Koordinatensysteme

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Wahlpflichtunterricht
Informatik/Astronomie
2006-09
Koordinatensysteme
Eckart Modrow
Max-Planck-Gymnasium Göttingen
WPU Informatik/Astronomie 2006-09
Eckart Modrow, Max-Planck-Gymnasium Göttingen
Koordinatensysteme – Seite 2
Inhalt:
1. Erdkoordinaten
2. Aufgaben
3. Die Bestimmung der Erdgröße
4. Aufgaben
5. Himmelskoordinaten
6. Aufgaben
7. Scheinbare Bewegungen am Himmel
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Eckart Modrow, Max-Planck-Gymnasium Göttingen
Koordinatensysteme – Seite 3
Nordpol
Erde und Mond
N
M
1. Erdkoordinaten
Um die genaue Position eines Punktes auf der Erdoberfläche zu bestimmen, wird die Erde (in Gedanken) mit einem
Liniennetz überzogen: den Breiten und Längenkreisen. Ein
Ort wird dann durch seine geografische Breite und Länge
bestimmt.
Äquator
S Erdachse
Südpol
Breitenkreise:
Denkt man sich die Erde durchgeschnitten, dann kann man
eine Linie vom Nordpol N zum Südpol S ziehen: die Erdachse. Um die Erdachse dreht sich die Erde. In einer Ebene
senkrecht zur Erdachse und durch den Erdmittelpunkt M
liegt der Äquator: der längste Breitenkreis.
Legt man jetzt Kreise parallel zum Äquator um die Erde,
dann nimmt deren Radius nach Norden und nach Süden hin
ab – an den Polen ist er Null. Diese Kreise nennt man Breitenkreise. Auf ihnen befinden sich alle Punkte gleicher geografischer Breite.
Wie misst man die Breite?
N
P
α
M
S
Wählt man einen Punkt P auf der Erdoberfläche, dann kann
man sich eine Linie von diesem zum Erdmittelpunkt M denken. Diese bildet mit der Äquatorebene einen Winkel α.
Dieser Winkel gibt die geografische Breite an: die Breite ist
also ein Winkel. Punkte auf der Nordhalbkugel haben eine
positive Breite, der Nordpol eine Breite von 90°. Punkte auf
der Südhalbkugel haben eine negative Breite.
N
Längenkreise:
Senkrecht zu den Breitenkreisen laufen die Längenkreise.
Sie haben alle die gleiche Größe und verlaufen durch Nord
und Südpol. Ein bestimmter, der Kreis durch die Sternwarte
in Greenwich bei London, hat die geografische Länge 0°.
Von diesem aus werden alle anderen Winkel gemessen:
einmal rundrum entspricht 360°. Punkte genau auf der anderen Seite von Greenwich liegen also auf dem Längenkreis
mit 180°: sie haben eine Länge von 180°.
Blickt man „von oben“ auf den Nordpol der Erde, dann liegen die Längengrade wie auf dem nebenstehenden Bild.
Eigentlich könnte der 0-Längenkreis genau
durch die Göttinger Sternwarte verlaufen,
weil C.F. Gauß dort ab 1816 wesentliche
Beiträge zur Vermessung der Erde lieferte.
Greenwich
S
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Koordinatensysteme – Seite 4
Man erhält mit Längen- und Breitenkreisen
ein Gitternetz, das sich über die Erde zieht.
Natürlich gibt es auch Längen- und Breitenkreise zwischen den eingezeichneten.
Die Kreise „liegen dicht“, sodass jedem
Punkt auf der Erde seine Koordinaten zugeordnet werden können.
Oft findet man neben den Gradzahlen die
Zeichen N, S, O oder W. Beispielsweise
meint man mit 10°N zehn Grad nördlicher
Breite und mit 120°W hundertzwanzig
Grad westlicher Länge. Man vermeidet so
negative Werte.
2. Aufgaben
1. a: Winkel werden nicht nur in ganzen Grad, sondern auch in
Minuten und Sekunden gemessen. Kläre diese Begriffe.
b: Was befindet sich am Ort 19°49’29,57’’N, 155°28’24,91’’W ?
c: Was befindet sich am Ort 29°58’44,67’’N, 31°8’2,31’’W ?
2.
