M20

20. Reihen
Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855)
1
+
2 + 3 + ... + 100
100 + 99 + 98 + ... +
= 5050
1
101 + 101 + 101 + ...+ 101
1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2
= 10100
1 + q + q2 + q3 + ... + qn
Geometrische Reihe:
(1 + q + q2 + ... + qn-1 + qn)q
=1
-
qn+1
n1
1

q
1 + q + q2 + ... + qn =
1 q
Schach: 264 - 1 = 2*1019 Reiskörner
Erdoberfläche: 5*1018 cm2
1+q+
q2
1
+ ... =
1 q
für IqI < 1
unendlich viele Zahlen, endliche Summe:

1 n 1 1 1 1 1
 ( )       ...
1 2 4 8 16
n 0 2
1/2
1/2 + 1/4 = 3/4
1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 15/16
unendlich viele Zahlen
endliches Ergebnis
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1
Geometrische Reihe sn =
q0
+
q1
+
q2
+ ... +
qn-1
=
1 qn
1 q
Geometrische Reihe sn =
q0
+
q1
+
q2
+ ... +
qn-1
=
1 qn
1 q
(1 - q)(1 + q + q2 + ... + qn-1) = (1 + q + q2 + ... + qn-1)
-(q + q2 + ... + qn-1 + qn)
= 1
qn
Geometrische Reihe sn =
q0
+
q1
+
q2
+ ... +
qn-1
=
1 qn
1 q
(1 - q)(1 + q + q2 + ... + qn-1) = (1 + q + q2 + ... + qn-1)
-(q + q2 + ... + qn-1 + qn)
= 1
qn
s=
1
1 q
für IqI < 1
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 2
1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ... = 10/9
1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + ... = 3
1 - 1/3 + 1/9 - 1/27 + ... = 3/4
0,123123123... = 0,123(1 + 1/1000 + 1/1000000 + ...)
= 0,123/(1 - 1/1000) = 123/999
Alle periodischen Dezimalzahlen  
Alle Brüche sind periodische Dezimalzahlen
 Alle irrationalen Zahlen sind nicht periodisch.
2, e, p, ln2
Sei 2 = p/q, teilerfremd
 2q2 = p2
 p ist gerade
 q ist gerade
1 1 1 1 1
, , , ,
...  0
1 2 4 8 16
1 1
1
1
1




 ...  2
1 2
4
8 16
1 1 1 1 1
, , , , , ...  0
1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
1
1
1
    


 ...  ?
1 2 3 4 5
6
7
8
Nicole von Oresme (1323 - 1382)
Vorahnung der Analysis und des
heliozentrischen Systems
Gebrochene Potenzen:
43 = 64 = 82  8 = 43/2
1 + 1/2
+ (1/3 + 1/4)
+ (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8)
+ (1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13+ 1/14 + 1/15 + 1/16)
+ (1/17 + 1/18 + 1/19 + 1/20 + 1/21 + ... + 1/30 + 1/31 + 1/32)
+ ...
unendlich viele Zahlen
unendliches Ergebnis
1 1
1 1
1 1 1 1
(
) (  )(    )  ...   .
1 2
3 4
5 6 7 8
Wieviel Zeit benötigt ein Supercomputer,
um die Summe S = 100 zu erreichen?
k
k
 
n1
1
1

dx  ln k  ln 1  ln k  lg k / lg e 2,3  lg k
n
x
1
k = 1000  S  7
6
k = 10  S  14
9
k = 10  S  21
12
k = 10
 S  28
43
S = 100  k = 10
1 1 1 1 1
1
1
1
   



 ...  ?
1 2 3 4 5
6
7
8
Wieviel Zeit benötigt ein Supercomputer,
um die Summe S = 100 zu erreichen?
k
k
 
n1
1
1

dx  ln k  ln 1  ln k  lg k / lg e 2,3  lg k
n
x
1
k = 1000  S  7
6
k = 10  S  14
9
k = 10  S  21
12
k = 10
43
S = 100  k = 10
6
bei 10 Additionen in der Sekunde
37
werden 10 Sekunden gebraucht.
Das Alter des Universums beträgt
17
ca. 10 s.
 S  28
100.000.000.000.000.000.000
mal das Alter des Universums.
Werden alle Zahlen, die eine Ziffer 9 enthalten,
entfernt, so ist die Reihe konvergent. (Frank Irvin, 1916)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
22,4          
 ...  23,3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Definition. Sei (an) eine Folge, dann heißt die Summe ihrer Glieder

