Zahlen ∞ bzw. −∞ erweiterbar sind.
Satz 5.5 Seien an und bn Folgen. Dann gilt:
i) an −→ ∞ ⇒ −an −→ −∞
ii) an −→ ∞ ∧ bn nach unten beschränkt ⇒ an + bn −→ ∞
iii) an −→ −∞ ∧ bn nach oben beschränkt ⇒ an + bn −→ −∞
iv) an −→ ∞ (−∞) ∧ bn mit unterer Schranke s > 0 ⇒ an bn −→ ∞ (−∞)
v) an −→ ∞ (−∞) ∧ bn mit oberer Schranke s < 0 ⇒ an bn −→ −∞ (∞)
vi) an −→ 0 ∧ ∀n ∈ N an > (<) 0 ⇒
1
an
−→ ∞ (−∞)
vii) (an −→ ∞ ∨ an −→ −∞) ∧ bn beschränkt ⇒
bn
an
−→ 0
viii) an −→ ∞ ∧ bn beschränkt ∧ ∀n ∈ N bn > (<) 0 ⇒
an
bn
ix) an −→ −∞ ∧ bn beschränkt ∧ ∀n ∈ N bn > (<) 0 ⇒
−→ ∞ (−∞)
an
bn
−→ −∞ (∞)
Die Aussage an −→ ∞ ⇒ −an −→ −∞ kann man verkürzt schreiben als
(−1)∞ = −∞.
Beispiel
(i) Die
∞ strebt
(ii) Die
5.7:
Folge (n(sin n + 2)) strebt gemäß Satz 5.5 iv) gegen ∞, da (n) gegen
und (sin
n+
2) etwa durch 1 > 0 nach unten beschränkt ist.
(−1)n
Folge
konvergiert gemäß Satz 5.5 vii) gegen 0.
n
Den Abschluß dieses Abschnitts bildet Satz 5.6, der das Konvergenzverhalten
einiger häufig auftretender Folgen bzw. Klassen von Folgen zusammenfaßt.
Satz 5.6 Es gilt:
33
5 Folgen und Grenzwerte
i) nr −→ 0 für r < 0 und r ∈ Q
ii) nr −→ ∞ für r > 0 und r ∈ Q
iii) nr q n −→ 0 für r ∈ Q und |q| < 1
iv) nr q n −→ ∞ für r ∈ Q und q > 1
√
v) n c −→ 1 mit c > 0
√
vi) n n −→ 1
n
vii) 1 + n1 −→ e (Eulersche Zahl)
5.4 Reihen
Eine spezielle Klasse von Folgen sind die sogenannten Reihen. Ihre Glieder werden
durch die Summen der Glieder einer anderen Folge gebildet.
Definition 5.4 (Reihe) Sei an eine Folge. Dann heißt die Folge (sk )k∈N mit
sk =
k
an
n=1
für alle k ∈ N zur Folge an gehörige Reihe (engl.: series). Ihre Glieder sk =
k
n=1 an bezeichnet man auch als Partialsummen.
Natürlich gelten alle Begriffe und Sätze
∞ aus den vorangegangenen Abschnitten
auch für Reihen.
eine Reihe n=1 an konvergent, wenn die Folge der Par So heißt
k
konvergiert. Der Grenzwert dieser Folge und häufig
tialsummen
n=1 an
k∈N
auch die Reihe selbst wird mit ∞
n=1 an bezeichnet. Eine wichtige notwendige
Bedingung für die Konvergenz einer Reihe gibt der folgende Satz.
Satz 5.7 Konvergiert die Reihe
∞
n=1 an ,
dann konvergiert die Folge an gegen 0.
Er ist insbesondere dafür geeignet, die Nicht-Konvergenz oder Divergenz einer
Reihe zu zeigen. Der Begriff Divergenz wird in der Literatur uneinheitlich benutzt,
manchmal nur für Konvergenz gegen ∞ oder −∞, manchmal aber allgemeiner für
Nicht-Konvergenz gegen eine reelle Zahl. Wir werden ihn ab hier nur in letzterem
Sinne benutzen, also als Synonym für Nicht-Konvergenz gegen eine reelle Zahl.
