Ubungen zur Analysis 1

U bungen zur Analysis 1
Prof. Dr. Kohnen
Dr. O. Delzeith
SS 1996
1. Beweisen Sie unter Benutzung der in der Vorlesung genannten vier Axiome fur N :
Sind m; n; p; q 2 N und gilt m > n sowie p > q, so gilt mp > nq.
(3 Punkte)
2. Man deniere fur Mengen A; B die Menge A n B (sprich "A ohne B\) als diejenige
Menge aller Elemente in A, welche nicht in B enthalten sind.
Zeigen Sie fur Mengen A; B; C
A n A n (B n (B n C )) = A \ B \ C :
(4 Punkte)
3. Zeigen Sie durch vollstandige Induktion, da fur alle n 2 N
n + 1)
1 + 2 + : : : + n = n(n + 1)(2
6
gilt.
(4 Punkte)
4. Seien n 2 N und k 2 N [ f0g.
Fur k n deniere man den Binomialkoezienten nk (sprich "n uber k\) als die
Anzahl der k{elementigen Teilmengen von f1; : : : ; ng. Ferner setze man
2
2
2
k ! := 1 : 1: : k ((kk 2= N)
0)
(
(sprich "k Fakultat\).
(i) Zeigen Sie:
n = n 1 + n 1
k
k
k 1
!
!
!
( n 2 ; 1 k < n) :
(ii) Zeigen Sie unter Benutzung von (i) mittels vollstandiger Induktion
n = n! :
k k!(n k)!
!
(5 Punkte)
5. Bestimmen Sie alle naturliche Zahlen n, fur die n < 2n gilt.
2
(3 Punkte)
6. Sei n eine naturliche Zahl.
Zeigen Sie unter Benutzung der in der Vorlesung genannten vier Axiome fur N , da
es keine naturliche Zahl m mit n < m < n + 1 gibt.
(4 Punkte)
1
7. Sei f : M ! N eine Abbildung zwischen den Mengen M und N . Ferner seien M ; M
Teilmengen von M sowie N ; N Teilmengen von N .
Zeigen Sie:
(i) f (N [ N ) = f (N ) [ f (N );
(ii) f (N \ N ) = f (N ) \ f (N );
(iii) f (M [ M ) = f (M ) [ f (M );
(iv) f (M \ M ) f (M ) \ f (M ).
Geben Sie ein Gegenbeispiel dafur an, da im allgemeinen keine Gleichheit in (iv) gilt.
(4 Punkte)
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
8. Zeigen Sie folgende Aussagen fur eine Abbildung f : X ! Y zwischen den Mengen X
und Y :
(i) f ist genau dann injektiv, wenn fur je zwei Teilmengen A und B von X
f ( A \ B ) = f ( A) \ f ( B )
gilt;
(ii) f ist genau dann surjektiv, wenn fur jede Teilmenge A von X
Y n f ( A) f ( X n A)
gilt.
(5 Punkte)
9. Zeigen Sie unter Benutzung des Satzes der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung der
naturlichen Zahlen, da die Abbildung
(
NN ! N
(m; n) 7 ! 2m3n
injektiv ist. Folgern Sie hieraus, da N N abzahlbar ist.
(3 Punkte)
2
10. Beweisen Sie:
Eine endliche Menge ist niemals zu einer ihrer echten Teilmengen gleichmachtig.
(4 Punkte)
11. Zeigen Sie:
(i) Seien M und N Mengen. Ferner sei M abzahlbar, und es existiere eine surjektive
Abbildung f : M ! N .
Dann ist die Menge N endlich oder abzahlbar.
(ii) Ist fM g2Neine Folge abzahlbarer Mengen, so ist auch die Menge M abzahl 2N
bar.
(5 Punkte)
S
12. Zeigen Sie:
p
Die Menge f a + b 2 j a; b 2 Q g ist abzahlbar.
Tip: Benutzen Sie Aufgabe 3(i).
(4 Punkte)
13. Zeigen Sie:
Fur n 2 N gilt
2n
=
n
X
=0
n
!
und 0 =
n
X
=0
(
1)
n :
!
