Atome, Licht und ihre Wechselwirkung
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Atome, Licht und ihre Wechselwirkung
Priv. Doz. Dr. Karl-Peter Marzlin
WS 2002/2003
2
Inhaltsverzeichnis
1
2
Maxwell-Gleichungen und Eichfelder
1.1 Die Maxwell-Gleichungen . . . . . . . .
1.2 Skalares Potential und Vektorpotential . .
1.3 Eichtransformationen . . . . . . . . . . .
1.4 Multipolentwicklung . . . . . . . . . . .
1.5 Elektrodynamik in dielektrischen Medien
1.6 Makroskopische Maxwell-Gleichungen .
1.7 Ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . .
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Quantenfeldtheorie des Lichts - QED
2.1 Vielteilchentheorie in der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Fock-Raum und Teilchenzahldarstellung . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Erzeuger und Vernichter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Der Feldoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Zweite Quantisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Zusammenfassung der Konstruktion einer Vielteilchentheorie
2.1.6 Quantisierung in Coulomb-Eichung . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Kohärente Zustände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Klassische und quantenmechanische Interferenz . . . . . . . . . . . .
2.4 Bemerkungen zum Problem der Quantisierung in anderen Eichungen .
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3
Quantenmechanik der Atome: ein kurzer Überblick
41
3.1 Das Wasserstoffatom, Parität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.2 Feinstruktur und Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Hyperfeinstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4
Die Wechselwirkung von Atomen und Licht
4.1 Die minimale Kopplung . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Herleitung der minimalen Kopplung . .
4.1.2 Eichinvarianz der minimalen Kopplung
4.2 Die Power-Zienau-Woolley-Transformation . .
4.2.1 Das Grundprinzip der Transformation .
4.2.2 Die vollständige Transformation . . . .
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4
INHALTSVERZEICHNIS
4.3
4.4
5
6
7
8
Dipolnäherung und Dipolkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Auswahlregeln für Atome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Das 2-Niveau Modell für Atome
5.1 Herleitung des 2-Niveau Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Darstellung von Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Kopplung eines 2-Niveau-Atoms an ein elektromagnetisches Feld
5.2 Rabi-Oszillationen und Landau-Zener-Übergänge . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Landau-Zener-Übergänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Dressed States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Dressed States in einer Cavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Modelle mit wenigen Niveaus, Dunkelzustände, Raman-Übergänge . . .
5.4.1 Dunkelzustände (Dark States) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Raman-Übergänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Adiabatisches Theorem, STIRAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Anwendung des adiabatischen Theorems auf Dunkelzustände . .
Atomoptik
6.1 Grundlegendes Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Atom-Interferometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Ramsey-Bordé-Interferometer (Bordé 1988, Riehle 1991)
6.2.2 Atomic fountain (Kasevich & Chu 1991) . . . . . . . . .
6.3 Optische Potentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Laufender Laser mit Gauß-Profil . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Stehender Doughnut-Laser . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.3 Evaneszente Lichtfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.4 Linsen für einen Atomstrahl . . . . . . . . . . . . . . . .
Inkohärente Wechselwirkung und Dichtematrix
7.1 Dichtematrix-Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Liouville-Gleichung, Superoperatoren . . . . . . . . . . . . .
7.3 Reduzierte Dichtematrix, Zwanzigs Master-Gleichung . . . .
7.3.1 Reduzierte Dichtematrix, Projektions-Superoperatoren
7.3.2 Zwanzigs Master-Gleichung . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Spontane Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Vermeidung spontaner Emission durch Interferenz . . . . . . .
Laser-Kühlen von Atomen
8.1 Allgemeines zur Kühlung von Atomen
8.2 Doppler-Kühlung . . . . . . . . . . .
8.2.1 Das Prinzip . . . . . . . . . .
8.2.2 Theoretische Beschreibung . .
8.3 VSCPT . . . . . . . . . . . . . . . .
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123
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124
127
INHALTSVERZEICHNIS
9
5
Elektromagnetisch induzierte Transparenz
129
9.1 Maxwell-Bloch-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.2 Der Brechungsindex von 2-Niveau-Atomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
9.3 Elektromagnetisch induzierte Transparenz und Dunkelzustände . . . . . . . . . . 133
10 Photonische Bandlücken
137
11 Bose-Einstein-Kondensate
11.1 Vielteilchentheorie bosonischer Atome . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Der Bose-Einstein-Phasenübergang . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Atome mit Wechselwirkung, kollektive Wellenfunktion . . . . .
11.4 Einfache Anwendungen der Gross-Pitaevskii-Gleichung . . . .
11.4.1 BECs in harmonischen Fallen , Thomas-Fermi-Näherung
11.4.2 Solitonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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150
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153
153
153
155
157
12 Einschübe
12.1 Greenfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2 Addition von Drehimpulsen . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.1 Weitere Darstellung der Addition von Drehimpulsen
12.3 Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6
INHALTSVERZEICHNIS
Vorwort
Das vorliegende Skript ist aus einer Vorlesung hervorgegangen, die ich im Wintersemster 2002/03
an der Universität Konstanz gehalten habe. Die Grundidee der Veranstaltung war, die vielen verschiedenen Aspekte der Quanten- und Atomoptik auf drei grundlegende Modelle zurückzuführen: Das Zwei- und das Drei-Niveau-Atom sowie den harmonischen Oszillator.
Entsprechend ist das Skript angelegt. Nach einem Rückblick auf den Stoff aus Kursvorlesungen (Kapitel 1 und 3) werden die theoretischen Grundlagen der Quantenoptik in Kapitel 2 und 4
behandelt. In Kapitel 5 werden das 2-Niveau- und das 3-Niveau-Modell ausführlich besprochen
und die fundamentalen Effekte vorgestellt, die in solchen Systemen auftreten. In Kapitel 6 werden diese Modelle um die Schwerpunktbewegung erweitert, in Kapitel 7 tritt die Kopplung an ein
Reservoir hinzu. Beide Erweiterungen werden in Kapitel 8 zur Beschreibung der Laser-Kühlung
von Atomen benötigt und bilden auch die Grundlage für die verschiedenen Anwendungen in
Kapitel 9-11.
Dieses Skript ist Dank des Engagements der Studierenden entstanden, die diesen Kurs besucht haben. Viele von Ihnen haben beim Tippen des Manuskripts geholfen. Auch haben ihre
Fragen und Bemerkungen während der Vorlesung Teile des Stoffes sowie dessen Darstellung
beeinflußt. Für ihre Mitarbeit und die herzliche Atmosphäre während der Vorlesung möchte ich
Stefan Bretzel, Wolfgang Bührer, Martin Clausen, Claudia Gnahm, Peter Groß, Roland Haas,
Christine Hartung, Corinna Maaß und Thomas Schluck sehr danken. Mein besonderer Dank gilt
Wolfgang Bührer für seine Initiative, die Web-Seite www.atome-licht.de.vu zu erstellen und damit
das Texen der Vorlesung zu koordinieren. Last not least ist es mir eine angenehme Pflicht, mich
bei Martin Kiffner für das Korrektur-Lesen und bei Wolfram Quester für das Texen meines Skriptes zur Elektrodynamik zu bedanken, aus dem Kapitel 1 hervorgegangen ist. Möglicherweise
wäre dieses Skript ohne diesen Anfang nicht enstanden.
Konstanz, im Mai 2003
Peter Marzlin
Kapitel 1
Maxwell-Gleichungen und Eichfelder
1.1
Die Maxwell-Gleichungen
Die beschreiben alle Phänomene, die mit (klassischen) elektrischen und magnetischen Feldern
zu tun haben. Im Vakuum lauten sie:
%
ε0
rot E = −Ḃ
div E =
div B = 0
(1.1)
rot B = µ0 j + ε0 Ė
Darin bezeichnet E das elektrische und B das magnetische Feld; %(x, t) ist die Ladungs- und
j(x) die Stromdichte. Die Divergenz und die Rotation einer Funktion R(x) sind dabei definiert
als
3
X
∂
div R(x) =
Ri (x) = ∂i Ri (x)
∂x
i
i=1
3
X
∂
rot R(x) i =
ijk
Rk = ijk ∂j Rk (x)
∂xj
j,k=1
Für die jeweils nach dem zweiten Gleichheitszeichen angegebene Kurzschreibweise wurde die
Einsteinsche Summenkonvention verwendet, nach der über doppelt vorkommende Indizes zu
summieren ist (hier von 1 bis 3). ijk ist das antisymmetrische Levi-Civita-Symbol, das definiert
ist als
(ijk) = (123), (231), (312)
1
ijk = −1 (ijk) = (132), (321), (213)
0
sonst
Aus dieser Definition folgt ijk = jki und ijk = −jik .
Aus Konsistenzgründen muss die Kontinuitätsgleichung gelten:
%̇ + div j = 0
(1.2)
2
Maxwell-Gleichungen und Eichfelder
Beweis:
%̇ = ε0 div Ė
1
= ε0 div
(rot B − µ0 j)
µ0 ε 0
1
=
div rot B − div j
µ0
div rot B = ∂i ijk ∂j Bk = ijk ∂i ∂j Bk = 0
|{z} |{z}
(1.3)
antisym. sym.
Die physikalische Bedeutung der Kontinuitätsgleichung liegt in der Ladungserhaltung:
Z
Q(t) =
%(x, t) d3 x
V
Z
Z
3
div j d3 x
%̇ d x = −
=⇒ Q̇ =
V
V
0
Verwendet man nun den Gaußschen Satz,
Z
ZZ
3
div R d x =
V
R ds
(1.4)
∂V
0
so sieht man, dass die Ladungsänderung im Volumen V gleich der Summe des Stroms ist, der
aus V abfließt:
ZZ
Q̇ = −
j ds
(1.5)
∂V
Darin ist ∂V die Oberfläche (= der Rand) von V .
Aus den Maxwell-Gleichungen sollen nun Differentialgleichungen zweiter Ordnung abgeleitet werden:
(rot rot E)i = ijk ∂j (rot E)k
= ijk ∂j klm ∂l Em
Benutzt man ijk klm = δil δjm − δim δjl , so ergibt sich:
(rot rot E)i = δil δjm ∂j ∂l Em − δim δjl ∂j ∂l Em
=⇒ (rot rot E)i = ∂i ∂m Em − ∂l ∂l Ei
= ∇i div E − ∆Ei
rot rot E = ∇div E − ∆E
⇒ ∇div E − ∆E = −rot Ḃ = −∂t µ0 j + ε0 Ė
⇒
1
∇% − ∆E = −µ0 ∂t j − ε0 µ0 Ë
ε0
1.2 Skalares Potential und Vektorpotential
3
Verwendet man
ε 0 µ0 =
1
c2
so folgt
∂
1 ∂2
1
(1.6)
− ∆ E = −µ0 j − ∇%
2
2
c ∂t
∂t
ε0
2
∂
Der darin vorkommende d’Alembert-Operator c12 ∂t
−
∆
wird häufig mit abgekürzt.
2
Analog ergibt sich:
1
(rot B − µ0 j)
ε 0 µ0
1
⇒ 2 B̈ = − ∇ div
B} −∆B + µ0 rot j
|
{z
c
B̈ = −rot Ė = −rot
=0
=⇒
1 ∂2
− ∆ B = µ0 rot j
c2 ∂t2
(1.7)
Diese Gleichungen sind Wellengleichungen! Für sie kann man verschiedene Spezialfälle unterscheiden:
1. j, % = 0 ⇒ Freie Wellenausbreitung, die Differentialgleichungen sind homogen und linear.
2. j, % sind vorgegeben ⇒ Die Theorie der dazugehörigen elektromagnetischen Felder behandelt inhomogene Differentialgleichungen und beschreibt die von Ladungen und Strömen
ausgehenden Felder.
3. j, % hängen (näherungsweise) linear von E, B ab.
⇒ Lineare Dielektrika (polarisierbare Medien), führen zu linearen Differentialgleichungen.
4. j, % hängen nichtlinear von E, B ab.
⇒ Nichtlineare Differentialgleichungen, im allgemeinen schwer zu lösen. Nichtlineare
Optik.
1.2
Skalares Potential und Vektorpotential
Eine der Maxwell-Gleichungen (1.1) lautet: div B = 0 (= ∂i Bi ). Nach Gleichung (1.3) gilt
allgemein: div rot A = 0. Daher läßt sich das magnetische Feld auch schreiben als1
B = rot A
1
A = Vektorpotential
Wir sehen hier von Subtilitäten ab wie sie in mehrfach zusammenhängenden Raumgebieten auf Grund topologischer Phänomene auftreten können.
4
Maxwell-Gleichungen und Eichfelder
B ist ein reines Wirbelfeld, d. h. es existieren keine magnetischen Quellen (= magnetische Monopole).
Setzt man das weiter in die Maxwell-Gleichungen (1.1) ein, so erhält man
⇒rot E = −Ḃ = −rot Ȧ
⇒rot (E + Ȧ) = 0
es gilt allgemein rot grad φ = ijk ∂j ∂k φ = 0
⇒E + Ȧ = −∇φ
in einfach zusammenhängendem Gebiet
⇒ E = −∇φ − Ȧ
φ = skalares Potential
Die Potentiale A und φ sind nicht meßbar. Meßbar sind nur E und B. Allgemeine Bewegungsgleichungen für sie lauten:
%
= −div grad φ − div Ȧ
ε0
rot B = rot rot A = µ0 j + ε0 [−∇φ̇ − Ä]
div E =
%
∆φ = − − div Ȧ
ε0
=⇒ 1
1
Ä − ∆A + ∇div A = µ0 j − 2 ∇φ̇
2
c
c
(1.8)
Wäre div A = 0, so hätten wir die Poisson-Gleichung für φ und eine Wellengleichung für A. φ
spielt dann die Rolle des Coulomb-Potentials. Dies läßt sich tatsächlich erreichen.
1.3 Eichtransformationen
Durch B = rot A wird A nicht eindeutig festgelegt. Wegen rot grad χ = 0 für beliebiges χ
führt
A0 = A + ∇χ
zum selben B-Feld. Ebenso führen φ und
φ0 = φ − ∂t χ
zum gleichen E-Feld, denn
0
E 0 = −∇φ0 − Ȧ = −∇φ + ∇χ̇ − Ȧ − ∇χ̇
= −∇φ − Ȧ = E
1.3 Eichtransformationen
5
Dies nennt man Eichtransformationen. Die physikalischen Felder E, B bleiben dabei unverändert.
Eichtransformationen können dazu verwendet werden, bestimmte (bequeme) Bedingungen an
die Potentiale zu stellen. Am gebräuchlichsten sind die folgenden:
div A = 0
1 ∂
div A + 2 φ = 0
c ∂t
Coulomb-Eichung
Lorentz-Eichung
(1.9)
Beide sind voneinander unabhängig und nicht gleichzeitig zu erfüllen. Die erste führt zur CoulombEichung, diese ist aber nicht kovariant. Die Lorentz-Eichung ist dagegen Lorentz-invariant und
deswegen für die Relativitätstheorie wichtig.
Zur Herleitung der Coulomb-Eichung:
Seien A0 , φ0 irgendwelche Potentiale. Gesucht ist ein χ, so dass div A = 0:
!
A = A0 − ∇χ =⇒ div A = div A0 − ∆χ = 0
Das ist eine Differentialgleichung für χ:
∆χ = div A0
Poisson-Gleichung für χ
(1.10)
Mit der Lösung
Z
1
div A0 (x0 ) 3 0
χ(x, t) = −
dx
4π
|x − x0 |
Beweis:
Z
1
1
div A0 (x0 )∆x
d3 x0
∆x χ = −
4π
|x − x0 |
Für die weitere Umformung benutzen wir folgenden wichtigen Satz:
∆x
1
= −4πδ(x − x0 )
0
|x − x |
Beweis:
=⇒
Z
1
∆x χ = −
div A0 (x0 )(−4π)δ(x − x0 )
4π
= div A0 (x)
qed.
Setzt man die Coulomb-Eichung aus Gleichung (1.9) in Gleichung (1.8) ein, so erhält man
die Feldgleichungen für die Potentiale in Coulomb-Eichung:
1 ∂2
1
− ∆ A = µ0 j − 2 ∇φ̇
2
2
c ∂t
c
(1.11)
%
∆φ = −
ε0
Interpretation: φ =
b Coulomb-Potential
A=
b elektromagnetische Wellen
Achtung: Die Interpretation hängt von den Eichbedingungen ab!
6
1.4
Maxwell-Gleichungen und Eichfelder
Multipolentwicklung
Multipole sind ein sehr wichtiges Hilfsmittel der Elektrodynamik. Aus ihnen folgen z. B. die
Auswahlregeln von Atomen und Molekülen in der Quantenmechanik.
In ihrem Kern ist die Multipolentwicklung eine Entwicklung nach Drehimpuls-Eigenzuständen wie in der Quantenmechanik.
Skalare Multipole
Beispiel: Skalares Potential in Lorentz-Eichung.
φ(x, t) =
%(x, t)
ε0
Zeitliche Fourier-Transformation:
Z
φ̃ω (x) =
e−iωt φ(x, t) dt
%̃(x)
ω
, k=
ε0
c
Das ist die inhomogene Helmholtz-Gleichung. Die Green-Funktion für die Helmholtz-Gleichung
erfüllt
(∆ + k 2 )G(x, x0 ) = −δ(x − x0 )
=⇒ (∆ + k 2 )φ̃ω (x) = −
und ist (mit Randbedingung G → 0 für |x − x0 | → ∞) gegeben durch
0
1 eik|x−x |
4π |x − x0 |
∞
m
X
X
(1)
∗
= ik
jl (kr< )hl (kr> )
Ylm
(ϑ0 , φ0 ) Ylm (ϑ, φ)
| {z }
G(x − x0 ) =
l=0
m=−l
Basisfunktion
Darin sind
l
1
sin x
jl =(−x)
∂x
x
x
l
1
cos x
(1)
hl =jl − (−x)l
∂x
x
x
l
sphärische Besselfunktionen
(1.12)
sphärische Hankelfunktionen
(1.13)
Die Lösung ist
Z
φ̃ω (x) =
ik
=⇒ φ̃ω (x) =
ε0
Z X
∞ X
l
G(x, x0 )
%̃(x)
ε0
(1)
jl (kr< )hl (kr> )Ylm (ϑ, ϕ) dr0
l=0 m=−l
Z
·
∗
Ylm
(ϑ0 , ϕ0 )%̃ω (r0 , ϑ0 , ϕ0 ) dΩ0
1.4 Multipolentwicklung
7
Von besonderem Interesse für praktische Anwendungen ist das Feld φ̃ω (x) an einem Ort x außerhalb der Ladungsverteilung. Wählt man den Ursprung des Koordinatensystems im Schwerpunkt
der Ladungsverteilung, so gilt dann r = |x| > |x0 | = r0 und damit r< = r0 , r> = r.
∞
l
ik X X
(1)
Ylm (ϑ, ϕ)hl (kr)
=⇒ φ̃ω (x) =
ε0 l=0 m=−l
Z
∗
· jl (kr0 )Ylm
(ϑ0 , ϕ0 )%̃ω (r0 , ϑ0 , ϕ0 ) dΩ0 dr0
(1.14)
In vielen wichtigen Anwendungen ist die Ausdehnung der Ladungsverteilung klein gegenüber
der Wellenlänge λ = 2π
= 2πc
(z. B. Atome oder Moleküle: r0 = 1 Å, λ = 1 µm). Das Argument
k
ω
0
kr von jl ist also klein. Für x 1 gilt
jl (x) ≈
Z
=⇒
jl (kr
0
∗
)Ylm
%̃ω
xl
(2l + 1)!!
kl
dΩ dr ≈
(2l + 1)!!
0
0
Z
∗
r0l Ylm
%̃ω dΩ0 dr0
Man definiert das sphärische Multipolmoment der Ordnung lm als
Z
∗
Qlm := r0l Ylm
%̃ω dΩ0 dr0
Spezialfälle:
Q00
Q11
Q10
1
=√
4π
Q
=√
4π
r
Z
%̃ω (x0 ) d3 x0
Q = Gesamtladung des Ions/Moleküls bei ω
r
Z
3
3
0
0
0
3 0
=−
%̃ω (x )(x − iy ) d x = −
(px − ipy )
8π
8π
r Z
r
3
3
=
%̃ω (x0 )z 0 d3 x =
pz
4π
4π
Darin ist p = (px , py , pz ) das (cartesische) elektrische Dipolmoment:
Z
p = x0 %(x0 ) d3 x0
Das Potential, das durch einen reinen Punktdipol erzeugt wird, ist
φDip (x) =
px
4πε0 |x|3
(1.15)
(1.16)
8
Maxwell-Gleichungen und Eichfelder
Anschauliche Bedeutung eines reinen Dipols: Zwei gegensätzliche Ladungen mit sehr kleinem
Abstand L.
Dipolmoment = q(L) · Ln = p
L geht gegen 0, aber gleichzeitig geht q(L) → ∞, so dass q(L) · L endlich bleibt.
Das elektrische Feld eines Dipols, der sich im Ursprung befindet, ist gegeben durch
E Dip (x) =
1 3x̂(px̂) − p
4πε0
|x|3
mit x̂ =
x
|x
Die allgemeine Entwicklung des Potentials in der Elektrostatik lautet:
"
#
1
Q px 1 X
xi xj
φ(x) =
+ 3 +
Q̄ij 5 + · · ·
4πε0 r
r
2 ij
r
Darin ist
Z
Q̄ij =
%(x)(3xi xj − δij x2 ) d3 x
der (spurlose) Tensor des Quadrupolmoments.
Gleichung (1.14) kann aber auch direkt durch Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen
hergeleitet werden. Diese sind Eigenfunktionen des Drehimpulsoperators und erfüllen die Orthogonalitätsrelation
Z 2π Z π
(1.17)
Yl∗0 m0 (ϑ, ϕ)Ylm (ϑ, ϕ) sin ϑ dϑ dϕ = δll0 δmm0
0
0
und die Vollständigkeitsrelation
∞ X
l
X
l=0 m=−l
∗
(ϑ0 , ϕ0 )Ylm (ϑ, ϕ) = δ(ϕ − ϕ0 ) δ(cos ϑ − cos ϑ0 )
Ylm
|
{z
}
(1.18)
=δ(Ω−Ω0 )
Wegen Gleichung (1.18) gilt für eine beliebige skalare Funktion f (ϑ, ϕ):
Z
f (ϑ, ϕ) = f (ϑ0 , ϕ0 )δ(Ω − Ω0 ) dΩ0
XZ
∗
=
Ylm
(Ω0 )Ylm (Ω)f (Ω0 ) dΩ0
l,m
=
X
Z
Ylm (ϑ, ϕ) · Flm
mit den Koeffizienten Flm :=
l,m
In unserem Fall gilt:
φ̃ω (x) =
X
Ylm (ϑ, ϕ)φ̃ω,lm (r)
l,m
Z
mit φ̃ω,lm (r) =
∗
Ylm
(Ω0 )φ̃ω (r0 , ϑ0 , ϕ0 ) dΩ0
∗
Ylm
(Ω0 )f (Ω0 ) dΩ0
1.4 Multipolentwicklung
9
Dies setzt man nun in die Helmholtz-Gleichung ein:
(∆ + k 2 )φ̃ω (x) = −
1
%̃ω (x)
ε0
Laplace-Operator in Kugelkoordinaten:
1 ∂ 2∂
1
r
− 2 L ; L = x × (−i∇)
2
r ∂r ∂r r
L2 Ylm = l(l + 1)Ylm
l(l + 1)
1
1 ∂ 2∂
2
r
−
+ k φ̃ω,lm (r) = − %̃ω,lm (r)
=⇒
2
2
r ∂r ∂r
r
ε0
∆=
Lösen dieser radialen Differentialgleichung mit geeigneten Randbedingungen (auslaufende Welle für r → ∞, d. h. ∼ cos(kr) 1r sin(kr) 1r ) führt zu obigem Ausdruck (1.14) für φ̃ω (x).
Multipolentwicklung für Vektorfelder
Man kann auch eine Multipolentwicklung divergenzfreier Vektorfelder (z. B. div B = 0) durchführen.
Im Wesentlichen werden dabei die Kugelflächenfunktionen Ylm ersetzt durch
1
X lm := p
l(l + 1)
LYlm (ϑ, ϕ)
Vector spherical harmonics“
”
X lm erfüllt
Z
X ∗lm X l0 m0 dΩ = δll0 δmm0
Z
X ∗lm · (x × X lm )dΩ = 0
Ein vollständiges System von Vektorfunktionen für divergenzfreie Felder ist dann gegeben durch
Fl (kr)X lm
(1) (1)
und
∇ × (gl (kr)X lm
(2) (2)
Fl (kr) = Fl hl (kr) + Fl hl (kr)
(1) (1)
(2) (2)
gl (kr) = gl hl (kr) + gl hl (kr)
(i)
(2)
(1)∗
hl (kr) = sphärische Hankelfunktionen hl (kr) = hl (kr)
Die elektromagnetischen Felder im freien Raum lassen sich dann entwickeln gemäß
X
B=
[aE (l, m)Fl (kr)X lm + am (l, m)∇ × gl (kr)X lm ]
wobei
l,m
E=
Xi
l,m
k
aE (l, m)∇ × Fl (kr)X lm + am (l, m)gl (kr)X lm
10
Maxwell-Gleichungen und Eichfelder
Felder, die proportional zu am sind heißen sphärische TM-Felder ( transverse magnetic“) und
”
Felder, die proportional zu aE sind heißen sphärische TE-Felder ( transverse electrical“).
”
Die Felder lassen sich auf die jeweiligen Multipolmomente zurückführen, wenn kr 1
innerhalb der Ladungsverteilung gilt. Es gilt dann
aE (l, m) ∼ Qlm ; am (l, m) ∼ Mlm
Z
x + j(x)
1
l
Mlm = −
r Ylm ∇
d3 x
(l + 1)
c
Mlm heißt magnetisches Multipolmoment. Genaueres zur vektoriellen Multipolentwicklung findet man in [1], insbesondere Kapitel 16.2 und 16.6.
1.5
Elektrodynamik in dielektrischen Medien
Bis jetzt wurden nur Felder im Vakuum in Anwesenheit vorgegebener Ladungen behandelt. Oft
möchte man aber elektromagnetische Felder im Inneren von Medien (z. B. Glas oder Kristallen)
betrachten.
Fast alle Medien sind aus Atomen und Molekülen aufgebaut. In solchen Objekten sind die
Ladungen gebunden, d. h. sie können durch ein angelegtes äußeres Feld nicht frei verschoben
werden. Sie sind jedoch polarisierbar oder haben gar ein permanentes Dipolmoment. Atome
sind z. B. durch Anlegen eines elektrischen Feldes polarisierbar:
_
E=0
E =/ 0
H
_
+
_
_
_
_
_
+
+
_
_
_
8+
_
_
O
_
H
+ _
Moleküle (z. B. Wasser) können auch ein permanentes Dipolmoment haben. Dies tritt oft bei
ionischen Bindungen auf. Betrachtet man nicht den Effekt jedes einzelnen Moleküls, sondern
nur makroskopische Felder, die über einen Raumbereich, der viele Moleküle enthält, gemittelt
sind, kann man die makroskopischen Felder E, D, B und H durch folgende Gleichungen gut
beschreiben:
div D = %
div B = 0
rot E = −Ḃ
rot H = j + Ḋ
makroskopische Maxwell-Gleichungen
Es gelten die materialabhängigen Beziehungen
D = ε0 E + P
;
B = µ0 (H + M )
(1.19)
1.5 Elektrodynamik in dielektrischen Medien
11
Darin sind D die dielektrische Verschiebungsdichte und H die magnetische Feldstärke, P
ist die Polarisation und M die Magnetisierung des Mediums. Es gibt einige Spezialfälle:
• Im Vakuum gilt P = 0 und M = 0, so dass wir auf die bisherige Form der MaxwellGleichungen kommen.
• Wenn die Moleküle ein permanentes Dipolmoment (el. oder magn.) haben, aber im Medium ungeordnet sind, gilt trotzdem im Mittel M = P = 0. Werden die Moleküle ausgerichtet, so kann M oder P 6= 0 werden. Ein Beispiel für ein theoretisches Modell dazu ist
das Ising-Modell.
m
m
M=0
M=
/ 0
• Sind die Atome/Moleküle polarisierbar, so gilt
P = χE
;
D = εE = ε0 εr E = (ε + χ)E
ε ist die Dielektrizitätskonstante des Mediums und χ seine Suszeptibilität. Dieser Effekt
kann (vor allem bei Kristallen) richtungsabhängig sein (Doppelbrechung):
Pi = χij Ej
;
Di = εij Ej
εij : dielektrischer Tensor
• Für optisch aktive Medien gilt nach dem Modell von Fedorow2
M =0
;
D = ε(E + β rot E)
Optische Aktivität heißt, dass die Polarisation eines Lichtstrahls beim Durchgang durch
das Medium gedreht wird.
• In nichtlinearen Medien gilt z. B.:
D = ε0 E + κ|E|2 E
2
Es gibt verschiedene Modelle zur Beschreibung der optischen Aktivität. Dieses Modell sei nur als Beispiel
herausgegriffen.
12
1.6
Maxwell-Gleichungen und Eichfelder
Herleitung der makroskopischen Maxwell-Gleichungen
Der physikalische Hintergrund der Größen E, D, B und H ist, dass sie makroskopische
Felder darstellen, die als Mittelung über die mikroskopischen“ Felder E mik und B mik auftreten.
”
Letztere erfüllen die bisher behandelten Gleichungen
%mik
ε0
= −Ḃ mik
div E mik =
rot E mik
div B mik = 0
rot B mik = µ0 j mik + ε0 Ė mik
Wir spalten Ladungs- und Stromdichte wie folgt auf:
%mik = %frei + %gebunden
j mik = j frei + j gebunden
Die freien Größen entsprechen dabei Teilchen, die nicht an Atome/Moleküle gebunden sind. Im
Rahmen der klassischen Physik können sie geschrieben werden als
X
%frei (x) =
qi δ(x − xi )
i
j frei (x) =
X
qi ẋi δ(x − xi )
Summen über die freien Teilchen.
i
Die gebundenen Größen korrespondieren zu den Atomen/Molekülen des Mediums:
X
%gebunden (x) =
%n (x) Summe über die Moleküle
n
%n (x) =
X
qi δ(x − xi ) Summe über die Teilchen (e− , Kerne) im Molekül
i
j gebunden (x) =
X
j n (x)
n
;
j n (x) =
X
qi ẋi δ(x − xi )
i
In den meisten Situationen können die Meßgeräte für elektromagnetische Felder einzelne Moleküle (Größe ∼ 1 Å) nicht auflösen. Bei optischen Experimenten ist die räumliche Auflösung
beispielsweise in der Größenordnung der Wellenlänge (∼ 6000Å). Man kann daher eine räumliche
Mittelung über E mik und B mik durchführen ohne die Beschreibung der Experimente zu verschlechtern:
Z
E(x) = hE mik (x)i = f (x0 )E mik (x − x0 ) d3 x0
B(x) = hB mik (x)i
Darin soll f (x) eine Funktion sein, die sich auf molekularer Skala langsam ändert, Raber deren
Träger klein gegenüber der Wellenlänge ist. Wegen der Mittelung soll natürlich gelten f (x) d3 x =
1.
1.6 Makroskopische Maxwell-Gleichungen
13
f(x)
x
700 nm
Für E und B folgen dann die Gleichungen
∂
Bi (x)
∂xi Z
∂
=
f (x0 )Bmik,i (x − x0 ) d3 x0
∂xi
Z
∂
= f (x0 )
Bmik,i (x − x0 ) d3 x0
∂xi
Z
= f (x0 ) div B mik (x − x0 ) d3 x0
|
{z
}
div B(x) =
=0
und analog
= hdiv B mik (x)i = 0
h%mik i
div E(x) =
ε0
rot E(x) = −Ḃ(x)
rot B(x) = µ0 hj mik (x)i +
1
Ė(x)
c2
Die Mittelwerte können wie folgt verarbeitet werden:
h%mik i = h%frei i + h%gebunden i
=: %(x) + h%gebunden i
%(x) : makroskopische Ladungsdichte
X
h%gebunden i =
h%n (x)i
(1.20)
n(Moleküle)
Für jedes Molekül ist die Ausdehnung sehr viel kleiner als der Mittelungsbereich, daher:
Z
f (x0 )%n (x − x0 ) d3 x0
Z
=
f (x0 )
=
X
%n (x) ≈
X
qi δ(x − x0 − xi ) d3 x0
i(e− , Kerne)
qi f (x − xi ) d3 x0
i(e− , Kerne)
Ist xn der Schwerpunkt das Moleküls, so gilt |xi − xn | Träger von f und man kann f ent-
14
Maxwell-Gleichungen und Eichfelder
wickeln:
f (x − xi ) = f (x − xn − (xi − xn ))
≈ f (x − xn ) − (xi − xn )∇f (xi − xn ) + · · ·
X
=⇒ h%n (x)i ≈
qi {f (x − xn ) − (xi − xn )∇f (xi − xn ) + · · · }
i(e− , Kerne)
X
=⇒ h%n (x)i ≈ f (x − xn )
qi
{z
qn
qi (xi − xn ) + · · ·
i(e− , Kerne)
i(e− , Kerne)
|
X
−∇f (x − xn )
}
|
{z
pn
}
qn ist die Ladung des Moleküls n. Für nicht ionisierte Moleküle ist qn = 0. pn ist sein Dipolmoment.
X
=⇒ h%gebunden i =
(−∇f (x − xn )pn
n(Moleküle)
Polarisation P (x) =
X
f (x − xn )pn
;
qn = 0
n
=⇒ h%gebunden (x)i = −div P (x)
Setzt man dies und Gleichung (1.20) in die mikroskopischen Maxwell-Gleichungen ein, so erhält
man
1
h%mik i
ε0
1
1
= % − div P
ε0
ε0
D = ε0 E + P =⇒ div D = %
div E =
Eine entsprechende Behandlung für
rot B = µ0 hj mik i +
1
Ė
c2
führt auf
hj mik i = j + rot M + Ṗ
X
M =h
mn δ(x − xn )i
n
mn =
X
i(e− , Kerne)
qi
(xi × mi ẋi ) =
2mi
X
i(e− , Kerne)
qi
Li
2mi
Hier ist mn das magnetische Dipolmoment des Moleküls n. (Zu Details vgl. [1], Abschnitt 6.7).
Daraus folgen dann die makroskopischen Maxwell-Gleichungen Gleichung (1.19).
1.7 Ebene Wellen
1.7
15
Ebene Wellen
Im Vakuum (% = j = 0) gilt:
E = B = 0
;
div E = div B = 0
Ansatz zur Lösung:
E = Ek k exp(ikx − iωt)
1 ∂2
E = Ek k 2 2 − ∆ exp(ikx − iωt)
c ∂t
Darin sind Ek ∈ C
k
die Amplitude und
der Polarisationsvektor.
=⇒ E = Ek k (−
ω2
!
+ k2 ) exp(ikx − iωt) = 0
c2
Das ist eine Lösung von E = 0 falls ω = c|k|. Hierbei ist ωk := c|k| die Frequenz eines
Photons3 mit Impuls ~k. Die Energie des Photons ist gegeben durch die Plancksche Formel
E = ~ωk . Der Polarisationsvektor k wird festgelegt durch die Bedingung div E = ∂i Ei = 0:
div E = Ek (k )i iki exp(ikx − iωk t)
= iEk (k k) exp(ikx − iωk t)
!
=0
=⇒ k muss senkrecht auf dem Wellenvektor k stehen!