Bestimme jeweils mithilfe von Google Earth die geografische
Länge und Breite sowie weiterer Informationen (Bilder, Beschreibung, …)
a: des Max-Planck-Gymnasiums in Göttingen,
b: des Markusplatzes in Venedig,
c: des Empire-State-Buildings in New York,
d: der Mitte der Golden-Gate-Bridge in San Francisco,
e: des Tafelberges bei Kapstadt,
f: des Kilimanjaro in Tansania,
g: des Grand Canyon,
h: des Fuji in Japan,
i: des Observatoriums Jantar Mantar in Jaipur, Indien,
j: des Monet-Nord-Teskops,
k: des SALT-Teleskops in Südafrika.
Dokumentiere Deine Ergebnisse im Porfolio-Ordner!
3.
Kläre die folgenden Begriffe und bestimme ggf. die geografischen Daten
a: Wendekreis
b: Polarkreis
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Koordinatensysteme – Seite 5
3. Die Bestimmung der Erdgröße
Die Erde ist fast eine Kugel, aber nicht genau: an den Polen ist sie
etwas abgeplattet. Für unsere Zwecke genügt es aber, die Erde als
Kugel zu betrachten.
Um die Größe der Erde zu bestimmen, muss man sich erst einmal
vorstellen, dass es sich um eine Kugel handelt. Das war nicht immer der Fall: früher glaubten die meisten Menschen, dass die Erde
eine Scheibe sei.
Eine der ersten Bestimmungen des Erdumfangs (aus dem sich Erddurchmessers und Erdradius, der halbe Durchmesser, berechnen
lassen) gelang Eratosthenes um 240 v. Chr. Er hatte gehört, dass an
einem bestimmten Tag (und nur dann) mittags die Sonne genau auf
den Boden eines tiefen Brunnens bei Syene (heute: Assuan) scheint.
Er bestimmte den Winkel, unter dem die Sonne zu diesem Zeitpunkt in Alexandria erscheint, zu 7,2°. Aus der Entfernung zwischen Alexandria und Syene berechnete er den Erdumfang. Wir
machen das nach:
Zuerst bestimmen wir den Winkel mit GeoGebra:
Wir wählen einen 50 cm langen Stab, der im Programm durch die
Strecke AB, A(0|0) und B(0|5), dargestellt wird. Ein dritter Punkt C
liegt links von A auf der x-Achse. Durch C und B zeichnen wir
einen Strahl in Richtung Sonne und messen den Winkel α = ABC.
Dann verschieben wird C so (Kontextmenü Æ Bearbeiten), dass
sich ein Winkel von ca. 7,2° ergibt. Wir erhalten für AC eine Länge
von ca. 6,3 cm.
Ergebnis: Wirft ein senkrecht stehender, 50 cm langer Stab einen
Schatten von 6,3 cm dann beträgt der Winkel zur Sonne ca. 7,2°.
zur Sonne
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Koordinatensysteme – Seite 6
Danach suchen wir in Google-Earth die geografische Breite von
Assuan und finden ca. 24°N. Da Assuan und Alexandria etwa auf
dem gleichen Längengrad liegen (na ja), können wir eine Skizze in
GeoGebra anfertigen: Wir erzeugen einen Punkt A im Ursprung
und durch diesen und B einen Kreis (die Erde). C liegt irgendwo
auf der x-Achse, dem Äquator. Wir verändern B so, dass der Winkel α = CAB einen Wert von 24° hat. Dann erzeugen wir einen
Punkt D auf dem Kreis, konstruieren durch diesen die Parallele zu
AB (die Sonnenstrahlen) und den Erdradius AD. Wir verändern D
so, dass der Winkel b = BAD einen Wert von 7,2° hat.
zur Sonne
Jetzt können wir mithilfe des Dreisatzes den Erdumfang bestimmen:
StreckeBD ∗ 360°
StreckeBD Winkel β
=
Æ Erdumfang =
o
Erdumfang
360
β
Wir müssen nur noch die Strecke BD bestimmen.
Eratosthenes ermittelte sie aus den Befragungen von Läufern, die
zwischen Alexandria und Syene unterwegs waren, zu 5000 Stadien,
einem Längenmaß, das damals zwischen 150 und 200 Metern variierte. Rechnen wir mit 175 m, dann erhalten wir:
AD = 5000 * 175 m = 875 km
Damit errechnet sich der Erdumfang UErde zu
UErde = 875 km * 360 / 7,2 = 43 750 km.
Ein ziemlich guter Wert.