(3 Punkte)
14. Zeigen Sie:
(i) Fur reelle Zahlen a; b 0 gilt
a + b ab ;
2
!2
(ii) fur reelle Zahlen a; b; c; d 0 gilt
a + b + c + d abcd :
4
!4
Geben Sie fur die Gleichheit in (i) bzw. (ii) ein notwendiges und hinreichendes Kriterium an.
(4 Punkte)
3
15. Bestimmen Sie alle reelle Zahlen x 2 R , fur die
x 2 = und jx 4j < 6 und j2x 1j jx 1j + 1
gilt.
3
2
5
2
(4 Punkte)
16. Zeigen Sie:
(i) Fur reelle Zahlen a 6= 0; b 6= 0 gilt
(ii) fur alle a; b 2 R gilt
a + b 2;
b a
ja + bj + ja bj jaj + jbj :
Geben Sie fur die Gleichheit in (i) bzw. (ii) ein notwendiges und hinreichendes Kriterium an.
17. Zeigen Sie, da die Folgen (an)n2Nund (bn)n2Nreeller Zahlen mit
1)n und b := 1 + 2 + : : : + n
an := 3n 24nn ++57(
n
n
n
konvergieren, und bestimmen Sie deren Grenzwerte.
3
2
2
3
2
(5 Punkte)
2
3
(3 Punkte)
18. Seien (an)n2Neine Folge reeller Zahlen und a 2 R .
Zeigen Sie:
(i) Konvergieren die Folgen (a n)n2Nund (a n )n2Ngegen a, so auch die Folge (an)n2N.
(ii) Die Folge (an)n2Nkonvergiere gegen a.
Dann konvergiert die Folge (( 1)n an)n2Ngenau dann, wenn a = 0 gilt.
2
2 +1
(4 Punkte)
19. Sei (an)n2Neine konvergente Folge reeller Zahlen mit dem Grenzwert a 2 R .
Zeigen Sie:
Die Folge (bn)n2Nmit
bn := a + :n: : + an
konvergiert, und es gilt nlim
!1 bn = a.
1
(4 Punkte)
4
20. Fur a 1 sei rekursiv die Folge (an )n2Nreeller Zahlen durch
a := a
an := 2 a1
n
1
+1
(n 2 N)
deniert.
Zeigen Sie:
(i) Die Folge (an)n2Nist wohldeniert, d. h. die obige Rekursion ist fur alle n 2 N
sinnvoll; daruberhinaus ist sie monoton fallend und beschrankt.
(ii) Sie ist konvergent mit dem Grenzwert 1.
(5 Punkte)
21. Zeigen Sie:
Jede Teilfolge einer konvergenten Folge ist konvergent mit demselben Grenzwert.
(3 Punkte)
22. Seien a 2 R und (an)n2Neine Folge reeller Zahlen mit folgender Eigenschaft:
Jede Teilfolge von (an)n2Nbesitzt eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert a.
Zeigen Sie:
Die Folge (an)n2Nkonvergiert gegen a.
(4 Punkte)
23. Fur a 2 R sei die Folge (an)n2Nreeller Zahlen durch
a := a
an := an 4an + 6
1
+1
2
(n 2 N)
rekursiv deniert.
(i) Bestimmen Sie die Menge aller a, fur welche die Folge (an)n2Nkonvergiert.
(ii) Berechnen Sie im Falle der Konvergenz den Grenzwert in Abhangigkeit von a.
Tip: Finden Sie eine geschlossene Formel fur an (n 2 N ).
(4 Punkte)
5
24. Seien k 2 N , k 2 , und b 2 R , b 0 .
Zeigen Sie unter Benutzung der angegebenen Schritte die Aussage:
Es existiert genau eine Zahl a 2 R , a 0 mit ak = b :
p
Bem.: Die Zahl a heit die k {te (positive) Wurzel aus b (in Zeichen k b oder b k1 ).
Beweisen Sie:
(i) Fur x 2 R , x 0 , und n 2 N gilt
x + n 1 n x:
n
Tip: Benutzen Sie die Bernoullische Ungleichung.
Sei nun b > 0 eine beliebige, aber fest gewahlte reelle Zahl, und man setze a := kb .
b
(ii) Durch die Rekursion
(n 2 N)
bn := an + (kk 1)bn ; an := bkb
n
werden Folgen (an)n2N, (bn)n2Nreeller Zahlen deniert.
