M20
Werbung
20. Reihen Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 + ... + 100 100 + 99 + 98 + ... + = 5050 1 101 + 101 + 101 + ...+ 101 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2 = 10100 1 + q + q2 + q3 + ... + qn Geometrische Reihe: (1 + q + q2 + ... + qn-1 + qn)q =1 - qn+1 n1 1 q 1 + q + q2 + ... + qn = 1 q Schach: 264 - 1 = 2*1019 Reiskörner Erdoberfläche: 5*1018 cm2 1+q+ q2 1 + ... = 1 q für IqI < 1 unendlich viele Zahlen, endliche Summe: 1 n 1 1 1 1 1 ( ) ... 1 2 4 8 16 n 0 2 1/2 1/2 + 1/4 = 3/4 1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 15/16 unendlich viele Zahlen endliches Ergebnis 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1 Geometrische Reihe sn = q0 + q1 + q2 + ... + qn-1 = 1 qn 1 q Geometrische Reihe sn = q0 + q1 + q2 + ... + qn-1 = 1 qn 1 q (1 - q)(1 + q + q2 + ... + qn-1) = (1 + q + q2 + ... + qn-1) -(q + q2 + ... + qn-1 + qn) = 1 qn Geometrische Reihe sn = q0 + q1 + q2 + ... + qn-1 = 1 qn 1 q (1 - q)(1 + q + q2 + ... + qn-1) = (1 + q + q2 + ... + qn-1) -(q + q2 + ... + qn-1 + qn) = 1 qn s= 1 1 q für IqI < 1 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 2 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ... = 10/9 1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + ... = 3 1 - 1/3 + 1/9 - 1/27 + ... = 3/4 0,123123123... = 0,123(1 + 1/1000 + 1/1000000 + ...) = 0,123/(1 - 1/1000) = 123/999 Alle periodischen Dezimalzahlen Alle Brüche sind periodische Dezimalzahlen Alle irrationalen Zahlen sind nicht periodisch. 2, e, p, ln2 Sei 2 = p/q, teilerfremd 2q2 = p2 p ist gerade q ist gerade 1 1 1 1 1 , , , , ... 0 1 2 4 8 16 1 1 1 1 1 ... 2 1 2 4 8 16 1 1 1 1 1 , , , , , ... 0 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ? 1 2 3 4 5 6 7 8 Nicole von Oresme (1323 - 1382) Vorahnung der Analysis und des heliozentrischen Systems Gebrochene Potenzen: 43 = 64 = 82 8 = 43/2 1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + (1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13+ 1/14 + 1/15 + 1/16) + (1/17 + 1/18 + 1/19 + 1/20 + 1/21 + ... + 1/30 + 1/31 + 1/32) + ... unendlich viele Zahlen unendliches Ergebnis 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( )( ) ... . 1 2 3 4 5 6 7 8 Wieviel Zeit benötigt ein Supercomputer, um die Summe S = 100 zu erreichen? k k n1 1 1 dx ln k ln 1 ln k lg k / lg e 2,3 lg k n x 1 k = 1000 S 7 6 k = 10 S 14 9 k = 10 S 21 12 k = 10 S 28 43 S = 100 k = 10 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ? 1 2 3 4 5 6 7 8 Wieviel Zeit benötigt ein Supercomputer, um die Summe S = 100 zu erreichen? k k n1 1 1 dx ln k ln 1 ln k lg k / lg e 2,3 lg k n x 1 k = 1000 S 7 6 k = 10 S 14 9 k = 10 S 21 12 k = 10 43 S = 100 k = 10 6 bei 10 Additionen in der Sekunde 37 werden 10 Sekunden gebraucht. Das Alter des Universums beträgt 17 ca. 10 s. S 28 100.000.000.000.000.000.000 mal das Alter des Universums. Werden alle Zahlen, die eine Ziffer 9 enthalten, entfernt, so ist die Reihe konvergent. (Frank Irvin, 1916) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22,4 ... 