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Koordinatensysteme – Seite 7
Jetzt können wir den Erdradius bestimmen – wieder mit GeoGebra
und dem Dreisatz:
Wir zeichnen mit Geogebra mehrere Kreise um den Ursprung – von
denen kennen wir dann den Radius. Auf diesen Kreisen zeichnen
wir dann Kreisbögen, die jeweils Halbkreise bilden. Deren Länge
wird angezeigt (hier: e und f).
Wir bestimmen jeweils das Verhältnis aus Kreisbogen und Radius
und stellen fest:
Halbkreislänge 2 12,57
Halbkreislänge 1 6,28
=
= 3,14
=
= 3,14
Radius 1
2
Radius 2
4
usw.
Wir erhalten „experimentell“ das Ergebnis:
In jedem Kreis ergibt sich der Wert 3,14, wenn man die
Länge des Halbkreises durch die Länge des Radius teilt.
Damit bestimmen wir den Erdradius (mit den Werten von Eratosthenes):
halber Erdumfang
= 3,14
Erdradius
Æ Erdradius =
halber Erdumfang 21875 km
=
= 6966 km
3,14
3,14
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Koordinatensysteme – Seite 8
4. Aufgaben
1.
Bestimme mit Google-Earth die Entfernung von Alexandria
nach Assuan. Berechne daraus den Erdumfang.
2. a: Bestimme drei Orte, die sich in der Nähe des Längengrades
durch Assuan befinden. Bestimme deren geografische Breiten.
b: Ermittele mit GeoGebra an diesen Orten die Winkel des Sonnenstandes und die Schattenlängen (beim 0,5m-Stab) zum
Zeitpunkt der Messungen von Eratosthenes.
3.
Bestimme mit GeoGebra das Verhältnis vom halben Kreisumfang zu Kreisradius genauer als hier angegeben (z. B. auf
vier Stellen genau).
4. a: Konstruiere mit GeoGebr wie unten angegeben einen Kreis
um A durch B und einen Punkt C darauf. Miss für mehre Positionen von C jeweils die Bogenlänge BC und den zugehörigen Winkel α = BAC und trage die Ergebnisse in eine Tabelle ein (z. B. in OpenOffice Calc). Erzeuge dann das zugehörige Diagramm. Was bedeutet das Ergebnis?
b: Wiederhole die Aufgabe etwas abgeändert: Halte den Winkel
α konstant und ändere dafür den Radius des Kreises. Miss
jeweils die Bogenlänge und die Länge des Radius, trage die
Ergebnisse in eine Tabelle ein. Füge eine dritte Spalte ein, in
der jeweils die Bogenlänge durch den Radius geteilt wird.
Was bedeutet das Ergebnis?
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Koordinatensysteme – Seite 9
5. Himmelskoordinaten
Um die Positionen von Himmelskörpern anzugeben, brauchen wir
ähnlich wie auf der Erde Längen- und Breitenkreise zur Bestimmung der Koordinaten. Wir kommen zu solch einem Koordinatensystem, wenn wir uns im Mittelpunkt der Erde eine helle Lampe
vorstellen, die das Gitter der Länden- und Breitenkreise auf die
„Himmelskugel“ projiziert. Das funktioniert ähnlich wie beim Baader-Observatorium der Physiksammlung.
Wir haben dann aber ein Problem: die Erde dreht sich um die Erdachse und außerdem noch um die Sonne. Das Koordinatensystem
am Himmel würde also ständig wandern und für denselben Stern
dauernd unterschiedliche Koordinaten ergeben. So einfach geht es
also nicht.
Als erstes versuchen wir, die Erddrehung auszugleichen.
Wenn wir ein Teleskop am Nordpol aufstellen würden, dann müssten wir dieses um eine senkrechte Achse (hier: die Erdachse) entgegen der Erddrehung drehen, also in 24 Stunden einmal ganz herum.
Dabei müssen wir die Sternzeit wählen: Da sich die Erde auf ihrer
Bahn um die Sonne pro Tag um ca. 1° gegenüber den Sternen dreht
(360°/365 Tage), wird sie in 24 Stunden Sonnenzeit etwas zu weit
gedreht.
N
M
S
Wie weit?