Im R3 gibt es zwei linear unabhängige Vektoren senkrecht zu k =⇒ es gibt zwei unabhängige
(σ)
Polarisationsrichtungen. Die genauen Richtungen der k sind willkürlich. Eine Möglichkeit ist
cos ϕ sin ϑ
cos ϕ cos ϑ
− sin ϕ
k
(1)
(2)
(1)
k = k sin ϕ sin ϑ ; k = sin ϕ cos ϑ ; k = × k = cos ϕ
k
cos ϑ
− sin ϑ
0
(1)
(2)
Die reellen Vektoren k und k entsprechen linear polarisiertem Licht. Der allgemeine Polarisationsvektor ist eine Superposition beider Vektoren:
(1)
(2)
k = αk + βk
;
mit |α|2 + |β|2 = 1 ,
α, β ∈ C
Ein Beispiel ist zirkular polarisiertes Licht:
1 (1)
(2)
(±)
k = √ (k ± ik )
2
3
Der Begriff des Photons als elementares Quantum des Strahlungfeldes wird eigentlich erst in der Quantenelektrodynamik eingeführt. Die Eigenschaften eines Photons hängen aber so eng mit denen der klassischen Elektrodynamischen Felder zusammen, dass es sich lohnt, den Begriff schon hier zu verwenden
16
Maxwell-Gleichungen und Eichfelder
In der Literatur werden bezüglich der Bezeichnungen unterschiedliche Konventionen verwendet.
Wir halten uns hier an die von [1, 10]:
+“: links zirkular oder positive Helizität, σ + -Licht
”
−“: rechts zirkular oder negative Helizität, σ − -Licht
+ ”
σ - und σ − -Licht ist wichtig für die Auswahlregeln in der Atomphysik: σ ± : ∆m = ±1, wobei
(1)
(2)
m die magnetische Quantenzahl der Atome ist. Allgemeine Superpositionen k = αk + βk
heißen elliptisch polarisiert.
In der Quantenelektrodynamik beschreibt der Polarisationsvektor gleichzeitig den Spin eines
Photons. Photonen haben Gesamtspin 1. Sie haben aber nur die z-Spin-Werte sz = ±1. Das
entspricht σ + - und σ − -Licht. Die Auswahlregel ∆m = ±1 folgt dann aus der Erhaltung des
Gesamtspins (Atom + Photon). Der Wert sz = 0 ist wegen der verschwindenden Ruhemasse
nicht realisiert (vgl. [8], Abschnitt 14.5). Im Allgemeinen gehört zu einem zeitabhängigen EFeld auch ein zeitabhängiges B-Feld. Dieses kann man aus der Maxwell-Gleichung rot E = −Ḃ
herleiten:
Ḃ = −rot {Ek k e(ikx−iωk t) + c.c.}
= −ijk ∂j (k )l Ek e(ikx−iωk t) + c.c.
= −ijk (k )l Ek lkj e(ikx−iωk t) + c.c.
= −iEk (k × k )i e(ikx−iωk t) + c.c.
Zur Lösung dieser Differentialgleichung macht man den Ansatz Bi ∼ exp(−iωk t). Daraus ergibt
sich:
Ek
(k × k )e(ikx−iωk t) + c.c.
ωk
1
=
(k × E)
ωk
B=
Die allgemeine Lösung im freien Raum ist eine Superposition ebener Wellen:
Z
X (σ) (σ)
E(x, t) = d3 k
Ek k exp(ikx − iωt) + c.c.
σ=1,2
Z
B(x, t) =
X E (σ)
(σ)
k
dk
(k × k ) exp(ikx − iωt) + c.c.
ωk
σ=1,2
3
Besonders erwähnenswert sind noch folgende Spezialfälle:
1. Der Polarisationsvektor setzt sich aus einem Realteil und einem Imaginärteil 00 zusammen:
E = Ek k exp(ikx − iωk t) + c.c.
= Ek (0 + i00 ) exp(ikx − iωk t) + c.c.
1.7 Ebene Wellen
17
Dabei gelte 02 + 002 = 1, E ∈ R.
=⇒ E = Ek 0 2 cos(kx − iωk t) − Ek 00 2 sin(kx − iωk t)
Es handelt sich also um eine laufende Welle.
2. Man betrachtet die Überlagerung zweier sich gegenläufig ausbreitender Wellen mit Ek =
E−k und k = −k :
E = E k + E −k
= Ek k exp(ikx − iωk t) + E−k −k exp(−ikx − iωk t) + c.c.
=⇒ E ∼ cos(kx)cos(ωk t)
Es handelt sich also um eine stehende Welle.
18
Maxwell-Gleichungen und Eichfelder
Kapitel 2
Quantenfeldtheorie des Lichts - QED
2.1
Vielteilchentheorie in der Quantenmechanik
Nimmt man 2 freie Teilchen, so ergibt sich der gemeinsame Hamilton-Operator zu
H=
p21
p2
+ 2
2m 2m
(2.1)
Die zugehörige 2-Teilchen-Wellenfunktion ist
ψ (x1 , x2 ) = φn (x1 ) · φm (x2 )
(2.2)
In dieser Wellenfunktion sind die Teilchen unterscheidbar, der experimentelle Befund jedoch
zeigt, dass identische Teilchen NICHT unterscheidbar sind. Dies ist gewährleistet, wenn ψ(x1 , x2 )
dieselben Meßergebnisse wie ψ(x2 , x1 ) liefert. Man führt den Vertauschungsoperator Ê ein.
Êψ(x1 , x2 ) = ψ(x2 , x1 )
(2.3)
Für den Austausch-Operator gilt Ê 2 = 1. Somit sind die Eigenwerte dieses Operators ±1. Als
Eigenfunktionen definiert man:
ÊψB (x1 , x2 ) = +ψB (x1 , x2 ) = ψB (x2 , x1 )
ÊψF (x1 , x2 ) = −ψF (x1 , x2 ) = ψF (x2 , x1 )
(2.4)
(2.5)
Aus dem experimentellen Befunden schliesst man, das alle Teilchen in der Natur Eigenfunktionen des Ê-Operators:
• ψB ⇔ Bosonen
• ψF ⇔ Fermionen
Das Pauli-Verbot ist eine Konsequenz der Antisymmetrie von ψF .
20
Quantenfeldtheorie des Lichts - QED
Spin-Statistik-Theorem
• Bosonen ⇔ ganzzahliger Spin
• Fermionen ⇔ halbzahliger Spin
Der Beweis benutzt im Wesentlichen Kausalität und kann in [4] gefunden werden.
Vielteilchen-Wellenfunktion ψ(x1 , . . . , xn ) soll symmetrisch oder antisymmetrisch unter dem
Austausch zweier beliebiger Teilchen sein:
ψ(x1 , . . . , xi , . . . , xj , . . . , xn ) = ±ψ(x1 , . . . , xj , . . . , xi , . . . , xn )
(2.6)
Das erreicht man durch Symmetrisierung: Summiere über alle Permutationen der Koordinaten
und normiere
1 X
ψB (x1 , . . . , xn ) = √
ψ xp(1) , . . . , xp(n)
(2.7)
N! p
1 X
ψF (x1 , . . . , xn ) = √
(−1)p ψ xp(1) , . . . , xp(n)
N! p
(2.8)
wobei p die Permutationen signalisiert, also (−1)p ist +1 für gerade Anzahl von Vertauschungen,
−1 für ungerade Anzahl von Vertauschungen.
Als Beispiel wird die Produktwellenfunktion freier Teilchen benutzt:
ψ(x1 , x2 , x3 ) = ψl (x1 )ψm (x2 )ψn (x3 )
(2.9)
Also Teilchen 1 im Zustand l, Teilchen 2 im Zustand m, Teilchen 3 in n. Somit wären die Teilchen
unterscheidbar.
Für Fermionen wäre die ununterscheidbare Wellenfunktion per Konstruktion also:
1
F
ψlmn
(x1 , x2 , x3 ) = √ {ψl (x1 )ψm (x2 )ψn (x3 ) − ψl (x2 )ψm (x1 )ψn (x3 )
6
+ψl (x2 )ψm (x3 )ψn (x1 ) − ψl (x3 )ψm (x2 )ψn (x1 )
+ψl (x3 )ψm (x1 )ψn (x2 ) − ψl (x1 )ψm (x3 )ψn (x2 )}
Dies wäre für große Teilchenzahlen sehr aufwändig.
2.1.1
Fock-Raum und Teilchenzahldarstellung
In der Einteilchenquantenmechanik muss man nicht ψ(x), also die Ortsdarstellung für die Wellenfunktion kennen. Um den Zustand vollständig festzulegen, reichen Quantenzahlen aus. Zum
Beispiel sind das beim H-Atom die Quantenzahlen n,l und m. Der Zustand ist also vollständig
durch |n, l, mi statt durch ψnlm (x) = hx|n, l, mi bestimmt.
2.1 Vielteilchentheorie in der Quantenmechanik
21
In der Vielteilchentheorie reicht es analog völlig aus zu wissen, wie viele Teilchen in welchen
Zuständen sind: der ket |1l , 1m , 1n i wird mit dem Zustand 1 Teilchen in l, 1 Teilchen in m, und 1
F
Teilchen in n, also der Wellenfunktion ψlmn
(x1 , x2 , x3 ) identifiziert.
Bosonisches Beispiel:
B
ψllm
(x1 , x2 , x3 )
1
√ {ψl (x1 )ψl (x2 )ψm (x3 )
3
+ψl (x1 )ψl (x3 )ψm (x2 )
+ψl (x2 )ψl (x3 )ψm (x1 )}
⇐⇒ |2l , 1m i
=
Superposition solcher Zustände sind möglich und werden auch im Experiment präpariert,
z.B:
|ψi = α |2l , 1m i + β |3l , 0m i + γ |1l , 2m i
Aber auch Superpositionen von Zuständen mit verschiedener Teilchenzahl wie
|ψi = α |1l i + β |2l i + γ |3l , 4m i . . .
sind möglich. Formal sind Superpositionen von Zuständen mit verschiedener Tielchenzahl Elemente des Fock-Raumes, der wie folgt definiert ist.
• Sei H(1) der Hilbert-Raum für 1-Teilchen-Wellenfunktionen
• H(2) der Hilbert-Raum für 2-Teilchen-Wellenfunktionen . . .
Der Fockraum ist die direkte Summe aller N-Teilchen-Hilberträume:
F := H(0) ⊕ H(1) ⊕ H(2) ⊕ · · · ⊕ H(N )
(2.10)
H(0) beschreibt das Vakuum und hat dementsprechend nur einen einzigen Zustand, der als
|0i geschrieben wird. (h0|0i = 1).
Man braucht den Fockraum, um Prozesse zu beschreiben, die die Teilchenzahl einer Teilchensorte nicht erhalten. Zum Beispiel kann man die Paarerzeugung von e+ und e− aus einem
γ-Quant folgendermaßen darstellen 1
|1γ i ⊗ |0e+ i |0e− i −→ |0γ i ⊗ |1e+ i |1e− i
Als zweites Beispiel kann man die Anregung eines Atoms vom Grundzustand |1g i in den angeregten Zustand |1e i durch ein Photon so darstellen:
|1g i ⊗ |1γ i −→ |1e i ⊗ |0γ i
1
Eigentlich braucht man zur Energie und Impulserhaltung bei diesem Prozeß noch ein weiteres Teilchen, aber es
geht uns hier nur um das Prinzip.
22
Quantenfeldtheorie des Lichts - QED
2.1.2 Erzeuger und Vernichter
Diese erlauben eine einfache Darstellung von Vielteilchen-Wellenfunktionen. Definiere den Erzeuger eines Teilchens im Zustand (in der Mode) l durch:
p
(l)
.
.
.i
=
n(l) + 1 |(n(l) + 1)l , n(m)
(2.11)
a†l |nl , n(m)
m . . .i
m
(l)
al |nl , n(m)
m . . .i =
√
n(l) |(n(l) − 1)l , n(m)
m . . .i
(2.12)
wobei beide Formeln für Bosonen definiert sind.
Für diese Operatoren gilt folgende Vertauschungsrelation. Zur Vereinfachung der Schreibweise lassen wir die Indizes weg.
† a , a |ni = a† a |ni − aa† |ni
√
√
= a† n |n − 1i − a n + 1 |n + 1i
= n |ni − (n + 1) |ni
= (−1) |ni
Daraus folgt a, a† = 1. Die Wirkung der Operatoren sowie die Vertauschungsrelation sind also
dieselben wie beim harmonischen Oszillator. Allgemein gilt
al , a†m = δlm
(2.13)
[al , am ] =
h
a†l , a†m
i
=0
(2.14)
Der physikalische Grund dieser Analogie zwischen harmonischem Oszillator und den Vielteilchenzuständen liegt darin, dass die Energieniveaus analog zu denen des harmonischen Oszillators
gelegen sind: Die Erzeugung von n Teilchen der Energie E0 entspricht einer Energiezunahme
von nE0 . Die ist analog zur n-fachen Anregung eines harmonischen Oszillators, bei der ebenfalls die Energie nE0 (für E0 = ~ω) benötigt wird.
Offensichtlich gilt für Bosonen:
a†l H(N ) −→ H(N +1)
al H(N ) −→ H(N −1)
al |0i = 0 = Zahl!
Dabei sind die beiden oberen Gleichungen Abbildungen vom Fockraum in den Fockraum, die
untere Abbildung ist die Definitionsgleichung für die Vernichtung des Vakuums.
Für Fermionen muss natürlich wegen des Pauli-Verbots (a†l )2 = 0 gelten. Diese Forderung
lässt sich durch die Relationen
{a†l , a†m } = {al , am } = 0
{al , a†m } = δlm
erfüllen, wobei {A, B} = AB + BA den Antikommutator bezeichnet.
(2.15)
2.1 Vielteilchentheorie in der Quantenmechanik
23
2.1.3 Der Feldoperator
Wie berechnet man nun Erwartungswerte mit Hilfe von Erzeugern und Vernichtern? Wir betrachten einen 1-Teilchen-Operator Ô(x̂, p̂). Nun gilt in der Ein-Teilchen-Theorie
Z
hÔi = ψ ∗ (x̂)Ôψ(x)d3x
Für N Teilchen ergibt sich dann der Erwartungswert von Ô offensichtlich zu:
hÔi =
N
X
hÔiEinteilchen
i=1
Die legt nahe, den Erwartungswert eines Ein-Teilchen-Operators wie folgt zu definieren:
hÔN i :=
=
N
X
h Ô(x̂i , p̂i ) i
i=1
N Z
X
∗
d3 x1 . . . d3 xn ψN
(x1 , . . . xN )ÔN ψ(x1 , . . . xn )
(2.16)
i=1
Betrachten wir z.B. die Energie, mit der Eigenwertgleichung
H(x̂, p̂)ψa (x) = Ea ψa (x)
(2.17)
Bei einem n-Teilchenzustand |na , . . . , na0 , . . . , na00 i ist die Energie offensichtlich
E = Ea na + . . . + Ea na0 + . . .
Z
Z
3
∗
= d x ψa (x)H(x̂, p̂)ψa (x)na + d3x ψa∗0 (x)H(x̂, p̂)ψa0 (x)na0 + . . .
(2.18)
Die Teilchenzahlen kann man mit Hilfe der Erzeuger/Vernichter berechnen:
Führe folgenden Operator ein:
N̂a = a†a aa
(2.19)
Das ist der Anzahloperator für ein Teilchen im Zustand a. Die Deutung als Anzahloperator wird
so motiviert:
h. . . , na , . . . |N̂a | . . . , na , . . .i = h. . . , na , . . . |a†a aa | . . . , na , . . .i
√
= h. . . , na , . . . |a†a na | . . . , (na − 1)a , . . .i
p
√
= h. . . , na , . . . | (na − 1) + 1 na | . . . , na , . . .i = na h. . . | . . .i = na
(2.20)
Also gilt für E:
Z
E=
Z
+
+ ...
Wichtig:
d3x ψa∗ (x)H(x̂, p̂)ψa (x) h. . . , na , . . . , na0 |a†a aa | . . . , na , . . . , na0 i
d3x ψa∗0 (x)H(x̂, p̂)ψa0 (x) h. . . , na , . . . , na0 |a†a0 aa0 | . . . , na , . . . , na0 i
(2.21)
24
Quantenfeldtheorie des Lichts - QED
In diesem Ausdruck wirken die Operatoren aa , a†a nur auf die Teilchenzahlzustände,
nicht auf ψa (x).
Umgekehrt wirkt H(x̂, p̂) nur auf ψa (x), nicht auf |. . . , na , . . .i.
Die Teilchenzahlzustände sind eine Art Buchhaltungstrick, um die Kombinatorik zu
vereinfachen.
Wir können also den Ausdruck für E umschreiben in:
Z
E = h. . . , na , na0 , . . . | d3x ψa∗ (x)H(x̂, ŷ)ψa (x)a†a aa | . . . , na , na0 , . . .i + . . .
Führe den Feldoperator Ψ(x) :=
P
a
(2.22)
aa ψa (x) ein:
Z
E = h. . . , na , n , . . . |
a0
d3x Ψ† (x)H(x̂, ŷ)Ψ(x)| . . . , na , na0 , . . .i
(2.23)
Beweis der Wirkung des Feldoperators:
Z
h. . . |
Z
d3x
X
d3x ψa∗ Hψb h. . . |a†a ab | . . .i =
| R {z
}
X
3
†
d x Ψ HΨ| . . .i = h. . . |
ψa∗ (x)a†a H
a
=
XZ
a,b
=Eb
X
ψb (x)ab | . . .i
(2.24)
b
Ea h. . . |a†a aa | . . .i =
a
X
Ea na = E
a
ψa∗ ψb =Eb δab
Allgemein kann man jeden Erwartungswert in einem Fock-Zustand |ψi von einem Einteilchenoperator Ô(x̂, p̂) herleiten gemäß:
Z
hÔ(x̂, p̂)i = hψ| d3x Ψ† (x)Ô(x̂, p̂)Ψ(x)|ψi
(2.25)
Dies gilt für beliebige Elemente des Fock-Raumes, z.B.
|ψi = |1a i + |2a0 i → hψ|Ψ† Ψ|ψi = h1a |Ψ† Ψ|1a i + h2a0 |Ψ† Ψ|2a0 i
(2.26)
Bemerkungen zum Feldoperator:
• Ψ(x) ist in gewisser Weise sowohl ein Operator als auch ein Zustand:
X
Ψ(x) =
aa ψa (x)
(2.27)
a
aa : Operator im Fock-Raum
ψa (x): Einteilchenzustand
Man könnte ψa (x) als hx|ψa iEinteilchen deuten:
X
→ Ψ(x) = hx|
aa |ψa i
Eint.
= hx|ΨiEint.
(2.28)
2.1 Vielteilchentheorie in der Quantenmechanik
25
• Interpretation von Ψ(x): Was ist der Zustand Ψ† (x) |0i? Wie wir im Folgenden sehen werden, ist er ein spezieller Einteilchenzustand im Ein-Teilchen Hilbert-Raum H(1) . Betrachte
dazu einen vollständig lokalisierten Zustand im H(1) :
φx0 (x) = δ(x − x0 ) =
X
cn φn (x),
{φn }= Basis des H(1)
n
Z
Z
dx
= d3x φ∗n (x)δ(x − x0 ) = φ∗n (x0 )
X
→ φx0 (x) =
φ∗n (x0 )φn (x) (Vollständigkeitsrelation)
φ∗n (x)φx0 (x)
3
cn =
(2.29)
n
Die Fock-Raum-Darstellung dieses Zustandes lautet
X
φ∗n (x0 ) |1n i =
n
X
φ∗n (x0 )a†n |0i = Ψ† (x0 ) |0n i
(2.30)
n
Also: Ψ† (x0 ) erzeugt ein Teilchen am Ort x0 .
Ψ(x0 ) vernichtet ein Teilchen am Ort x0 .
• Kommutatorrelationen für Bosonen:
"
#
X
X
X
Ψ(x), Ψ† (x) =
al ψl (x),
a†n ψn∗ (y) =
ψl (x)ψn∗ (y) [al , a†m ]
| {z }
=
l
n
X
ψn (x)ψn∗ (y)
l,n
= δ(x − y)
(für Bosonen)
δln
(2.31)
n
Ψ(x), Ψ† (y) = δ(x − y)
†
Ψ (x), Ψ† (y) = [Ψ(x), Ψ(y)] = 0
(2.32)
(2.33)
Für Fermionen gilt analog:
{al , a†m } = δlm = al a†m + am a†l
→ Ψ(x), Ψ† (y) = δ(x − y)
†
Ψ (x), Ψ† (y) = {Ψ(x), Ψ(y)} = 0
2.1.4
(2.34)
(2.35)
Zweite Quantisierung
Die Konstruktion der Feldoperatoren wie oben ist mathematisch äquivalent zur nochmaligen
Quantisierung der Schrödinger-Wellenfunktion.
26
Quantenfeldtheorie des Lichts - QED
Kanonische Quantisierung eines klassischen Teilchens:
Mit der Lagrange-Funktion L(x, ẋ) läßt sich der kanonisch konjugierte Impuls definieren:
p=
∂L
∂ ẋ
(2.36)
Quantisiert wird, indem x und p zu Operatoren x̂ und p̂ gemacht werden und man folgende
Kommutatorrelation fordert:
[x̂, p̂] = i~
(2.37)
Genauso kann man bei einem Feld vorgehen:
Für ein Schrödinger-Teilchen entspricht der Lagrange-Funktion die Lagrange-Dichte 2
L(ψ, ψ ∗ , ψ̇, ψ̇ ∗ ) = i~(ψ ∗ ψ̇ − ψ̇ ∗ ψ) −
~2
∇ψ ∗ ∇ψ − ψ ∗ V ψ
2m
(2.38)
Die Feldgleichung führt auf die komplex konjugierte Schrödinger-Gleichung:
∂L
∂L
∂L
= −∂i
+
∂(∂i ψ) ∂ψ
∂ ψ̇
~2 ∗
→ ∂t i~ψ ∗ = ∂i2
ψ − V ψ∗
2m
∂t
(2.39)
(2.40)
Man definiert die kanonisch konjugierte Impulsdichte
π(x) =
∂L
= i~ψ ∗ (x)
∂ ψ̇(x)
(2.41)
und quantisiert nach dem folgenden Schema:
ψ(x), π(x) → Ψ(x), Π(x)
[Ψ(x), Π(y)] = i~δ(x − y) → Ψ(x), Ψ† (y) = δ(x − y)
(2.42)
Man erhält also dieselben Kommutatorrelationen wie bei der Konstruktion des Feldoperators mit
Hilfe von Erzeugern und Vernichtern.
Die Methode der zweiten Quantisierung wird am häufigsten angewendet bei der Erstellung
einer Vielteilchentheorie für Felder. Sie hat allerdings den Nachteil, dass die explizite Konstruktion des Fock-Raums und die Bedeutung der Feldoperatoren nicht so offensichtlich sind wie bei
der vorher beschriebenen Methode.
2.1.5
Zusammenfassung der Konstruktion einer Vielteilchentheorie
“Kochrezept” zur Konstruktion einer Vielteilchentheorie am Beispiel des Schrödingerfeldes:
2
Es gibt auch andere Formen für die Lagrange-Dichte eines SchrödingerTeilchens. Die hier verwendete ist für
unsere Zwecke geeignet.
2.1 Vielteilchentheorie in der Quantenmechanik
27
(i) Wähle stationäre Lösungen ϕn (x) einer Einteilchentheorie mit hϕn |ϕm i = δnm . Das Skalarprodukt soll zeitunabhängig sein, da sonst die Bedeutung der Moden und damit der
Vernichter und des Feldoperators zeitabhängig wäre. Die Interpretation der Operatoren im
Schrödinger-Bild wäre dann schwieriger.
Z
i~∂t ψ = Hψ, hψ|ψ i = d3x ψ ∗ ψ 0
Z Z i
0
∗ 0
∗ 0
3
∗
0
∗ −i
0
∂t hψ|ψ i =
ψ̇ ψ + ψ ψ̇ d x =
(Hψ )ψ + ψ
Hψ ) d3x
~
~
Z
i
=
{ψ ∗ (Hψ 0 ) − ψ ∗ (Hψ 0 )} = 0
(2.43)
~
0
Dabei wurden die hermitesch konjugierte Schrödingergleichung und die Hermitezität von
H bezüglich des Skalarproduktes benutzt.
(ii) Ersetze die allgemeine Lösung
ψ(x) =
X
cn ϕn (x)
(2.44)
n
der Einteilchen-Bewegungsgleichungen durch den Feldoperator
Ψ(x) =
X
mit an , a†m = δnm
an ϕn (x)
(2.45)
n
(bzw. {an , a†m } = δnm für Fermionen).
Ψ† (x) erzeugt ein Teilchen am Ort x.
2.1.6 Quantisierung in Coulomb-Eichung
Die Lagrange-Dichte L für das elektromagnetische Feld lautet
L ∝ E 2 − c2 B 2 = (−∇φ − Ȧ)2 − c2 (rot A)2
(2.46)
L enthält keine Ableitungen der Felder E und B und führt deshalb nur zu den MaxwellGleichungen, wenn man es als Funktion der Potentiale betrachtet. Die Feldgleichungen in CoulombEichung (div A = 0) lauten
A = µ0 j −
1
∇φ̇,
c2
∆φ = −
%
0
Die Gleichung für φ ist nicht dynamisch!
(2.47)
28
Quantenfeldtheorie des Lichts - QED
Die entsprechenden Gleichungen im Vakuum lauten:
A = −
Randbedingungen:
Lösung:
r→∞
φ −→ 0
=⇒
1
∇φ̇,
c2
φ=0
∆φ = 0
=⇒
(2.48)
A = 0
A(x, t) = A(+) (x, t) + A(−) (x, t)
M odenf unktion
Z
z
}|
{
X
=
d3 k
Akσ εσk Nσk exp (−iωk t) exp (ikx) +
σ=1,2
|
{z
A (x, t)
}
(+)
(2.49)
c.c.
|{z}
A(−) (x, t)
(2.50)
dabei sind:
• Akσ die Entwicklungskoeffizienten
• εσk der Polarisationsvektor
• Nσk ein Normierungskoeffizient
• A(+) (x, t) der sog. positive Frequenzanteil“
”
(∝ exp (−iωk t))
Wir wissen, daß eikx eine vollständige Basis ist (wegen der Fouriertransformation). Da eikx
schon in A(+) (x, t) alleine vorkommt, reicht es, nur A(+) (x, t) zu betrachten. Da außerdem
b nur ein hermitescher Operator sein, aber
A(x, t) reell ist, kann der entsprechende Operator A
†
b nicht
[a, a ] = 1 bedeutet, daß a nicht hermitesch sein kann. Deshalb kann der volle Operator A
(+)
alleine aus Vernichtern aufgebaut werden. Auch das ist ein Grund, A (x, t) statt A(x, t) zu
quantisieren.
Seien nun A(+) (x, t), A0 (+) (x, t) Lösungen von A = 0. Ein erhaltendes Skalarprodukt ist
dann gegeben durch
D
A
(+)
Z
E
(+)
0
(+)∗
0(+)
(+)
(+)∗
(x, t) A (x, t) = −i
d3 x { Ȧ
A0 − |A{z
Ȧ0 }
|
{z
}
}
}
(−)
A(−)
Ȧ
Der Vorfaktor stammt aus dimensionalen Überlegungen:
[A] =
Js
Cm
=⇒
[hA |A0 i] = 1
2.1 Vielteilchentheorie in der Quantenmechanik
29
Behauptung:
Z
0
∂t hA|Ai = −i
}
n ∗
o
∗ 0
∗ 0
!
∗ 0
0
d x Ä A + Ȧ Ȧ − Ȧ Ȧ − A Ä = 0
3
1
verwende hierzu
Ä − ∆A = 0
c2
Z
0
=⇒ ∂t hA|Ai = −i c2 d3 x {(∆A∗ ) A0 − A∗ (∆A0 )}
}
Z
0 2
= −i c
d3 x {A∗ (∆A0 ) − (∆A∗ ) A0 }
}
=0
Z
Z
Z
0
∗
∗
0
wobei benutzt wurde, dass
∇i ∇i Aj A j = − ∇i Aj ∇i A j = A∗j ∇i ∇i A0 j
Normierung der ebenen Wellen Nkσ εkσ exp (ikx − iωk t) = ϕkσ (x, t)
!
hϕkσ |ϕk0 σ0 i = δσσ0 δ(k − k0 )
Z
0
d3 xNkσ Nk0 σ0 ε∗kσ εk0 σ0
= −i
}
−ikx iω t
0
e
e k (iωk ) eik x e−iωk0 t
0
−e−ikx eiωk t (−iωk0 ) eik x e−iωk0 t
Z
mit
0
d3 x ei(k−k )x = (2π)3 δ(k − k0 ) folgt:
0
(2π)3 ε∗kσ εkσ0 δ(k − k0 ) Nkσ Nkσ0 2ωk
| {z }
}
δσ,σ0
0
2
=
(2π)3 2ωk Nkσ
δσ,σ0 δ(k − k0 )
}
!
= δσ,σ0 δ(k − k0 )
hϕkσ |ϕk0 σ0 i =
s
=⇒
Nkσ =
}
2(2π)3 0 ωk
für t = 0 folgt 3 also für A(x):
Z
A(x) =
s
d3 k
X
σ
3
Akσ
}
εkσ exp (ikx) + c.c.
2(2π)3 0 ωk
(2.51)
Wir setzen hier t = 0 um den zeitunabhängigen Operator für das Vektorpotential (in Coulomb-Eichung) im
Schrödinger-Bild herzuleiten. Man kann auch t 6= 0 betrachten und erhält einen zeitabhängigen Operator, der das
Vektorpotential im Wechselwirkungs-Bild beschreibt.
30
Quantenfeldtheorie des Lichts - QED
Quantisierung: Ersetze die Amplitude Akσ durch Vernichter akσ mit
h
akσ , a†k0 σ0
i
= δσ,σ0 δ(k − k0 )
a†kσ erzeugt ein Photon ( = Lichtquant ) mit Impuls }k und Polarisationsvektor εkσ .
Im Gegensatz zur klassischen Maxwell-Theorie sind in der QED Intensität und Energie eines
Lichtstrahls gequantelt.
Photonen sind Bosonen und haben Spin 1, jedoch nur zwei mögliche Werte für die magnetische
Quantenzahl m = +1, −1. Diese Werte entsprechen den links - bzw. rechtszirkular polarisierten
ebenen Wellen: die Polarisation ist also spinfreiheitsgradabhängig. m = 0 ( ⇒ longitudinal polarisierte Photonen ⇔ εkσ k k ) ist verboten, wegen des Verschwindens der Masse der Photonen.
Mehr dazu in Abschnitt 14.5 von Ref. [8].
Den elektrischen und magnetischen Feldoperator kann man leicht aus dem Vektorpotential
herleiten:
b
E(x)
t=0
˙
b
= − A(x)
Z
=i
s
d3 k
X
t=0
σ
Z
b
b
B(x)
= rotA(x)
=i
akσ
}ωk
εkσ eikx + H.c.
3
2(2π) 0
(2.52)
s
d3 k
X
σ
akσ
}
(k × εkσ )eikx + H.c.
2(2π)3 0 ωk
(2.53)
Der Hamiltonian kann aus der klassischen Energiedichte gewonnen werden:
Z
2
0
b (x) + c2 B
b 2 (x) = . . .
b =
H
d3 x E
2
Z
o
X }ωk n †
=
d3 k
akσ akσ + akσ a†kσ
2
σ
Z
X
1
†
3
=
dk
}ωk akσ akσ +
2
σ
(2.54)
(⇔ Summe harmonischen Oszillatoren)
Die Bewegungsgleichung der Operatoren im Heisenberg-Bild lautet allgemein:
h
i
b
b
b = O(t),
i}∂t O(t)
H
(2.55)
2.1 Vielteilchentheorie in der Quantenmechanik
31
hieraus folgt
"
i}Ėi (x, t) =
Z
Ei (x, t),
d3 k
Z
s
X
σ
}ωk0
2(2π)3 0
X
d3 k 0
= i
#
1
}ωk a†kσ akσ +
2
σ0
"
0
0
ak0 σ0 eik x (εεk0 σ0 )i − a†k0 σ0 e−ik x (ε
ε∗k0 σ0 )i ,
Z
d3 k
X
}ωk a†kσ akσ +
σ
Z
= i
XZ
d3 k 0
1
2
#
s
X
d3 k
0
σ
}ωk0
}ωk
2(2π)3 0
n 0 σ
o
0
eik x (εεk0 σ0 )i δ(k − k0 )δσσ0 akσ − e−ik x (εε∗kσ0 )i a†k0 σ0 (−δσσ0 δ(k − k0 ))
s
Z
d3 k
=⇒ Ė =
X
}
† −ikx ∗
ikx
a
e
ε
+
a
e
ε
kσ
kσ
kσ
kσ
2(2π)3 0 ωk
ωk2
σ
(2.56)
Berechne nun (rot B)i :
Z
d3 k
(rot B)i = i
X
σ
∂
εijl
akσ (k × εkσ )l eikx
∂xj
Z
−i
d3 k
X
εijl
σ
Z
rot B = −
s
~
2(2π)3 ε0 ωk
s
∂ †
a (k × ε∗kσ )l e−ikx
∂xj kσ
~
2(2π)3 ε0 ωk
s
d3 k
X
σ
~
† −ikx
ikx
∗
k
×
(k
×
ε
)a
e
+
k
×
(k
×
ε
)a
e
kσ kσ
kσ kσ
2(2π)3 ε0 ωk
(2.57)
Mit k · εkσ = 0 erhält man außerdem:
k × (k × εkσ ) = k(k · εkσ ) − εkσ k2 = −εεkσ k2
(2.58)
Woraus dann folgt:
Z
rot B =
s
d3 k
X
σ
~
k 2 {akσ eikx εkσ + a†kσ e−ikx ε∗kσ }
3
2(2π) ε0 ωk
(2.59)
1
Ė = µ0 ε0 Ė
(2.60)
c2
Dies ist eine der inhomogenen Maxwell-Gleichungen für j = 0 (andernfalls gilt ja rot B =
1
Ė = µ0 {j + ε0 Ė}). Analog findet man
c2
⇒ rot B =
i~Ḃ = [B, H] = . . .
32
Quantenfeldtheorie des Lichts - QED
⇒ Ḃ = −rot E
(2.61)
Außerdem gilt wegen k · εkσ = k · (k × εkσ ) = 0
div B = 0
(2.62)
und
div E = 0
%
=
ε0
(2.63)
⇒ Die Feldoperatoren erfüllen die Maxwell-Gleichungen im Vakuum
Die Bewegungsgleichungen lassen sich leicht lösen, wenn man die einzelnen Moden betrachtet:
i~ȧkσ = [akσ , H]
Z
X
1
0
0
= akσ , d3 k
~ωk a†k0 σ0 ak0 σ0 +
2
σ0
Z
X
0
0
=
d3 k
~ωk0 δσσ0 δ(k − k )ak0 σ0
σ0
= ~ωk akσ
(2.64)
Die Lösung dieser Differentialgleichung lautet
akσ = e−iωk t akσ (0)
akσ (0) ist dabei der Schrödinger-Operator für die entsprechende Mode. Die Lösung hat dieselbe
Struktur wie die entsprechende klassische Welle.
Bemerkungen zum Faktor 21 im Hamiltonian:
Dieser Term ist eine Konstante und hat daher keinen Einfluß auf die Dynamik. Er repräsentiert
die Vakuumenergie und ist divergent. Er hängt jedoch von den Randbedingungen an die Moden
ab.
Beispiel: Zwei Spiegel im Abstand L (siehe Abbildung 2.1). Die Spiegel implizieren Randbedingungen für das Maxwell-Feld. Die Folge davon ist, dass nur diskrete Wellenzahlen mit kn = 2π
n,
L
n ∈ N statt |k| ∈ R zugelassen sind. Entsprechend wird im Hamiltonian nur über die diskreten
Wellenvektoren summiert, so dass sich die Vakuumenergie ändert.
Subtrahiert man die freie Vakuumenergie von der zwischen den beiden Spiegeln, so erhält man
eine endliche Energie-Differenz, die vom Abstand L abhängt. Dies führt zu einer anziehenden
Kraft (Casimir-Kraft) zwischen den Spiegeln. Casimir-Kräfte werden ausführlich in Ref. [7] behandelt.