 an  a1  a2  a3  …
n 1
eine Reihe
Definition. Sei (an) eine Folge, dann heißt die Summe ihrer Glieder

 an  a1  a2  a3  …
n 1
eine Reihe und (an) heißt Stammfolge dieser Reihe.
Definition. Sei (an) eine Folge, dann heißt die Summe ihrer Glieder

 an  a1  a2  a3  …
n 1
eine Reihe und (an) heißt Stammfolge dieser Reihe. Bricht man die
Summation nach dem k-ten Glied ab, so erhält man die k-te Partialsumme oder Teilsumme
k
sk   an  a1  a2  a3  …  ak
n 1
Definition. Sei (an) eine Folge, dann heißt die Summe ihrer Glieder

 an  a1  a2  a3  …
n 1
eine Reihe und (an) heißt Stammfolge dieser Reihe. Bricht man die
Summation nach dem k-ten Glied ab, so erhält man die k-te Partialsumme oder Teilsumme
k
sk   an  a1  a2  a3  …  ak
n 1
Ist die Folge der Partialsummen (sk) konvergent, so heißt die Reihe
konvergent.
(sk)  s
Definition. Sei (an) eine Folge, dann heißt die Summe ihrer Glieder

 an  a1  a2  a3  …
n 1
eine Reihe und (an) heißt Stammfolge dieser Reihe. Bricht man die
Summation nach dem k-ten Glied ab, so erhält man die k-te Partialsumme oder Teilsumme
k
sk   an  a1  a2  a3  …  ak
n 1
Ist die Folge der Partialsummen (sk) konvergent, so heißt die Reihe
konvergent. Der Grenzwert der Partialsummenfolge heißt dann Wert
oder Summe s der Reihe
(sk)  s

n 1
n 1
an   an  s

k 
lim sk  lim
k 
k
Nur Nullfolgen können konvergente Reihen ergeben.

Ist
 an
n 1
an = 0.
konvergent, so gilt nlim


1
Die Umkehrung gilt nicht, z. B. ist  divergent.
n 1 n
Konvergenzkriterien für Reihen mit nichtnegativen Gliedern

 an konvergiert 
n 1
k
(sk) = (
 an ) ist beschränkt.
n 1
Majorantenkriterium: Sei bn ≥ an für n ≥ n0.

Konvergiert
 bn , dann konvergiert auch
n 1

 an .
n 1
Quotientenkriterium: Für n   und 0 < q < 1 gelte

konvergiert
an 1
≤ q, dann
an
 an . Man beachte, dass q echt kleiner als 1 sein muss.
n 1
Übung: Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz:
Man bestimme eine konvergente Majorante für
a)
b)


n 1 n


1
 n2  n3
1
n 1 3n
2
 ln 3 n
Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen: Sei (an) eine monoton

fallende Nullfolge. Dann konvergiert  ( 1)n 1an .
n 1
Beispiel: Die alternierende harmonische Reihe konvergiert

 (1)n 1
n 1
1
1 1 1
 1      ...
n
2 3 4

Definition.
 an

heißt absolut konvergent, wenn
 | an | konvergiert.
n 1
n 1
Definition. Eine Reihe konvergiert unbedingt, wenn jede Umordnung
gegen denselben Grenzwert konvergiert.

 an konvergiert absolut
n 1


 an
n 1
konvergiert unbedingt.
Nicht jede Reihe konvergiert unbedingt:
1 1 1 1 1 1 1 1
        ...  ln 2
1 2 3 4 5 6 7 8
halbiert
1 1 1 1
1
    ...  ln 2
2 4 6 8
2
und addiert
1 1 1 1 1 1
3
      ...  ln 2
1 3 2 5 7 4
2
Es sind aber dieselben Glieder!
Satz: Eine absolut konvergente Reihe läßt sich beliebig
umordnen, ohne den Grenzwert zu ändern. Eine nicht
absolut konvergente Reihe besitzt eine divergente
Umordnung.
1
1
1
1 - 2 + 3 - 4 + -... = ln2
7
5
<
s
<
12
6
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(1 + 3 - 2 ) + (5 + 7 - 4 ) + (9 + 11 - 6 ) + (13 + 15 - 8 ) +...
5/6
+
13/140
+
+
> 5/6
Man kann diese Reihe auch so umordnen, daß immer erst
dann ein negatives Glied (-1/k) eingeschaltet wird, wenn die
Summe der p direkt davor stehenden positiven Glieder
größer als 2/k ist.  Divergenz