(iii) Die Folge In := [an; bn] (n 2 N) von Intervallen ist eine Intervallschachtelung.
Tip: Benutzen Sie (i).
(iv) Die von ihr erfate Zahl a erfullt die Gleichung ak = b.
0
0
0
1
1
1
1
(5 Punkte)
25. Sei (an)n2Neine beschrankte Zahlenfolge und M die Menge ihrer Haufungspunkte.
Zeigen Sie:
Es gilt
sup M ; inf M 2 M :
(4 Punkte)
26. Zeigen Sie:
pn n = 1 :
lim
n!1
p
Tip: Man schreibe n n = 1 + n . Unter Benutzung von n = (1 + n)n und des binomischen Lehrsatzes folgere man n2 2 , also nlim
!1 n = 0.
n
(3 Punkte)
6
27. (i) Sei (an)n2Neine monoton fallende Nullfolge.
Zeigen Sie:
1
X
n=1
an ist konvergent
1
()
X
n=1
2n a
(2n )
ist konvergent :
(ii) Zeigen Sie fur eine naturliche Zahl k :
1
Die Reihe n1k ist genau dann konvergent, wenn k > 1 gilt.
P
n=1
(4 Punkte)
28. Sei (an)n2Ndie durch die Rekursion
a := 0 ; a := 1
an := 12 (an + an ) (n 2 N )
denierte Folge reeller Zahlen.
(i) Zeigen Sie mit Hilfe des Cauchyschen Konvergenzkriteriums (!), da die Folge
konvergent ist.
(ii) Bestimmen Sie ihren Grenzwert.
0
1
+1
1
(5 Punkte)
29. Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf bedingte und unbedingte Konvergenz.
Begrunden Sie Ihre Antwort.
1 n
1
1 n+1 n
n 2n + 1 ;
(i)
(
1)
;
(ii)
(iii)
n
n(n + 1)
2n + 1 :
n 2
n
n
X
X
X
=0
=1
=0
(3 Punkte)
30. Entscheiden Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren. Begrunden Sie Ihre Antwort.
1 p
1 (n + 1)n
n
n
a 1 (a 2 R ; a 0) ; (ii)
(i)
nn :
n
n
X
X
=0
=1
+1
(4 Punkte)
7
1
31. Der Grenzwert der nach dem Leibnizkriterium konvergenten Reihe ( 1)n n1 sei
n
mit a bezeichnet.
Zeigen Sie:
(i) 1 + 31 12 14 + 51 + 71
+ +::: = a;
(ii) 1 + 13 + 51 + 71 12 14 + + + +
: : : = 32 a .
X
1
=1
(4 Punkte)
32. (i) Seien (an )n2N, (bn)n2NFolgen reeller Zahlen mit bn > 0 (n 2 N), so da die Folge
an 6= 0.
an
konvergiert.
Es
gelte
lim
n
!1
b
b
n n2
N
n
Zeigen Sie:
1
X
n=1
(ii) Konvergiert die Reihe
1
X
n=1
Begrunden Sie Ihre Antwort.
1
()
an ist konvergent
X
n=1
bn ist konvergent :
pn 1n ?
n
+1
(5 Punkte)
33. Zeigen Sie:
Die Abbildung
R
w : Rx 7 !
! px
(mit R := f x 2 R j x 0 g) ist in jedem Punkt a 2 R stetig.
34. (i) Bestimmen Sie
12 :
lim 1
x! 2 x 8 x
(
0
0
0
0
(3 Punkte)
3
2
(ii) Seien f : R ! R eine Abbildung und a 6= 0 eine reelle Zahl.
Zeigen Sie:
f (x) = c existiert, so gilt lim f (ax) = ac .
Wenn xlim
! x
x!
x
0
0
(4 Punkte)
8
35. Zeigen Sie, da die durch
f (x) :=
8
<
:
x z x1
0
; x 6= 0
; x=0
denierte Funktion f : R ! R mit der in der Vorlesung eingefuhrten Zackenfunktion
z : R ! R in dem Punkt a = 0 stetig ist.