2.2 Kohärente Zustände
33
Abbildung 2.1: Skizze zu Casimir-Effekt
2.2
Kohärente Zustände
Kohärente Zustände sind die bei weitem wichtigsten in der Quantenoptik. Sie bilden eine quantenmechanische Beschreibung
Felder.
klassischer
†
Betrachte eine Mode a, a, a = 1 des elektromagnetischen Feldes. Verschiedene Definitionen des kohäherenten Zustands |αi:
• Eigenzustand von a: a |αi = α |αi, α ∈ C
• Zustand minimaler Unschärfe (siehe Übungen)
• “Verschiebung des Vakuums”
Was ist a |αi? Entwickle |αi nach Fock-Zuständen:
∞
X
∞
X
n
α
√ n a† |0i
|αi =
αn |ni =
n!
n=0
n=0
34
Quantenfeldtheorie des Lichts - QED
⇒ a |αi =
∞
X
αn a |ni =
n=0
∞
X
√
αn n |n − 1i
n=1
0
Mit n = n − 1 ergibt sich damit:
a |αi =
∞
X
αn0 +1
√
n0
0
!
+ 1 |n i = α |αi = α
∞
X
αn0 |n0 i
n0 =0
n0 =0
n
Daraus folgt die Relation αn+1 = α √αn+1
, wobei α0 noch durch die Normierung festgelegt wird.
Aus
α1 = αα0
α2
α2 = √ α0
2!
α3
α3 = √ α0 usw.
3!
folgt
αn
αn = √ α0
n!
(2.65)
Damit ergibt sich nun:
∞
∞
X
X
αn
α n † n
√ |ni = α0
|αi = α0
a |0i = α0 exp αa† |0i
n!
n!
n=0
n=0
Unter Verwendung von hn|mi = δnm und Gleichung (2.65) erhält man dann
∞
∞
∞
X
X
X
(α∗ )n
αm
|α|2n
!
2
√ hn|
√ |mi = |α0 |
hα|αi = 1 = |α0 |
= |α0 |2 exp |α|2 = 1
n!
n!
m!
n=0
m=0
n=0
2
woraus sich dann
|α|2
α0 = exp −
2
(2.66)
ergibt. Insgesamt können wir nun |αi darstellen als
|αi = exp
−|α|2
2
X
∞
n=0
|α|2
αn
√ |ni = exp −
exp(αa† ) |0i
2
n!
(2.67)
|αi kann auch mit dem Verschiebe-Operator
D(α) = exp (αa† − α∗ a)
(2.68)
konstruiert werden. Die Baker-Campbell-Hausdorf-Gleichung lautet:
1
1
e(A+B) = eA eB e− 2 [A,B] e− 6 [A,[A,B]] . . .
(2.69)
2.2 Kohärente Zustände
35
Mit A = αa† und B = −α∗ a folgt nun
|α|2
1
1
− [A, B] = − (−|α|2 )[a† , a] = −
∈R
2
2
2
⇒ [A, [A, B]] = 0
Damit ergibt sich mit Gleichung (2.69) folgende Darstellung des Verschiebe-Operators:
†
∗
D(α) = eαa e−α a e−
|α|2
2
(2.70)
Daraus ergeben sich folgende Eigenschaften des Verschiebe-Operators:
• D(α) ist unitär:
D† (α) = eα
∗ a−αa†
= e−(αa
† −α∗ a)
= D−1 (α) = D(−α)
• Es gilt die Beziehung
|αi = D(α) |0i
(2.71)
Aus Gleichung (2.71) wird ersichtlich, dass man das Vakuum als speziellen kohärenten
Zustand mit α = 0 auffassen kann.
In den Übungen wurde gezeigt, dass 4
E ∼ a + a†
B ∼ i(a† − a)
(2.72)
(2.73)
Ē = hα| E |αi = hα| a + a† |αi = α + α∗ = 2Re α
B̄ = hα| B |αi = hα| i(a† − a) |αi = i(α∗ − α) = 2Im α
(2.74)
(2.75)
Damit ergibt sich:
(∆E)2 =
=
=
=
hE 2 i − Ē 2
hα| a2 + aa† + a† a + (a† )2 |αi − (α − α∗ )2
α2 + (α∗ )2 + α∗ α + hα| aa† |αi − (α − α∗ )2
α2 + (α∗ )2 + α∗ α + hα| a† a + a, a† |αi − (α − α∗ )2
= α2 + (α∗ )2 + α∗ α + hα| a† a + 1 |αi − (α − α∗ )2
= α2 + (α∗ )2 + 2αα∗ + 1 − α2 − (α∗ )2 − 2αα∗
= 1
4
(2.76)
Genaugenommen kommt es dabei auf die Wahl der Polarisation und der Phase an. Für eine einzelne Mode
gilt A ∝ a exp(ikx)ε
ε + a† exp(−ikx)ε
ε∗ und somit E = −Ȧ ∝ iωa exp(ikx)ε
ε + (−iω)a† exp(−ikx)ε
ε∗ sowie
†
∗
B = rot A ∝ ia exp(ikx)k × ε + (−i)a exp(−ikx)k × ε . Wählt man nun z.B. zirkular polarisiertes Licht
(ε
ε ∝ ex + iey ) und den Ort x = 0, so ergeben sich nachfolgenden Beziehungen für die y-Komponenten der Felder.
36
Quantenfeldtheorie des Lichts - QED
⇒ ∆E ist unabhängig von α. Analoge Rechnung für ∆B:
(∆B)2 = · · · = 1
(2.77)
⇒ ∆E∆B = 1
(2.78)
Die allgemeine Heisenberg’sche Unschärferelation für zwei (beliebige) hermitesche Operatoren
lautet ∆E∆B ≥ |h[E, B]i|/2. Hieraus kann man ersehen, dass kohärente Zustände minimale
Unschärfe haben.
⇒ Man kann kohärente Zustände durch eine Amplitude α ∈ C und eine Unschärfe 1 charakterisieren. Graphisch:
Abbildung 2.2: Veranschaulichung eines kohärenten Zustandes durch eine komplexe Amplitude
mit Unschärfe 1 (kleiner Kreis). Der gestrichelte Kreis beschreibt die (freie) Zeitentwicklung der
Amplitude.
Freie Zeitentwicklung kohärenter Zustände:
†
†
|α(t)i = U (t) |α(0)i ∝ U eαa |0i = U eαa U † U |0i
†
U |0i = |0i ⇒ |α(t)i = U eαa U † |0i
A2
+ . . . )U †
2
1
= U U † + U AU † + U A(U † U )AU † + . . .
2
1
= 1 + U AU † + (U AU † )2 + . . .
2
+
= exp(U AU )
U eA U † = U (1 + A +
(2.79)
2.3 Klassische und quantenmechanische Interferenz
†
⇒ U eαa U † = eαU a
†U †
37
= exp(αe−iωt a† )
⇒ |α(t)i = |αe−iωt i
(2.80)
(2.81)
Kohärente Zustände bleiben also kohärent, ihre Zeitentwicklung beschreibt einen Kreis um den
Ursprung der komplexen Ebene.
• Kohärente Zustände sind nicht diagonal:
hα|βi = e
−|α|2
2
e
−|β|2
2
eα
∗β
(2.82)
Herleitung: Über Entwicklung nach Fock-Zuständen oder über Verschiebeoperator und
Baker-Hausdorfformel (Gleichung (2.69) auf Seite 34).
• Kohärente Zustände sind übervollständig:
Z
d2 α |αi hα| = π1
(2.83)
Beweis: Entwicklung nach Fock-Zuständen, Integration über Winkel.
2.3 Klassische und quantenmechanische Interferenz
Der Unterschied zwischen klassischer und quantenmechanischer Interferenz ist auf den ersten
Blick subtil, läßt sich aber mit kohärenten Zuständen gut verstehen. Sei also |ψi = |αi =
D(α) |0i; D† (α) = D−1 (α)
D(α) kann verwendet werden, um zu einem unitär äquivalenten Bild“ überzugehen, bei
”
dem der Zustand |ψ̃i = D−1 (α) |ψi durch das Vakuum gegeben ist.
Operatoren-Trafo:
ˆ = D† (α)ÔD(α)
Õ
ˆ ψ̃i = hψ|Ô|ψi)
(⇐⇒ hψ̃|Õ|
Ẽ(x) = D† (α)E(x)D(α)
s
X
=
(akσ . . . eikx + H.c.) + i
a
Zkσ
=
6=a
dk
X
σ
~ωa
a eikx D† (α)aD(α) + H.c.
2(2π)3 0
√
akσ . . . + H.c. + i . . .a eikx D† aD + H.c.
(2.84)
38
Quantenfeldtheorie des Lichts - QED
Was ist D† (α)aD(α)?
Benutze das Theorem:
eA Be−A =
∞
X
1
kn
n!
n=0
k0 = B;
kn+1 = [A, kn ]
(2.85)
=⇒ A = α∗ a − αa† ; B = a
=⇒ k0 = a; k1 = α∗ a − αa† , a = α
=⇒ k2 = k3 = . . . = 0
=⇒
D† (α)aD(α) = a + α
√
√
Ẽ(x) = E Alle anderen Moden + (i . . .a eikx a − i . . .∗a e−ikx a† )
√
√
+(iα . . .a eikx − i . . .∗a α∗ e−ikx )
=⇒ Ẽ(x) = E(x) + E klassisch
(x)
a
(2.86)
Der Zustand |αi in Abwesenheit äußerer Felder ist unitär äquivalent zum Vakuum
mit dem äußeren Feld E klass.
(x) (und B klass.
(x)).
a
a
Damit läßt sich der Unterschied zwischen der Interferenz von Photonen und klassischer MaxwellFelder verstehen:
• Klassische Interferenz:
z.B. E i ∝ eiki x
E = E 1 + E 2,
I ∝ EE ∗ = |E 1 |2 + |E 2 |2 + 2Re(E 1 E ∗2 )
2Re(E 1 E ∗2 ) ∝ cos(x(k1 − k2 ))
• Quantenmechanische Beschreibung klassischer Interferenz:
|ψi = |α1 , α2 i
= D1 (α1 )D2 (α2 ) |0i
†
∗
D1 (α1 ) = eα1 a1 −α1 a1
D2 (a2 )
analog
Das Produkt D1 D2 erzeugt die Summe klassischer Felder:
D2† D1† ÊD1 D2 = D2† (Ê + E 1 )D2 = Ê + E 1 + E 2
2.4 Bemerkungen zum Problem der Quantisierung in anderen Eichungen
39
Transformiere mittels D2† D1† von |ψi auf den Vakuumzustand:
I ∝ hψ|E (−) E (+) |ψi
(−)
(+)
= h0|(Ê + E ∗1 + E ∗2 )(Ê + E 1 + E 2 )|0i
= |E 1 + E 2 |2
⇐⇒ klassisches Interferenzbild
Im Gegensatz zu klassischen Feldern kann man in der Quantenmechanik auch kohärente
Zustände überlagern:
|ψi = |α1 i + |α2 i = (D1 (α1 ) + D2 (α2 )) |0i
Interferenzmuster dieses Zustandes:
I ∝ hψ|Ê
=
=
=
=
(−)
Ê
(+)
|ψi
(−)
(+)
h0|(D1† + D2† )Ê Ê (D1 + D2 )|0i
h0|(D1† E (−) E (+) D1 + D1† E (−) E (+) D2 + D2† E (−) E (+) D1 + D2† E (−) E (+) D2 )|0i
|E 1 |2 + |E 2 |2 + h0|(D1† E (−) E (+) D2 + D2† E (−) E (+) D1 )|0i
|E 1 |2 + |E 2 |2 + hα1 |E (−) E (+) |α2 i + hα2 |E (−) E (+) |α1 i
=⇒ I ∝ |E 1 |2 + |E 2 |2 + E1∗ E2 hα1 |α2 i + E2∗ E1 hα2 |α1 i
hα1 |α2 i = e−
|α1 |2
2
e−
|α2 |2
2
∗
eα1 α2
=⇒ | hα1 |α2 i |2 = . . . = e−|α1 −α2 |
2
=⇒ Für |α1 − α2 | 1 ist die Quanteninterferenz stark unterdrückt. Für ein klassisches Feld
mit großer Anzahl von Photonen |α|2 1 spielt sie daher keine Rolle. Der Zustand |α1 i + |α2 i
wird auch Schrödinger cat state genannt, da er einer Superposition makroskopischer Zustände
entspricht (für |αi |2 1).
2.4 Bemerkungen zum Problem der Quantisierung in anderen Eichungen
Die Tatsache, daß nur  und nicht φ quantisiert wurde, hängt mit der Coulomb-Eichung zusammen.
Grund: A = 0
∆φ = 0
=⇒ φ ist nicht dynamisch, sein konjugierter Impuls verschwindet.
40
Quantenfeldtheorie des Lichts - QED
Das sieht man gut an der Lagrange-Funktion:
Z
1
L =
(E 2 − c2 B 2 )d3 x
2
Z
1
=
[(−∇φ − Ȧ)2 − c2 (rotA)2 ]d3 x
2
Z
1
2
=
[(∇φ)2 + 2φdivȦ + Ȧ − c2 (rotA2 )]d3 x
2
Z
=
Ld3 x
Coulomb-Eichung:
divA = 0 =⇒
∂L
=0
∂ φ̇
Lorentz-Eichung:
Z
1
1
1
2
divA + 2 φ̇ = 0 =⇒ L =
[(∇φ)2 − 2φφ̈ 2 + Ȧ − c2 (rotA2 )]d3 x
c
2
c
R
Betrachtet man jetzt die Wirkung S = Ldt, so kann man den Term ∝ φ̈ partiell integrieren
und erhält damit eine neue Lagrange-Dichte L0 ∝ φ̇2 . Damit wird ∂L0 /∂ φ̇ 6= 0 und der skalare
kanonische Impuls verschwindet nicht.
=⇒ In der Lorentz-Eichung erhält man daher nicht nur zwei zirkular polarisierte Photonen, sondern auch ein skalares (⇐⇒ φ) und ein longitudinal polarisiertes (⇐⇒ divA 6= 0).
Die beiden letzteren sind unphysikalisch und müssen durch geeignete Nebenbedingungen an die
!
˙
Zustände entfernt werden: (div + φ̂/c2 ) |ψi = 0) für die physikalischen Zustände |ψi.
Eine einheitliche Vorschrift zur Quantisierung von Systemen mit Nebenbedingungen wurde
von Dirac entwickelt, ist aber schwierig (Siehe z.B. Kapitel 1 in Ref. [9])
Kapitel 3
Quantenmechanik der Atome: ein kurzer
Überblick
3.1
Das Wasserstoffatom, Parität
Hamilton-Operator für ein Proton, ein Elektron (V Coulombpotential):
p2p
p2
H=
+ e + V (|xp − xe |)
2Mp 2me
(3.1)
1
Mit R = Mp +m
(Mp xp + me xe ) Schwerpunktkoordinate, r = xe − xp Relativkoordinate,
e
1
M = Mp + me , µ = M1p + m1e ergibt sich:
P2
p2
+
+ V (|r|)
(3.2)
2M
2µ
In der Atomphysik spielt die Relativbewegung die zentrale Rolle, in der Atomoptik die
Schwerpunktbewegung.
Führe sphärische Koordinaten für die Relativbewegung ein:
!
2
2
2
p
~
1
L̂
=⇒
=−
·
∂r r∂r − 2
(3.3)
2µ
2µ
r
r
H=
Dabei ist p = −i~∇ und L̂ der Bahndrehimpulsoperator. Es gilt [L̂, |r|] = 0. Eigenfunktionen
von H sind auch Eigenfunktionen von L:
ψ = Ylm (θ, φ)fl (r)
2
L̂ Ylm = ~2 l(l + 1)Ylm
Der Radialanteil fl (r) der Wellenfunktion erfüllt dann
2
~ 1
~2 l(l + 1)
Efl = −
∂r r∂r +
+ V (r) fl
2µ r
2µ r2
(3.4)
(3.5)
42
Quantenmechanik der Atome: ein kurzer Überblick
l
Lösung: fnl ∼ r exp
− nar 0
· Laguerre-Polynome, a0 = Bohr-Radius ≈ 0, 5 Å.
=⇒ Ψnlm = fnl Ylm (θ, φ) ⇐⇒ |nlmi (elektronischerZustand)
(3.6)
Hierbei bezeichnet n die Hauptquantenzahl, l die Drehimpulsquantenzahl und m die magnetische
Quantenzahl. Zusätzlich: Spin s des Elektrons, s = ± 21 , |ψi = |nlmsi .
Parität:
r −→ −r
|r| −→ |r|
(3.7)
l
Ylm (θ, φ) −→ Ylm (π − θ, φ + π) = (−1) Ylm (θ, φ)
=⇒ Parität von |nlmsi ist (−1)l .
Die Parität ist wichtig für die Auswahlregeln der Dipolstrahlung.
3.2 Feinstruktur und Spin
Allgemein von großer praktischer Relevanz ist die Wechselwirkung mit einem Magnetfeld:
H = −µ · B
(3.8)
Dabei ist µ das magnetische Dipolmoment des Atoms. Ein klassisches Teilchen mit Drehimpuls
L (z.B. auf Kreisbahn) und Ladung q hat das magn. Moment
µ=
q
L.
2M
(3.9)
Das Elektron liefert den Bahnbeitrag:
e
L̂
2me
(3.10)
e
L̂ µe
2Mp
(3.11)
µe = −
Für das Proton ergibt sich wegen Mp me :
µp = +
Spin des Elektrons: 1
e
~e
2S = −
σ.
(3.12)
2me
2me
Die Feinstruktur entsteht dadurch, dass im Ruhesystem des Elektrons der Kern um das Elektron
rotiert und dabei ein Magnetfeld erzeugt.
−
1
Der Faktor 2, der im Unterschied zum Bahndrehimpuls auftritt, wird gyromagnetischer Faktor g genannt. Aus
der Dirac-Gleichung, die ein relativistisches Elektron beschreibt, folgt g = 2. Auf Grund der Vakuumfluktuationen
des elektromagnetischen Feldes ergeben sich aber kleine Abweichungen von diesem Wert (g ≈ 2, 002).
3.3 Hyperfeinstruktur
43
Kernsystem: elektrisches Feld E = −∇VCoul , B = 0 (der Kern erzeugt kein Magnetfeld, da
er ruht).
Lorentztransformation ins Ruhesystem des Elektrons 2 :
B0 = v × E
= −v × ∇VCoul
1
= − p × ∇VCoul
M
(3.13)
1
VCoul = VCoul (|r|) =⇒ ∇VCoul = er ∂r Vcoul = r ∂r VCoul
r
1
1
1
1
−
=⇒ B 0 = −
∂r VCoul p × r =
∂r VCoul L(e )
M r
M r
(3.14)
Dabei ist v die Geschwindigkeit.
Es existiert also eine Kopplung zwischen Spin und Bahndrehimpuls des Elektrons:
HSB = −µe σB 0
1
= µe σ · L
∂r VCoul
r
(3.15)
Eine exakte Berechnung der Matrixelemente hn0 l0 m0 s0 |HSB |nlmsi inklusive relativistischer
Korrekturen ergibt:
∆EF S
1
1
= − me c2 (αZ)4 3
2
h
1
j+
1
2
3
−
4n
(3.16)
∆EF S /~ ≈ 100GHz
Hierbei bezeichnet j = l ± 21 den Gesamtdrehimpuls des Elektrons.
Ohne relativistische Korrekturen würde ∆EF S von l und s statt von j = l + s abhängen.
3.3
Hyperfeinstruktur
Die Hyperfeinstruktur hat zwei Ursachen:
1. Wechselwirkung zwischen dem Drehimpuls des Elektrons und dem Kernspin
2. QED Korrekturen (Vakuumfluktuationen)
2
Eigentlich bewegt sich das Elektron auf einer nicht-inertialen Kreisbahn und man muß anders vorgehen. Das
Ergebnis stimmt aber bis auf einen Faktor 1/2 (Thomas-Faktor) mit dem korrekten Resultat überein und der hier
beschriebene Weg enthält die wesentliche Physik.
44
Quantenmechanik der Atome: ein kurzer Überblick
Zu 1.: Ein magnetisches Dipolmoment erzeugt ein Magnetfeld, mit dem andere magnetische
Dipole wechselwirken. Beim H-Atom erzeugt der Gesamtdrehimpuls j = s + l des Elektrons
ein Magnetfeld am Kern, mit dem der Kernspin wechselwirkt.
Hyperfeinspin:
F = Sk + j
(3.17)
Es muß hierbei angemerkt werden, dass die Addition von S k und j zum Hyperfeinspin nicht
äquivalent zu der Addition von Gesamtspin S G = S k + S e und elektronischem Bahndrehimpuls
L zu F ist. Dies geschieht, obwohl die Operatoren eigentlich exakt die gleichen sind. Der Grund
liegt darin, dass man bei der Addition von Drehimpulsen immer eine bestimmte Basis assoziiert,
die den Gesamtdrehimpuls diagonalisiert. Diese Basis ist verschieden je nachdem, welche der
beiden Zerlegungen F = S k + j beziehungsweise F = S G + L man verwendet. Siehe dazu
Anhang 12.2
Kapitel 4
Die Wechselwirkung von Atomen und
Licht
4.1
Die minimale Kopplung
Die klassischen Maxwell-Gleichungen sind eichinvariant,
A → A0 = A + ∇χ
,
φ → φ0 = φ − ∂t χ .
(4.1)
Die Invarianz gilt auch in Anwesenheit von Ladungen % und Strömen j. Diese Eigenschaft sollte
auch in der Quantenmechanik erhalten bleiben.
4.1.1 Herleitung der minimalen Kopplung
Die Bewegungsgleichung klassischer geladener Teilchen
mẍ = qE + q ẋ × B
Elektrische + Lorentz-Kraft
kann aus der Lagrange-Funktion
1
L = mẋ2 + q ẋA(x, t) − qφ(x, t)
2
(4.2)
wie folgt abgeleitet werden: Der kanonisch konjugierte Impuls p ist definiert als
pi :=
∂L
⇒ pi = mẋi + qAi (x, t)
∂ ẋi
(4.3)
In Anwesenheit eines elektromagnetischen Feldes ist der kanonisch konjugierte Impuls also verschieden vom kinetischen Impuls Π = mẋ. Die Euler-Lagrange-Gleichungen lauten:
d
∂L
pi =
dt
∂xi
(4.4)
46
Die Wechselwirkung von Atomen und Licht
Gleichungen (4.2) und (4.3) einsetzen:
∂L
= −q∂i φ + q ẋk ∂i Ak
∂xi
d
∂
∂
pi = mẍi + q Ai (x(t), t) + q
Ai (x(t), t) ẋk
dt
∂t
∂xk
=⇒ mẍi = −q∂i φ − q∂t Ai + q ẋk (∂i Ak − ∂k Ai )
(4.5)
verwenden −∂i φ − ∂t Ai = Ei (gilt per definitionem)
=⇒ mẍi = qEi + q ẋk (∂i Ak − ∂k Ai )
(4.6)
nun ist aber Bj = (rot A)j = jmn ∂m An
=⇒ ikj Bj = ikj jmn ∂m An
= jik jmn ∂m An
= (δim δkn − δin δkm )∂m An
= ∂i Ak − ∂k Ai
=⇒ mẍi = qEi + q ẋk ikj Bj
= qEi + q(ẋ × B)i
(4.7)
qed.
Mit Hilfe der Lagrange-Funktion kann man den Hamilton-Operator und die Form der Schrödinger-Gleichung herleiten: In der klassischen Mechanik lautet die Hamilton-Funktion
H = pi ẋi − L
Sie soll mit Hilfe von ẋ =
1
(p
m
− qA) als Funktion von p und x ausgedrückt werden =⇒
1 1
1
1
(pi − qAi ) − m 2 (p − qA)2 − q (p − qA)A + qφ
m
2 m
m
1
H=
(p − qA)2 + qφ
2m
H = pi
Um zur Quantenmechanik überzugehen verwendet man die kanonische Quantisierung:
x → x̂
;
p → p̂
;
[x̂i , p̂j ] = δij
In der Ortsdarstellung gilt:
x → x̂
;
p → −i~∇
und somit
Ĥ =
1
(−i~∇ − qA(x̂, t))2 + qφ(x̂, t) ,
2m
i~∂t ψ(x, t) = Ĥψ(x, t)
(4.8)
Dies ist die Schrödinger-Gleichung für nichtrelativistische Teilchen in einem elektromagnetischen Feld. Die Form (p − qA) wird minimale Kopplung genannt.
4.1 Die minimale Kopplung
47
4.1.2 Eichinvarianz der minimalen Kopplung
Wendet man die Transformation (4.1) auf den Hamiltonian (4.8) an so stellt man fest, dass die
Schrödinger-Gleichung nicht invariant ist:
∂χ
1
(−i~∇ − qA(x̂, t) − q∇χ)2 + qφ(x̂, t) − q ψ
2m
∂t
i~∂t ψ(x, t) =
6
Ĥψ(x, t)
Ĥ 0 =
Um die Invarianz wiederherzustellen, muß auch die Wellenfunktion unitär transformiert werden:
ψ 0 = ψ exp(iqχ/~)
(4.9)
Daraus folgt
i~∂t ψ
0
=
=
=
=
∂ψ
∂χ
e
i~
−q ψ
∂t
∂t
∂χ
iqχ/~
e
Ĥψ − q ψ
∂t
1
∂χ
2
iqχ/~
e
(−i~∇ − qA) + qφ ψ − q ψ 0
2m
∂t
1
∂χ
(−i~∇ − qA − q∇χ)2 + qφ eiqχ/~ ψ − q ψ 0
2m
∂t
iqχ/~
= Ĥ 0 ψ 0
(4.10)
Die minimale Kopplung spielt in der Hochenergiephysik eine zentrale Rolle. Von der Grundstruktur her haben alle Fundamentalkräfte außer der Gravitation (also elektromagnetische, starke
und schwache Wechselwirkung) diese Form. Beim elektromagnetischen Feld ist die Eichinvarianz auf die einfachste Art realisiert. Man nennt Sie auch U(1) Eichtheorie, da die Transformation
des Zustands (4.9) einer Multiplikation mit einer Unitären 1×1 Matrix (= komplexe Zahl mit Betrag eins) entspricht.
Bei anderen Wechselwirkungen treten mehrere Felder auf. Beispiel: bei der sogenannten
Speziell unitären SU(2) Eichtheorie der (elektro-) schwachen Wechselwirkung werden die Zustände
gemäß
0 ψe
ψe
= exp(iσ · χ)
(4.11)
ψν0 e
ψνe
transformiert. Hierbei ist ψe die Wellenfunktion des Elektrons, ψνe die des Elektron-Neutrinos
und σ die Pauli-Matrizen. Das Wort speziell bedeutet, dass die Matrix exp(iσ · χ) die Determinante 1 hat. Das Eichpotential in dieser Theorie wird als A = A(i) σi geschrieben und besteht
daher aus drei Vektorfeldern A(i) . Die entsprechen grob gesagt den W± -Bosonen und dem ZBoson, die die schwache Wechselwirkung vermitteln. 1
1
Eigentlich sind die schwache und die elektromagnetische Theorie ineinander verwoben und werden zusammen
durch eine U(1)×SU(2) Eichtheorie beschrieben. Die U(1) ist dabei die der Hyperladung und nicht die, die die
elektromagnetischen Felder allein beschreibt.
48
Die Wechselwirkung von Atomen und Licht
4.2
Die Power-Zienau-Woolley-Transformation
Obwohl sie für die Beschreibung der Fundamentalkräfte wichtig ist, hat die minimale Kopplung
einige Nachteile, wenn man die Wechselwirkung von Atomen und Licht beschreiben will:
• Bei elektrisch neutralen, aus Elektronen, Neutronen und Protonen zusammengesetzten
Atomen ist eine Kopplung an die Ladung der Teilchen etwas umständlich. Bequemer wäre
es, die Kopplung über die Multipolmomente der Atome zu beschreiben.
• In der minimalen Kopplung treten die Eichpotentiale statt der physikalischen Felder auf.
Das ist zwar kein prinzipielles Problem, aber eine Kopplung an das elektrische und das
magnetische Feld wäre — unabhängig von der gewählten Eichbedingung — manifest eichinvariant.
• In der Coulomb-Eichung kann das skalare Potential φ durch das unretardierte CoulombPotential ersetzt werden, da letzteres eine Lösung der Poisson-Gleichung ist, die φ erfüllt.
Das Coulomb-Potential ist aber unretardiert und gaukelt uns eine instantane langreichweitige Wechselwirkung zwischen den Atomen vor.
Die Power-Zienau-Woolley-Transformation (Refs. [27] und [28], siehe auch [29] und [30])
ist eine unitäre Transformation, die die minimale Kopplung in eine äquivalente Form überführt,
die die obigen Probleme beseitigt.
4.2.1
Das Grundprinzip der Transformation
Zur Herleitung der Dipolkopplung 2 kann man von der Feststellung ausgehen, dass sich die EulerLagrange-Gleichungen nicht ändern, wenn man zur Lagrange-Funktion eine totale Zeitableitung
addiert:
L0 (x, ẋ, t) = L(x, ẋ, t) +
d ∂L0 ∂L0
d
d ∂L ∂L
F (x, t) =⇒
−
=
−
dt
dt ∂ ẋ
∂x
dt ∂ ẋ
∂x
Der Einfachkeit halber betrachten wir konstante Felder E und B (der Beweis geht auch allgemein).
E = E 0 ; B = B 0 ⇐⇒ φ = −xE 0
1
A = − (x × B 0 )
2
2
Besser wäre der Ausdruck multipolare Kopplung, da die Power-Zienau-Woolley-Transformation die minimale eigentlich in eine Kopplung überführt, die an alle Multipolmomente angreift. In der Praxis wird jedoch meist
nur das Dipolmoment berücksichtigt. Bei dem einfachen Beispiel in diesem Unterabschnitt tritt ebenfalls nur das
Dipolmoment auf.
4.2 Die Power-Zienau-Woolley-Transformation
49
Wählt man F = −qxA so folgt
d
q
F = −q ẋA + (x × ẋ)B 0
dt
2
q
1
L0 = mẋ2 + q ẋA + qxE 0 −q ẋA + (x × ẋ)B 0
2
|2
{z
}
(4.12)
(4.13)
L
1
q
= mẋ2 + qxE 0 +
LB 0
2
2m
mit L = (x × mẋ)
(4.14)
Setzt man d := qx
elektrisches Dipolmoment des Teilchens so findet man für die neue
q
µ := 2m L magnetisches Moment des Teilchens
Lagrange-Funktion
1
L0 = mẋ2 + dE 0 + µB 0
2
Vorteil: Jetzt gilt für den kanonisch konjugierten Impuls p = mẋ. Ausserdem ist die Kopplung
manifest eichinvariant und besser geeignet für elektrisch neutrale Teilchen.
4.2.2
Die vollständige Transformation
Wir betrachten eine Verteilung von Punktteilchen mit Ladung qα am Ort xα , deren Ladungsdichte
durch
X
%(x) =
qα δ(x − xα )
(4.15)
α
gegeben ist. Da wir insbesondere am Verhalten eines aus nicht ionisierten P
Atomen bestehenden
Gases interessiert sind nehmen wir an, dass die Gesamtladung Null ist, α qα = 0. Die Polarisation der makroskopischen Elektrodynamik erfüllt die Gleichung divP = −h%geb i (Siehe
Abschnitt 1.5). Für den vorliegenden Fall ist eine Lösung dieser Gleichung gegeben durch
XZ 1
P (x) =
du qα (xα − R)δ(x − R − u(xα − R))
(4.16)
α
0
Beweis:
∂i P i (x) =
XZ
α
=
du qα (xα − R)i ∂i δ(x − R − u(xα − R))
0
XZ
α
1
1
du qα (xα − R)i δ 0 (xi − Ri − u(xα − R)i ) ×
0
δ(xj − Rj − u(xα − R)j )δ(xk − Rk − u(xα − R)k ) , (4.17)
wobei über i summiert wird und (i, j, k) = (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2). δ 0 ist die Ableitung der
δ-Distribution. Nun gilt
(xα − R)i δ 0 (xi − Ri − u(xα − R)i ) = −∂u δ(xi − Ri − u(xα − R)i )
(4.18)
50
Die Wechselwirkung von Atomen und Licht
und somit
∂i P i (x) = −
XZ
X
du qα ∂u δ(x − R − u(xα − R))
0
α
= −
1
qα {δ(x − xα ) − δ(x − R)}
α
= Qδ(x − R) −
X
qα δ(x − xα )
(4.19)
α
Die Gesamtladung Q verschwindet für neutrale Atome und der zweite Term entspricht gerade
der Ladungsverteilung q.e.d.
Um alle Konsequenzen der Power-Zienau-Woolley-Transformation verstehen zu können, muß
man mehrere Atome/Moleküle im Gas berücksichtigen. Wir stellen uns also eine Ladungsverteilung vor, bei der die Ladungsträger zu elektrisch neutralen Atomen gruppiert sind. Das mte
Atom hat die Kern-Koordinate Rm und die Teilchen-Koordinaten (Elektronen + Kern) xαm .
Der vollständige Hamiltonian dieses Systems in der minimalen Kopplung ist gegeben durch
H =
2 ε0
1
pαm − qαm A(xαm ) +
2Mαm
2
m αm
X
X
VCoul (m, m0 ) +
VCoul (m)
XX
m<m0
Z
d3 x (E ⊥ )2 + c2 B 2 +
(4.20)
m
E ⊥ ist dabei der Operator des transversalen elektrischen Feldes, den wir bisher (in Abwesenheit
von Ladungen) einfach als E bezeichnet haben. Das gesamte elektrische Feld in Anwesenheit
von Ladungen nimmt die Form E = E ⊥ − ∇VCoul (x) an. Die Coulomb-Wechselwirkung der
Teilchen innerhalb eines Atoms ist gegeben durch
VCoul (m) =
X
αm <βm
q α m qβm
4πε0 |xαm − xβm |
(4.21)
4.2 Die Power-Zienau-Woolley-Transformation
51
während die inter-atomare Coulomb-Wechselwirkung die Form
VCoul (m, m0 ) =
X
αm ,βm0
qαm qβm0
4πε0 |xαm − xβm0 |
(4.22)
annimmt.
Um die unitäre Transformation zwischen minimaler und multipolarer Kopplung zu konstruieren, setzen wir die Gesamtpolarisation aus derjenigen der einzelnen Atome zusammen,
X
P (x) =
P m (x)
(4.23)
m
P m (x) =
XZ
αm
1
du qαm (xαm − Rm ) δ(x − Rm − u(xαm − Rm )) .
(4.24)
0
Die Power-Zienau-Woolley-Transformation ist dann gegeben durch
Z
i
3
U = exp
d x P (x) · A(x)
~
(4.25)
Berechnung der Transformation
Unsere Aufgabe besteht nun darin, das Verhalten des Hamiltonians und der anderen Operatoren
unter dieser Transformation zu untersuchen. Da U eine Funktion von xαm und A(x) ist, ist es
offensichtlich, dass wegen [Ai (x), Aj (x0 )] = [Ai (x), B j (x0 )] = 0 das Vektorpotential, das magnetische Feld sowie die Teilchen-Koordinaten und die Polarisation sich trivial transformieren:
à = U † AU = A
B̃ = B
x̃αm = xαm
P̃ = P
(4.26)
(4.27)
(4.28)
(4.29)
Alle anderen Felder lassen sich mit Hilfe des Theorems exp(−iS)E exp(iS) = E −i[S, E]+· · ·
leicht berechnen. Für das elektrische Feld folgt
Z
i
⊥
⊥
Ẽ i (x) = E i (x) −
d3 x0 P j (x0 )[Aj (x0 ), E ⊥
(4.30)
i (x)]
~
Z
i
−i~ ⊥
⊥
= E i (x) −
d3 x0 P j (x0 )
δ (x − x0 ) .
(4.31)
~
ε0 ij
Erinnert man Rsich daran, dass der transversale (quellenfreie) Anteil eines Vektorfeldes P durch
(T P )i (x) = d3 x0 P j (x0 )δij⊥ (x − x0 ) gewonnen werden kann, so folgt
⊥
Ẽ (x) = E ⊥ (x) −
1 ⊥
P (x) .