23,3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Definition. Sei (an) eine Folge, dann heißt die Summe ihrer Glieder an a1 a2 a3 … n 1 eine Reihe Definition. Sei (an) eine Folge, dann heißt die Summe ihrer Glieder an a1 a2 a3 … n 1 eine Reihe und (an) heißt Stammfolge dieser Reihe. Definition. Sei (an) eine Folge, dann heißt die Summe ihrer Glieder an a1 a2 a3 … n 1 eine Reihe und (an) heißt Stammfolge dieser Reihe. Bricht man die Summation nach dem k-ten Glied ab, so erhält man die k-te Partialsumme oder Teilsumme k sk an a1 a2 a3 … ak n 1 Definition. Sei (an) eine Folge, dann heißt die Summe ihrer Glieder an a1 a2 a3 … n 1 eine Reihe und (an) heißt Stammfolge dieser Reihe. Bricht man die Summation nach dem k-ten Glied ab, so erhält man die k-te Partialsumme oder Teilsumme k sk an a1 a2 a3 … ak n 1 Ist die Folge der Partialsummen (sk) konvergent, so heißt die Reihe konvergent. (sk) s Definition. Sei (an) eine Folge, dann heißt die Summe ihrer Glieder an a1 a2 a3 … n 1 eine Reihe und (an) heißt Stammfolge dieser Reihe. Bricht man die Summation nach dem k-ten Glied ab, so erhält man die k-te Partialsumme oder Teilsumme k sk an a1 a2 a3 … ak n 1 Ist die Folge der Partialsummen (sk) konvergent, so heißt die Reihe konvergent. Der Grenzwert der Partialsummenfolge heißt dann Wert oder Summe s der Reihe (sk) s n 1 n 1 an an s k lim sk lim k k Nur Nullfolgen können konvergente Reihen ergeben. Ist an n 1 an = 0. konvergent, so gilt nlim 1 Die Umkehrung gilt nicht, z. B. ist divergent. n 1 n Konvergenzkriterien für Reihen mit nichtnegativen Gliedern an konvergiert n 1 k (sk) = ( an ) ist beschränkt. n 1 Majorantenkriterium: Sei bn ≥ an für n ≥ n0. Konvergiert bn , dann konvergiert auch n 1 an . n 1 Quotientenkriterium: Für n und 0 < q < 1 gelte konvergiert an 1 ≤ q, dann an an . Man beachte, dass q echt kleiner als 1 sein muss. n 1 Übung: Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz: Man bestimme eine konvergente Majorante für a) b) n 1 n 1 n2 n3 1 n 1 3n 2 ln 3 n Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen: Sei (an) eine monoton fallende Nullfolge. Dann konvergiert ( 1)n 1an . n 1 Beispiel: Die alternierende harmonische Reihe konvergiert (1)n 1 n 1 1 1 1 1 1 ... n 2 3 4 Definition. an heißt absolut konvergent, wenn | an | konvergiert. n 1 n 1 Definition. Eine Reihe konvergiert unbedingt, wenn jede Umordnung gegen denselben Grenzwert konvergiert. an konvergiert absolut n 1 an n 1 konvergiert unbedingt. Nicht jede Reihe konvergiert unbedingt: 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ln 2 1 2 3 4 5 6 7 8 halbiert 1 1 1 1 1 ... ln 2 2 4 6 8 2 und addiert 1 1 1 1 1 1 3 ... ln 2 1 3 2 5 7 4 2 Es sind aber dieselben Glieder! Satz: Eine absolut konvergente Reihe läßt sich beliebig umordnen, ohne den Grenzwert zu ändern. Eine nicht absolut konvergente Reihe besitzt eine divergente Umordnung. 1 1 1 1 - 2 + 3 - 4 + -... = ln2 7 5 < s < 12 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 + 3 - 2 ) + (5 + 7 - 4 ) + (9 + 11 - 6 ) + (13 + 15 - 8 ) +... 5/6 + 13/140 + + > 5/6 Man kann diese Reihe auch so umordnen, daß immer erst dann ein negatives Glied (-1/k) eingeschaltet wird, wenn die Summe der p direkt davor stehenden positiven Glieder größer als 2/k ist. Divergenz