34
5 Folgen und Grenzwerte
Beispiel 5.8: 1
(i) Die Reihe ∞
n=1 (1 + n ) divergiert gemäß Satz 5.7.
∞
n
(ii) Die Reihe
n=1 (−1) , deren erste vier Partialsummen −1, 0, −1 und 0
sind, divergiert. ∞
1
(iii) Die Reihe
n=1 2n−1 konvergiert gegen 2, wie die Beobachtung deutlich
1
macht, daß für alle k ∈ N mit der Addition von 2k−1
der Abstand zwischen der
k−1 1
k − 1-ten Partialsumme n=1 2n−1 und 2 halbiert wird.
Wie bereits erwähnt, sind alle Sätze über Folgen auch für Reihen anwendbar,
da Reihen spezielle Folgen sind. Der folgende Satz, der bei der Bestimmung des
Grenzwerts von Reihen hilfreich ist, die linear aus anderen konvergenten Reihen
gebildet werden, folgt aus Satz 5.4.
∞
a
und
Satz 5.8 Seien ∞
n
n=1
n=1
bn zwei konvergente Reihen und α, β ∈ R.
Dann konvergiert auch die Reihe ∞
n=1 (αan + βbn ) und es gilt:
∞
(αan + βbn ) = α
n=1
∞
an + β
n=1
∞
bn .
n=1
In den Wirtschaftswissenschaften treten häufig geometrische Reihen auf, welche
durch die Partialsummen der Glieder geometrischer Folgen definiert sind.
Definition
5.5 (Geometrische Reihe) Sei an eine geometrische Folge. Dann
a
wird ∞
n=1 n geometrische Reihe (engl.: geometric series) genannt.
n−1
mit c, d ∈ R \ {0}
Die geometrische Reihe kann stets in der Form ∞
n=1 dc
geschrieben werden. Ihr Konvergenzverhalten in Abhängigkeit von c und d beschreibt der folgende Satz.
Satz 5.9 Die geometrische Reihe
∞
dcn−1
n=1
mit c, d ∈ R \ {0} konvergiert für |c| < 1 gegen
d
.
1−c
Für |c| ≥ 1 konvergiert sie nicht gegen eine reelle Zahl.
35
5 Folgen und Grenzwerte
Beweis. Sei sk = kn=1 dcn−1 die k-te Partialsumme der geometrischen Reihe
∞
n−1
. Dann gilt für alle k ∈ N
n=1 dc
sk − csk =
k
dc
n−1
−c
n=1
=
k
dcn−1
n=1
k
dcn−1 −
n=1
k+1
dcn−1
n=2
= d − dc .
k
Folglich hat die Folge (sk )k∈N die geschlossene Darstellung
sk =
Aus dieser folgt, daß
divergiert.
∞
n=1
d − dck
.
1−c
dcn−1 für |c| < 1 gegen
d
1−c
konvergiert und für |c| ≥ 1
Das nachfolgende Beispiel ist eine Anwendung von Satz 5.9 auf in der Praxis
häufig auftretende Fälle, in denen eine Umindizierung der zu untersuchenden
Reihe hilfreich ist.
Beispiel 5.9: ∞
1 n−1
(i)
konvergiert gegen 1−2 1 = 4.
n=1 2 2
2
∞ 8 n−1
divergiert.
(ii)
7 1 n−1
n=1
∞
1 n
= ∞
konvergiert gegen 1−4 1 = 6.
(iii)
n=0 4 3
n=1 4 3
3
∞ 2 n−1 2 ∞ 2 n−1
2 1
=
konvergiert
gegen
= 23 .
(iv)
n=2 5
n=1 5
5
5 1− 2
5
Als Anwendung geometrischer Reihen in den Wirtschaftswissenschaften betrachten wir sogenannte Multiplikatoreffekte in einem stilisierten Modell zu den Möglichkeiten der Konjunkturbelebung durch staatliche Ausgabenprogramme.