ε0
(4.32)
52
Die Wechselwirkung von Atomen und Licht
Diese Gleichung hat überraschende Konsequenzen. Schreibt man sie nämlich in der Form
⊥
⊥
ε0 E ⊥ (x) = ε0 Ẽ (x) + P̃ (x) = D̃
⊥
(4.33)
so sieht man, dass der alte Operator ε0 E ⊥ des elektrischen Feldes im neuen Bild die Rolle der
⊥
dielektrischen Verschiebungsdichte D̃ übernimmt. Oder anders ausgedrückt: benutzt man die
minimale Kopplung, so wird das elektrische Feld durch E ⊥ und die dielektrische Verschiebungsdichte durch ε0 E ⊥ +P ⊥ beschrieben. Benutzt man die Dipolkopplung, so ist das elektrische Feld
⊥
⊥
⊥
durch Ẽ und die dielektrische Verschiebungsdichte durch ε0 Ẽ + P̃ = ε0 E ⊥ gegeben. Wegen der einfachen Form des Operators E ⊥ verwendet man auch bei der multipolaren Kopplung
diesen Operator an Stelle des eigentlichen Feldes. Man beschreibt die Wechselwirkung also über
die dielektrische Verschiebungsdichte.
Es bleibt, die Transformation der Teilchenimpulse zu berechnen. In derselben Weise wie
beim elektrischen Feld findet man
p̃αm = pαm − i[S, pαm ] + · · ·
= pαm + ~∇αm S .
(4.34)
Die Berechnung des Gradienten werden wir weiter unten behandeln. Insgesamt ergibt sich damit
für den transformierten Hamiltonian
XX 1
2
pαm + ~∇αm S − qαm A(xαm )
H̃ =
2Mαm
m αm
Z
ε0
1
⊥
⊥ 2
3
2 2
+
dx
(D̃ − P ) + c B +
2
ε20
X
X
VCoul (m, m0 ) +
VCoul (m)
(4.35)
m<m0
m
Berechnung der Polarisations-Integrale
Dieser Ausdruck läßt sich noch erheblich vereinfachen. Formen wir zunächst die zweite Zeile
um:
Z
Z
⊥
1
1
⊥
⊥
⊥ 2
⊥
⊥ 2
3
3
2
d x (D̃ − P ) =
d x (D̃ ) − 2D̃ · P + (P )
(4.36)
2ε0
2ε0
Z
⊥
1
⊥
=
d3 x (D̃ )2 − 2D̃ · P ⊥ + (P − P k )2
2ε0
wobei P k der longitudinale Anteil des Vektorfeldes ist (d.h. die Fourier-Transformierte des Feldes ist parallel zum Wellenvektor und nicht transversal dazu). Man kann nun die folgendene
Relation verwenden,
Z
Z
⊥
3
d x R (x) · S(x) = d3 x R⊥ (x) · S ⊥ (x) .
(4.37)
4.2 Die Power-Zienau-Woolley-Transformation
53
Zum Beweis zeigt man zuerst, dass der Transversalisierungs-Operator idempotent ist. Per Definition gilt
Z
Z
(T 2 R)i (x) =
d3 x0 δij⊥ (x − x0 )
⊥
d3 x00 δjk
(x0 − x00 )Rk (x00 )
(4.38)
Mit
Z
d3 x0 δij⊥ (x
−x
0
⊥
)δjk
(x0
00
d3 k d3 k 0 ik·(x−x0 ) ik0 ·(x0 −x00 )
e
e
×
(2π)3 (2π)3
k0j k0k
ki kj
δij − 2
δjk − 0 2
(k )
k
Z
3
d k ik·(x−x00 )
ki kj
kj kk
=
e
δij − 2
δjk − 2
(2π)3
k
k
⊥
00
= δik (x − x )
(4.39)
Z
−x ) =
3 0
Z
dx
ergibt sich
2
Z
(T R)i (x) =
⊥
d3 x00 δik
(x − x00 )Rk (x00 )
= (T R)i (x)
(4.40)
Ausserdem ist T hermitesch bezüglich des Standard-Skalarprodukts:
Z
Z
Z
3
3
d x R(x) · (T S)(x) =
d x Ri (x) d3 x0 δij⊥ (x − x0 )S j (x0 )
Z
=
d3 x0 (T R)(x0 ) · S(x0 )
(4.41)
Die Behauptung (4.37) folgt dann aus
Z
Z
⊥
3
d x R (x) · S(x) =
d3 x (T R)(x) · S(x)
Z
=
d3 x (T 2 R)(x) · S(x)
Z
=
d3 x (T R)(x) · (T S)(x)
Z
=
d3 x R⊥ (x) · S ⊥ (x) .
(4.42)
Die Relation (4.37) hilft uns dabei, das Integral über die Polarisation umzuformen:
Z
Z
1
1
2
k
k 2
3
d x P − 2P · P + (P )
=
d3 x P 2 − 2(P k )2 + (P k )2
2ε0
2ε0
Z
1
2
k 2
3
=
d x P − (P )
(4.43)
2ε0
54
Die Wechselwirkung von Atomen und Licht
Das Integral über den longitudinalen Anteil kann exakt berechnet werden. Da die Quelle für
diesen Term die Ladungsverteilung ist, divP = divP k = −%, kann man erwarten, dass er etwas
mit dem Coulomb-Potential zu tun hat. Formen wir dieses zunächst um:
Z
1
%(x0 )
VCoul (x) =
d3 x0
4πε0
|x − x0 |
Z
divP k (x0 )
−1
d3 x0
=
4πε0
|x − x0 |
Z
1
1
k
=
d3 x0 P i (x0 )∂i0
(4.44)
4πε0
|x − x0 |
Für den Gradienten des Coulomb-Potentials, der ja das negative longitudinale elektrische Feld
ist, ergibt sich
Z
1
1
k
d3 x0 P i (x0 )∂j ∂i0
∂j VCoul (x) =
4πε0
|x − x0 |
Z
−1
1
k
=
d3 x0 P i (x0 )∂j ∂i
4πε0
|x − x0 |
(4.45)
Um die doppelte Ableitung im Integranden zu berechnen, verwendet man am besten die
Fourier-Transformation:
Z
e−ik·x
4π
d3 x
= 2
(4.46)
|x|
k
Zum Beweis geht man zu Kugelkoordinaten über und wählt die z-Achse in Richtung von k. Man
findet dann 3
Z
Z ∞
−ik·x
e−ikr cos ϑ
3 e
dx
=
r2 dr d cos ϑ dϕ
|x|
r
0
Z ∞
1
= 2π
rdr
(e−ikr − eikr )
−ikr
0
2πi
P
P
=
πδ(k) − i − πδ(k) + i
k
k
k
4π
(4.47)
=
k2
3
Die Unterdrückung des Hauptwertes P in der letzten Zeile hat folgenden Hintergrund: Wie jede Distribution ist
auch P/k nur als Integrand zusammen mit einer Testfunktion (unendlich oft differenzierbar, endliche Norm, keine
Pole) definiert. Nun taucht in der vorletzten Zeile aber noch ein zusätzlicher Faktor 1/k auf, der keine Testfunktion
ist. Das Ergebnis ist also höchstens dann noch sauber definiert, wenn man es mit einer Testfunktion multipliziert,
die linear mit k gegen Null geht. Es ist in der theoretischen Physik jedoch üblich, diese Gleichung einfach unsauber
(ohne Angabe von Testfunktionen) weiter zu verwenden. Der Hauptwert macht dann keinen Sinn mehr, da er bei
einer Singularität der Form 1/k 2 nicht mehr zur Aufhebung der divergierenden Terme führt. Man lässt ihn daher
einfach weg.
4.2 Die Power-Zienau-Woolley-Transformation
55
Damit folgt für die doppelte Ableitung
0
d3 k 4πeik·(x−x )
(2π)3
k2
Z
d3 k ik·(x−x0 ) ki kj
= −4π
e
(2π)3
k2
= −4π δij δ(x − x0 ) − δij⊥ (x − x0 )
1
∂j ∂i
= ∂j ∂i
|x − x0 |
Z
(4.48)
und somit
Z
−1
k
∂j VCoul (x) =
d3 x0 P i (x0 )(−4π) δij δ(x − x0 ) − δij⊥ (x − x0 )
4πε0
1 k
=
P (x)
ε0 j
(4.49)
Das longitudinale elektrische Feld ist also vollständig durch den Polarisationsanteil gegeben.
Dieser Zusammenhang führt zu
Z
Z
ε0
1
k 2
3
−
d x (P ) = −
d3 x (∇VCoul )2
2ε0
2
Z
ε0
=
d3 x VCoul ∆VCoul
2
Z
1
d3 x VCoul % ,
(4.50)
= −
2
wobei die letzte Zeile daraus folgt, dass das Coulomb-Potential die Poisson-Gleichung erfüllt.
Setzt man Gleichung (4.15) für die Ladungsdichte ein, so findet man
Z
qαm qα0m0
1
1 X X
−
d3 x (P k )2 = −
(4.51)
2ε0
2 m,α 0 0 4πε0 |xαm − xα0m0 |
m
m ,αm0
In diesem Ausdruck muß man die Terme für gleiche Teilchen weglassen, da sie divergieren. Der
Rest ist symmetrisch unter Vertauschen der ungestrichenen und der gestrichenen Indizes, so dass
Z
X X
qαm qα0m0
1
−
d3 x (P k )2 = −
2ε0
4πε0 |xαm − xα0m0 |
m<m0 αm ,α0 0
m
X X
qαm qα0m
−
4πε0 |xαm − xα0m |
m αm <α0m
X
X
= −
V (m, m0 ) −
V (m)
(4.52)
m<m0
m
Das Integral über den longitudinalen Anteil der Polarisation hebt also genau die CoulombWechselwirkung zwischen den Atomen auf. Dies ist der Grund, warum es in Gl. (4.36) sinnvoll
56
Die Wechselwirkung von Atomen und Licht
war, die transversale Polarisation in die vollständige und die longitudinale Polarisation zu zerlegen. Das verbleibende Integral über die volle Polarisation zerlegen wir in die Einzelbeiträge der
Atome:
Z
XZ
2
3
d xP =
d3 x P m P m0
(4.53)
m,m0
Aus Gl. (4.24) kann man ersehen, dass die Polarisation des mten Atoms stark auf den Bereich
des Atoms lokalisiert ist. Da im Gaszustand der Abstand zwischen den Atomen sehr viel größer
als ihre Ausdehnung ist, kann man die Terme mit m 6= m0 vernachlässigen und erhält
Z
Z
1
1 X
2
3
d xP ≈
d3 x P 2m
2ε0
2ε0 m
Z
1 X
k 2
2
d3 x (P ⊥
)
+
(P
)
=
m
m
2ε0 m
Z
X
1 X
2
=
d3 x (P ⊥
)
+
V (m)
(4.54)
m
2ε0 m
m
Hamiltonian und multipolare Entwicklung
Setzt man alle Umformungen in den transformierten Hamiltonian (4.35) ein, so gelangt man zu
H̃ =
X
Hm + Hrad + Hint
(4.55)
m
Hm
Hrad
Hint
Z
X p2α
1
2
m
+ V (m) +
d3 x (P ⊥
=
m)
2Mαm
2ε0
αm
Z
Z
1
1
⊥ 2
3
=
d x (D ) +
d3 x B 2
2ε0
2µ0
Z
1
= −
d3 x D ⊥ · P
ε0
X 1
+
nαm · pαm + pαm · nαm + (nαm )2
2Mαm
m,α
(4.56)
(4.57)
(4.58)
m
mit
(nαm )i := ~(∇αm )i S − qαm Ai (xαm )
(4.59)
Z 1
= ~(∇αm )i
du qαm (xαm − Rm ) · A(Rm + u(xαm − Rm )) − qαm Ai (xαm )
0
Z 1
=
du qαm Ai (Rm + u(xαm − Rm ))
0
+(xαm − Rm )j u∂i Aj (Rm + u(xαm − Rm )) − qαm Ai (xαm )
4.3 Dipolnäherung und Dipolkopplung
57
Der Vektor nαm kann in eine explizit potential-unabhängige Form gebracht werden, wenn man
die mittels partieller Integration beweisbare Gleichung
1
Z
Z
du u∂u A(Rm + u(xαm − Rm )) = A(xαm ) −
0
1
du A(Rm + u(xαm − Rm ))
(4.60)
0
verwendet. Mit der Abkürzung r αm := xαm − Rm folgt
Z
1
du qαm (Ai (Rm + ur αm ) + (r αm )j u∂i Aj (Rm + ur αm ))
(nαm )i :=
0
Z
1
−
du qαm (u∂u Ai (Rm + ur αm ) + Ai (Rm + ur αm ))
0
Z 1
=
du qαm ((r αm )j u∂i Aj (Rm + ur αm ) − u(r αm )j ∂j Ai (Rm + ur αm ))
0
Z 1
(4.61)
=
du qαm u(r αm )j (∂i Aj (Rm + ur αm ) − ∂j Ai (Rm + ur αm ))
0
und somit wegen ∂i Aj − ∂j Ai = εijk B k
Z
1
u du (xαm − Rm ) × B(Rm + u(xαm − Rm ))
nα m = q α m
(4.62)
0
Damit sind wir bei der endgültigen Form des multipolaren Hamiltonians angelangt. Es sollte
noch einmal betont werden, dass abgesehen von der Annahme, dass die vollen Polarisationen
zweier Moleküle einen geringen Überlapp haben, keine Näherungen in die Herleitung eingegangen sind. Man kann also genauso gut diesen Hamiltonian wie auch die minimale Kopplung
verwenden. Die wichtigsten Eigenschaften des Hamiltonians (4.55) sind
• explizite Eichinvarianz, da nur noch das elektrische und das magnetische Feld auftreten,
• das Coulomb-Potential zwischen verschiedenen Atomen ist verschwunden. Die Wechselwirkung zwischen den Atomen wird nun ausschließlich über die retardierten dynamischen
⊥
Felder D̃ und B vermittelt.
4.3
Dipolnäherung und Dipolkopplung
Da die typische Längenskala r von Atomen der Bohrsche Radius (≈ 0.5 × 10−10 m) ist, die
Wellenlänge λ = 2π/k des Lichts aber im Bereich von einigen 100 nm liegt, kann man den
multipolaren Wechselwirkungs-Hamiltonian schon nach wenigen Gliedern abbrechen. Die Begründung baut darauf auf, dass in diesem Fall die Multipolmomente lter Ordnung proportional
zu (kr)l sind und kr 1 gilt, siehe Gl. (1.15). Man kann sich daher auf die niedrigsten Terme
58
Die Wechselwirkung von Atomen und Licht
beschränken und erhält für die Polarisation
X
P (x) =
P m (x)
m
=
XX
m
≈
=
X
=
X
1
qαm (xαm − Rm )
du δ(x − Rm − u(xαm − Rm ))
0
αm
XX
m
Z
Z
qαm (xαm − Rm )
du δ(x − Rm ) + O(|xαm − Rm )|2 )
0
αm
δ(x − Rm )
m
1
X
qαm (xαm − Rm )
αm
δ(x − Rm )dm ,
(4.63)
m
wobei dm das Dipolmoment des mten Moleküls ist. Analog findet man für den zweiten Kopplungsterm
Z 1
nα m ≈ q α m
u du (xαm − Rm ) × B(Rm ) + O(|xαm − Rm )|2 )
(4.64)
0
und somit
2
nαm · pαm + pαm · nαm + (nαm )
Z
≈ 2qαm pαm ·
1
u du (xαm − Rm ) × B(Rm )
0
= −qαm Lαm · B(Rm )
(4.65)
In dieser Dipol-Näherung erhalten wir als Hamiltonian die sogenannte Dipolkopplung
H̃int = −
X
1 X
⊥
dm · D̃ (Rm ) −
µm · B(Rm )
ε0 m
m
(4.66)
P
wobei µm =
αm qαm Lαm /(2Mαm ) das mit dem Bahndrehimpuls verbundene magnetische
Dipolmoment ist. Dass der Spin-Anteil hier nicht auftritt liegt allein daran, dass wir ihn bei der
Behandlung nicht mit einbezogen haben.
Es muß betont werden, dass nur die vollständige multipolare Wechselwirkung und die minimale Kopplung unitär äquivalent sind. Sobald man Näherungen einführt, führen die unterschiedlichen Kopplungen zu leicht unterschiedlichen Ergebnissen. Wir werden ein Beispiel dafür im
nächsten Kapitel sehen. In der Quantenoptik führt dabei in der Regel die Dipolkopplung zu den
etwas besseren Resultaten.
4.4 Auswahlregeln für Atome
Eine der wichtigsten Fragen in der Atomphysik und Quantenoptik ist, welche Niveaus durch das
elektromagnetische Feld gekoppelt werden. Um dies zu untersuchen, betrachten wir ein einzelnes
4.4 Auswahlregeln für Atome
59
Atom, dessen Kern am Ursprung des Koordinatensystems ruht (Rm = 0, die Schwerpunktbewegung ist für die Auswahlregeln in sehr guter Näherung unerheblich). Da alle anderen Teilchen
Elektronen sind, reduziert sich das elektrische Dipolmoment auf
dm
=
X
qαm (xαm − Rm )
αm
= −e
X
xα m
αm
=: −er
(4.67)
r ist die Summe der Elektronenkoordinaten relativ zum Kern. Im Folgenden werden wir den
Index m unterdrücken, da wir nur noch ein einzelnes Molekül betrachten, dm → d, αm → α
usw., wobei die Summe nur noch über die Elektronen laufen soll und eventuelle Kernbeiträge
explizit addiert werden.
In Kapitel 3 haben wir gesehen, dass die atomaren Zustände in guter Näherung Eigenzustände
des Gesamtdrehimpulses
X
F = sK +
(Lα + sα )
(4.68)
α
sind, |ψi = |F, mF , · · · i. Da die Wechselwirkung über das Dipolmoment vermittelt wird, sind
die Übergangsamplituden zwischen |F, mF i und |F 0 , m0F i proportional zu
dF,mF ;F 0 ,m0F := hF, mF | − er|F 0 , m0F i .
(4.69)
Die Berechnung dieser Matrixelemente läßt sich erstaunlich elegant und einfach bewerkstelligen,
wenn man das Konzept der Vektor-Operatoren (i.a. Tensor-Operatoren) verwendet.
Ein Vektor-Operator R bezüglich eines Drehimpulses L ist definiert als ein Operator, der die
folgenden Kommutator-Relationen erfüllt:
[L+ , R+ ]
[L− , R− ]
[L+ , R− ]
[L− , R+ ]
[Lz , R± ]
[L± , Rz ]
=
=
=
=
=
=
0
0
2~Rz
−2~Rz
±~R±
∓~R±
(4.70)
Hierbei ist L± = Lx ± iLy und R± = Rx ± iRy . Äquivalent dazu sind die Relationen
[La , Rb ] = i~εabc Rc .
(4.71)
Ein Beispiel für einen Vektoroperator ist der Ortsoperator eines Schrödinger-Teilchens, wenn
L der Bahndrehimpuls ist. Es ist jedoch auch einfach zu zeigen, dass das Dipolmoment d ein
60
Die Wechselwirkung von Atomen und Licht
Vektor-Operator ist:
[F a , db ] = [(sK )a +
X
(Lα + sα )a , −e
α
= −e
X
= −e
X
X
(xβ )b ]
β
[(Lα )a , (xβ )b ]
α,β
δαβ i~εabc (xβ )c
α,β
= −ie~εabc
X
(xα )c
α
= i~εabc dc
(4.72)
Die Matrixelemente eines Vektoroperators bezüglich der Drehimpuls-Eigenzustände lassen
sich weitgehend algebraisch berechnen.
± ~hF, mF |d± |F 0 , m0F i = hF, mF |[F z , d± ]|F 0 , m0F i
= hF, mF |F z d± − d± F z |F 0 , m0F i
= ~(mF − m0F )hF, mF |d± |F 0 , m0F i
(4.73)
woraus folgt, dass hF, mF |d± |F 0 , m0F i nur dann ungleich null ist, wenn ∆m := mF − m0F = ±1
ist. Da dz mit F z kommutiert zeigt man analog
0 = hF, mF |[F z , dz ]|F 0 , m0F i
= ~(mF − m0F )hF, mF |dz |F 0 , m0F i
(4.74)
Insgesamt erhalten wir die Auswahlregeln für die magnetische Quantenzahl
hF, mF |dz |F 0 , m0F i =
6 0 ist nur möglich für mF = m0F
hF, mF |d+ |F 0 , m0F i =
6 0 ist nur möglich für mF = m0F + 1
hF, mF |d− |F 0 , m0F i =
6 0 ist nur möglich für mF = m0F − 1
(4.75)
(4.76)
(4.77)
Weitergehende Aussagen über die Matrixelemente von d erlaubt das
Wigner-Eckart-Theorem (hier
Vektoroperatoren): Die sphärischen“ Matrixelemente
√ nur für √
”
{d1 , d0 , d−1 } := {−d+ / 2, dz , d− / 2} eines Vektoroperators sind gegeben durch
D(F, F 0 )
.
hF, mF |dq |F 0 , m0F i = hF 0 , m0F ; 1, q|F, mF , (1, F 0 )i √
2F + 1
(4.78)
Hierbei wird D(F, F 0 ) als reduzierte Matrixelement bezeichnet.
Dieses ausgesprochen wichtige Theorem besagt, dass die Matrixelemente von Vektoroperatoren (und Tensoroperatoren im Allgemeinen) proportional zu Clebsch-Gordan-Koeffizienten sind
(Siehe Einschub 12.2).
4.4 Auswahlregeln für Atome
61
Zum Beweis des Theorems schreiben wir die Kommutator-Relationen (4.70) in der Form
p
[F z , dq ] = q~dq , [F ± , dq ] = ~ 2 − q(q ± 1)dq±1 .
(4.79)
Hieraus folgt
p
hF, mF |[F ± , d−q ]|F 0 , m0F i = ~ 2 + q(−q ± 1)hF, mF |d−q±1 |F 0 , m0F i
(4.80)
0
0
= hF, mF |F ± |F, mF ∓ 1i hF, mF ∓ 1|d−q |F , mF i −
hF, mF |d−q |F 0 , m0F ± 1i hF 0 , m0F ± 1|F ± |F 0 , m0F i .
Setzt man Dm0F ,mF ,q := hF, mF |d−(q+1) |F 0 , m0F i und verwendet man die Werte (12.6) für die
Matrixelemente der Drehimpulsoperatoren, so folgt
q
Dm0F ±1,mF ,q F 0 (F 0 + 1) − (m0F + 1)(m0F + 1 ± 1) =
(4.81)
p
Dm0F ,mF ∓1,q F (F + 1) − (mF + 1)(mF + 1 ∓ 1) +
p
Dm0F ,mF ,q∓1 2 − (q + 1)(q + 1 ∓ 1)
Dieses homogene lineare Gleichungssystem hat dieselben Koeffizienten wie das entsprechende
Gleichungssystem Gl. (12.12) für die Clebsch-Gordan-Koeffizienten, wenn man die Ersetzungen
(j, mj ) → (F 0 , m0F ), (l, ml ) → (F, mF ) und (s, ms ) → (1, q) macht. Die Koeffizienten
√ D und
C müssen daher proportional zueinander sein, was das Theorem beweist (der Faktor 1/ 2F + 1
ist Konvention).
Das Wigner-Eckart-Theorem erlaubt eine anschauliche Interpretation. Die Dipolkopplung
vermittelt die Absorbtion oder Emission eines Photons, dessen Spin Eins ist. Bei der Absorbtion
oder Emission muß der Gesamtdrehimpuls erhalten bleiben, daher müssen bei dem Prozess die
Drehimpulse wie im Abschnitt 12.2 besprochen addiert werden.
Das Wigner-Eckart-Theorem läßt nur noch die Frage offen, wie der m-unabhängige Vorfaktor D(F, F 0 ) aussieht. Prinzipiell erhält man ihn, wenn man einen bestimmten Übergang m, m0
betrachtet und ihn für diese Zustände berechnet. Das ist jedoch sehr schwierig und erfordert erheblichen numerischen Aufwand, so dass man zumeist entweder die experimentell gemessenen
Werte einsetzt oder sich mit der folgenden Abschätzung behilft. Der Operator des Dipolmoments
ist definiert als Elektronen-Ladung mal Elektronen-Relativkoordinate im Atom. Man kann daher
davon ausgehen, dass die Dipolmatrixelemente von der Größenordnung ea0 sind, wobei a0 der
Bohrsche Radius ist und grob den mittleren Abstand der Elektronen vom Kern beschreibt. Diese
Daumenregel erlaubt für viele Fälle eine vernünftige Abschätzung.
Eine weitere wichtige Frage ist die physikalische Bedeutung der sphärischen Komponenten dq des Dipolmoments. Betrachten wir dazu eine laufende klassische Laserwelle entlang
der Quantisierungsachse (= z-Achse), E (+) (x) = exp(ikz)εε exp(−iωt), die einen Übergang
zwischen dem Grundzustand |Jg , mg i und dem angeregten Zustand |Je , me i treiben soll. Das
Übergangsmatrixelement ist dann gegeben durch
I = − exp(ikz) exp(−iωt)hJe , me |d · ε|Jg , mg i
(4.82)
62
Die Wechselwirkung von Atomen und Licht
√
Ist der Laserstrahl links/rechtszirkular polarisiert, so gilt ε± = (ex ± iey )/ 2 und somit
1
d · ε± = √ (dx ± idy )
2
= ∓d±1 .
(4.83)
Linkszirkular polarisiertes Licht eines entlang der Quantisierungsachse laufenden Laserstrahls
koppelt also an d1 und erfordert daher me = mg + 1. Genauso kann man zeigen, dass ε = ez
eine Kopplung an d0 und damit me = mg nach sich zieht. Ein entsprechender Laserstrahl muß
senkrecht zur Quantisierungsachse propagieren, da sein Wellenvektor senkrecht auf ez stehen
muß. 4
Es muß noch einmal betont werden, dass zirkular polarisiertes Licht nur dann me = mg ± 1
erfordert, wenn der Laserstrahl entlang der Quantisierungsachse propagiert. In alle anderen Richtungen kann ein solcher Strahl an alle Komponenten dq koppeln. Zum Beispiel hat
√ ein linkszirkular polarisierter Strahl
√ entlang der x-Achse die Polarisation ε = (−ez + iey )/ 2 und koppelt
wegen d · ε = −d0 / 2 − (d1 + d−1 )/2 an alle drei Komponenten. Entsprechend gilt dann
me = mg + i, i = −1, 0, 1.
Zum Abschluß dieses Abschnittes sollen noch einmal die allgemeinen Auswahlregeln zusammengefasst werden, die man aus den Eigenschaften der Clebsch-Gordan-Koeffizienten ableiten
kann:
∆m = 0, ±1
∆J = 0, ±1
Für J 0 = J ist der Übergang m = 0 → m0 = 0 verboten.
4
Diese Aussage ist eigentlich zu stark. Da echte Laserstrahlen immer fokussiert sind, tragen zu ihnen auch
Wellenvektoren bei, die nicht exakt parallel zur Ausbreitungsachse liegen. Ein echter Laser hat daher immer auch
einen kleinen longitudinal polarisierten Anteil, der aber meistens vernachlässigt werden kann.
Kapitel 5
Das 2-Niveau Modell für Atome
Beleuchtet man Atome im Grundzustand mit der Energie Eg mit einem Laserstrahl, dessen Photonen die Energie ~ω haben, so können diese die Energie des Photons absorbieren und in einen
angeregten Zustand mit E 0 = Eg + ~ω übergehen. Wegen der Energieerhaltung muß für den
angeregten Zustand |ei E 0 ≈ Ee gelten. In dieser Situation können alle anderen Niveaus vernachlässigt werden. Das Atom erscheint dann als neutrales Teilchen mit nur 2 inneren Freiheits|e0 i
|ei
~ω
|gi
Abbildung 5.1: Absorbtion eines Photons durch ein Atom
graden |gi und |ei; es ähnelt damit z. B. einem einzelnen Neutron mit Spin 12 . Modelle mit 2Niveaus tauchen in der Quantenmechanik häufig auf, z. B.
• Spin
1
2
Teilchen
• Photonen mit Polarisation
• die Bandkanten von Valenz- und Leitungsband
• Atome und Moleküle
• Ionen
• Josephson-Effekt in Supraleitern
• 2 Interferrometer
L
V
64
Das 2-Niveau Modell für Atome
• Qbits
Der Inhalt dieses Kapitels kann mathematisch auch auf diese anderen Modelle angewendet
werden.
Zwei-Niveau-Modelle erlauben eine bessere Veranschaulichung komplizierter Vorgänge. Trotz
ihrer einfachen Form liefern sie oft auch quantitativ gute Ergebnisse.
5.1
Herleitung des 2-Niveau Systems
Beispiel: H-Atom Die Eigenzustände (ohne Spin) haben die Form |nlmi. In Abwesenheit eines Magnetfeldes sind diese bezüglich m entartet. Benutzt man nun Laserlicht der Frequenz
2P
2S
1S
Abbildung 5.2: Skizze der Wasserstoff-Energieniveaus
ω ≈ (E2P − E1S )/~ so können alle Multipletts außer 1S und 2P vernachlässigt werden. Wir
erhalten ein System mit vier Zuständen. Systeme aus zwei Multipletts werden manchmal bereits
als 2-Niveau Systeme bezeichnet (wegen der 2 Energieniveaus). Bei Hyperfeinspin-Entartung
können dabei recht viele Zustände beteiligt sein. Um ein echtes 2-Niveau System (mit zwei
}
|e, F 0 , mF 0 i; F 0 = 0, 1, 2, 3
F =2
F =1
}
|g, F, mf i
Abbildung 5.3: Feinstrukturaufspaltung im Rb87 . Auch wenn man Licht verwendet, dass resonant mit zwei Energieniveaus (z.B. F = 1 → F 0 = 2) ist, sind im Allgemeinen sehr viele
Zustände an dem Übergang beteiligt.
Zuständen statt zwei Energieniveaus) zu realisieren, muß man Laser mit geeigneter Polarisation
benutzen und auf die spontane Emission (die auch den Auswahlregeln folgt) achten.
5.1 Herleitung des 2-Niveau Systems
65
Beispiele für Zwei-Niveau Systeme
1. Beispiel:
Je = 1
σ+
Absorbtion und Emission
Jg = 0
Pumpt man mit zirkular polarisiertem Licht, so kommen nur die beiden Niveaus rechts für
Übergänge in Frage. Man erhält so ein effektives 2-Niveau System.
2. Beispiel:
π
σ+
Je =
3
2
Jg =
1
2
Absorbtion und Emission
Mechanismus:
• |mg = 21 i ist nur an |me = 32 i gekoppelt und bildet ein 2-Niveau System
• |mg = − 12 i ist an |me = 12 i gekoppelt. Dieser zerfällt spontan in |mg = − 12 i und
|mg = 12 i. Bei jeder spontanen Emission wird daher Population auf das echte 2-Niveau System |mg = 12 i, |me = 32 i übertragen.
• Nach vielen spontanen Emissionen sind praktisch alle Atome in diesem 2-Niveau
System.
5.1.1
Darstellung von Operatoren
Ab jetzt betrachten wir nur noch ein 2-Niveau System mit den Zuständen |gi, |ei. Die Operatoren
in diesem System werden gewonnen durch:
b=
O
∞
X
n=0
b
|ni hn| O
∞
X
m=0
|mi hm| ≈
X
|ni Onm hm|
n,m=e,g
b
mit: Onm = hn|O|mi
=
Oee Oeg
Oge Ogg
Die wichtigsten Operatoren sind:
1
Einsoperator 1 =
1
Ee
Hamiltonian H0 =
da |ei, |gi Eigenzustände von H0 sind
Eg
Orts-/Dipoloperator der Elektronen x ∝ d = −ex mit den Matrixelementen
he|d|gi := deg = d∗ge
he|d|ei = hg|d|gi = 0
66
Das 2-Niveau Modell für Atome
Das Verschwinden der Diagonalelemente folgt dabei daraus, dass |ei und |gi Eigenzustände
des Paritätsoperators sind und d die Parität −1 hat. Es gilt also
0 deg
0 xeg
0 1
0 0
∗
d = deg ·
+ deg ·
=
= −e
(5.1)
d∗eg 0
x∗eg 0
0 0
1 0
wobei xeg das Matrixelement der Relativkoordinate der Elektronen ist.
Impulsoperator der Elektronen Zunächst wie beim Ortsoperator hg|p|gi = 0 und he|p|ei = 0.
Es sind also nur noch die Außerdiagonalelemente zu bestimmen. Dazu verwendet man
einen Trick, nämlich:
[x, H0 ] =
Dies folgt aus H0 =
gilt
1
2
α 2me pα
P
+
i~
p
me
P
α,β V (α, β) und p =
[xα , H0 ] =
=
(5.2)
P
α pα , x =
P
α
xα . Denn es
X 1
[xα , p2α0 ]
2m
e
α0
i~
p
me α
Also gilt
me
he|[x, H0 ]|gi
i~
ime
=
(Ee − Eg ) he|x|gi
~
he|p|gi =
Womit also die Matrixdarstellung des elektronischen Impulses
me ω0
0 −ideg
p=
id∗eg
0
e
Ee − Eg
ω0 =
~
(5.3)
(5.4)
lautet.
5.1.2
Kopplung eines 2-Niveau-Atoms an ein elektromagnetisches Feld
Betrachten wir eine elektromagnetische Welle mit dem positiven Frequenzanteil des Vektorpotentials in der Form
A(+) (t, R = 0) = A0 e−iωL t
R: Schwerpunkt des Atoms
(5.5)
5.1 Herleitung des 2-Niveau Systems
67
Der Wechselwirkungs-Hamiltonian lautet in Dipol-Kopplung (E = −Ȧ)
Hint = −d · E
= −d(E (+) + E (−) )
= −iωL (deg |ei hg| + d∗eg |gi he|) (A0 e−iωL t − A∗0 eiωL t )
Zum Vergleich die minimale Kopplung:
e
0
Hint
=
p · A = −iω0 (deg |ei hg| − d∗eg |gi he|)(A0 e−iωL t + A∗0 eiωL t )
me
(5.6)
(5.7)
Abgesehen von Vorzeichen, die sich durch Phasenfaktoren an den Basiszuständen und durch Verschieben der Schwerpunktskoordinate wegtransformieren lassen, liegt der Hauptunterschied in
den Vorfaktoren ωL bzw. ω0 . Der Grund für diesen Unterschied ist, daß man nur einen Teil des in
seiner Gänze unitär invarianten Hamiltonian betrachtet. In Abbildung 5.4 ist die unitäre Transformation als Drehung im Hilbertraum dargestellt. Anschaulich bedeutet das: Die unitäre Power-
|ei
|e0 i
|ei
|Rest0 i
|Resti
|g 0 i
|gi
|gi
Abbildung 5.4: Unitäre Transformation |ψ 0 i = U |ψi
Zieman-Woolley-Transformation “dreht” die Zustände im Hilbertraum. Die 2-Niveau-Näherung
ist aber eine Projektion auf einen zweidimensionalen Unterraum. Je nachdem, ob man diese Projektion vor (|ei und |gi) oder nach (|e0 i und |g 0 i) der Power-Zieman-Woolley-Transformation
durchführt, erhält man ein unterschiedliches Ergebnis, da man ja unterschiedliche zweidimensionale Unterräume betrachtet.
In der Praxis ist dieser Unterschied aber unwichtig, da lediglich der Fall ω0 ≈ ωL interessant ist.
1
Im Folgenden verwenden wir die −d · E-Kopplung. Definiere die Rabi-Frequenz
Ω :=
1
1
deg · E 0 = deg · A0 ωL
~
~
(5.8)
mit E 0 := A0 ωL , und als Abkürzung für eine weniger wichtige Größe:
e = 1 deg E ∗
Ω
0
~
1
ω0 ≈ ωL ist eine Voraussetzung für das Zwei-Niveau-Modell.