(4 Punkte)
36. (i) Zeigen Sie:
Q liegt dicht in R , d. h. zu jeder reellen Zahl a existiert eine Folge rationaler
Zahlen, die gegen a konvergiert.
Tip: Sei zunachst a 0 . Es genugt zu zeigen (?), da es fur jedes n 2 N eine
rationale Zahl x mit ja xj n gibt. Weisen Sie dazu nach, da eine minimale
naturliche Zahl k mit na < k existiert. Fur sie gilt k 1 na < k , woraus
die Ungleichung a nk n folgt. Im Falle a < 0 betrachte man a > 0 .
(ii) Sei f : R ! R ein Gruppenhomomorphismus, d. h. es gilt
1
1
(8 x; y 2 R) :
f (x + y) = f (x) + f (y)
Zeigen Sie:
Ist f zusatzlich eine stetige Abbildung mit f (1) = 1 , so gilt
f (x) = x
(8 x 2 R) :
Tip: Beweisen Sie zunachst f (x) = x (8 x 2 Q) , und benutzen Sie dann (i).
(5 Punkte)
37. Sei C (I ) der R{Vektorraum der stetigen reellwertigen Funktionen auf dem Intervall
I = [a; b].
Zeigen Sie, da die Abbildung
0
!
R
k : k : C f(I ) 7 !
sup f jf (x)j j x 2 I g
(
0
0
wohldeniert ist und eine Norm auf C (I ) deniert.
0
(3 Punkte)
38. Entscheiden Sie, welche der folgenden Funktionen auf ihrem Denitionsbereich gleich{
maig stetig sind. Begrunden Sie Ihre Antwort.
R :
p
(ii) g : Rx !
7! x
! R ;
(i) f : R
x 7! x
(
(
0
2
(4 Punkte)
9
39. Entscheiden Sie, welche der angegebenen, punktweise konvergenten Folgen von Funktionen auf R gleichmaig konvergieren. Begrunden Sie Ihre Antwort.
p
(i) fn (x) = n x ;
(ii) fn (x) = 1 +1nx ;
(iii) fn (x) = 1 +xnx .
0
(4 Punkte)
40. Beweisen Sie das Majorantenkriterium der Vorlesung:
Seien (fn : M ! R)n2Neine Folge von Funktionen auf einer nichtleeren Teilmenge M
von R und (an)n2Neine Folge nichtnegativer reeller Zahlen mit
jfn (x)j an
(8x 2 M ; 8n 2 N) :
1
1
Konvergiert die Reihe an , so konvergiert die Funktionenreihe fn absolut gleich{
n
n
maig.
P
P
=1
=1
(5 Punkte)
41. Sei V ein normierter reeller Vektorraum mit Norm k : k.
Zeigen Sie:
Fur alle v; w 2 V gilt
jkvk kwkj kv wk :
(3 Punkte)
42. Seien M eine nichtleere Teilmenge von R und B (M ) der normierte reelle Vektorraum
der beschrankten Funktionen F : M ! R mit der Supremumsnorm
jF jM := sup jF (x)j :
x2M
Zeigen Sie:
Ist (Fn)n2Neine Cauchyfolge in B (M ) (d. h. zu jedem " > 0 existiert ein N 2 N , so
da jFn FmjM < " fur alle n; m N gilt), so existiert genau ein F 2 B (M ) mit
nlim
!1 jF
FnjM = 0 :
(4 Punkte)
10
43. Seien I = [a; b] mit a < b und f 2 R(I ) . Dann deniert man fur c; d 2 I mit d < c
d
Z
c
f (x) dx :=
Z
d
c
c
Z
f (x) dx ;
c
f (x) dx := 0 :
Zeigen Sie:
Fur alle c; d; e 2 I gilt
d
Z
c
e
e
Z
Z
d
c
f (x) dx + f (x) dx = f (x) dx :
(4 Punkte)
44. Seien a; b 2 R mit 0 < a < b und k 2 N .
Berechnen Sie das Integral
b
Z
a
xk dx
als Grenzwert einer geeigneten Riemannschen Summe.
Tip: Betrachten Sie die Zerlegung Zn = f a = a < a < : : : < an = b g von [a; b] mit
a := q a (0 n) und q := n ab .
s
0
1
(5 Punkte)
11