Beispiel 5.10: Betrachtet wird eine Volkswirtschaft, in der das aggregierte Konsumverhalten aller Haushalte in einer Periode t > 1 durch die Gleichung
Ct = c(1 − τ )Yt−1
mit Ct als Konsumausgaben in Periode t, mit c ∈ (0, 1) als Konsumquote, mit
τ ∈ (0, 1) als Einkommenssteuersatz und Yt−1 als Gesamteinkommen vor Steuern
aller Haushalte in Periode t − 1 beschrieben sei. Es werde also angenommen,
die Haushalte würden in jeder Periode einen Anteil c ihres in der Vorperiode
36
5 Folgen und Grenzwerte
erzielten Einkommens nach Steuern konsumieren und den Rest sparen. Dann sind
∆Ct = Ct − Ct−1 die Veränderung der Konsumausgaben und ∆Yt = Yt − Yt−1
die Veränderung des Einkommens zwischen zwei aufeinander folgenden Perioden.
Also gilt
∆Ct = c(1 − τ )∆Yt−1 .
Zur Vereinfachung nehmen wir an, daß zusätzliches Einkommen der Haushalte
nur durch zusätzlichen Konsum erzeugt wird, also keine anderen einkommenswirksamen Effekte auftreten, etwa im Unternehmenssektor oder im Ausland.
Dann ist ∆Yt = ∆Ct und es folgt insgesamt
∆Yt = c(1 − τ )∆Yt−1 .
Angenommen, der Staat interveniere in diese Volkswirtschaft, indem er in Periode
1 einmalig den Betrag G etwa für Arbeitsbeschaffungsmaßnahmen einbringt, also
∆Y1 = G. Dann beschreibt die Folge (∆Yt )t∈N mit
∆Y1 = G
∆Y2 = c(1 − τ )∆Y1
∆Y3 = c(1 − τ )∆Y2
..
.
= c(1 − τ )G
= (c(1 − τ ))2 G
∆Yt = c(1 − τ )∆Yt−1 = (c(1 − τ ))t−1 G
die Einzeleffekte dieser Intervention in jeder Periode t und die Reihe
∞
t=1
∆Yt =
∞
(c(1 − τ ))t−1 G
t=1
ihren Gesamteffekt ∆Y . Da c ∈ (0, 1) und τ ∈ (0, 1) ist auch 0 < c(1 − τ ) < 1.
Also konvergiert die betrachtete Reihe gemäß Satz 5.9 gegen
∆Y = G
1
.
1 − c(1 − τ )
Daraus koennte man den Schluss ziehen, daß die Einkommenswirkung einer solchen konjunkturbelebenden Maßnahme des Staates auf dem Wege der Ausgabenpolitik aufgrund des sogenannten Multiplikatoreffekts die Kosten dieser Staatsintervention wegen
1
>1
1 − c(1 − τ )
übersteigt. Außerdem folgt aus dieser Argumentation, daß die Wirkung einer
solchen Maßnahme umso größer ausfällt, je größer die Konsumquote c und je
kleiner der Einkommenssteuersatz τ ist.
37
5 Folgen und Grenzwerte
Im abschließende Beispiel studieren wir eine einfachen Variante eines Gedankenexperiments, des sogenannten Cobb-Web-Modells, welches dynamische Anpassungsprozesse in Märkten beschreibt, deren Angebot mit Zeitverzögerung auf
Preisänderungen reagiert.