(5.9)
68
Das 2-Niveau Modell für Atome
Damit ist
e iωL t ) + i~ |gi he| (Ω∗ eiωL t − Ω
e ∗ e−iωL t )
Hint = −i~ |ei hg| (Ωe−iωL t − Ωe
Der ungestörte Hamiltonian ist:
1
1
Ee 0
H0 =
= (Ee + Eg )1 + (Ee − Eg )σz
0 Eg
2
2
(5.10)
(5.11)
Durch Wahl von Eg (der Energienullpunkt kann beliebig gewählt werden) kann man H0 in verschiedener Weise darstellen:
~ω0
Ee − Eg
Ee + Eg = 0 ⇒
H0 =
σz , ω0 =
(5.12)
2
~
1 0
1 0
Eg = 0 ⇒
H0 = (Ee − Eg )
= ~ω0
(5.13)
0 0
0 0
Im Folgenden wird von der Rotating-Wave-Approximation Gebrauch gemacht. Diese wird häufig
benutzt, sie funktioniert sehr gut und vereinfacht die Rechnungen erheblich. Dazu geht man
zunächst ins Wechselwirkungsbild. Dabei wird die zeitliche Entwicklung aufgrund von H0 auf
die Wellenfunktion übertragen:
e = U |ψi
e
|ψi = e−iH0 t/~ |ψi
(5.14)
ė = H
e und der Hamiltonian wird ume |ψi
Die transformierte Schrödinger-Gleichung lautet i~ |ψi
geformt gemäß
e = −i~U † U̇ + U † (H0 + Hint )U = U † Hint U
H
(5.15)
e i(ωL +ω0 )t ) + H.c.
= −i~ |ei hg| (Ωe−i(ωL −ω0 )t − Ωe
Der ei(ωL +ω0 )t -Term oszilliert sehr schnell und ist im zeitlichen Mittel daher ungefähr Null. Man
erhält damit folgende einfache Form für den Hamiltonian im Wechselwirkungs-Bild
e W W (t) = −i~e−i∆ t Ω |ei hg| + i~Ω∗ ei∆ t |gi he|
H
Es wurde dabei noch der Ausdruck für die Laser-Verstimmung ∆ = ωL − ω0 benutzt.
Wenn man ins Schrödingerbild zurückkehrt, ergibt sich:
~ω0
0
−iΩe−iωL t
H=
σz + ~
iΩ∗ eiωL t
0
2
(5.16)
(5.17)
Durch eine unitäre Transformation läßt sich erreichen, daß H nur noch vom Betrag von Ω
abhängt. Diese verziert |ei mit einer Phase eiϕ , wobei −iΩ = |Ω|eiϕ .
U : |ei → eiϕ |ei
iϕ e
0
U=
0 1
Damit wird der Hamiltonian maximal vereinfacht:
~ω0
0
|Ω|e−iωL t
†
U HU =
σz + ~
|Ω|eiωL t
0
2
(5.18)
(5.19)
5.2 Rabi-Oszillationen und Landau-Zener-Übergänge
5.2
69
Rabi-Oszillationen und Landau-Zener-Übergänge
Als nächstes Problem sei die Zeitentwicklung eines Zustandes mit Hamiltonian H wie im vorhergehenden Abschnitt betrachtet.
ω0
ψe
ψe
−iΩe−iωL t
2
(5.20)
i~∂t
=~
ω0
∗ iωL t
ψg
iΩ e
−2
ψg
Ohne den zeitabhängigen Faktor eiωL t wäre diese Gleichung recht einfach lösbar. Man kann ihn
durch eine unitäre Transformation entfernen:
!
−i ωL t
e
ωL
2
0
e
ψe
ψ
ωL
= U ee
(5.21)
U = e−i 2 σz t =
ψg
0
ei 2 t
ψg
Die transformierte Bewegungsgleichung ist:
!
!
ψe
ψee
e
i~∂t e
= −i~U † U̇ + U † HU
ψg
ψeg
!
n ~ω
~ω0
0 −iΩ o ψee
L
=
−
σz +
σz + ~
iΩ∗
0
2
2
ψeg
(5.22)
e
Also ergibt sich für H:
∆
e = ~ − 2∗ −iΩ
H
∆
iΩ
2
(5.23)
Ein solcher zeitunabhängiger Hamiltonian ist nur in der Rotating-Wave-Approximation möglich.
Die gegenrotierenden Terme wären auch nach der Transformation Gleichung (5.21) noch zeitabhängig.
Die Schrödinger-Gleichung läßt sich nun einfach lösen:
!
ψee (t)
e
−itH/~
=
e
ψeg (t)
ψee (0)
ψeg (0)
!
(5.24)
e um. Es treten nur drei Komponenten auf, da der Hamiltonian spurfrei und
Schreibe nun H
hermitisch ist.
ImΩ
e = ~n · σ,
(5.25)
H
n = ReΩ
− ∆2
Der Ausdruck e−itn·σ läßt sich in eine Potenzreihe entwickeln:
−itn·σ
e
∞
X
1
=
(−it)l (n · σ)l
l!
l=0
(5.26)
70
Das 2-Niveau Modell für Atome
Für das Produkt zweier σ-Matrizen gilt:
σi σj = iεijk σk + δij 1
⇒ (n · σ)2 = ni σi nj σj = ni nj (iεijk σk + δij 1) = |n|2 1
(n · σ)2l = |n|2l 1
(5.27)
(5.28)
(5.29)
Damit läßt sich e−itn·σ schreiben:
∞
∞
X
X
(−it)2l
(−it)2l+1
−itn·σ
2l
e
=
(n · σ) +
(n · σ)2l+1
(2l)!
(2l
+
1)!
l=0
l=0
e−itn·σ = cos(|n|t)1 − i
n·σ
sin(|n|t)
|n|
(5.30)
(5.31)
Als weitere Abkürzung verwenden wir:
s
w := |n| =
∆
2
2
+ |Ω|2
(5.32)
Dieser Ausdruck ist nur vom Betrag von Ω abhängig.
Wenn das Atom anfangs im Grundzustand ist, lautet die Lösung
! ! Ω
ψee (t)
−w
ψee (0)
0
sin(wt)
=
⇒
=
∆
1
cos(wt) − i 2w
sin(wt)
ψeg (t)
ψeg (0)
(5.33)
Die Wahrscheinlichkeitsamplitude ψee (t) für die Anregung oszilliert mit der Frequenz w, man
nennt dies die Rabi-Oszillationen. Es gilt:
|Ω|2
2
e
Pe (t) = |ψe (t)| = 2 sin2 (wt)
w
(5.34)
Der maximale Wert von Pe wird erreicht für wt = π/2 + nπ und ist gegeben durch
|Ω|2
Pe ∝ ∆ 2
( 2 ) + |Ω|2
(5.35)
Wenn der Laser nicht gegenüber der Resonanzfrequenz verstimmt ist, ∆ = 0, ist vollständige
Anregung (Pe = 1) möglich. Pe hängt stark von der Verstimmung ab:
|Ω|2
1
(5.36)
∆2
Die Anregungswahrscheinlichkeit hängt also vom Verhältnis der Rabi-Frequenz zur Verstimmung ab. 2 Diese Ergebnisse sind sehr relevant für Atomoptik, Quantenoptik, Elektronen-Spinresonanz, Kernspinresonanz, Interferometrie und in vielen weiteren Bereichen.
∆ |Ω|
2
⇒
Pe ≈
Es wird oft behauptet, dass die Anregungswahrscheinlichkeit vom Verhältnis der Rabi-Frequenz zur Lebensdauer des angeregten Zustands abhängt. Wie wir später sehen werden ist dieses Verhältnis für kleine LaserVerstimmungen auch wichtig. Das Verhältnis Ω/∆ spielt jedoch allgemein die größere Rolle.
5.2 Rabi-Oszillationen und Landau-Zener-Übergänge
71
Durch Laserpulse mit bestimmter Zeitdauer kann man wohldefinierte Zustände erzeugen. Der
sogenannte ideale π2 -Puls 3 erzeugt eine 50-50 Superposition von Anregung und Grundzustand:
π
t=
⇒
4Ω
∆=0
−itn·σ
U =e
1
=√
2
1 −1
1 1
Der ideale π-Puls bringt alle Elektronen in den angeregten oder abgeregten Zustand:
π
0 −1
∆=0
t=
⇒
U=
1 0
2Ω
(5.37)
(5.38)
Zur Veranschaulichung der Zustände in einem Zwei-Niveau-System dient der Bloch-Vektor,
der die Komponenten hσi = (v, w, u) hat. Es gilt
u = hσz i = |ψe |2 − |ψg |2
v = hσx i = ψe∗ ψg + ψg∗ ψe
(5.39)
w = hσy i = −i(ψe∗ ψg − ψg∗ ψe )
Der Bloch-Vektor eines reinen Zustandes hat die Länge 1, er bewegt sich auf der Blochkugel mit
Radius 1 um den Koordinatenursprung.
z
1 |ψe | = 1
π-Puls
y
x
-1
u2 + v 2 + w 2 = 1
|ψg | = 1
Abbildung 5.5: Die Bloch-Kugel
Bei einem nicht verstimmten Laser lassen sich die Rabi-Oszillationen so beschreiben:
ψe
− sin(Ωt)
=
ψg
cos(Ωt)
3
(5.40)
In der Praxis hängt die Verstimmung eines Atoms wegen des Doppler-Effekts auch von seinem SchwerpunktsImpuls ab. Bei Zimmertemperatur macht dies einen idealen π/2 Puls in der oben dargestellten Form unmöglich. Für
kalte Atome oder mit bestimmten Tricks lassen sich jedoch solche Pulse mit sehr guter Effizienz herstellen.
72
Das 2-Niveau Modell für Atome
Der Bloch-Vektor ist dann:
Für einen π-Puls, t =
π
2Ω
v
− sin(2Ωt)
w =
0
(5.41)
u
− cos(2Ωt)
beschreibt der Bloch-Vektor einen Halbkreis, siehe Abbildung 5.5.
Interferometrie mit zwei internen Zuständen: ein Beispiel zur Anwendung von π und π/2
Pulsen 2-Niveau-Systeme und Rabi-Oszillationen lassen sich zur Herstellung eines Interferometers verwenden. Die beiden Zustände spielen dabei die Rolle der Interferometer-Arme, die
Rabi-Oszillationen können Strahlteiler und Spiegel realisieren. Anschauliche Darstellung der
Anordnung:
Phasenschieber
|gi
|gi
|ψ0 i
|ei
π
2
|ψ1 i
|ψ2 i
− π2
|ψ3 i
|ψ0 i = |gi =
0
1
|ψ1 i = Uπ/2 |ψ0 i
1
1 −1
0
=√
1
1
1
2
1
−1
=√
1
2
1
⇔ √ (|gi − |ei)
2
iϕ
e
0
|ψ2 i =
|ψ1 i
0 1
1
= √ |gi − eiϕ |ei
2
|ψ3 i = U−π/2 |ψ2 i
1
1
1 1
−eiϕ
√
=√
1
2 −1 1
2
−iϕ
1 1−e
=
1 + eiϕ
2
5.2 Rabi-Oszillationen und Landau-Zener-Übergänge
73
1
|gi 1 + eiϕ + |ei 1 − eiϕ
2
Messe die Anzahl der Atome in |ei:
⇔
Pe = |hψ3 |ei|2
1
2 1
iϕ
= 1 − e = (1 − cos ϕ)
2
2
5.2.1
Landau-Zener-Übergänge
Landau-Zener-Übergänge sind nicht so wichtig wie Rabi-Oszillationen, spielen aber eine große
Rolle zur Erklärung vieler Phänomene. Wesentlicher Unterschied zu Rabi-Oszillationen: Das
˙ 0t
Detuning ist zeitabhängig ∆ = ∆(t) = ∆
!
˙
− ∆20 t Ω
H=~
˙0
∆
Ω
t
2
wobei wir in der Rotating Wave Approximation arbeiten und Ω ∈ R annehmen.
Bewegungsgleichung:
1˙
iψ̇e = − ∆
0 tψe + Ωψg
2
1˙
iψ̇g = ∆
0 tψg + Ωψe
2
(5.42)
Leite die Gleichung für ψ̇g nach der Zeit ab und erhalte
1˙
1˙
iψ̈g = ∆
0 ψg + ∆0 tψ̇g + Ωψ̇e
2
2
Einsetzen von (5.42) liefert
˙2
t2 ∆
i ˙
0
ψ̈g = − Ω2 +
+ ∆
0
4
2
!
ψg
p
˙0
Führe neue Variable y ≡ t ∆
⇒
ψg00
=−
y2
Ω2
i
+
+
˙0 2
4
∆
ψg
Das ist die Standard-Form der DGL für parabolische Zylinderfunktionen (siehe [16]).
Die Lösungen lassen sich durch konfluente hypergeometrische Funktionen darstellen und
haben typischer weise folgendes Aussehen für ψg (−∞) = 1 :
74
Das 2-Niveau Modell für Atome
Die asymptotische Anregungewahrscheinlichkeit P0 (+∞) kann analytisch berechnet werden
und lautet:
2
−π Ω
P0 (+∞) = 1 − |ψg (+∞)|2 = 1 − e 2∆˙ 0
Landau-Zener-Übergänge sind in verschiedenen Bereichen wichtig. Die ursprüngliche Anwendung liegt in der Molekülphysik:
• Das Licht mit der Frequenz ωL ist nur für einen bestimmten Kernabstand R0 resonant.
• Die Zeitentwicklung der Elektronenzustände wird mit den Zuständen |e(R)i, |g(R)i beschrieben und ist viel schneller als die Kernbewegung (wegen Mp Me )
• Der Kernabstand geht dann als (langsam zeitlich variierender) Parameter in die Bewegungsgleichungen der Elektronen ein:
ψ̇e
−∆E(R(t))/2
Ω
ψe
i~
=
Ω
∆E(R(t))/2
ψg
ψ̇g
5.3 Dressed States
75
• In der Nähe von R0 gilt ∆E(R(t)) = Ee − Eg ≈ ∆E(R0 ) +E 0 (R − R0 )
| {z }
| {z }
≈v0 t
~ωL
⇒ ∆(t) = ωL − ∆E(R(t))/~ = −E 0 v0 t/~
Landau-Zener-Übergänge sind auch wichtig für STIRAP und Bloch-Oszillatoren.
5.3 Dressed States
Dressed States heißen allgemein Zustände, die Eigenzustände von H einschließlich der Wechselwirkung mit einer oder wenigen Lichtmoden sind. Einfachster Fall: Wechselwirkung mit einem
Laserstrahl wie oben
Hψ = Eψ
∆
−2 Ω
H=~
Ω∗ ∆2
Die Eigenwerte dazu sind
s
E± = ±~w = ±~
ψ (±)
1
=√
2w
∆
2
2
+ |Ω|2
√ Ω
p w±∆/2
± w ± ∆/2
!
Asymptotischer Fall, das heißt ∆ |Ω|. Verwende
s
!
|∆|
|Ω|2
|∆|
1 |Ω|2
w=
1+ 2 ≈
1+
+ ...
2
∆ /4
2
2 ∆2 /4
76
Das 2-Niveau Modell für Atome
ψe(+)
ψe(−)
0 ∆→∞
1 ∆ → −∞
1 ∆→∞
0 ∆ → −∞
→
→
Man nennt dieses Phänomen “avoided crossing”: Für Ω = 0 sind die Eigenzustände ψe und ψg .
Ihre Eigenwerte kreuzen sich dann bei ∆ = 0. Die Kopplung durch den Laserstrahl für Ω 6= 0
macht daraus zwei sich nicht schneidende Hyperbeln mit Energieabstand 2~ |Ω|.
Bemerkenswert: Folgt man einer Hyperbel, so geht man auf E− von ψg nach ψe und auf E+
von ψe nach ψg . Man kann für zeitabhängige ∆(t) einen Übergang von ψg nach ψe machen, ohne
je einen Eigenvektor von H(t) verlassen zu müssen.
Dies hängt eng mit Landau-Zener-Übergängen zusammen: Tunneln zwischen E− und E+
entspricht den nicht angeregten Atomen. Bei einem (Landau-Zener-) Übergang versucht der Zustand jedoch auf einer Hyperbel zu bleiben.
Man kann die asymptotische Übergangswahrscheinlichkeit auch mit Hilfe des Tunnelns zwischen den zwei Hyperbeln verstehen. Nach der WKB-Näherung (siehe z.B. [17]) kann die Tunnelwahrscheinlichkeit zur anderen Hyperbel durch P = e−∆Et/~ mit ∆E
= 2 |Ω| ausgedrückt
~
werden. Die typische Zeitskala t für das Tunneln ist in etwa dadurch gegeben, dass der Abstand
zwischen den Hyperbeln auf 4 |Ω| angestiegen ist
2
∆(t)
2
⇔ 4 |Ω| =
+ |Ω|2
2
˙ 0 t ≈ 4 |Ω|
⇒∆=∆
⇒t=
−
⇒P =e
5.3.1
4 |Ω|
˙0
∆
2|Ω|4|Ω|
˙
∆
0
−
=e
8|Ω|2
˙
∆
0
Dressed States in einer Cavity
Weitaus häufiger verwendet man den Begriff dressed states für ein quantisiertes Strahlungsfeld.
Die Form des Zwei-Niveau-Hamiltonians kann genauso wie vorher hergeleitet werden. Einziger
Unterschied: die Rabi-Frequenz wird operator-wertig:
b (+) (x)
b = 1 deg · E
Ω
~
Daraus folgt der Hamilton-Operator zu:
h
i
~ω0
b
b
H=
σz − deg · E(x)
|ei hg| + d∗eg · E(x)
|gi he| + Hrad
2
Dieses transformieren wir über
U = e−i
ω0
σ t
2 z
e−i
Hrad t
~
(5.43)
(5.44)
(5.45)
5.3 Dressed States
77
wieder in das Wechselwirkungsbild:
h
i
b
Hint = − deg |ei hg| eiω0 t + d∗eg |gi he| e−iω0 t · E(x,
t)
(5.46)
Dabei gilt:
Z
b
E(x,
t) = i
s
d3 k
~ωk
eikx e−iωk t εkσ akσ + h. c.
2(2π)3 ε0
X
σ
(5.47)
Veranschaulichen wir uns die Terme |ei hg| akσ und |ei hg| a†kσ :
Abbildung 5.6: Der Term auf der rechten Seite ist in gewisser Weise unphysikalisch und wird in
der RWA vernachlässigt
Die RWA vernachlässigt also die Prozesse Absorption & Abregung sowie Emission & Anregung.
Gehen wir (in RWA) wieder in das Schrödinger-Bild:
HSchroed
~ω0
σz +
=
2
Z
3
dk
X
~ωk a†kσ akσ
Z
+~
d3 k
σ
Xh
|ei hg| akσ gkσ + H. c.
i
(5.48)
σ
wobei gkσ gegeben ist durch:
gkσ = −ideg · εkσ
r
ωk
eikx
2~(2π)3 ε0
(5.49)
Besonders oft studiert wurde das Modell mit nur einer Photon-Mode, das sog. Jaynes-CummingsModell. Für dieses ergibt sich aus Gleichung (5.48)
ω
0
†
+
∗ − †
H=~
σz + ωL a a + gσ a + g σ a .
(5.50)
2
Hierbei ist σ ± definiert durch:
+
σ =
0 1
0 0
Dieses Modell ist sinnvoll für den Fall, dass
−
σ =
0 0
1 0
(5.51)
78
Das 2-Niveau Modell für Atome
• nur eine Mode besetzt ist (na nkσ ), also im wesentlichen für einen klassischen Laserstrahl
• nur eine Mode in einer Cavity resonant ist.
In der Cavity-Quantenelektrodynamik sind in den letzten 15 Jahren große Fortschritte gemacht worden. Die grundlegende Idee kann an einer idealen Cavity erläutert werden, die aus
einem Hohlraum besteht, dessen Wände ideale Spiegel sind. Diese Wände sorgen für Randbedingungen an das elektrodynamische (Quanten-)Feld, wodurch im wesentlichen nur Moden mit
der Wellenlänge λn = 2L/n zugelassen sind. Deren Frequenzen ωn = 2πc/λn ∝ n sind diskret
und sind nur für ωn ≈ (Ee − Eg )/~ mit dem atomaren Übergang resonant, so dass nur Moden für ein bestimmtes n berücksichtigt werden müssen. Um die Größenordnungen zu nennen:
bei Mikrowellen benutzt man Resonatoren der Länge L ≈ 1 cm mit n ≈ 1, bei Licht dagegen
Resonatoren der Länge L ≈ 1 − 10 cm und n ≈ 106 1.
Reale Cavities sind nie ideal. Ein Maß für die Güte ist der Qualitätsfaktor Q, der die Anzahl
der Durchläufe eines Photons angibt, bis dieses statistisch verloren ist. Für sehr gute Cavities
erreicht man Q ≈ 106 . Dabei ist nur eine Polarisationsrichtung resonant, da die Spiegel immer
aus doppelbrechendem Material sind.
In einer 3d-Cavity wird auch die spontane Emission modifiziert, da das Atom nur in bestimmte Moden emittieren und die emittierten Photonen wieder absorbieren kann.
Dressed States in einer Cavity sind allgemein darstellbar durch
X
|ψi =
ψe (n) |e, ni + ψg (n) |g, ni
(5.52)
n
Wir suchen die Eigenwerte von H |ψi = E |ψi. Dies führt uns zu dem Gleichungssystem:
√
~ω0
(E +
− n~ωL )ψg (n) = ~g ∗ nψe (n − 1)
(5.53)
2
√
~ω0
− (n − 1)~ωL )ψe (n − 1) = ~g ∗ nψg (n)
(E −
(5.54)
2
wobei wir für die untere Gleichung ψe (n − 1) wählen, da dieses an ψg (n)
√koppelt. (Anregung
geschieht durch Absorption eines Photons!). Mit den Ersetzungen Ωn := g n und ∆ = ωL − ω0
können wir dieses Gleichungssystem auch schreiben als:
ψ (n − 1) − ∆ Ω ψ (n − 1)
1
1
e
n
e
2
E − n − ~ωL
=
(5.55)
∆
∗
ψ
(n)
ψg (n)
Ω
~
2
g
n
2
Diese Gleichung ist dieselbe wie beim klassischen EM-Feld. Daher können wir die Eigenwerte
sofort ablesen zu:
s 2
1
∆
En,± = n − ~ωL ± ~
+ |Ωn |2
(5.56)
2
2
Die Energien hängen hängen also von n ab, das bedeutet, dass bei einer Superposition von
Zuständen mit verschiedenen n die einzelnen Phasenfaktoren (e−iEn,± t/~ ) auseinanderlaufen.
Dies führt wegen destruktiver Interferenz zu Collapse and Revival der Anregungswahrscheinlichkeit.
Literatur: [5], [6]
5.4 Modelle mit wenigen Niveaus, Dunkelzustände, Raman-Übergänge
5.4
79
Modelle mit wenigen Niveaus, Dunkelzustände, RamanÜbergänge
Am Gebräuchlichsten ist das Drei-Niveau-Modell. Um zu solch einem System zu gelangen, muss
man Laser geeignet einstrahlen. Das schematische Beispiel zeigt Übergänge von J = 1 nach
J 0 = 1. Hierbei ist der Übergang von J 0 nach J mit m = m0 = 0 verboten. Durch Einstrahlen
von σ+ und σ− -Licht kann man daher das Niveau m = 0, J = 1 entvölkern und erhält ein sog.
Λ-System aus den Zuständen |J = 1, m = ±1i und |J 0 = 1, m0 = 0i.
Abbildung 5.7: Die Vektoren bezeichnen die Übergänge, die durch σ± -Licht angeregt werden.
Die gewellten Linien zeigen zusätzliche mögliche Abregungen durch spontane Emission auf.
Der Hamilton-Operator dieses Systems in RWA ist:
Ee
~Ω+ e−iω+ t ~Ω− e−iω− t
E+
0
H = ~Ω∗+ eiω+ t
∗ iω− t
~Ω− e
0
E−
−iω+ t
0
~Ω+ e
~Ω− e−iω− t
E+ − Ee
0
= Ee 1 + ~Ω∗+ eiω+ t
~Ω∗− e−iω− t
0
E− − Ee
(5.57)
Wir führen wieder eine Transformation durch, um die Zeitabhängigkeit zu entfernen:
ψe± = e−iω± t ψ±
(5.58)
Dies führt zu dem zeitunabhängigen Hamiltonian
0 Ω + Ω−
H = ~ Ω∗+ ∆+ 0 + Ee 1
Ω∗− 0 ∆−
wobei wir ∆± = ω± −
5.4.1
Ee −E±
~
(5.59)
gesetzt haben.
Dunkelzustände (Dark States)
Betrachte den Fall der Zwei-Photonen-Resonanz: ∆+ = ∆− , dabei bedeutet ∆± 6= 0, dass
einzelne Photonen nicht resonant mit den Übergängen |±i → |ei sind. Bei der Zwei-PhotonenResonanz hat man aber ~(ω+ − ω− ) = E− − E+ . Das folgt direkt aus ∆+ = ∆− wegen
~ω+ − Ee + E+ = ~ω− − Ee + E−
80
Das 2-Niveau Modell für Atome
Ist die Bedingung der Zwei-Photonen-Resonanz gegeben, so existiert ein Eigenzustand des
Hamiltonians, der Dunkelzustand genannt wird:
|ψD i =
Ω−
Ω+
|+i −
|−i
Ω
Ω
(5.60)
q
mit Ω := |Ω− |2 + |Ω+ |2 . Die Wirkung des Hamiltonians auf diesen Zustand ist
0 Ω + Ω−
0
H |ψD i = ~ Ω∗+ ∆+ 0 Ω− /Ω
Ω∗− 0 ∆−
−Ω+ /Ω
Ω+ Ω− Ω− Ω+
0
− Ω2
Ω2
∆+ Ω−
= ~∆ Ω−
= ~
Ω
Ω
Ω+
−∆− Ω+
−
Ω
Ω
falls ∆+ = ∆− = ∆. Also ist im Fall der Zwei-Photonen-Resonanz |ψD i ein Eigenzustand von
H, der keine angeregte Komponente hat. Die Anregungswahrscheinlichkeit ist null, die Atome
sind für dieses (!) Lichtfeld transparent. 4 Die Übergangsamplituden interferieren destruktiv.
Einfacher Spezialfall: Ω+ = 0 ⇒ |ψD i = |+i
Ändert man die Rabi-Frequenzen, so kann |ψD i angeregt werden. Zu |ψD i gibt es auch einen
entsprechenden gekoppelten Zustand, den Bright State:
Ω∗+
Ω∗−
|ψB i =
|+i +
|−i
Ω
Ω
(5.61)
Für diesen gilt H |ψB i = Ω |ei + ∆ |ψB i
|ψD i und |ψB i bilden eine alternative Basis zu |+i, |−i. Spontane Emission transferiert im
Allgemeinen |ei sowohl in |ψD i als auch |ψB i, da der Dunkelzustand nur für die Photonen der
beiden Laserstrahlen dunkel ist und an andere Lichtmoden koppeln kann:
|ei
Ω
|ψD i |ψB i
4
Dies gilt auch, wenn keine Zwei-Photonen-Resonanz vorliegt.
5.4 Modelle mit wenigen Niveaus, Dunkelzustände, Raman-Übergänge
81
Das kann zum Pumpen in |ψD i verwendet werden (siehe Kapitel über Laserkühlung). Für
∆+ 6= ∆− ist |ψD i kein Eigenzustand des Hamiltonians mehr und entwickelt sich mit der Zeit
zu |ψB i, von dem aus das Atom angeregt werden kann. Der Pumpzyklus funktioniert dann nicht
mehr.
Die anschauliche Bedeutung der Dunkelzustände kann man am Beispiel eines Überganges
mit Jg = Lg = 1 nach Je = Le = 0 verstehen. Dieses Beispiel ist zwar nicht besonders
realistisch, da für die meisten Grundzustände der Bahndrehimpuls Lg verschwindet, es erlaubt
aber, den Mechanismus hinter Dunkelzuständen im Kern zu verstehen. 5 Betrachten wir dazu
die Form der elektronischen Zustände |ei = |Le = me = 0i und |mi = |Lg = 1, mg = mi im
Ortsraum. Schreibt man die Relativkoordinate des Elektrons in sphärischen Koordinaten,
r sin ϑ cos ϕ
x = r sin ϑ sin ϕ
r cos ϑ
so ergibt sich für die Zustände
hx| − 1i = Y1,−1 (ϑ, ϕ)rfg (r)
= re−iϕ sin ϑfg (r) = (x − iy)fg (r)
hx|0i = r cos ϑfg (r)
= zfg (r)
hx|1i = (x + iy)fg (r)
hx|ei = Y0,0 fe (r)
= fe (r)
Damit lassen sich die Matrixelemente des Dipolmoments −ex wie folgt berechnen:
de,−1 = he| − ex |−1i
Z
x
= −e d3x fe∗ f−1 (r)(x − iy) y
z
2
Z
x − ixy
= −e d3x fe∗ f−1 (r) xy − iy 2
xz − iyz
aus Symmetriegründen x → −x0 oder y → −y 0 folgt
x2
d3x fe∗ (r)f−1 −iy 2
0
Z
de,−1 = −e
5
In realistischen Atomen hat man z.B. Lg = 0, S = 1, Le = 1 so dass Jg = 1 und Je = 0 für eine ΛKonfiguration. Obwohl hierbei die Bahndrehimpulse genau umgekehrte Werte als in unserem Beispiel haben, sorgen
die Auswahlregeln dafür, dass die folgenden Argumente auch auf diesen Fall übertragen werden können.
82
Das 2-Niveau Modell für Atome
R
R
Da wiederum aus Symmetriegründen f (r)x2 = f (r)y 2 gilt, findet man de,−1 ∼ (1, −i, 0).
Analog kann man zeigen, dass de,1 ∼ (1, i, 0) und de,0 ∼ (0, 0, 1) gilt.
Betrachten wir nun als Beispiel den Fall, dass linear in x-Richtung polarisiertes Licht eingestrahlt wird. Wir haben also E ∼ ex . Wegen
√
1
1
ε+ + ε− = √ (ex + iey ) + √ (ex − iey ) = 2ex
2
2
ist dies äquivalent dazu, dass wir links- und rechtszirkular polarisiertes Licht mit gleicher Intensität einstrahlen. Für die zugehörigen Rabi-Frequenzen ergibt sich
1
1
1
i
0 =1
⇒ Ω+ = de,+1 · E ∼
·
~
0
0
1
1
1
−i
0 =1
Ω− = de,−1 · E ∼
·
~
0
0
⇒ Ω+ = Ω −
Die Rabi-Frequenzen sind also gleich, so dass sich der Dunkelzustand (5.60) zu
1
|ψD i = √ (|+1i − |−1i)
2
ergibt. Die Ortsdarstellung dieses Zustandes ist
1
ψD (x) = √ (ψ+1 (x) − ψ−1 (x))
2
1
= √ {(x + iy) fg (r) − (x − iy) fg (r)}
2
√
= 2iyfg (r)
(5.62)
⇒ψD ist antisymmetrisch in y-Richtung, es entspricht einer Hantel entlang y (da es ein p-Zustand
ist):
x P-Hantel
-
+
y
Jetzt wo wir wissen, wie der Dunkelzustand räumlich aussieht, können wir uns die Wechselwirkung des Atoms mit dem Lichtfeld näher anschauen. Die klassische Wechselwirkung eines
elektrischen Feldes mit einem Atom besteht darin, dass positive und negative Ladungen gegeneinander verschoben werden, und zwar entlang der Richtung von E:
5.4 Modelle mit wenigen Niveaus, Dunkelzustände, Raman-Übergänge
+
E=0
83
+
E 6= 0
Die anfänglich symmetrische Ladungsdichte des Atoms wird dabei asymmetrisch. In der
Quantenmechanik ergibt sich ein ähnliches Bild. E erzeugt dann eine Superposition von |ei und
|gi. In unserem Beispiel ist |ei symmetrisch im Ortsraum und alle drei Grundzustände antisymmetrisch. 6 Die Superposition ist im Allgemeinen asymmetrisch.
Die Ladungsdichte der Elektronen ist gegeben durch %(x) = −e|ψ(x)|2 . Sie ist symmetrisch sowohl für den reinen angeregten Zustand |ei als auch für die drei Grundzustände. Erst die
Superposition erzeugt eine asymmetrische Ladungsverteilung:
Die Superposition der Zustände ist also die quantenmechanische Beschreibung der Tatsache,
dass die Ladungen im elektrischen Feld gegeneinander verschoben werden.
Für normale Atome findet man für jeden Laserstrahl und sein zugehöriges elektrisches Feld
einen p-Zustand, mit dessen Hantel man durch Superposition eine entlang der elektrischen Feldrichtung verschobene Ladungsverteilung erzeugen kann. Bei einem Dunkelzustand geht das
nicht: in unserem Beispiel zeigt das elektrische Feld entlang der x-Achse, der Dunkelzustand
(5.62) ist aber antisymmetrisch in y-Richtung. Sind die Atome also im Dunkelzustand präpariert,
so kann das elektrische Feld ihre Ladungsdichte nicht in x-Richtung verschieben.
6
Es sei noch einmal darauf hingewiesen, dass dies genau umgekehrt ist, wie es bei Atomen normalerweise der
Fall ist.
84
Das 2-Niveau Modell für Atome
5.4.2 Raman-Übergänge
Betrachte die Zeitentwicklung der Zustände mit
0 Ω + Ω−
H = ~ Ω∗+ ∆+ 0
Ω∗− 0 ∆−
(5.63)
⇒ iψ̇e = Ω+ ψ+ + Ω− ψ−
iψ̇± = ∆± ψ± + Ω∗± ψe
Ansatz: ψ± = e−i∆± t ψ̃± ⇒
iψ̇e = Ω+ e−i∆+ t ψ̃+ + Ω− e−i∆− t ψ̃−
iψ̃˙ ± = Ω∗± ei∆± t ψe
(5.64)
(5.65)
Wegen |ψe | ≤ 1 ergibt sich daraus, dass |ψ̃˙ ± | ≤ |Ω± | gilt. Die formale Lösung für ψe lautet
Z t
n
o
0
−i∆+ t0
0
−i∆− t0
0
ψe (t) = ψe (0) −i
dt Ω+ e
ψ̃+ (t ) + Ω− e
ψ̃− (t )
(5.66)
| {z }
0
≡0
Betrachte den Fall großer
Verstimmungen: |∆± | |Ω± |. In diesem Fall variiert ψ̃± (t) langsam
−i∆± t
gegenüber e
, da ψ̃˙ ± ≤ |Ω± | |∆± |. Man kann daher unter dem Integral ψ̃± (t0 ) ≈ ψ̃± (t)
setzen und nur über die schnell variierenden Terme integrieren. Damit folgt
Ω+ −i∆+ t
Ω− −i∆− t
ψe (t) ≈
e
− 1 ψ̃+ (t) +
e
− 1 ψ̃− (t)
∆+
∆−
Einsetzen in Gl. (5.65) ergibt
Ω+ −i∆+ t
Ω− −i∆− t
˙
∗ i∆± t
iψ̃± = Ω± e
e
− 1 ψ̃+ (t) +
e
− 1 ψ̃− (t)
∆+
∆−
oder ausmultipliziert für eine Komponente
Ω∗ Ω− i(∆+ −∆− )t
|Ω+ |2
iψ̃˙ + =
1 − ei∆+ t ψ̃+ (t) + +
e
− ei∆+ t ψ̃− (t)
∆+ | {z }
∆− |
{z
}
≈1
≈ei(∆+ −∆− )t
wobei schnell variierende Terme sich wegmitteln und deshalb gegenüber langsamen Termen
vernachlässigt werden können. 7 Zusammengefasst kann man daher eine effektive Zwei-NiveauGleichung für die beiden Grundzustände formulieren:
∂
ψ̃+
ψ̃+
i~
= Heff
(5.67)
ψ̃−
∂t ψ̃−
7
Im Gegensatz dazu hatten wir in Gl. (5.65) ausschließlich schnell variierende Terme, so dass wir sie dort nicht
vernachlässigen durften.