Die Erde dreht sich in 24 h um 360°, also pro Minute um
360°/(24*60) = 0,25°. Wir müssen also vier Minuten abziehen, um
das eine Grad, das von der Bahnbewegung hinzukommt, zu kompensieren. Ein Sterntag hat 23 Stunden und 6 Minuten. Daraus ergibt sich Winkelgeschwindigkeit, mit der das Teleskop gedreht
werden muss, um fest auf einen Stern zu zeigen:
Winkelgeschwindigkeit: ω =
360°
360°
°
=
≈ 0,25
23h56' 23 ∗ 60 + 56
min
N
Befindet sich das Teleskop am Äquator, dann müssen wir es
wieder um eine Achse drehen, die parallel zur Erdachse liegt.
Diese befindet sich jetzt aber in der Horizontalen, steht senkrecht auch der Senkrechten. Für einen Beobachter am Äquator dreht sich dann das Teleskop von Osten über den Zenit
nach Westen, folgt also dem Lauf der Sonne.
M
Das Teleskop am Äquator:
Osten
S
Westen
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Koordinatensysteme – Seite 10
Wie muss man ein Teleskop „dazwischen“ aufstellen, also an
einem Ort P beliebiger geografischer Breite α?
Wir zeichnen wieder die Erde mit dem Teleskop, das sich
parallel zu Erdachse drehen kann.
Die genauen Verhältnisse studieren wie mit GeoGebra:
Wir zeichnen einen Kreis um den Ursprung M (die Erde) und
einen beliebigen Punkt P auf diesem. Der Strahl von M durch
P steht senkrecht auf dem Kreis, bildet also in P die Senkrechte. Die geografische Breite α können wir in M gegenüber
der Äquatorialebene ablesen. Konstruieren wir jetzt die Parallele zur Erdachse durch P, dann erhalten wir ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse MP. Damit hat der Winkel β
den Betrag 90-α, und weil γ Scheitelwinkel zu β ist, hat der
die gleiche Größe. γ gibt den Winkel an, um den die Drehachse des Teleskops nach Norden gegen die Senkrechte in P geneigt sein muss.
Ergebnis:
Am Ort mit der geografischen Breite α muss man die Drehachse eines Teleskops um 90°-α nach Norden neigen, um es
parallel zu Erdachse zu drehen. Man nennt diese Aufstellung
eine parallaktische Montierung (von „parallel“).
N
P
α
M
S
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Koordinatensysteme – Seite 11
Jetzt kommen wir zu den Himmelkoordinaten:
• Die Himmelspole liegen in der Verlängerung der Erdachse an
der (gedachten) Himmelskugel, der Himmelsnordpol in der Nähe des Polarsterns. Zwischen ihnen verläuft die Himmelsachse.
• Der Himmelsäquator steht senkrecht zur Himmelsachse „in der
Mitte“ als Projektion des Erdäquators.
• Parallel zu Himmelsäquator verlaufen die Himmelsbreitenkreise. Da diese den Winkel zum Himmels- (und Erd-) Äquator angeben, sind sie von der Erddrehung unanhängig.
• Das einzige Problem sind noch die Himmelslängenkreise. Diese
können wir wegen der Erddrehung nicht einfach projizieren. Wir
wählen, ähnlich wie auf der Erde, willkürlich einen 0°Längenkreis am Frühlingspunkt, der im Sternbild der Fische
liegt. Von diesem aus werden die Winkel zu anderen Sternen
gemessen.
Himmelsnordpol
Stern
Himmelsäquatorebene
α
δ
Frühlingspunkt
• Der Winkel α heißt Rektaszension und entspricht der geografischen Länge.
• Der Winkel δ heißt Deklination und entspricht der geografischen Breite.
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Koordinatensysteme – Seite 12
Nun stellt sich die Frage, wie man den Himmel an einem bestimmten Ort sieht. Meist befinden wir uns ja nicht am Nordpol oder am
Äquator!
Sehen wir uns (in einer flachen Gegend) um, dann erscheint uns die
Umgebung als eine Scheibe, die bis zum Horizont geht. Über diesem wölbt sich der Himmel. Genau über uns befindet sich der Zenit
und die vier Himmelsrichtungen können wir mit einem Kompass
bestimmen. Wir befinden uns im Horizontsystem.
Zenit
zum Himmelnordpol (s.u.)
Stern
W
S
h
A
O
N
Horizontalebene
In diesem System bestimmen wir zwei Winkel, um die Position
eines Sterns zu beschreiben:
• Die Höhe h wird von der Horizontebene aus gemessen.