Beispiel 5.11: Betrachtet werde ein Markt, dessen Angebot S und Nachfrage D
linear im Preis p seien, also
S = a + bp
mit a, b ∈ R und b > 0 und
D = c − dp
mit c, d ∈ R und d > 0. Sei dieser Markt zunächst ein sogenannter vollkommener Markt, der unter anderem durch eine unendlich hohe Reaktionsgeschwindigkeit aller Marktteilnehmer bezüglich Änderungen von Marktparametern charakterisiert ist. Unter diesen Voraussetzungen werden Angebot und Nachfrage über
Preisanpassungen ohne Zeitverzögerung ausgeglichen. Also bildet sich unmittelbar ein Preis p̄, für den die gehandelte Menge x̄ gleich der angebotenen gleich der
nachgefragten Menge ist, also
x̄ = S = D
(vgl. Abbildung 5.2 (a)). Dann ist
p̄ =
c−a
b+d
und x̄ =
ad + bc
.
b+d
Die so definierte Preis-Mengen-Kombination (p̄, x̄) wird als Marktgleichgewicht
bezeichnet, da zu diesem Preis kein Marktteilnehmer einen Anreiz für Verhaltensänderungen hat.
Wir nehmen nun an, die Angebotsseite reagiere etwa wegen zeitlich ausgedehnter
Produktionsprozesse mit Verzögerung auf Preisänderungen. Seien St , Dt und pt
Angebot, Nachfrage und Preis in Periode t ∈ N. Es sei
St = a + bpt−1
und Dt = c − dpt ,
das Angebot richte sich also nach dem Marktpreis der Vorperiode, während die
Nachfrage wie zuvor vom gegenwärtigen Preis abhänge. Der Marktmechanismus
bringe in jeder Periode t ∈ N Angebot und Nachfrage über den Preis pt in Einklang, es gelte also also stets
xt = St = Dt .
Dann gilt für die Preise zweier aufeinander folgender Perioden
pt =
c−a b
− pt−1 = α − βpt−1 ,
d
d
38
5 Folgen und Grenzwerte
p
pt
S = a + bp
p0
p2
p
p1
D = c − dp
0
St = a + bpt−11
x
Dt = c − dpt
0
x
x2
(a)
x3 x1
xt
(b)
pt
pt
St = a + bpt−11
p2
St = a + bpt−11
p0 = p2
p0
p1
p1
Dt = c − dpt
Dt = c − dpt
0
x2
x1
x3
0
xt
(c)
x2
x1 = x3
(d)
Abbildung 5.2: Das Cobb-Web-Modell
39
xt
5 Folgen und Grenzwerte
wobei α = c−a
und β =
d
t = 0, dann gilt
b
d
sind. Sei p0 der Marktpreis in der Ausgangsperiode
p1 = α − βp0
p2 = α − βp1 = α − αβ + β 2 p0
p3 = α − βp2 = α − αβ + αβ 2 − β 3 p0
..
.
pt = α − βpt−1 = α ti=1 (−β)i−1 + (−β)t p0 .
Der Preispfad im Zeitablauf wird also durch die Folge
t
(pt )t∈N = α
(−β)i−1 + (−β)t p0
i=1
t∈N
beschrieben. Sie konvergiert gemäß Satz 5.9 für β < 1 gegen c−a
= p̄ (vgl. Abbilb+d
dung 5.2 (b)) und divergiert für β ≥ 1 (vgl. Abbildungen 5.2 (c) und (d)). Die
Folge
(xt )t∈N = (c − dpt )t∈N ,
die den zugehörigen Mengenpfad im Zeitablauf beschreibt, konvergiert bzw. divergiert unter der selben Bedingung.
Die betrachtete Variante des Cobb-Web-Gedankenexperimentes erlaubt also die
Beobachtung, daß ein Markt, in dem das Angebot mit zeitlicher Verzögerung auf
den Preis reagiert, unter sonst gleichen Bedingungen sich langfristig genau dann
auf dasselbe Gleichgewicht zu bewegt wie ein Markt mit unendlicher hoher Reaktionsgeschwindigkeit aller Marktteilnehmer, wenn β = db < 1 ist. Das bedeutet,
daß die Steigung b der Angebotsfunktion dem Betrage nach kleiner als die Steigung d der Nachfragefunktion sein muß. Anderenfalls erwarten wir nicht, daß sich
langfristig ein gleichgewichtiger Zustand einstellt.