5.4 Modelle mit wenigen Niveaus, Dunkelzustände, Raman-Übergänge
mit
Heff = ~
|Ω+ |2
∆+
−i(∆+ −∆− )t
Ω∗− Ω+
e
∆+
Ω∗+ Ω− i(∆+ −∆− )t
e
∆−
|Ω− |2
∆−
85
!
(5.68)
Der stets nur schwach besetzte angeregte Zustand tritt hier nicht mehr auf. Man nennt dies adiabatische Eliminierung des angeregten Zustandes.
Die Matrixelemente von Heff sind proportional zu Ω2 /∆. Dieser Ausdruck kann auch für kleine Anregungswahrscheinlichkeiten Pe = Ω2 /∆2 groß sein. Aus dieser Tatsache folgt die große
praktische Bedeutung von Raman-Übergängen, denn eine geringe Anregungswahrscheinlichkeit
bedeutet, dass spontane Emission und der damit verbundene Kohärenzverlust der Wellenfunktion stark unterdrückt ist. Man kann daher Atome mit Raman-Übergängen kohärent manipulieren.
Die Zeitskala des Kohärenzverlustes (Dekohärenz) ist die Anregungwahrscheinlichkeit multipliziert mit der spontanen Emissionsrate, γPe . Typisches Zahlenbeispiel: Ω = 109 Hz, γ = 107 Hz,
∆ = 1010 Hz. Damit folgt Ω2 /∆ = 108 Hz und γPe = 105 Hz.
Die effektive Rabi-Frequenz
Ω∗ Ω−
Ωeff := +
(5.69)
∆
bestimmt die Kopplung zwischen den beiden Grundzuständen. Hierbei ist der Index ± an der
Verstimmung bewusst weggelassen worden, denn es ergibt sich folgendes Problem.
Heff ist nicht mehr hermitesch, da im Allgemeinen ∆− 6= ∆+ ist. Warum kann man diesen
Operator dennoch verwenden? Der Grund liegt darin, dass die adiabatische Entwicklung des
angeregten Zustands
ψe =
Ω−
Ω+
ψ̃+ e−i∆+ t − 1 +
ψ̃− e−i∆− t − 1
∆+
∆−
(5.70)
als Entwicklung von ψe nach Potenzen von ∆1± angesehen werden kann. ψe ist korrekt bis zur
ersten Ordnung in ∆1± , sofern alle Frequenzen Ω± , ∆+ − ∆− ∆± sind. Daher muss man
folgende Entwicklung machen:
1
1
=
∆−
(∆− − ∆+ ) + ∆+
1
1
≈
− 2 (∆− − ∆+ ) + . . .
∆+ ∆+
1
1
=
+ O(( 2 ))
∆+
∆+
(5.71)
(5.72)
Heff ist also hermitesch bis zur ersten Ordnung in ∆1± . Führt man nun die effektive Rabi-Frequenz
nach (5.69) ein, so kann man Heff durch
∗
Ωeff ei(∆+ −∆− )t
Heff = ~
(5.73)
Ω∗eff e−i(∆+ −∆− )t
∗
darstellen. Dieser Hamiltonian ist analog dem des Zwei-Niveau-Systems.
86
Das 2-Niveau Modell für Atome
5.5
Adiabatisches Theorem, STIRAP
Die STImulated Rapid Adiabatic Passage ist eine Methode, Dunkelzustände und Raman-Übergänge
hocheffizient miteinander zu kombinieren. Sie benutzt das
Adiabatische Theorem: Gegeben sei ein zeitabhängiger Hamiltonian H(t) mit Eigenzuständen
|n(t)i, H(t) |n(t)i = En (t) |n(t)i. Ein Zustand |ψ(t)i folgt adiabatisch dem Zustand |n(t)i, falls
H(t) (unendlich) langsam variiert (Ḣ/H −→ 0). Dann gilt:
|ψ(t)i = eiφ(t) |n(t)i
(5.74)
Den exakten Beweis führen wir an dieser Stelle nicht, aber der Satz soll im Folgenden motiviert werden:
Zu lösen ist i~∂t |ψ(t)i = H(t) |ψ(t)i mit |ψ(0)i = |n(0)i. Dazu macht man den Ansatz
X
|ψ(t)i =
cn (t) |n(t)i
(5.75)
n
Dies in die Schrödinger-Gleichung eingesetzt ergibt:
X
i~∂t |ψi = i~
{ċn |ni + cn |ṅi}
n
= H |ψi
X
En (t)cn (t) |n(t)i
=
(5.76)
n
Multipliziert man diese Gleichung von links mit hm(t)|, so ergibt sich unter der Voraussetzung hm(t)|n(t)i = δnm :
iċm + i
X
cn hm|ṅi =
n
Em
cm
~
(5.77)
Ansatz für die Koeffizienten cm (t) :
Z t
0
0
cm (t) = exp −i
dt Em (t )/~ · c̃m (t)
(5.78)
0
Es ergibt sich für c̃˙m :
c̃˙m = −
X
n
Z
c̃n hm|ṅi exp −i
t
0
0
0
dt (En (t ) − Em (t ))/~
(5.79)
0
R
Variiert H langsam, so wird hm|ṅi klein gegen den Phasenfaktor (Em − En ), falls m 6= n.
Man kann dann diese Terme vernachlässigen und erhält:
c̃˙m ≈ − hm|ṁi c̃m
(5.80)
5.5 Adiabatisches Theorem, STIRAP
87
Wegen
hm|ṁi = − hṁ|mi = −(hm|ṁi)∗
folgt, dass hm|ṁi = iα(t) eine rein komplexe Zahl sein muss. Somit gilt:
Z t
0
0
c̃m (t) = exp −i
α(t )dt
(5.81)
(5.82)
0
R
Anmerkung: die Phase α(t)dt wird Berry-Phase genannt und hat eine geometrische Bedeutung: im Hilbertraum bekommt man, wenn man einen geschlossenen Weg langsam oder schnell
durchläuft, immer dieselbe Phasendifferenz, da die Berry-Phase invariant unter einer Reparametrisierung der Zeit ist.
5.5.1 Anwendung des adiabatischen Theorems auf Dunkelzustände
|ψD i =
Ω−
Ω+
|+i −
|−i
Ω
Ω
(5.83)
mit
Ω=
p
|Ω+ |2 + |Ω− |2
(5.84)
Mache die Rabi-Frequenzen zeitabhängig und verändere sie adiabatisch, Ω± = Ω± (t). Dies
führt dann zu:
|ψD i = |ψD (T )i
(5.85)
Falls der Anfangszustand der Atome durch |ψ(0)i = |ψD (0)i gegeben ist, dann folgt |ψ(t)i
adiabatisch dem Dunkelzustand, |ψ(t)i = |ψD (T )i. Genau dies ist das Prinzip von STIRAP. Man
kann dadurch Atome mit hoher Effizienz zwischen den beiden Grundzuständen transferieren. Im
Einzelnen macht man das wie folgt:
Abbildung 5.8: Links Anfangsszustand, rechts Endzustand. Der Kreis markiert den Dunkelzustand
• |ψ(0)i = |−i = |ψD i mit Ω− (0) = 0
• Verändere Ω+ und Ω− so, dass Ω+ (t1 ) = 0
88
Das 2-Niveau Modell für Atome
• Dann ist |ψ(t1 )i = |+i = |ψD (t1 )i mit Ω+ (t1 ) = 0.
Diese Abfolge entspricht einer kontraintuitiven Abfolge von Laserpulsen, bei der zuerst der
nicht koppelnde Laserstrahl angeschaltet wird.
Abbildung 5.9: Der erste Puls entspricht Ω+ , der zweite Ω− .
Die STIRAP hat eine maximale Effizienz von 99% und darüber. Dabei bleiben die Atome
immer in einer Superposition von |−i und |+i (|ψD i), obwohl die Zustände |+i und |−i nur
über |ei gekoppelt sind. Im Idealfall findet ein Transfer von |−i nach |+i statt, ohne dass die
Atome jemals angeregt sind.
Kapitel 6
Atomoptik
Die Atomoptik behandelt allgemein die kohärente Propagation atomarer Materiewellen. Hauptaugenmerk wird also auf Schwerpunktbewegung der Atome gelegt. In dieser Vorlesung wird der
Einfluß von Licht auf die Schwerpunktbewegung behandelt.
6.1
Grundlegendes Prinzip
In Kap. 3 behandelten wir, dass der vollständige atomare Hamiltonian aus Relativ- und Schwerpunktbewegungsbeiträgen besteht:
H=
X
p2
+
En |ni hn|
2M
n
{z
}
|
(6.1)
=H0
wobei H0 die Relativbewegung der Elektronen berschreibt (|ni = 1s, 2p . . .), p der Schwerpunktimpulsoperator und M die Gesamtmasse des Atoms ist.
Die Kopplung an ein elektromagnetisches Feld ist in der Dipolnäherung nach Abschnitt 4.3
gegeben durch:
1
Hint = − d · D(x) − µ · B(x)
(6.2)
ε0
Dabei sind d, µ Operatoren, die auf die Relativbewegung wirken, x ist der Schwerpunkt des
Atoms. Die Heisenbergschen Bewegungsgleichungen liefern:
i
1
ẋ = − [x, H + Hint ] =
P
~
M
(6.3)
i
1
Ṗ = − [P , Hint ] = ∇{− d · D(x) − µ · B(x)}
~
ε0
(6.4)
Inhomogene Felder ändern also die Schwerpunktbewegung. Dabei hängt die Änderung vom
inneren Zustand ab (z.B. Stern-Gerlach)
90
Atomoptik
Besonders intuitiv zu verstehen ist die Absorption/Emission einzelner Photonen mit Polarisation ε und Wellenvektor k. Der Photonenimpuls ergibt sich zu:
pγ = ~k
(6.5)
|p, gi ⊗ |1k i −→ |p + ~k, ei ⊗ |0i
(6.6)
Aus der Impulserhaltung folgt:
Beispiel:
laufende Laser-Welle mit Wellenvektor kL
E = E 0 eikL x
Hint = −d · E(x)
(6.7)
Hieraus ergibt sich
deg · E
= Ω0 eikL x
~
Für ein Zwei-Niveau-System gilt dann:
p2
−~∆
0
Ω0 eikL x
H=
1+
+~
0
Ω0 e−ikL x
0
2M
Ω=−
(6.8)
(6.9)
Man verwendet folgende Zusammenhänge
Z
|ψe i =
d3 p |pi ψe (p) , analog |ψg i
(6.10)
mit eikL x |pi = |p + ~kL i
(6.11)
Die letzte Gleichung erhält man am einfachsten, wenn man die Orstdarstellung der Impulseigenzustände verwendet: hx|pi ∝ exp(ip · x/~). Man setzt dies in die Schrödinger-Gleichung ein
|ψe i
|ψe i
i~∂t
=H
(6.12)
|ψg i
|ψg i
und erhält:
i~∂t
ψe (p + ~kL )
=
ψg (p)
h
i
(p+~kL )2
− ~∆
2M
2
p
ψ (p)
2M g
ψe (p + ~kL ) + ~Ω0 ψg (p)
+ ~Ω∗0 ψe (p + ~kL )
ψe (p + ~kL )
Das ist nun wieder ein 2-Niveau-System der Form
.
ψg (p)
Wichtig: der Impulsübertrag ändert die Verstimmung:
(p + ~kL )2
p2
Ẽe − Ẽg =
− ~∆ −
2M
2M
2 2
~
~ kL
= −~∆ + p · kL +
M
2M
!
(6.13)
(6.14)
6.2 Atom-Interferometrie
91
Hieraus erkennt man, wenn man v =
1
p
M
anwendet und einmal durch −~ dividiert:
~k2L
(6.15)
2M
Hierbei ist −v · kL die Doppler-Verschiebung der Laserfrequenz im Ruhesystem des Atoms,
~k2L
stellt den recoil-shift (Rückstoßverschiebung) dar.
2M
∆(v) = ∆ − v · kL −
6.2
Atom-Interferometrie
Atom-Interferometrie wird seit 1991 (Carnal & Mlynek [38]) betrieben. Wir beschäftigen uns
hier nur mit Interferometern, die Lichtstrahlen als Atomstrahlteiler verwenden.
Das Grundprinzip ist allen Licht-Atom-Interferometern gleich: Licht wird verwendet, um Atome
zu kicken“.
”
6.2.1
Ramsey-Bordé-Interferometer (Bordé 1988, Riehle 1991)
|e, p + ~ki
|g, pi
|e, p − ~ki
t
|g, pi
T
k
π
2
0
T
T
0
−k
k
− π2
π
2
−k
− π2
Abbildung 6.1: Das Atom-Interferometer von Ramsey und Bordé
Die Atome ändern also nicht nur ihren internen Zustand sondern auch ihren Impuls. Sie
durchlaufen in diesem Interferometer (siehe Abbildung 6.1) also räumlich unterschiedliche Bahnen [36, ?]. Tatsächlich wurde ein solcher Aufbau auch schon vor 1991 verwendet, allerdings
nicht zur Interferometrie, sondern als Spektrometer.
Funktionsweise:
1. Der erste Laserstrahl bewirkt einen idealen
π
2
Puls mit Impulsübertrag ~k,
1
|g, pi → √ (|g, pi + |e, p + ~ki) = |ψ1 i
2
92
Atomoptik
2. Freie Propagation für die Zeit T 0 ,
1
|ψ1 i → √ (|g, pi + |e, p + ~ki exp(i∆E(p, k)T 0 /~)) = |ψ2 i
2
mit ∆E(p, k) = Ee − Eg +
~2 k 2
2M
+
~
p
M
·k
3. Der zweite Laserstrahl bewirkt einen idealen π2 Puls mit Impulsübertrag ~k,
1
i∆E(p,k)T 0 /~
i∆E(p,k)T 0 /~
|ψ2 i →
|g, pi (1 − e
) + |e, p + ~ki (1 + e
) = |ψ3 i
2
Die Abhängigkeit ∆E(p, k) vom atomaren Impuls verhindert, dass bereits das Signal nach dem
zweiten Laserpuls sinnvoll für die Interferometrie verwendet werden kann. Der Grund ist, dass
Atome mit unterschiedlichem Impuls verschiedene Phasenverschiebungen erfahren und somit
das Gesamtsignal verwaschen wird. Um dieses Problem zu lösen, verwendet man das zweite Pulspaar in Abbildung 6.1. Nehmen wir an, dass die Zeit T zwischen den Pulspaaren lang
gegenüber der Zerfallszeit der angeregten Atome ist. In diesem Fall können wir in |ψ3 i den angeregten Anteil vernachlässigen. Außerdem soll während der Flugzeit T irgendein äußeres Potential 1 eine Phasenverschiebung exp(iα) zwischen den beiden Armen des Atominterferometers
erzeugen, so dass der Zustand zum Zeitpunkt T + T 0 proportional zu
|ψ4 i = |g, pi (eiα − ei∆E(p,k)T
0 /~
)
ist. Die Anwendung des zweiten Laserpuls-Paares kann völlig analog zum ersten Paar berechnet
werden. Man findet dann für den Zustand nach dem zweiten Laserpaar
hg |ψ(2T 0 + T )i ∝ (eiα − ei∆E(p,k)T
0 /~
)(1 − ei∆E(p,−k)T
0 /~
).
Man kann am Ausgang des Interferometers beispielsweise die Wahrscheinlichkeit dafür messen, Atome im Grundzustand zu finden. Diese ist durch |hg |ψ(2T 0 + T )i |2 gegeben und lautet
explizit
eiα (−e−i∆E(p,k)T
0 /~
e−i∆E(p,−k)T
0 /~
+ e−i(∆E(p,k)+∆E(p,−k))T
0 /~
) + c.c. + Rest.
Mittelt man über verschiedene Impulse, so fallen alle Terme, die noch von p abhängen, heraus.
Es überlebt nur der letzte Term. In diesem wird für jedes Atom genau die entgegengesetzte
impulsabhängige Phasenverschiebung akkumuliert, so dass insgesamt jedes Atom dieselbe totale
Phasenverschiebung erfährt und man diese messen kann. Man bezeichnet dieses Interferometer
daher als Doppler-frei. Es bleibt dann nur noch die Rückstoßverschiebung, die jedoch für jedes
Atom dieselbe ist und einfach herausgerechnet werden kann.
Offensichtlich schließen die Interferometerarme eine Fläche ein. Das Ramsey-Interferometer
ist Doppler-frei, d. h. die Phase, die durch die Doppler-Verschiebung verursacht wird, fällt heraus
(siehe Übung).
1
Z.B. die Schwerkraft. Da Atome, die den Impulsübertrag erfahren haben, etwas höher weiterfliegen als die, die
im Grundzustand bleiben, durchlaufen sie ein anderes Gravitationspotential.
6.2 Atom-Interferometrie
93
Ein großer Nachteil besteht darin, dass über die Zeit T 0 Atome im angeregten Zustand existieren. Hier kann durch spontane Emission die Interferenzfähigkeit zerstört werden. Für nor”
male“ Atome und optische Übergänge liegt die Zerfallszeit bei ≈ 107 s−1 . Die Teilchen erhalten
durch den ursprüngliche Puls (Wellenzahl von k ≈ 107 m−1 (Licht)) eine Geschwindigkeit von
v = ~k
≈ 1 cm/s. Sie kommen so innerhalb der Zerfallszeit rund 1 nm weit. Eine solch kleine
M
Aufspaltung ist kaum meßbar.
Um spontane Emission zu vermeiden, muß T 0 1/γ (γ: Zerfallswahrscheinlichkeit) sein.
Man wählt daher langlebige (metastabile) Zustände mit γ ≈ 103 s−1 . Für diese Niveaus sind
elektrische Dipolübergänge verboten, sie werden z.B. mittels Quadrupolübergängen angeregt.
6.2.2 Atomic fountain (Kasevich & Chu 1991)
2. R. Puls
20cm
3. R. Puls
1. RamanPuls
Abbildung 6.2: Grundprinzip des Interferometers
Der Vorteil gegenüber dem Ramsey-Bordé-Interferometer besteht darin, dass durch die Verwendung von Raman-Pulsen die Atome praktisch die ganze Zeit über im Grundzustand bleiben
[37]: dadurch sind sehr lange Laufzeiten (bis zu 0.25 s) erreichbar.
1. P.
2. P.
3. P.
Abbildung 6.3: Durch die Raman-Pulse induzierte Übergänge
Mit dieser Apparatur wurde die Erdbeschleunigung auf 10−8 genau gemessen, sie ist so empfindlich, dass Höhenunterschiede des Aufbaus im cm Bereich (und die dadurch verursachte
Änderung der Erdbeschleunigung) gemessen werden können.
Funktionsweise: Unter einem Raman π2 -Puls versteht man einen Raman-Übergang mit der effektiven Rabi-Frequenz
Ωef f =
Ω∗+ (x)Ω− (x)
,
∆
der für eine Zeit t angeschaltet bleibt, die
t · |Ωef f | ≈
π
4
(6.16)
94
Atomoptik
erfüllt. Ein solcher Puls überführt das System in eine Superposition von |+i und |−i. Wählt man
nun für
Ω2
Ω± (x) = Ω0 eik± ·x
dann gilt: Ωef f = 0 ei(k− −k+ )·x
(6.17)
∆
Was gerade einem effektiven Zwei-Niveau-System entspricht. Der Impulsübertrag ist damit gegeben durch:
∆p = ~(k− − k+ )
analog zum Zwei-Niveau-System
(6.18)
Anschaulich entspricht dies der Absorption eines Photons aus Ω− und der stimulierten Emission
in Ω+ . Es gibt nun verschiedene realisierbare Systeme:
parallele Laser: k+ = k− ⇒ ∆p = 0
gegenläufige Laser: k+ = −k− ⇒ ∆p = 2~k− also doppelt so viel wie im Ramsey-BordéInterferometer.
Keine Doppler
Sensitivität für
T = T0
|+, p + 2~ki
t
|−, pi
T
T
RP1
RP2
π
2
π
0
RP3
π
2
Abbildung 6.4: Das Atom-Interferometer von Kasevich und Chu
6.3
Optische Potentiale
Idee der optischen Potentiale: Nutze die Ortsabhängigkeit von Ω(x) aus. Zur Vermeidung der
spontanen Emission wird eine große Verstimmung gewählt (dies entspricht der adiabatischen
Eliminierung des angeregten Zustandes, siehe Gl. 5.68).
∆
Ω
|−i
Z. B.
.
Das optische Potential ist dabei durch
|Ω(x)|2
∆
gegeben. Die Form des Potentials wird also durch den Laser bestimmt.
Vopt (x) = ~
(6.19)
6.3 Optische Potentiale
95
6.3.1 Laufender Laser mit Gauß-Profil
%2
E (+) (x) = eikz e− w2 εE0
mit: % =
p
x2 + y 2
(6.20)
Die Rabi-Frequenz ergibt sich dann als
%2
1
d · E (+) = Ω0 eikz e− w2
~
%2
Ω2
= 0 e−2 w2
∆
Ω(x) =
Also Vopt
(6.21)
(6.22)
Für ∆ > 0 streben die Atome zu den Orten geringster Lichtintensität ( low-field-seekers“), für
”
V(x)
∆>0
ρ
∆<0
Abbildung 6.5: Optisches Potential eines Lasers mit gaußförmiger Intensitätsverteilung
∆ < 0 zum den Intensitätsmaximum ( high-field-seekers“). Für ∆ < 0 stellt das System also
”
eine Atomfalle dar. Typische Parameter für BEC-Fallen sind
Ω ≈ 7 · 1010 s−1
∆ ≈ 1015 s−1
PLaser = 2 W
auf 30 µm fokussiert
Dies ergibt ein optisches Potential von etwa V0 = 5 · 10−28 J. Damit gelingt es, Teilchen, die eine
Temperatur von kVB0 ≈ 40 µK besitzen, einzufangen. Typischerweise ist die Kondensattemperatur
2
kleiner als 1 µK. Die Dekohärenzrate eines solchen Systems liegt bei γ· |Ω|
≈ 5·10−2 s−1 , ist also
∆2
2
sehr langsam. Sie ist das Produkt der Anregungswahrscheinlichkeit |Ω| /∆2 und der spontanen
Emissionsrate und gibt an, in welcher Zeitskala eine den Zustand zerstörende spontane Emission
stattfindet.
6.3.2
Stehender Doughnut-Laser
%2
E (+) (x) = cos(kz)e− w2 (x + iy)E 0
(6.23)
96
Atomoptik
Phase
Wobei x + iy = %eiφ gilt; ein solcher Laser sieht in etwa wie folgt aus:
Es gilt also
%2
Ω = Ω0 cos(kz)(x + iy)e− w2
%2
Ω2
V = 0 cos2 (kz)%2 e−2 w2
∆
.
und
(6.24)
(6.25)
V(x)
∆>0
%
ρ
z
∆<0
d. h. der Laser bildet eine Röhre“ für Atome, die sich am Minimum ansammeln (für blau ver”
stimmtes Licht).
6.3.3 Evaneszente Lichtfelder
(Übung)
6.3.4 Linsen für einen Atomstrahl
Ein realer Laserstrahl hält seinen Fokus nur über einen gewissen Bereich hinweg 2 :
E (+) (x) = eikz
E 0 ik%2 /(2q(z))
e
q(z)
q(z) = z − iz0
Wobei z0 die Rayleigh-Länge bezeichnet, die die Breite über w0 :=
Potential ist in diesem Fall
Vopt ∝ |d · E
2
(+) 2
| = V0
w0
w(z)
2
%2
e− w2
q
mit: w(z) = w0
2z0
π
p
(6.26)
bestimmt. Das optische
1 + (z/z0 )2
(6.27)
Das i im Exponenten ist kein Druckfehler. Diese Form für das elektrische Feld ergibt sich in der sogenannten
Paraxial-Näherung, die in Büchern über Optik oder in meinem Skript zur Elektrodynamik behandelt wird.
6.3 Optische Potentiale
97
V0
∆>0
z
∆<0
Laser
Abbildung 6.6: Rayleigh-Länge und Breite
Die Berechnung einer solchen Linse gelingt mittels der RamanNath-Näherung: Wenn die Wechselwirkungszeit T zwischen Licht
und Atomen so kurz ist, dass sich die Dichteverteilung der Atome
P2
kaum ändert, kann man 2M
im Hamilton Operator vernachlässigen.
Atome
ψ(x, t) = U (t)ψ0 (x) = e−iHt/~ ψ0 (x) ≈ e−iV (x)t/~ ψ0 (x)
(6.28)
Es ändert sich also nur die Phase der Wellenfunktion. Danach propagiert der Zustand frei, d. h.
p2 t
ψ(x, t) = e−i 2M ~ ψ0 (x, T )
(6.29)
1-dimensionales Beispiel: Der Lichtstrahl läuft in z-Richtung und hat eine gewisse Breite,
der Atomstrahl passiert den Lichtstrahl in x-Richtung. Die Atome haben dadurch nur eine kurze Wechselwirkungszeit mit dem Laser, so dass die Raman-Nath-Näherung angewendet werden
ges.: Impulsänderung in z-Richtung
x
2
2
− z2
− z 2 −iT Rz 2
w
w
1
ψ0 (z) = e
⇒ ψ(z, T ) ≈ e 1 e
(6.30)
kann.
z
1
2
−( 2 +iT R)z
e w1
(6.31)
wobei wir das Potential durch
V (x) ≈ Rz 2 angenähert haben (wegen der näherungsweise quadratischen Abhängigkeit des optischen Potentials um z = 0). Die Zeitentwicklung dieser Wellenfunktion laßt sich am einfachsten
mittels einer Fourier-Transformation angeben:
p2
ψ(z, t) = F −1 (e− 2M F(ψ(z, T )))
z2
− 4β
⇒ ψ(z, t) ∝ e
(6.32)
mit: β =
1
t~
1
+i
und α = 2 + iT Rz
4α
2M
w1
98
Atomoptik
Also
w4 (t) = |4β|2 = (at − (w12 + T 2 R2 z))2 + const.
mit: a =
D. h. w(t) besitzt ein Minimum für t > 0, was einer Fokussierung entspricht.
2~
m
Kapitel 7
Inkohärente Wechselwirkung und
Dichtematrix
7.1
Dichtematrix-Formalismus
Die Dichtematrix %b erlaubt es, die Zeitentwicklung inkohärenter Systeme (an Stelle reiner Zustände)
zu beschreiben. Insbesondere ermöglicht sie auch die Beschreibung offener Quantensysteme.
Ein Beispiel: Ein (klassischer) Apparat im Labor produziert einen Quantenzustand nur mit einer
gewissen klassischen Wahrscheinlichkeit bei jeder Durchführung des Experiments. Dies kann
beispielsweise ein Ofen sein, bei dem Atome mal mit Geschwindigkeit v1 , mal mit v2 ausgestoßen werden.
Man weiß daher nur mit einer Wahrscheinlichkeit pi , ob der Zustand |ψi i realisiert wurde.
Die
P
|ψi i müssen dabei nicht orthogonal sein. Die Wahrscheinlichkeiten müssen natürlich i pi = 1
erfüllen, da irgendein Zustand mit Sicherheit vorliegt. Jedes |ψi i entwickelt sich danach (gei
schlossenes System, kein Reservoir) unitär gemäß |ψi (t)i = e− ~ Ht |ψi (0)i. Falls bei einer Realisierung des Experiments der Zustand |ψi i vorliegt, so ist der Mittelwert einer Observable für
diesen Zustand gegeben durch
b = hψi (t)|b
hAi
a|ψi (t)i
(7.1)
i
|ψi i liegt bei jeder Realisierung mit Wahrscheinlichkeit pi vor. Man gewinnt den vollständigen
Erwartungswert durch die Mittelung über alle Realisierungen,
b =
hAi
X
b =
pi hAi
i
i
X
pi hψi (t)|b
a|ψi (t)i
(7.2)
i
Ist {|ni} eine Orthonormalbasis des Hilbertraumes, dann läßt sich die 1 als
Damit gilt für den Erwartungswert:
b =
hAi
X
i
pi hψi |
X
n
b ii =
|ni hn|A|ψ
X
n
b
hn|A
X
i
pi |ψi i hψi |ni =
P
X
n
n
|nihn| darstellen.
b%|ni
hn|Ab
(7.3)
100
Inkohärente Wechselwirkung und Dichtematrix
Die Dichtematrix %b definiert man über
%b =
X
pi |ψi ihψi |
(7.4)
i
Der Erwartungswert eines Operators ist die Spur über diesen und die Dichtematrix:
b = Tr (b
b
hAi
%A)
(7.5)
Eigenschaften der Spur
(i) Die Spur hängt nicht von der Basis ab.
bB)
b = Tr (B
b A)
b
(ii) Tr (A
Beweis:
zu (i) Sei {|n0 i} eine andere Basis des Hilbertraumes. Dann ist
b =
Tr (A)
X
=
X
b =
hn|A|ni
X
n
hn|
b
hn0 | A
n0
|nihn| n0 i =
| n {z
1
b
|n0 i hn0 |A|ni
n0
n
X
X
X
b 0i
hn0 |A|n
n0
}
zu (ii)
bB)
b =
Tr (A
X
=
X
bB|ni
b
hn|A
=
b hn|A|n
b 0i =
hn0 |B|ni
n,n0
Eigenschaften der Dichtematrix
(i) %b ist hermitesch.
(ii) Tr %b = 1
(iii) Tr (b
%2 ) ≤ 1 (= 1 für reine Zustände)
zu (i) trivial wegen pi ∈ [0, 1]
b 0 i hn0 |B|ni
b
hn|A|n
n,n0
n
Beweis:
X
X
n0
b A|n
b 0i
hn0 |B
7.1 Dichtematrix-Formalismus
101
zu (ii)
Tr %b =
X
hn|pi |ψi i hψi |ni =
n,i
=
X
i
X
X
pi hψi |
pi hψi |ψi i =
| {z }
1
X
|ni hn|ψi i
n
i
pi = 1
i
zu (iii)
Tr (b
%2 ) =
X
=
X
hn|
X
n
i,j
pi |ψi i hψi |pj |ψj i hψj |ni =
ij
X
pi pj hψi |ψj i hψj |ψi i
i,j
pi pj | hψi |ψj i |2 ≤
| {z }
≤1
X
i
pi
X
pj = 1
j
Bei einem reinen Zustand gilt:
%̂ = |ψi hψ| , %̂2 = %̂
Ein Gemisch hat mindestens zwei verschiedene Zustände:
%̂ = p1 |ψ1 ihψ1 | + p2 |ψ2 ihψ2 | + . . . , pi 6= 0
Der Unterschied zwischen Gemisch und Superposition wird an folgendem Beispiel deutlich: %bG
beschreibt ein Gemisch:
1
%̂G = (|eihe| + |gihg|)
2
Die Hälfte der Atome ist angeregt, die andere Hälfte ist im Grundzustand. In diesem Zustand soll
der Erwartungswert des Dipol-Operators, d ∝ |eihg| + |gihe|, gebildet werden.
1
hdi ∝ Tr (b
%G (|eihg| + |gihe|)) = Tr (|gihe| + |eihg|)
2
1
1
= he| . . . |ei + hg| . . . |gi = 0
2
2
%bS beschreibt eine Superposition:
1
|ψi = √ (|ei + |gi)
2
1
%bS = |ψihψ| = (|ei + |gi)(hg| + |ei)
2
1
1
= (|gihg| + |eihe|) + (|eihg| + |gihe|)
|2
{z
} 2
%bG
102
Inkohärente Wechselwirkung und Dichtematrix
%̂s hat nichtdiagonale Elemente, sogenannte Kohärenzen. Der Erwartungswert des Dipol-Operators ist:
1
hdi ∝ Tr (b
%S (|eihg| + |gihe|)) = Tr ((%̂G + (|eihg| + |gihe|))(|eihg| + |gihe|))
2
1
= 0 + Tr (|eihe| + |gihg|) = 1
|
{z
}
2
1
Die nichtdiagonalen Elemente der Dichtematrix beschreiben den Grad an quantenmechanischer
Kohärenz, also die Fähigkeit des Systems, Interferenzeffekte zu zeigen. Sie werden deshalb oft
Kohärenzen genannt. Die Diagonalelemente enthalten die Population der Zustände.
7.2 Liouville-Gleichung, Superoperatoren
Man betrachte die Zeitentwicklung von %̂ im abgeschlossenen System. Ein einzelner Zustand
erfüllt bekanntlich die Schrödinger-Gleichung:
i~∂t |ψi i = H |ψi i
Dies kann man auf die Dichtematrix übertragen:
X
X
i~∂t %̂ = i~
pi ∂t (|ψi ihψi |) = i~
pi (∂t |ψi i hψi | + |ψi i ∂t hψi |)
i
=
X
i
pi (H |ψi ihψi | − |ψi ihψi | H)
i
i~∂t %̂ = [H, %̂]
(7.6)
Dies ist die Liouville-Gleichung für geschlossene Systeme.
Die Spur der Dichtematrix ist zeitlich konstant:
i~∂t Tr %̂ = Tr ([H, %̂]) = Tr (H %̂ − %̂H) = 0
[H, ·] ist ein Spezialfall sogenannter Superoperatoren, die ihrerseits auf Operatoren wirken.
L%̂ := [H, %̂]
nennt man Liouville-Superoperator. Nun muß die Liouville-Gleichung i~∂t %b = Lb
% gelöst werden. Dies geschieht zunächst formal:
i
i
t2
%b(t) = e− ~ tL %b(0) = (1 − tL −
LL + · · · )b
%(0)
~
2!~2
i
i
it
t2
= %b(0) − [H, %b(0)] −
[H, [H, %b(0)]] + . . . = e− ~ Ht %b(0)e ~ Ht
2
~
2!~
7.2 Liouville-Gleichung, Superoperatoren
103
Beweis:
it
f (t) := e− ~ L %b(0) → i~∂t f = Lf = [H, f ]
i
i
g(t) := e− ~ Ht %b(0)e ~ Ht
zu zeigen: f (t) = g(t)
i
i
i~∂t g = i~(− Hg + gH) = [H, g]
~
~
f (t) und g(t) erfüllen die gleiche Differentialgleichung.
f (0) = %b(0) = g(0)
f (t) und g(t) erfüllen die gleichen Anfangsbedingungen.
→f (t) = g(t)
Entropie, Gleichgewichts-Dichtematrix (Exkurs stat. Mechanik)
Die Entropie eines Quantensystems ist wie folgt definiert:
S = −kB Tr (b
% ln %b) = −kB hln %bi
(7.7)
S beschreibt den Grad an Unordnung, der in einem System herrscht.
b eines
In (7.7) wird der Logarithmus der Dichtematrix gebildet. Allgemein ist eine Funktion f (A)
Operators in seiner Diagonaldarstellung am besten definiert.
X
b |an i = an |an i → A
b=
A
an |an ihan |
n
Für hermitesche Operatoren gilt: han |am i = δnm
f sollte Taylor-entwickelbar sein:
X fl
b =
bl
f (A)
A
l!
l
X
X
X
2
b =
A
an |an ihan |
am |am iham | =
a2n |an ihan |
n
m
n
Dies läßt sich auf beliebige Potenzen erweitern:
X
bl =
A
aln |an ihan |
n
b =
⇒ f (A)
X fl X
l
l!
aln |an ihan | =
n
X
f (an ) |an ihan |
n
Als Beispiel folgt die Entropie des reinen Zustandes:
%b = 1 · |ψihψ|
S = −kB Tr (b
% ln %b) = −kB Tr (1 · |ψihψ| · ln(1) |ψihψ|)
| {z }
=0
(7.8)
104
Inkohärente Wechselwirkung und Dichtematrix
Die Entropie des reinen Zustandes ist 0.
Für Gleichgewichtszustände gilt:
h
i
%̂˙ = 0 ⇔ Ĥ, %̂ = 0
⇒ %̂ hat gemeinsamen Satz von Eigenwerten mit Ĥ
H |En i = En |En i
⇒ %̂ =
X
%n |En ihEn |
n
Thermischer Gleichgewichtszustand: maximiere Entropie S mit den Nebenbedingungen:
• Tr (%̂) = 1 (Erhaltung der Wahrscheinlichkeit)
D E
• Ĥ = E (Kanonische oder großkanonische Gesamtheit)
Führe dazu zwei Larange-Parameter λ1 , λ2 ein. Maximierung:
D E
∂ S − λ1 (Tr (%̂) − 1) − λ2 ( Ĥ − E = 0
∂%n
Da %̂ in dieser Basis diagonal ist, gilt somit:
(
!