• Der Azimut A wird von der Südrichtung aus gemessen.
Beide hängen von der Beobachtungszeit und dem Beobachtungsort
ab und müssen in Himmelskoordinaten umgerechnet werden. Dazu
sehen wir uns an, wie das Horizontsystem auf der Erdkugel ausgerichtet ist.
Richtung zum
Wir sehen, dass im HoriHimmelsnordpol
zontsystem die Richtung
zum Himmelsnordpol genau die ist, die wir für die
parallaktische Montierung
von Teleskopen bestimmt
haben.
HorizontDie eigentliche Umrechung
system
von Höhe und Azimut in
Rektaszension und Deklination lassen wir hier weg,
weil sie ziemlich schwierig
ist.
Erde
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Koordinatensysteme – Seite 13
5. Aufgaben
1.
Was versteht man unter „Frühlingspunkt“?
2. a: Besorge Dir eine Styroporkugel (oder etwas Ähnliches, z. B.
einen Apfel), einige längere Nadeln und eine Kreisscheibe
aus Pappe. Stecke die Nadel durch die Mitte der Scheibe und
bringe sie so auf der Kugel an, dass ihre Position etwa der
von Göttingen (New York, Bengasi, Hongkong, Tokio, Kapstadt, Melbourne) entspricht. Markiere jeweils mit einer anderen Nadel die Richtung für eine parallaktische Teleskopmontierung.
b: Suche Dir eine Lampe, die die Sonne darstellt. Ein anderer
Punkt im Raum (ein Blumentopf?) stellt einen Stern dar. Versuche Dir dann mit der Kugel und der Lampe klarzumachen,
wie sich die drehende Erde um die Sonne bewegt und wo sich
jeweils im Horizontsystem der Stern befindet.
3.
Die folgenden Fotos zeigen einen Sonnenofen des barefoot
college in Tilonia, Indien.
a: Suche Dir Informationen über das barefoot college.
b: Weshalb braucht man Sonnenöfen?
c: Ermittele aus den Bildern die geografische Breite von Tilonia.
d: Erkläre im Detail die Funktionsweise des Sonnenofens. Vergleiche den Aufbau mit der Montage eines Teleskops. Wozu
benötigt man das Uhrwerk?
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Koordinatensysteme – Seite 14
6. Scheinbare Bewegungen am Himmel
Von der Erde aus gesehen scheinen sich die Sterne, Sonne, Mond
und Planeten auf Kreisen zu bewegen. Früher sah man deshalb ungebremste Kreisbewegungen als typisch für den „göttlichen“ Himmel an, während sich auf der „menschlichen“ Erde die Körper geradeaus und gebremst bewegten – ein deutlicher Unterschied. Erst
Isaac Newton hat gezeigt, dass für beide Sphären die gleiche Physik gilt.
Sehen wir uns noch einmal das Horizontsystem an, in dem wir uns
befinden: Da der Himmeläquator senkrecht auf der Himmelsachse
steht, ist dieser aus Sicht eines Punktes auf der Erde (meist) gekippt.
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Koordinatensysteme – Seite 15
Zenit
Bahnverlauf der Sterns,
verursacht durch die
Erddrehung
Stern
Horizontalebene
(„Erdoberfläche“)
W
S
N
Himmelsäquatorebene
O
Eine besondere Rolle nimmt die Sonne ein. Da die Erdachse gegen
die Bahnebene der Erde um die Sonne gekippt ist, liegt die scheinbare Sonnenbahn nicht in der Ebene des Himmelsäquators, sondern
ist auch gegen diesen gekippt.
Erde mit
gekippter
Erdachse
Sonne
Erdbahn um
die Sonne
Himmelsäquator
Zeichnet man die Ebene der Sonnenbahn in das Horizontsystem
ein, dann kann die Sonne über oder unter dem Himmelsäquator
stehen, je nachdem wo sich die Erde gerade auf ihrer Bahn befindet. Die Sonne beschreibt also im Laufe eines Jahres scheinbare
eine Bahn auf der Ekliptik. Zweimal im Jahr schneidet sie den
Himmelsäquator: im Frühlings- und im Herbstpunkt.
W
Aufgaben:
1. In welcher Ebene bewegen sich die Planeten?
S
N
2. Wie verläuft die Mondbahn?
O
Ekliptik
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