5.5 Mehrdimensionale Folgen
Im vorhergehenden Cobb-Web-Gedankenexperiment-Beispiel haben wir zwei Folgen, nämlich den Preis- und den Mengenpfad gleichzeitig betrachtet. Die Folge
xt , pt kann daher als zweidimensionale Folge von Punkten oder Vektoren in R2
interpretiert werden. Eine naheliegende Verallgemeinerung von Definition 5.1 auf
Folgen in Rk mit k ∈ N ist die folgende Definition.
Definition 5.6 (Mehrdimensionale Folge) Eine geordnete unendliche Liste
von reellen k-Vektoren
(a1 , a2 , . . . , an , . . .)
heißt mehrdimensionale (engl.: multi-dimensional) Folge und wird mit (an )n∈N
bezeichnet. Die k-Vektoren an = (an1 , . . . , ank ) ∈ Rk heißen Glieder der Folge.
40
5 Folgen und Grenzwerte
Eine mehrdimensionale Folge in Rk kann also als eine Zuordnung interpretiert
werden, die jedem n ∈ N einen Vektor aus Rk zuordnet. Wir schreiben den
Folgenindex hier als Oberindex um den Unterindex für die Indizierung der Komponenten freizugeben.3
2n
Beispiel 5.12:
ist eine Folge in R2 . Ihre ersten drei Glieder sind
n + n1
6
2
4
und
.
,
3 + 13
2
2 + 12
Auch für mehrdimensionale Folgen (an ) ist ihr Verhalten für große n von Interesse.
Um die in Definition 5.2 eingeführten Begriffe der Konvergenz und des Grenzwerts
auf Vektoren übertragen zu können, brauchen wir zunächst ein Maß für den
Abstand zweier Vektoren x und y mit x, y ∈ Rk . Ein solches Maß für den Abstand
ist die Euklidische Metrik.4 Sie ist für alle k ∈ N und alle x, y ∈ Rk definiert als
k
||x − y|| = (xi − yi )2
i=1
und somit wegen (x − y)2 = |x − y| für alle x, y ∈ R eine Verallgemeinerung
des eindimensionalen Abstandes. Mit der Euklidischen Metrik lautet die Verallgemeinerung von Definition 5.2 folgendermaßen.
Definition 5.7 (Konvergenz und Grenzwert) Eine Folge an in Rk mit k ∈
N heißt konvergent, wenn ein a ∈ Rk existiert, so daß für alle ε > 0 ein n(ε) ∈ N
existiert mit
||an − a|| < ε
für alle n ≥ n(ε). Man schreibt
lim an = a
n→∞
oder an −→ a.
Der Vektor a heißt Grenzwert.
Der nachfolgende, ohne Beweis angegebene Satz5 führt die Konvergenz einer
mehrdimensionalen Folge bezüglich der Euklidischen Metrik auf die Konvergenz
mehrerer eindimensionaler Folgen im Sinne der Definition 5.2 zurück. Er läßt
daher die Verwendung aller bisher vorgestellten Sätze für die Untersuchung der
Konvergenz auch für mehrdimensionale Folgen zu.
3
Es gibt verschiedene Möglichkeiten der Mehrfachindizierung.
Die Euklidische Metrik ist nur eines unter vielen Abstandsmaßen. Ein anderes ist die sogenannte Manhatten-Metrik, bei der die einfache Summe der Abstände in allen Komponenten
gebildet wird. Sie heißt Manhatten-Metrik, da man wie in Manhatten nicht diagonal geht,
sondern nur entlang der Koordinatenachsen.
5
Der an einem Beweis interessierte Leser sei auf Blume und Simon (1994, S. 262) verwiesen.
4
41
5 Folgen und Grenzwerte
Satz 5.10 Eine Folge (an ) in Rk mit k ∈ N konvergiert genau dann gegen a ∈ Rk ,
wenn (ani )n∈N gegen ai ∈ R konvergiert für alle i ∈ {1, . . . , k}.
Beispiel 5.13: 2n
divergiert gemäß Satz 5.10 wegen 2n −→ ∞.
(i) Die Folge
1
n n
e
1+n1
konvergiert gemäß Satz 5.10 gegen
.
(ii) Die Folge
1 n
0
2
42