X
X
∂
−kB
%n0 ln %n0 − λ1
%n0 − 1 − λ2
∂%n
n0
n0
!)
X
n0
⇒ 0 = −kB (ln %n + 1) − λ1 − λ2 En
1
⇒ %n = exp − (λ1 + λ2 En )
kB
λ
− k 2 En
∼e
λ1 wird fixiert durch
P
n
B
%n = 1
⇒ %̂ ∼
X
λ
− k 2 En
e
B
|En ihEn |
n
fasse dies als Funktion von H auf
−
λ2
H
%̂ ∼ e kB
Setze λ2 = T1 ⇒%̂ = Z1 e−β Ĥ , β = kB1T , Z = Tr e−β Ĥ
%n0 En0 − E
=0
7.3 Reduzierte Dichtematrix, Zwanzigs Master-Gleichung
105
Liouville-Theorem Die Entropie eines Systems ändert sich nicht, wenn man eine unitäre Transformation auf die Dichtematrix anwendet.
%̂0 = U %̂U †
S 0 = −kB Tr (%̂0 ln %̂0 ) = S(%̂0 ) = S U %̂U †
Taylor-Entwicklung des Operators innerhalb der Spur:
X
X
n
K̂(%̂0 ) := %̂0 ln %̂0 =
Kn %̂0n =
Kn U %̂U †
n
n
Werte den Term in der Klammer aus
U %̂U †
n
= U %̂ |{z}
U † U %̂U † U %̂U † . . .
n
1
†
= U %̂ U
X
⇒ K̂(%̂0 ) = U
Kn %̂n U †
⇒ S 0 = −kB Tr U %̂ ln %̂U †
= −kB Tr U † U %̂ ln %̂ = S
⇒ Die Entropie kann durch keine Zeitentwicklung U = exp(−iHt/~) in einem geschlossenen System verändert werden. Will man also die Entropie eines Systems ändern, so darf es
sich nicht um ein geschlossenes System handeln. Durch die Wechselwirkung mit der Umgebung
kann das System Energie, Impuls oder Teilchen austauschen und so z.B. gekühlt werden.
7.3 Reduzierte Dichtematrix, Zwanzigs Master-Gleichung
Direkte Produkte von Hilbert-Räumen Betrachte zwei Hilbert-Räume HS , HR mit den Basen {|Sn i}, {|Rα i}. Das direkte Produkt dieser Räume ist gegeben durch
)
(
X
ψnα |Sn i ⊗ |Rα i
HS ⊗ HR = |ψi |ψi =
n,α
Dieser Raum enthält nicht nur Zustände, die in Produktform |Sn i ⊗ |Rα i geschrieben werden
können, sondern auch so genannte verschränkte Zustände, z.B.
|S1 i ⊗ |R1 i + |S2 i ⊗ |R2 i
Verschränkte Zustände spielen eine zentrale Rolle bei vielen modernen Forschungsgebieten (BellUngleichungen, Quanten-Kryptographie, Quanten-Teleportation, Quantum-Computing usw.). Ihre besondere Eigenschaft besteht darin, dass Korrelationen zwischen den beiden Systemen R und
106
Inkohärente Wechselwirkung und Dichtematrix
S bestehen, die praktisch nicht mit klassischen Modellen verstanden werden können. Mehr dazu
kann man in Referenz [18] erfahren.
Sei %̂ die
HR . Der Erwartungswert einer Observablen, die nur auf HS
E
auf HS ⊗
D Dichtematrix
wirkt, ist ÂS = Tr %̂ ÂS ⊗ 1R . Hier ist unter ÂS ein Operator zu verstehen, der nur auf
dem Hilbert-Raum HS wirkt:
ÂS : HS → HS : |Sn i 7→ ÂS |Sn i
ÂS ⊗ 1R ist die Darstellung dieses Operators auf dem Produkt-Hilbert-Raum mit der Wirkung
ÂS ⊗ 1R : HS ⊗ HR → HS ⊗ HR
|Sn i ⊗ |Rα i 7→ ÂS |Sn i ⊗ 1R |Rα i
7.3.1
Reduzierte Dichtematrix, Projektions-Superoperatoren
Die Spur eines Operators im Produkt-Raum kann damit zerlegt werden gemäß:
X
Tr (Ô)HS ⊗HR =
(hSn | ⊗ hRα |) Ô (|Sn i ⊗ |Rα i)
n,α
⇒
D
E X
ÂS =
hSn | ⊗ hRα | %̂(ÂS ⊗ 1R ) |Sn i ⊗ |Rα i
n,α
=
X
n
=
X
hSn |
X
hRα | %̂ |Rα i ÂS |Sn i
α
hSn | TrR (%̂)ÂS |Sn i
n
Im letzten Schritt wurde verwendet, dass ein Operator der auf dem einen Teilraum wirkt, im
anderen Teilraum keine Wirkung hat.
X
TrR (%̂) ≡
hRα | %̂ |Rα i
α
Nenne
%̂S = TrR (%̂)
reduzierte Dichtematrix.
%̂S wirkt auf HS , insbesondere gilt:
D E
ÂS = TrS (%̂S ÂS ) = TrS (TrR (%̂)ÂS ))
Die reduzierte Dichtematrix enthält also die volle Information über das Verhalten einer Observablen im Subsystem HS .
Ziel: Finde eine Gleichung, die %̂S alleine beschreibt.
7.3 Reduzierte Dichtematrix, Zwanzigs Master-Gleichung
107
Projektions-Superoperatoren Normale Projektionsoperatoren P̂ in der Quantenmechanik, wie
zum Beispiel P = |eihe| mit P |ψi = |ei he|ψi, erfüllen P 2 = P , P † = P
Für den Projektions-Superoperator gilt analog für die Wirkung auf Operatoren:
P 2 Â = P Â
Beispiele:
1. Reduzierte Dichtematrix
P %̂ ≡ %̂R (0)TrR (%̂) ,
(7.9)
wobei %̂R (0) derDichtematrix des Reservoirs zur Zeit t = 0 entspricht
P 2 %̂ = %̂R (0)TrR (P %̂)
= %̂R (0)TrR (%̂R (0) TrR (%̂) )
| {z }
%̂S :HS 7→HS
⇒
P 2 %̂ = %̂R (0)TrR (%̂R (0)) %̂S = P %̂
2. Projektion auf die Populationen
P %̂ ≡
X
|ni hn| %̂ |ni hn|
n
P projiziert %̂ auf seine Diagonalelemente, damit werden also alle Kohärenzen zerstört.
7.3.2 Zwanzigs Master-Gleichung
Zwanzigs Master-Gleichung ist eine Gleichung für P %̂ alleine, die aus der Liouville-Gleichung
i~%̇ = L%
für %̂ abgeleitet wird. Zur Herleitung führen wir zunächst den zu P komplementären ProjektionsSuperoperator Q := 1 − P ein, wobei Q2 = Q erfüllt ist.1 Der Projektions-Superoperator ist
zeitunabhängig, Ṗ = 0,
∂
⇒ i~ P% = PL% = PL(P + Q)%
∂t
∂
⇒ i~ P% = PLP% + PLQ%
∂t
analog mit Q%
∂
i~ Q% = QLP% + QLQ%
(7.10)
∂t
1
Hier ist die Unterscheidung zwischen
Projektions-Operatoren und Projektions-Superoperatoren
wichtig:
für
P |ψi
P ÂP P ÂQ
Projektionsoperatoren gilt: |ψi =
, dagegen gilt für Super-Operatoren: Â =
Q |ψi
QÂP QÂQ
108
Inkohärente Wechselwirkung und Dichtematrix
Löse zunächst i~Q%̇ = QLQ%. Sind die Super-Operatoren zeitunabhängig, so kann man die
formale Lösung leicht hinschreiben:
Q%(t) = exp(−iQLQt/~)Q%(0) .
Der allgemeine Fall ist bedeutend komplizierter und führt auf ein sogenanntes zeitgeordnetes
Exponential. Da dieses sehr häufig in der Quantenfeldtheorie und anderen Bereichen der theoretischen Physik auftritt, soll es hier kurz vorgestellt werden.
Das zeitgeordnete Exponential
Formale Lösung:
Z
t
Z
Q%̇dt =
i~
0
t
QL(t0 )Q%(t0 )dt0
(7.11)
0
Z
i t
⇒ Q%(t) = Q%(0) −
QL(t0 )QQ%(t0 )dt0
(7.12)
~ 0
wobei im letzten Schritt Q2 = Q verwendet wurde. Diese Lösung ist nur formal, da sie sich
praktisch selbst wieder enthält: Q%(t) hängt von Q%(t0 ) mit t0 < t ab. Drückt man Q%(t0 ) wieder
mit Hilfe von Gleichung (7.12) aus, so ergibt sich
Z
Z 0
i t 00
i t 0
0
Q%(t) = Q%(0) −
dt (QL(t )Q){Q%(0) −
dt QL(t00 )QQ%(t00 )}
(7.13)
~ 0
~ 0
Iteriere dieses Verfahren:
i
⇒ Q%(t) = Q%(0) −
~
Z
t
dt0 (QL(t0 )Q)Q%(0)
0
2 Z t Z t0
i
+ −
dt0
dt00 (QLQ(t0 ))(QLQ(t00 ))Q%(0) + . . . (7.14)
~
0
0
Führe das zeitgeordnete Produkt ein:
0
T (A(t)B(t )) :=
A(t)B(t0 ) für t > t0
B(t0 )A(t) für t0 > t
Damit können wir die mehrfachen Integrale der Reihe umschreiben:
Z t
Z t1
Z t
Z t
dt1 QLQ(t1 )
dt2 QLQ(t2 ) =
dt2
dt1 T (QLQ(t1 ) QLQ(t2 ))
0
0
0
(7.15)
(7.16)
t2
T (QLQ(t1 ) QLQ(t2 )) hat auch die richtige Ordnung der Operatoren (der spätere steht links
vom früheren), wenn t1 < t2 ist. Betrachte deshalb das Integral mit modifizierten Grenzen für t2 :
Z t
Z t
⇒
dt1
dt2 T (QLQ(t1 ) QLQ(t2 ))
0
0
Z t
Z t1
Z t
Z t
=
dt1
dt2 QLQ(t1 ) QLQ(t2 ) +
dt1
dt2 QLQ(t2 ) QLQ(t1 ) (7.17)
0
0
0
t1
7.3 Reduzierte Dichtematrix, Zwanzigs Master-Gleichung
109
Der erste Term auf der rechten Seite von Gleichung (7.17) kommt in der Reihe (Gleichung (7.14))
vor. Für den zweiten Term auf der rechten Seite von Gleichung (7.17) läßt sich schreiben:
Z
t
Z
t
t2
Z
dt2 QLQ(t2 ) QLQ(t1 ) =
dt1
0
t
Z
dt1 QLQ(t2 ) QLQ(t1 )
dt2
t1
0
(7.18)
0
Mit t01 = t2 und t02 = t1 folgt:
Z
⇒ 2.Term in Gleichung (7.17) =
t
dt01
0
Z
t01
dt02 QLQ(t01 ) QLQ(t02 )
(7.19)
0
Gleichung (7.19) ist wieder ein Term, der in unserer Reihe (Gleichung (7.14)) vorkommt.
Z
⇒
t
Z
0
t1
dt2 QLQ(t1 ) QLQ(t2 )
dt1
0
1
=
2!
Z
t
Z
dt2 T (QLQ(t1 ) QLQ(t2 )) (7.20)
dt1
0
t
0
Wir haben es also erreicht, dass der erste Term der Reihe mit Hilfe von Integralen mit unabhängigen Grenzen geschrieben werden kann. Man kann zeigen, dass eine entsprechende allgemeine Relation gilt:
Z
0
=
1
n!
t
Z
dt1
Z t
0
t1
Z
tn−1
dt2 . . .
dtn QLQ(t1 ) . . . QLQ(tn )
0
Z t
dt1 . . .
dtn T (QLQ(t1 ) . . . QLQ(tn ))
0
(7.21)
0
Z
i t
⇒ Q%(t) = {1 −
dt1 QLQ . . .
~ 0
n Z t
Z t
1 −i
+
dt1 . . .
dtn T (QLQ(t1 ) . . . QLQ(tn )}Q%(0)
n! ~
0
0
Z t
−i
0
0
= T exp
dt QLQ(t ) Q%(0)
(7.22)
~ 0
= : UQQ (t)Q%(0)
(7.23)
Dies ist die Lösung der homogenen Gleichung
i~Q%̇ = QLQ(Q%)
(7.24)
Das zeitgeordnete Exponential T exp ist dabei definiert über seine Taylor-Reihe, in der Integrale
über verschiedene Variablen t1 , t2 , . . . auftreten. Der Zeitordnungsoperator T sorgt dafür, dass
die Zeiten genau entsprechend ihrem Auftreten in Reihe (7.14) erscheinen.
110
Inkohärente Wechselwirkung und Dichtematrix
Herleitung der Master-Gleichung: Fortsetzung
Zur Herleitung der Master-Gleichung ist nun der Ansatz Q%(t) = UQQ (t)%˜Q (t) zweckmäßig.
⇒ i~∂t Q% = i~U̇QQ %̃Q + i~UQQ %̃˙ Q
(7.25)
Mit U̇QQ = − ~i QLQ(t)UQQ (t) folgt unter Verwendung der Gleichung (7.10):
−1
i~%̃˙ Q = UQQ
(t)QLP%(t)
Z
i t 0 −1 0
⇒ %̃Q (t) = %̃Q (0) −
dt UQQ (t )QLP%(t0 )
~ 0
Z t
i
−1 0
dt0 UQQ
(t )QLQP%(t0 )
⇒ Q%(t) = Q%(0) − UQQ (t)
~
0
(7.26)
(7.27)
(7.28)
Setze Gleichung (7.28) in die Gleichung für P% ein:
Z t
i
0 −1 0
0
dt UQQ (t )QLP%(t )
i~P %̇ = PLP% + PL(t)Q Q%(0) − UQQ (t)
~
0
(7.29)
Gleichung (7.29) ist Zwanzigs Master-Gleichung.
Dies ist eine exakte Differentialgleichung für P% alleine, die in der Praxis ohne Näherungen
nicht gelöst werden kann. Um sie zu vereinfachen, spezialisieren wir uns nun auf einen SuperProjektor von der Form 7.9 und betrachten folgenden Spezialfall:
1. %(0) = %R (0) ⊗ %S (0), d.h. keine Korrelationen zwischen System und Reservoir zur Zeit
t=0
2. [%R (0), HR ] = 0, d.h. das Reservoir ist in einem stationären Zustand von HR (es gilt
H = HR + HS + Hint ).
3. Tr R (%R (0)Hint ) = 0 z.B. Hint = −d · E, das Reservoir entspricht der Strahlung
⇒ TrR (%R (0)Hint ) = −d hEi (t = 0) = 0. 2
Unter diesen Voraussetzungen gilt
Q%(0) =
=
=
=
2
%(0) − P%(0)
%R (0) ⊗ %S (0) − %R (0) ⊗ TrR (%R (0) ⊗ %S (0))
%R (0) ⊗ %S (0) − %R (0) ⊗ %S (0)
0
(7.30)
In einem stationären Zustand ist im freien Raum hEi = 0, da ein solcher Zustand einem Gemisch (kei+
+
ner Superposition)
√von Teilchenzahl-Zuständen entspricht. Wegen E ∼ a + a gilt daher hn| a + a |ni =
√
hn| ( n |n − 1i + n + 1 |n + 1i) = 0
7.3 Reduzierte Dichtematrix, Zwanzigs Master-Gleichung
111
Aus den Übungen sind für einen beliebigen Operator X die folgenden Relationen bekannt:
PLPX = %R (0)[HS , TrR (X)] = PLS X
PLQX = %R (0)TrR ([Hint , X]) = PLint X
QLPX = [Hint , %R (0)TrR (X)] = Lint PX
(7.31)
(7.32)
(7.33)
Desweiteren findet man
QLQX =
=
=
=
=
(1 − P)LQX
LQX − PLQX
L(1 − P)X − PLint X
LX − LPX − PLint X
[HS + HR + Hint , X] − [HS + HR + Hint , %R (0)TrR (X)]
−%R (0)TrR ([Hint , X])
= [HS + HR + Hint , X] − [HS , %R (0)TrR (X)]
−[HR , %R (0)]TrR (X) − [Hint , %R (0)TrR (X)]
−%R (0)TrR ([Hint , X])
Mit [HR , %R (0)] = 0 folgt daraus:
QLQX = [HS , X − PX] + [HR , X] + [Hint , X − PX] − P[Hint , X]
= [HS , QX] + LR X + [Hint , QX] − PLint X
= (LS Q + LR + Lint Q − PLint )X
(7.34)
Weitere Eigenschaften:
LS Q = QLS
PLS = LS P
Einsetzen in die Master-Gleichung (Gleichung (7.29)) liefert:
Z t
i
−1 0
i~P %̇ = PLS P% − PLint
dt0 UQQ (t)UQQ
(t )Lint P%(t0 )
~
0
Z t
−i
00
00
UQQ (t) = T exp
dt QL(t )Q
~ 0
L(t)X = [H(t), X] = [HS + HR + Hint , X]
Näherung: Berücksichtige Hint nur bis zur 2. Ordnung. (Annahme: Hint HR , HS )
i
⇒ UQQ ≈ exp − Q(Ls + LR )Qt
~
(7.35)
(7.36)
112
Inkohärente Wechselwirkung und Dichtematrix
Falls HS und HR zeitunabhängig sind.
QLs = Ls Q
QLR = LR Q = LR
⇒ QLs Q = Ls Q = QLs
⇒ UQQ = e−iQLs t/~ e−iLR t/~
Im letzten Schritt haben wir dabei Ls LR = LR Ls verwendet, was in der folgenden Weise bewiesen werden kann:
(LR Ls − Ls LR )X = HR , [HS , X] − HS , [HR , X]
= HR , [HS , X] + HS , [X, HR ]
= − X, [HR , HS ] = 0
| {z }
=0
wobei die Jakobi-Identität verwendet wurde. Es folgt
n
∞
X
n
− it/~
−iQLs t/~
e
=
QLs
(QLs )n = Lns Qn = Lns Q n > 0
n!
n=0
⇒ e−iQLs t/~ QLP = e−iLs t/~ QLP
Damit erhält man für die Master-Gleichung:
i
i~P %̇ = PLS P% − PLint
~
t
Z
−i
dt0 exp { (t − t0 )(Ls + LR )} Lint P%(t0 )
~
|
{z
}
0
freie Zeitentwicklung
P% = %R (0)TrR (%) = %R (0)%s (t)
⇒ i~%R (0)%̇s = %R (0) TrR [HS , %R (0)%s ] −
|
{z
}
[HS ,%s ]
i
− %R (0)TrR Hint ,
~
i
i~%̇s (t) = [HS , %s (t)] −
~
Z
Z
t
dt e
[Hint , %R (0)%s (t )]
0
0
t
0
0 −i(t−t0 )(Ls +LR )/~
dt TrR
−i(t−t0 )(Ls +LR )/~
0
Hint , e
[Hint , %R (0)%s (t )]
0
Dies ist die allgemeine Master-Gleichung unter der Bedingung Hint HR , HS und Ḣs = ḢR =
0.
7.3 Reduzierte Dichtematrix, Zwanzigs Master-Gleichung
113
Annahme über die Form der Wechselwirkung: Hint = −di Ei , i = 1, . . . , N wobei di
Operatoren auf Hs und Ei Operatoren auf HR sind.
−i(t−t0 )(Ls +LR )/~
0
[dl El , %R (0)%s (t )]
⇒ TrR [Hint , . . .] = TrR di Ei , e
mit
e−iLt/~ X = e−iHt/~ XeiHt/~ (siehe Anfang des Kapitels)
0
⇒ e−i(t−t )(Ls +LR )/~ dl El , %R (0)%s (t0 ) =
0
0
dl (t − t0 )El (t − t0 ), %R (0)e−iHS (t−t )/~ %s (t0 )eiHS (t−t )/~
mit
0
0
dˆl (t − t0 ) = e−i(t−t )HS /~ dˆl ei(t−t )HS /~
0
0
Êl (t − t0 ) = e−i(t−t )HR /~ Êl ei(t−t )HR /~
%R (t) = %R (0) wegen HR , %R (0) = 0
Bemerkung: dˆl (−t) ist der Operator dˆl im Wechselwirkungsbild
0
0
0
0
†
0
TrR [Hint , . . . = TrR di Ei , dl (t − t )El (t − t ), %R (0) Us (t − t )%s (t )Us (t − t )
|
{z
}
=:%̄s
Us (t) := e−iHS t/~
⇒TrR . . . = TrR di Ei dl (t − t0 )El (t − t0 )%R (0)%̄s − di Ei %R (0)%̄s dl (t − t0 )El (t − t0 )−
− dl (t − t0 )El (t − t0 )%R (0)%̄s di Ei + %R (0)%̄s dl (t − t0 )El (t − t0 )di Ei
= di dl (t − t0 )%̄s TrR Ei El (t − t0 )%R (0) − di %̄s dl (t − t0 )TrR Ei %R (0)El (t − t0 ) −
− dl (t − t0 )%̄s di TrR El (t − t0 )%R (0)Ei + %̄s dl (t − t0 )di TrR %R (0)El (t − t0 )Ei
Setze Fm1 m2 (t1 , t2 ) := TrR Em1 (t1 )Em2 (t2 )%R (0) = hEm1 (t1 )Em2 (t2 )i
⇒ TrR . . . = di dl (t − t0 )%̄s Fil (0, t − t0 ) − di %̄s dl (t − t0 )Fli (t − t0 , 0)−
− dl (t − t0 )%̄s di Fil (0, t − t0 ) + %̄s dl (t − t0 )di Fli (t − t0 , 0)
mit
i
⇒ i~∂t %s (t) = HS , %s (t) −
~
Z
0
t
0
dt Fil (0, t − t0 ) di , dl (t − t0 )%̄s +
0
0
Fli (t − t , 0) %̄s dl (t − t ), di
Wir führen nun die sehr verbreitete Markov-Näherung durch. Idee: Die Reservoir-Funktion Fil (0, t−
t0 ) fällt oft sehr schnell mit t − t0 ab. (Das Reservoir ”vergisst” sehr schnell, wie sein Zustand
war). Für kleine t − t0 kann %s (t0 ) dann angenähert werden durch:
%s (t0 ) ≈ Us (t0 − t)%s (t)Us† (t0 − t)
114
Inkohärente Wechselwirkung und Dichtematrix
Us beschreibt die freie Zeitentwicklung. Man nimmt also an, dass sich das System für kurze
Zeiten im wesentlichen frei entwickelt.
⇒
%̄s = Us (t − t0 )%s (t0 )Us† (t − t0 ) = %s (t)
i
i~∂t %s (t) = HS , %s (t) −
~
Setze τ = t − t0
Z
t
0
0
dt Fil (0, t − t0 ) di , dl (t − t0 )%s (t) +
0
0
Fli (t − t , 0) dl (t − t )%s (t), di
dτ = −dt0
i
⇒ i~∂t %s (t) = HS , %s (t) −
~
Z
t
dτ Fil (0, τ ) di , dl (τ )%s (t) + Fli (τ, 0) %s (t)dl (τ ), di
0
Da Fil (0, τ ) schnell abfällt, kann man die Integrationsgrenze t durch ∞ ersetzen.
⇒ Endgültige Form der Master-Gleichung in der Markov-Näherung:
Z
i ∞
i~∂t %s (t) = HS , %s (t) −
dτ Fil (0, τ ) di , dl (τ )%s (t) + Fli (τ, 0) %s (t)dl (τ ), di
~ 0
Die Master-Gleichung in Markov-Näherung
• ist eine lineare Differentialgleichung und im Gegensatz zur allgemeinen Master-Gleichung
keine Integro-Differentialgleichung mehr,
• hat konstante Koeffizienten (gegeben durch das Integral über τ ).
7.4
Spontane Emission
Bei der spontanen Emission im freien Raum spielt das Atom die Rolle des Systems, an dem wir
interessiert sind. Die Strahlung bildet das Reservoir, dessen Zustand im wesentlichen konstant
ist, da im freien Raum spontan emittierte Photonen nicht zum Atom zurückkehren.
X
HS =
En |ni hn| , |ni = atomare Energieniveaus
Zn
HR
=
d3 k
X
~ωk a†k,σ ak,σ
σ
Hint = −dE(x) = −d(+) E (+) − d(−) E (−)
wobei x der Ort des Atoms ist und in der letzten Gleichung die rotating wave approximation
gemacht wurde.
E (+) = positiver Frequenzanteil (∝ ak,σ )
d(+) = Aufsteigeoperator
7.4 Spontane Emission
115
• Beim 2-Niveau-System: d(+) = deg |ei hg|
P
• Bei zwei Multipletts: d(+) = me ,mg |Je , me i hJg , mg | dme ,mg
Der anfängliche Zustand der Strahlung soll das Vakuum sein: %R (0) = |0i h0|. Die MasterGleichung lautet allgemein in der Markov-Näherung
Z
n
i ∞
i~%̇S =[HS , %S ] −
dτ [di , dj (τ )%S ] hEi Ej (τ )i
(7.37)
~ 0
o
+ [%S dj (τ ), di ] hEj (τ )Ei i
In unserem Fall setzen wir 3
d1 = d(+) ; E 1 = E (+)
d2 = d(−) ; E 2 = E (−)
Man kann leicht nachrechnen, dass wegen des Vakuumzustandes der Strahlung
(+)
(−)
(+)
h0|Ea(+) Eb |0i = h0|Ea(−) Eb |0i = h0|Ea(−) Eb |0i = 0
gilt. Für die Master-Gleichung folgt damit
n
o
n
(−)
(−)
[di , . . . ] h. . .i . . .
=
hEa(+) Eb (τ )i [d(+)
a , db (τ )%S ]
o
(+)
(+)
(−)
(−)
+ hEb (τ )Ea i [%S db (τ ), da ]
Die Korrelationsfunktion hat den folgenden Wert (siehe Übungen):
Z ∞
~
(−)
(+)
h0|Ea (x, 0)Eb (x, τ )|0i = 2 3 δab
dωk ωk3 e−iωk τ
6π 0 c
0
(7.38)
Die zweite Korrelationsfunktion, bei der τ im ersten Operator vorkommt, kann man mittels des
freien Zeitentwicklungsoperators U (τ ) mit diesem Ergebnis verbinden:
(−)
(−)
h0|Ea(+) (τ )Eb (0)|0i = h0|U (τ )Ea(+) (0)U † (τ )Eb (0)|0i
Verwende U |0i = |0i :
(−)
(−)
=⇒ h0|Ea(+) (τ )Eb (0)|0i = h0|Ea(+) (0)U † (τ )Eb (0)U (τ )|0i
(−)
= h0|Ea(+) (0)Eb (−τ )|0i
Die Zeitabhängigkeit der atomaren Operatoren ist bei freier Zeitentwicklung gegeben durch
X
d(+) (τ ) =
|Je me ihJg mg | dme ,mg eiτ (Emg −Eme )/~
me ,mg
3
Genau genommen steht in der allgemeinen Summe oben jedes di für eine Vektor-Komponente von entweder
oder d(−) . Um die Notation übersichtlich zu halten, unterdrücken wir aber diesen Punkt.
(+)
d
116
Inkohärente Wechselwirkung und Dichtematrix
Z
=⇒
∞
(−)
(+)
dτ d(+)
a (τ ) hEa (τ )Eb (0)i
0
Z ∞
Z ∞
X
~
3
= 2 3
(dme ,mg )b |Je , me ihJg , mg |
ω dω
dτ eiτ (ω−ωme ,mg )
6π 0 c m ,m
0
0
e
g
R∞
mit ωme ,mg := (Eme − Emg )/~. Unter Verwendung 0 dτ e−iωτ = πδ(ω) − iP/ω folgt daraus
Z ∞
X
~
(−)
(+)
(τ
)
hE
(τ
)E
(0)i
=
|Je , me ihJg , mg | (dme ,mg )b
dτ d(+)
a
a
b
6π 2 0 c3 m ,m
0
e
g
Z ∞
Pω 3
3
× πωme ,mg + i
dω
(ω − ωme mg )
0
X
0
=:
|Je , me ihJg , mg | (dme ,mg )b (Kme mg + iKm
)
e mg
me ,mg
(+)
=:K̂ b
(+)
0(+)
+ iK̂ b
0(+)
Die Operatoren K̂ und K̂
wirken dabei nur noch auf die atomaren Freiheitsgrade und sind
zeitunabhängig. Als Ergebnis erhalten wir die Master-Gleichung für atomare Multipletts
o
i n (+)
i~%̇S = [HS , %S ] −
[da , (K̂a(−) − iK̂a0(−) )%S ] + [%S (K̂a(+) + iK̂a0(+) ), d(−)
]
(7.39)
a
~
(+) †
0(+) †
(−)
0(−)
wobei wir K̂ := K̂
und K̂
:= K̂
eingeführt haben.
Wenden wir dieses Ergebnis auf das Zwei-Niveau-System an, so haben diese Operatoren die
einfache Gestalt
Z ∞
~ω03
0(+)
(+)
K̂ = |eihg| deg
;
K̂
= |eihg| deg
...
(7.40)
6π0 c3
0
0(+)
Der Zahlenwert des Integrals in K̂
ist dabei irrelevant, da er nicht nur divergiert (und renormiert werden muß) sondern im Rahmen des Zwei-Niveau-Modells und der rotating wave approximation auch nach der Renormierung inkorrekt ist. Setzen wir diese Operatoren in Gl. (7.39)
ein, so erhalten wir die Master-Gleichung für Zwei-Niveau-Atome
i
i
%̇ = − [~ω0 |eihe| , %] − [~∆Lamb |eihe| , %]
(7.41)
~
~
γ
− (σ+ σ− % + %σ+ σ− − 2σ− %σ+ )
2
mit
|deg |2 ω03
γ :=
(7.42)
3π~0 c3
und
Z ∞
|deg |2
Pω 3
∆Lamb := − 2
dω
6π ~0 c3 0
(ω − ω0 )
7.4 Spontane Emission
117
Konsequenzen Realteil K (+) und Imaginärteil K 0(+) haben offensichtlich völlig unterschiedliche Konsequenzen.
0(+)
• K̂
enthält das Hauptwert-Integral über ω und ist daher mit dem Kommutator ∝ ∆L
verbunden. Es bewirkt eine Verschiebung der Resonanzfrequenz: ω00 = ω0 + ∆L . Die
Verschiebung ∆L heißt Lamb-Shift.
• ∆L ist divergent und müsste renormiert werden. Eine Behandlung, die über das 2-NiveauModell hinausgeht, findet man in Ref. [7]. ∆L verändert nicht die Unitarität der Zeitentwicklung.
(+)
• Der Realteil K̂ ist die Ursache für den Term proportional zu γ und beschreibt eine nicht
unitäre Zeitentwicklung (s.u.);
γ ist die spontane Emissionsrate .
• Die Struktur − γ2 (R† R% + %R† R − 2R%R† ) ist die allgemeinste Form eines Terms zur
Beschreibung inkohärenter Prozesse und wird Lindblad-Form genannt. R ist dabei ein
verallgemeinerter Auf- oder Absteigeoperator.
Beispiel: Strahlung bei Temperatur T statt |0i =⇒ Thermische Anregung der Atome:
−η(T )(σ− σ+ % + %σ− σ+ − 2σ+ %σ− )
Mehr dazu kann man z.B. in Ref. [5] finden.
Im Folgenden wird die Lamb-Shift in die Laserfrequenz integriert: ω ≡ ω0 + ∆L .
γ
i
%̇ = − [~ω |eihe| , %] − {σ+ σ− % + %σ+ σ− − 2σ− %σ+ }
~
2
Damit läßt sich die Zeitentwickung von % einfach berechnen:
%ee %eg
%=
%ge %gg
Zunächst wird der Kommutator mit dem Systemhamiltonian berechnet:
1 0
0
%eg
[|eihe| , %] =
,% =
0 0
−%ge 0
Für die Lindblad-Form gilt:
σ+ σ− = |eihg|gihe| = |eihe|
und damit
|eihe| % + % |eihe| − 2 |gihe| % |eihg| =
| {z } | {z }
σ−
σ+
2%ee %eg
%ge −2%ee
(7.43)
118
Inkohärente Wechselwirkung und Dichtematrix
Damit lautet die komplette Master-Gleichung:
γ 2%ee %eg
%̇ee %̇eg
0
%eg
= −iω
−
%̇ge %̇gg
−%ge 0
2 %ge −2%ee
(7.44)
Für die linear unabhängigen Komponenten gilt:
%̇ee = −γ%ee
γ
%̇eg = −iω −
%eg
2
%̇gg = γ%ee
⇒
%ee (t) = %ee (0)e−γt
⇒
%eg (t) = e−iωt e− 2 t %eg (0)
⇒
%gg (t) = %gg (0) + (1 − e−γt )%ee (0)
(7.45)
γ
Diese Lösung charakterisiert die spontane Emission:
• Der angeregte Zustand wird inkohärent entvölkert, da bei dem Übergang von e nach g
keine Kohärenzen %eg , %ge entstehen. Bei Rabi-Oszillationen würden auch %eg , %ge zunächst
wachsen.
• Anfänglich vorhandene Kohärenzen %eg , %ge zerfallen mit γ2 . Dies liegt daran, daß |gihe|
eine angeregte Komponente enthält, die zerfallen kann, |eihe| dagegen zwei.
• Was oben an Population verloren geht, wird in %gg wieder aufgesammelt, das sichert die
Wahrscheinlichkeitserhaltung.
Tr % = 1
→
Tr %̇ = 0 = %̇ee + %̇gg
Dies gilt allgemein für die Lindblad-Form:
γ
Tr %̇ = − Tr {R† R% + %R† R − 2R%R† }
2
γ
= − Tr {R† R% + R† R% − 2R† R%} = 0
2
• Im Vergleich zur Master-Gleichung für die Dichtematrix kann die phänomenologische Beschreibung der spontanen Emission verschiedene Aspekte nicht korrekt beschreiben. Mit
γ
ψe (t) = e− 2 t ψe (0) folgt für die Spur von %:
|ψe |2 + |ψg |2 = e−γt |ψe (0)|2 + |ψg (0)|2 6= const.
Es gilt keine Wahrscheinlichkeitserhaltung. Versucht man, dies zu reparieren, führt das
zum zwischenzeitlichen Auftreten von Kohärenzen, die es bei einem spontanen Prozeß
nicht geben sollte.
q
ψg (t) ∝ |ψg (0)|2 + (1 − e−γt )|ψe (0)|2 ⇒ %eg = ψe ψg∗ 6= 0
%eg ist für t = 0 und t → ∞ gleich 0, dazwischen aber nicht.
7.4 Spontane Emission
119
Abbildung 7.1: π-Puls (links) und spontane Emission (rechts) auf der Bloch-Kugel
Veranschaulichung auf der Bloch-Kugel:
Sowohl bei einer Rabi-Oszillation um den Winkel π als auch bei der spontanen Emission handelt es sich um die gleichen Ausgangs- und Endzustände. Am Beispiel der Bloch-Kugel wird
der Unterschied deutlich: Bei der Rabi-Oszillation beschreibt der Bloch-Vektor einen Halbkreis
und ändert seine Länge nicht: Das System befindet sich immer in einem reinen Zustand. Bei
der spontanen Emission “schrumpft” der Bloch-Vektor und entwickelt sich durch den Koordinatenursprung nach unten, zwischenzeitlich entsteht dabei ein maximal unbestimmtes Gemisch.
Was geschieht, wenn man als Ausgangszustand eine beliebige Superposition zuläßt? Ohne spon-
Abbildung 7.2: Verhalten einer beliebigen Superposition auf der Bloch-Kugel bei einer RabiOszillation (links) und unter spontaner Emission (rechts).
tane Emission wird sich nur die Phase der Superposition entwickeln, der Bloch-Vektor behält seine Länge und bewegt sich auf einem Kreis mit konstantem Winkel zur z-Achse (Abbildung 7.2,
links). Berücksichtigt man die spontane Emission, dann bewegt sich der Vektor auf einer Spiralbahn abwärts, wobei er zwischendurch kürzer wird und schließlich im Grundzustand landet
(Abbildung 7.2, rechts). Zur Veranschaulichung des Übergangs vom reinen Zustand zum Ge-
120
Inkohärente Wechselwirkung und Dichtematrix
misch zum reinen Zustand sei hier noch die Spur von %2 berechnet.
Tr %2 = %2ee + 2%eg %ge + %2gg
Unter der Annahme von %ee (0) = 1 folgt mit (7.45):
Tr %2 (t) = 1 − 2e−γt + 2e−2γt
(7.46)
Diese Zeitentwicklung ist in Abbildung 7.3 abgebildet. Der Betrag der Spur fällt von 1 rasch auf
ab (vollständiges Gemisch) und nähert sich dann asymptotisch wieder der 1. Dieses Resultat
gilt allerdings nicht, wenn man die Schwerpunktbewegung der Atome mitberücksichtigt. Durch
den Impulsübertrag der Photonen entsteht ein Gemisch im p-Raum. Schematisch gilt
Z
ω0
% = |e, pihe, p| → |e, pihe, p| + d3k |g, p + ~kihg, p + ~k| δ(|k| − )
c
Z
(7.47)
ω0
3
→ d k |g, p + ~kihg, p + ~k| δ(|k| − )
c
1
2
7.5 Vermeidung spontaner Emission durch Interferenz
Betrachte ein 3-Niveau-Atom in V-Konfiguration:
|+i
|−i
|gi
Ee = E+ = E−
In der allgemeinen Master-Gleichung (7.39) für Atome findet man einen Term
Z ∞
(+)
0(+)
(+)
(+)
(−)
K i + iK i
=
dτ dj (τ ) h0|Ej (τ )Ei (τ )|0i
0
X
0
=
|me ihg| (dme g )i (Kme g +i Km
)
| {z } | {ze}g
me =±
∈R
∈R
0
nur von Ee − Eg abhängen, sind sie für beide Übergänge, + → g und − → g,
Da Kme g , Km
eg
gleich.
K (+) + iK 0(+) = (K + iK 0 ){|+ihg| d+g + |−ihg| d−g }
Einsetzen in die Master-Gleichung ergibt:
i~%̇s = [HS , %s ]
i
i nh
−
d+g |+ihg| + d−g |−ihg| , (K − iK 0 )](|gih+| d∗+g + |gih−| d∗−g )%s
~
h
io
+(K + iK 0 ) %s (|+ihg| d+g + |−ihg| d−g ) , d∗+g |gih+| + d∗−g |gih−|
7.5 Vermeidung spontaner Emission durch Interferenz
Abbildung 7.3: Plot von Tr %2 bei spontaner Emission
121
122
Inkohärente Wechselwirkung und Dichtematrix
Unter der Annahme 4 d+ = d− = d vereinfacht sich dies zu
h
i
i 2n
0
i~%̇s = [HS , %s ] − |d| (K − iK ) (|+i + |−i) hg| , |gi (h+| + h−|) %s
h~
io
0
+(K + iK ) %s (|+i + |−i) hg| , |gi (h+| + h−|)
Die Atome seien in angeregtem Zustand |ψi =
√1 (|+i
2
(7.48)
− |−i) präpariert:
%s (0) = |ψihψ| , HS |ψi = Ee |ψi → [HS , %s (0)] = 0
Außerdem gilt: (h+| + h−|) |ψi = 0. Wegen des Terms %s (|+i + |−i) = 0 in den Kommutatoren
in Gleichung (7.48) gilt damit
%̇s = 0
⇒ |ψi kann nicht in den Grundzustand zerfallen!
• Die destruktive Interferenz zwischen den Amplituden von |+i und |−i sorgt dafür, daß
dieser Zustand stabil ist [13].
• Der Effekt ist ähnlich wie beim Dunkelzustand, nur daß |ψi ein angeregter Zustand ist und
für alle Photonen dunkel ist.
• Die Realisierung ist schwierig, da bei Atomen d+ = eiα d− nicht erfüllbar ist, denn die
Zustände sind Eigenzustände von Jz
Beispiel: Drei-Niveau-System
V-Konfiguration:
in
Q
k
Q
Q
Q
3
Q
Jg = 0
Je = 1
Es gilt:
√
d+ = D(ex − iey )/ 2
√
d− = D(ex + iey )/ 2
koppelt an σ+ -Licht
koppelt an σ− -Licht
Damit ist d+ · d∗− = 0, Interferenzterme treten nicht auf. Beispielsweise gilt
(|+i d+ + |−i d− ) hg| · |gi (h+| d∗+ + h−| d∗− ) = D2 (|+ih+| + |−ih−|)
statt wie im oben angenommenen Fall d+ = d−
D2 (|+i + |−i)(h+| + h−| .
• Bei Molekülen ist die destruktive Interferenz im Prinzip möglich. Ein experimenteller
Nachweis wurde erbracht [14], aber später angezweifelt [15].
4
Möglich ist auch d+ = eiα d−
Kapitel 8
Laser-Kühlen von Atomen
8.1
Allgemeines zur Kühlung von Atomen
Nach dem Satz von Liouville kann man die Entropie eines abgeschlossenen (Quanten)-Systems
nicht ändern, da es sich unitär entwickelt. Adiabatisches Kühlen zur Verringerung der Temperatur
ist zwar möglich (siehe Übungen), die Entropie ( Unordnung “) bleibt dabei aber erhalten.
”
Um die Unordnung zu verringern bzw. das von den Atomen besetzte Phasenraumvolumen zu
verkleinern muss das System offen sein. Die Beschreibung des Systems kann dann durch eine
Master-Gleichung erfolgen.
Verschiedene Konzepte der Kühlung
• Austausch von Atomen mit der Umgebung. z.B. Verdampfungskühlen wie bei der Kaffeetasse (bzw. bei Corinnas Teetasse). Hierbei befinden sich die Atome in einem Potentialtopf
endlicher Tiefe. Nur die heißesten Atome haben genug Energie, um den Topf zu verlassen.
Die verbliebenen Atome sind dann im Mittel kälter. Durch Stöße zwischen den Atomen
werden die Atome rethermalisiert, so dass die Energieverteilung wieder thermisch wird.
• Spontan emittierte Photonen dissipieren Energie und Impuls. (Induzierte Emission tut dies
nicht, da dies ein unitärer Prozess ist). ⇐⇒ Laser-Kühlen. Nobelpreis 1997 an Claude
Cohen-Tannoudji, Steve Chu und Bill Phillips
Eine ausgezeichnete Einführung in die Konzepte der Laserkühlung kann man in Ref. [11]
finden.
8.2 Doppler-Kühlung
Die Doppler-Kühlung ist die grundlegendste Form der Laser-Kühlung (Lethokov, Hänsch und
Schawlow 1975).
124
Laser-Kühlen von Atomen
8.2.1 Das Prinzip
Die Anregungswahrscheinlichkeit der Atome hängt von der Laser-Frequenz ab (siehe Übungen).
%ee =
|Ω|2
∆2 +
γ2
4
+ 2|Ω|2
(8.1)
wobei ∆ = ωL −ω0 und Ω die Rabi-Frequenz ist. Der mittlere absorbierte Impuls ist ~kL %ee (ωL ).
Bewegt sich das Atom mit der Geschwindigkeit v, so nimmt es eine durch den DopplerEffekt verschobene Laser-Frequenz ωL0 = ωL − kL · v wahr:
• für v parallel zu kL ist ωL0 rotverschoben (ωL0 < ωL )
• für v antiparallel zu kL ist ωL0 blauverschoben (ωL0 > ωL )
Nun wählt man ∆L = ωL − ω0 < 0, also einen rotverstimmten Laser. Für Atome, die auf den
Laser zufliegen, ist die Verstimmung gegeben durch
∆0 = ωL0 − ω0 = ωL − kL · v − ω0 = ∆L − kL · v
(8.2)
so dass |∆0 | < |∆L | (solange v nicht zu groß ist). Ein rotverstimmter Laser regt deshalb vornehmlich Atome an, die auf ihn zufliegen.
Bei zwei gegenläufigen rotverstimmten Laserstrahlen werden die Atome vornehmlich Photonen von dem Laserstrahl absorbieren, auf den sie zufliegen. Dadurch werden die Atome gekühlt.
8.2.2 Theoretische Beschreibung
Man beschreibt das Problem durch:
p2
− ~∆ |eihe| − ~Ω(x) |eihg| − ~Ω∗ (x) |gihe|
(8.3)
2M
(Zwei-Niveau-Atom mit Schwerpunktbewegung im Laserfeld). Zu lösen ist die DGL:
H=
i
γ
%̇ = − [H, %] − {σ+ σ− % + %σ+ σ− − 2σ− %σ+ }
~
2
(8.4)
Der letzte Term σ− %σ+ ist dabei anders als im vorigen Kapitel, da der Impulsübertrag der
spontan emittierten Photonen berücksichtigt werden muss:
σ− %σ+ = |gihg| %ee
(8.5)
Z 2 dΩ
σ− %σ+ =
1 − |dˆeg · k̂|2 eikx %̂ee e−ikx |gihg|
(8.6)
8π/3
Wobei 1 − |dˆeg · k̂|2 die Dipol-Charakteristik beschreibt, eikx den Impulsübertrag von ~k,
%̂ee ist he|%̂|ei. Herleitung: Siehe Ref. [12]. Dieser Term heizt “ die Atome, da er ∆p um etwa
”
8.2 Doppler-Kühlung
125
~k vergrößert.
Lösungsidee für die Mastergleichung
Verwende die Born-Oppenheimer Näherung (oder adiabatische Näherung): Die Schwerpunktbewegung ist viel langsamer als die elektronische Relativbewegung, daher löst man das elektronische Problem für fixiertes x und setzt dies in die Schwerpunkt-DGL ein.
Die interne Zeitentwicklung ist sogar so schnell, dass man einfach die stationäre elektromagnetische Lösung nehmen kann.
i
γ
!
%̇ = 0 = − [H, %] − {σ+ σ− % + %σ+ σ− − 2σ− %σ+ }
~
2
(8.7)
mit
H=~
−∆
−Ω(x)
−Ω∗ (x)
0
(8.8)
Die Lösung dieses Problems ist:
|Ω|2
%ee =
L
%eg
Ω ∆ − i γ2
=−
= %∗ge
L
(8.9)
2
wobei L := ∆2L + γ4 + 2|Ω|2 . Dies setzt man in die Schwerpunktbewegung ein und lässt
R d2 Ω
hier der Einfachheit halber den dissipativen Term 8π/3
. . . weg (weiter unten werden wir ihn
phänomenologisch wieder einführen). So ergibt sich:
p2
H=
− d · E(x) + innere Zustände
2M
(8.10)
Daraus folgen:
p
M
ṗ = ∇(d · E(x))
ẋ =
(8.11)
(8.12)
Dies sind die Heisenberg-Bewegungsgleichungen für x und p.
Wir benutzen wieder die RWA:
RWA
d · E(x) = deg · E (+) (x) |eihg| + d∗eg · E (−) (x) |gihe|
= ~Ω(x) |eihg| + ~Ω∗ (x) |gihe|
(8.13)
Der Mittelwert über die inneren Freiheitsgrade ergibt
p̄˙ = Tr 2×2 (%ṗ)
= ~ Tr 2×2 (%{|eihg| ∇Ω(x) + |gihe| ∇Ω∗ (x)})
= ~(∇Ω(x))%ge + ~(∇Ω∗ (x))%eg
(8.14)
126
Laser-Kühlen von Atomen
Einsetzen von %eg und %ge = %∗eg = −
Ω∗ (∆+i γ2 )
.
L
∇(|Ω|2 )
γ Ω∗ (∇Ω) − Ω(∇Ω∗ )
− i~
L
2
L
2
γ
~γ Ω∗ (∇Ω) − Ω(∇Ω∗ )
~∆L
=−
∇ ln ∆2L +
+ 2|Ω|2 − i
2
4
2 ∆2L + γ 2 + 2|Ω|2
p̄˙ = F̄ = −~∆L
(8.15)
4
Der erste Term ist eine konservative Kraft (da = ∇...), der zweite Term stellt eine dissipative
Kraft dar.
γ2
γ Ω∗ ∇Ω − Ω∇Ω∗
1
2
2
+ 2|Ω| − i~
F = −~∆L ∇ ln ∆L +
(8.16)
2
4
2 ∆2L + γ 2 + 2|Ω|2
4
Beispiel 1: laufende Laserwelle: Ω = Ω0 · eikx , |Ω|2 = Ω20 ∈ R
=⇒ F = ~k
γΩ20
∆2L +
γ2
4
= ~kγ%ee
+ 2Ω20
(8.17)
Doppler-Effekt:
∆L −→ ∆L − kv = ∆L −
=⇒ F = ~k
γΩ20
kp 2
∆L − M
+
γ2
4
pk
M
(8.18)
+ 2Ω20
Beispiel 2: Zwei gegenläufige Laser. Wir behandeln das Problem vereinfacht, indem wir die
Kräfte von Ω1 = Ω0 eikx und Ω2 = Ω0 e−ikx addieren 1 .
F = F→ + F←
= ~ k γ Ω20
4∆L ·
[(∆L −
kp 2
)
M
+
kp
M
(8.19)
γ2
][(∆L
4
+
kp 2
)
M
+
γ2
]
4
(für Ω0 γ). Dabei ist F ← = F → (−k). Für kleines p gilt
F ≈
4~k
γ Ω20 k p M
∆L
∆2L
+
γ2
4
2 ∼ p
In Richtung von k haben wir F p < 0 für ∆L < 0, so dass aus der Bewegungsgleichung ṗ =
F die Zeitentwicklung p(t) ∼ e−αt abgeleitet werden kann. Der mittlere Impuls wird somit
abgebremst. Wegen F ∼ γ ist dafür die spontane Emission notwendig. Die maximale Kraft F̂
2 Ω2
wird erreicht für ∆L = − γ2 und ist gegeben durch F̂ = −8 ~Mk γ 20 p.
1
Eigentlich muss man Ω = Ω0 cos(kx) setzen und völlig anders weiterrechnen. Dies führt zu komplizierten
Berechnungen. Qualitativ richtig und viel einfacher ist der Zugang, den wir hier verwenden.
8.3 VSCPT
127
Diese Kraft muss verglichen werden mit der (noch nicht berücksichtigten) Heizrate, die sich
durch den Impulsübertrag der spontan emittierten Photonen ergibt. (=⇒ Impulsverteilung wird
verbreitert).
Heizrate intuitiv: die Breite der Impulsverteilung ist definiert als σ 2 = hp2 i − hpi2 . Ihre durch
das Heizen verursachte zeitliche Änderung genügt
d 2 σ
= Anregungswahrscheinlichkeit · Emissionsrate · Impulsübertrag 2
dt Heiz
= %ee · γ · ~2 k 2
Somit erhalten wir für die gesamte (Kühlen und Heizen) Änderung den Ausdruck
d 2
d 2
d 2 σ = p +
σ dt
dt
|{z}
|dt{z } 2 2
2pṗ
γ%ee ~ k
Heiz
Betrachten wir die Situation für die maximale Kühlungskraft, also ∆L = −γ/2, so ist die
Anregungswahrscheinlichkeit durch %ee = 2Ω20 /γ 2 gegeben. Im Gleichgewicht muß −2pF =
γ~2 k 2 · 2Ω20 /γ 2 gelten, so dass man auf
p2
~γ
1
=
= kB T
2M
16
2
schließen kann. Das stimmt bis auf einen numerischen Faktor. Das richtige Ergebnis ist das sog.
Doppler-Limit:
kB T = ~γ
γ ≈ 107 s−1 =⇒ T ≈ 10−4 K
(8.20)
8.3 VSCPT
Velocity-selective coherent population trapping [19] verwendet Dunkelzustände zum Kühlen und
kann erst bei tiefen Temperaturen eingesetzt werden (< 10 µK). Die Methode liefert dafür sehr
tiefe Endtemperaturen (3 nK). Betrachte ein Λ-System mit Schwerpunktbewegung:
|e, pi
Ee
k − , ω L , Ω−
Ω+ , ω L , k +
|−, p − ~k− i
|+, p − ~k+ i
Eg
Dabei gilt: E+ = E− = Eg , ∆ = ωL − (Ee − Eg )/~, |k+ | = |k− | = k
p̂2
H=
1 − ~∆ |ei he|
2M + ~Ω− eik− x |ei h−| + e−ik− x |−i he|
+ ~Ω+ eik+ x |ei h+| + e−ik+ x |+i he|
= H0 + Hint
(8.21)
128
Laser-Kühlen von Atomen
i~ |ψ̇i = H |ψi , entwickle |ψi gemäß
Z
|ψi = d3 p {ψe (p) |e, pi
+ ψ+ (p − ~k+ ) |+, p − ~k+ i
+ ψ− (p − ~k− ) |−, p − ~k− i}
Einsetzen =⇒
p2
−~∆ + 2M
ψe (p)
i~∂t ψ+ (p − ~k+ ) = ~Ω+
ψ− (p − ~k− )
~Ω−
~Ω+
(p−~k+ )2
2M
0
~Ω−
ψe (p)
0 ψ+ (p − ~k+ )
(p−~k− )2
ψ− (p − ~k− )
(8.22)
2M
=⇒ Im allgemeinen ist die Entartung von |+i, |−i durch die Schwerpunktbewegung aufgehoben.
Setze Ω+ = Ω− = Ω =⇒
1
|ψD (p)i = √ {|−, p − ~k− i − |+, p − ~k+ i}
2
(8.23)
ist ein Dunkelzustand im Sinne von Hint |ψD (p)i = 0. Aber:
2
p
~2 k 2
H0 |ψD (p)i =
+
|ψD (p)i
2M
2M
1
~k− p
~k+ p
−
|−, p − ~k− i +
|+, p − ~k+ i
+√
M
M
2
(p − ~k)2
|ψD (p)i : Eigenzustand
2M
(p2 + ~2 k2 )
~kp
k := k+ = −k− =⇒ H0 |ψD (p)i =
|ψD (p)i −
|ψB (p)i
2M
M
k := k+ = k− =⇒ H0 |ψD (p)i =
=⇒ Bei gegenläufigen Lasern (k+ = −k− ) ist nur |ψD (0)i ein Eigenzustand von H0 + Hint .
Dies führt uns zur Idee von VSCPT:
• Atome werden von den Lasern nach |ei angeregt und fallen via spontaner Emission zurück.
• Atome, die nach |ψB (p)i fallen, werden wieder hochgepumpt
• Atome, die nach |ψD (p 6= 0)i fallen, entwickeln sich erst zu |ψB (p)i und werden dann
gepumpt
• Atome in |ψD (p = 0)i bleiben dort: Kühlung.
Kapitel 9
Elektromagnetisch induzierte Transparenz
EIT ist einer von vielen Effekten in der Quanten-Optik, bei denen Licht den Zustand der Atome
und somit seinen Brechungsindex ändert. Grundlage sind dabei die
9.1
Maxwell-Bloch-Gleichungen
Gleichung für Atome: %̇ = L% wie in Kapitel 7 für die Kopplung zwischen Licht und Atomen:
Z
1
P (x) · D(x)d3 x
H = HA + HRad −
0
(9.1)
P (x) = Polarisation, z.B. für ein Atom Ort x0 :
P (x) = d̂δ(x − x0 )
Heisenbergsche Bewegungsgleichungen (wie in Kapitel 2):
i~Ḋ(x) = [D(x), H] mit
[Di (x), Bj (x0 )] = −i~ijk ∂k δ(x − x0 )
(9.2)
Daraus ergibt sich:
1
rot B
µ0
1
Ḃ = − rot (D − P )
ε0
Ḋ =
(9.3)
(9.4)
Das entspricht den Maxwell-Gleichungen 1 in einem Dielektrikum mit Polarisation P . Daraus
lassen sich nach dem aus den ersten Kapiteln bekannten Schema Wellengleichungen herleiten:
1 2
∂ + rot rot D = rot rot P
(9.5)
c2 t
1
Wir nehmen an, dass die makroskopische freie Ladungsdichte verschwindet, so dass ÷D = 0. Man kann dan
die Unterscheidung zwischen dem senkrechtem Anteil der Verschiebungsdichte und der Verschiebungsdichte selbst
fallenlassen.
130
Elektromagnetisch induzierte Transparenz
Bzw. unter der Verwendung D = ε0 E + P
1 2
∂ + rot rot E = −µ0 P̈
c2 t
(9.6)
Mit %̇ = L% zusammen bilden diese Gleichungen die Maxwell-Bloch-Gleichungen. Diese Gleichungen sind im Allgemeinen schwer zu lösen, weshalb Näherungen durchgeführt werden. Oft
gemachte Annahmen sind:
• Homogen verteilte Atome
⇒ P (x, t) = P (t)
(9.7)
• Das atomare Gas hat eine so geringe Dichte, dass sich die Atome nicht gegenseitig beeinflussen und einzeln mit dem Licht wechselwirken.
⇒ P (t) = %̄d
(9.8)
Dabei ist %̄ die Dichte der Atome und d der Dipoloperator für ein einzelnes Atom.
Mitteln über die atomaren Freiheitsgrade ergibt:
1 2
∂ + rot rot E = −µ0 %̄ hd̈i
c2 t
1
= − 2 %̄Tr (%d̈)
c 0
(9.9)
(9.10)
Die Maxwell-Bloch-Gleichungen erlauben die Berechnung der optischen Eigenschaften eines Mediums von Atomen. Bei Gasen kann man zu einem gewissen Grad die Stöße und Wechselwirkung zwischen den Atomen vernachlässigen.
9.2
Der Brechungsindex von 2-Niveau-Atomen
Betrachte wie in Kapitel 8 ein 2-Niveau-Atom in einer laufenden Laserwelle:
E = E 0 eikx e−iωL t + c.c.
(9.11)
Die Laserwelle soll kontinuierlich eingeschaltet sein, so daß die Atome durch ihren stationären Zustand beschrieben werden können:
%st
ee =
|Ω|2
γ2
4
st
%ee
∆2 +
+ 2|Ω|2
%st
gg = 1 −
−Ω(∆ − i γ2 )
%st
=
2
eg
∆2 + γ4 + 2|Ω|2
∆ = ωL − ω0
(9.12)
9.2 Der Brechungsindex von 2-Niveau-Atomen
131
Diese Lösunge gilt für das “mitrotierende” Bezugssystem, in dem HA = ~∆ |ei he| ist. Um
zum “Laborsystem” zu wechseln, müssen wir die entsprechende unitäre Transformation
U = exp (−iωL t |ei he|)
(9.13)
rückgängig machen:
%(t) = U (t)%st U + (t)
X
+
=
%st
ij U |ii hj| U
i,j
st
st −iωL t
iωL t
= %st
|ei hg| + %st
|gi he|
ee |ei he| + %gg |gi hg| + %eg e
ge e
⇒ Tr (%(t)d) = deg %ge (t) + d∗eg %eg (t)
(9.14)
(9.15)
Der Zusammenhang zwischen der Amplitude des elektrischen Feldes und der in der stationären Dichtematrix (9.12) auftretenden Rabi-Frequenz ist gegeben durch
1
deg · E (+) (t)
~
1
=
deg · E 0 eikx e−iωL t
~
Ω(x, t) =
(9.16)
Einsetzen in die Maxwell-Gleichungen ergibt
1 2
∗ −ikx iωL t
ikx −iωL t
∂
+
rot
rot
E
e
e
+
E
e
e
0
0
c2 t
∆ + i γ2
ωL2 %̄
1
= 2
deg (−1)
eiωL t e−ikx d∗eg E ∗0
2
γ
c 0
~
∆2 + + 2|Ω0 |2
4
+d∗eg (−1)
∆ − i γ2
∆2 +
γ2
4
1
e−iωL t eikx deg E 0
~
+ 2|Ω0 |2
!
(9.17)
mit Ω0 = deg ·E 0 /~. Machen wir nun die Annahme, daß E 0 = const. gilt. Koeffizientenvergleich
von e±iωL t liefert:
∆ − i γ2
−ωL2
−%̄ωL2 ∗
E 0 − k × (k × E 0 ) =
d (deg E 0 )
2
c2
~0 c2 eg
∆2 + γ + 2|Ω0 |2
(9.18)
4
Setze deg = D∗ , E 0 = E0 mit ⊥ k:
∆ − i γ2
ωL2
%̄ωL2 2
2
⇒ − 2 E0 + k E0 = −
D E0
2
c
~0 c2
∆2 + γ + 2|Ω0 |2
⇒−
4
γ
i2
∆−
ωL2
−%̄ωL2 2
2
+
k
=
D
2
2
2
2
c
~0 c
∆ + γ4 + 2|Ω0 |2
(9.19)
(9.20)
132
Elektromagnetisch induzierte Transparenz
Dies ist eine Gleichung, die k mit ωL verknüpft. ωL ist vom Laser vorgegeben und muß auch
innerhalb des Mediums denselben Wert annehmen, da sonst die Randbedingungen an der Grenze
zwischen Medium und freiem Raum verletzt würden. k kann jedoch innerhalb des Mediums
einen anderen Wert annehmen als ωcL . Lösung:
s
∆ − i γ2
ωL2
ωL2 %̄D2
k(ωL ) =
−
(9.21)
c2
c2 ~0 ∆2 + γ 2 + 2|Ω0 |2
4
wobei ∆ = ωL − ω0
Vergleiche dies mit der Definition des Brechungsindex:
k(ωL ) =
s
⇒ n(ωL ) =
Für kleine Dichten: Näherung
√
1−
ωL
n(ωL )
c
(9.22)
∆ − i γ2
%̄D2
~0 ∆2 + γ 2 + 2|Ω0 |2
(9.23)
4
1−x=1−
n(ωL ) = 1 −
1
x
2
⇒
∆ − i γ2
1 %̄D2
2 ~0 ∆2 + γ 2 + 2|Ω0 |2
(9.24)
4
0
Der Brechungsindex ist im Allgemeinen komplex, n = n + in
⇒ E (+) = E 0 e−iωL t eikx
0
0
00
ωL
(n +in )
c
= E 0 e−iωL t eik x e−k
0
00
00
x
• Der Realteil n bestimmt die Phasengeschwindigkeit vph =
den des Detunings wird daraus v(∆ = 0) = c.
(9.25)
ω
Re k
des Lichts. Bei Verschwin-
• Gruppengeschwindigkeit: Betrachte das Wellenpaket
Z
E(x, t) = dωeik(ω)x e−iωt E(ω)
Schmale Frequenzbreite, d.h. ω ≈ ω0 , erlaubt die Entwicklung
∂k k(ω) ≈ k(ω0 ) +
(ω − ω0 ) + . . .
∂ω ω0
(9.26)
(9.27)
Z
i ∂k | (ω−ω0 )x
dωE(ω)e−iωt eik(ω0 )x e ∂ω ω0
Z
∂k
∂k
−iω(t− ∂ω
|ω0 x)
ik(ω0 )x −i ∂ω |ω0 ω0 x
= e
e
dωE(ω)e
⇒ E(x, t) =
(9.28)
9.3 Elektromagnetisch induzierte Transparenz und Dunkelzustände
Daraus folgt: Das Paket läuft mit der Geschwindigkeit
−1 ∂k
∂ω x
= const. =
=
t
∂ω
∂k ω0
133
(9.29)
ω0
∂k −1
was der Gruppengeschwindigkeit vgr = ( ∂ω
) entspricht. Diese ändert sich besonders
00
stark um ∆ = 0 herum. Allerdings: n beschreibt die Absorption und wird ebenfalls für
∆ = 0 maximal, so dass man nicht mehr von einer wirklichen Propagation des Lichts
sprechen kann. Der Begriff der Gruppengeschwindigkeit wird dann unsinnig.
• “Spectral hole burning”: |Ω0 |2 ∼ Lichtintensität; daraus folgt, daß hohe Intensitäten selbst
bei ∆ = 0 die Absorption stark unterdrücken. Grund: Wenn alle Atome angeregt sind
können die verbleibenden Photonen nicht mehr absorbiert werden.
9.3 Elektromagnetisch induzierte Transparenz und Dunkelzustände
Der Brechungsindex für Atome mit mehr als zwei Niveaus kann sehr von dem 2-Niveau-Ergebnis
abweichen. Ein Beispiel dafür ist das Phänomen der elektromagnetisch induzierten Transparenz in einem Λ-System. Um den Brechungsindex herzuleiten, müssen wir wieder die MaxwellBloch-Gleichungen für ein Λ-Sytem lösen.
0
−Ω− −Ω+
−γ%ee − γ2 %e− − γ2 %e+
b = ~ −Ω∗− ∆−
0
0
(9.30)
H
Lsp. Em. %b = − γ2 %−e γ2 %ee
γ
γ
∗
− 2 %+e
0
%
−Ω+
0
∆+
2 ee
Also:
i
!
stationäre Lösung
(9.31)
%̇ = − [H, %] + Lsp. Em. % = 0
~
Die Lösung dieses linearen Gleichungssystems zu finden ist im Prinzip einfach, das Ergebnis ist
aber so umfangreich, daß es nicht mehr interpretierbar ist. Wir machen daher die Annahme, daß
Ω+ klein ist, und entwickeln um Ω+ = 0.
Die Lösung für Ω+ = 0 ist einfach der Dunkelzustand, also
%0 = |+ih+|
(9.32)
Da |+i der Dunkelzustand für diese Situation (Ω+ = 0, Ω− 6= 0) ist, wird so die gesamte
Population nach |+i gepumpt.
Wird nun der zweite Laser eingeschaltet (Ω+ 6= 0) so führt man eine störungstheoretische
b =H
b0 + H
b 1 mit
Rechnung durch: H
0
−Ω− 0
0
0 −Ω+
b 0 = ~ −Ω∗− ∆−
b1 = ~ 0
0
0
0
H
H
(9.33)
∗
0
0
∆+
−Ω+ 0
0
134
Elektromagnetisch induzierte Transparenz
Setzt man nun den Ansatz %b = %b0 + %b1 + O(Ω2+ ) in (9.31) ein, so findet man
i
0 = − [H0 + H1 , %0 + %1 ] + Lsp.Em. %b0 + Lsp.Em. %b1
~
(9.34)
und da %0 die ungestörte Gleichung löst, verbleibt zur ersten Ordnung nur noch:
i
i
− [H0 , %1 ] + Lsp.Em. %b1 = [H1 , %0 ]
~
~
(9.35)
Also ein inhomogenes lineares Gleichungssystem für %b1 . Löst man dieses Gleichungssystem,
dann findet man:
% = |+ih+| + {%e+ |eih+| + %−+ |−ih+| + H.c.}
| {z }
(9.36)
%0
mit
(∆− − ∆+ )Ω+
(∆− − ∆+ )(∆+ + i γ2 ) + |Ω− |2
−Ω+ Ω∗−
=
(∆− − ∆+ )(∆+ + i γ2 ) + |Ω− |2
%e+ = −
%−+
Berechne nun den Brechungsindex für den Ω+ Laser mit Hilfe von Gleichung (9.9). Von der
Herleitung des Brechungsindex für das Zwei-Niveau-System in Abschnitt 9.2 her wissen wir,
daß gilt 2
n+ ≈ 1 +
%̄D
b(−) · ε∗ %) 1
Tr (d
Ω+
2~ε0
Ω+
(9.37)
b(−) · ε∗ ∝ |+ihe| gilt, folgt
Da für den Ω+ Strahl d
Ω+
n+ ≈ 1 −
%̄D2
∆− − ∆+
2~ε0 (∆− − ∆+ )(∆+ + i γ2 ) + |Ω− |2
(9.38)
Der dabei auftretende Vorfaktor ist charakteristisch für optisch dünne Gase und derselbe wie
beim Zwei-Niveau-System. Der Bruch enthält den Effekt der elektromagnetisch induzierten
Transparenz.
Für ∆− = ∆+ gilt n = 1, d. h. derselbe Brechungsindex wie im Vakuum; insbesondere findet
keine Absorption statt. Das System verhält sich jedoch nicht vollständig wie das Vakuum, denn
die rechte Seite der Gleichung ist nur bei Resonanz exakt Null. Außerhalb der Resonanz treten
neue Effekte auf. Die Gruppengeschwindigkeit die mit ∂ω
zusammenhängt weicht auch für den
∂k
Resonanzfall vom Vakuumwert ab.
2
Die Herleitung dieser Gleichung verläuft völlig analog zur Herleitung von Gleichung (9.24).
9.3 Elektromagnetisch induzierte Transparenz und Dunkelzustände
135
Für ∆− = ∆+ gilt also n = 1 es tritt keine Absorption auf, denn die Atome sind fast
alle im Dunkelzustand. Die Phasengeschwindigkeit entspricht der des Vakuums, nicht aber die
Gruppengeschwindigkeit.
Betrachten wir den Fall ∆− = 0 (Pumplaser in Resonanz):
n+ = 1 −
%̄D2
(ω0 − ω+ )
2~ε0 (ω0 − ω+ )(ω+ − ω0 + i γ2 ) + |Ω− |2
(9.39)
ω+
n+ (ω+ )
c
(9.40)
Für den Wellenvektor gilt nun:
k+ (ω+ ) =
Die Gruppengeschwindigkeit läßt sich damit leicht berechnen:
∂k+ n+ ω+ ∂n+
1 ω0 %̄D2 1
=
−
=
.
.
.
=
+
∂ω+ ω+ =ω0
c
c ∂ω+
c
c 2~ε0 |Ω− |2
c
⇒ vgr =
%̄D2 ω0
1 + 2~ε0 |Ω− |2
(9.41)
(9.42)
Theoretisch ist damit vgr = 0 erreichbar (für Ω− → 0), dann ist jedoch die obige Entwicklung
eigentlich nicht mehr erlaubt.
Obwohl dieser Grenzfall nicht mehr von unserer Theorie beschreibbar ist (denn wir hatten Ω+ Ω− vorausgesetzt) ist er dennoch im Experiment erreicht worden.
Beispiel ω0 = 1015 s−1 , D = ea0 , %̄ ≈ 1021 m−3 , Ω− ≈ 108 s−1 dann findet man für die
Gruppengeschwindigkeit
1
m
vgr = 10−6 c ≈ 100
3
s
(9.43)
In einem ersten Experiment erreichte die Gruppe von Lene Hau 1999 [20] vgr = 17 m/s. Ein Jahr
später gelang es der Gruppe von Bill Philipps sogar, Licht zu stoppen [?]. Man kann mit dieser
Methode einen Puls für eine Zeitdauer im Millisekundenbereich anhalten, ohne die Information
durch inkohärente Prozesse zu verlieren. Dies könnte z. B. interessant sein für optische Computer. Zudem kann man das gestoppte Licht auf vielfältige Weise manipulieren, z. B. quetschen.
Das Stoppen kann dabei als Transfer der Atome von |+i nach |−i und anschließendem Abschalten des Pumplasers verstanden werden. Das Licht ist dann reversibel und kohärent gespeichert. Der Ω+ -Puls kann nach bis zu einer Millisekunde wiederhergestellt werden [34].
136
Elektromagnetisch induzierte Transparenz
Kapitel 10
Photonische Bandlücken
Photonic band gaps (PBG) treten in völliger Analogie zu den Bandlücken von Elektronen in
periodischen Potentialen auf. Ihre Bedeutung ist, dass Photonen mit bestimmten Frequenzen in
einem periodischen dielektrischen Medium nicht propagieren können. Sie entstehen bei periodischer Modulation des Brechungsindexes. Zur Vereinfachung der Schreibweise führen wir die
relative Dielektrizitätskonstante εr ein
εr (x) =
ε(x)
= n2 (x)
ε0
n: Brechungsindex
(10.1)
von der wir annehmen, daß sie zeitlich konstant ist (ε̇r ∝ ε̇(x) = 0), was einen von der Frequenz
unabhängigen Brechungsindex impliziert. Es gilt dann
D = ε0 E + P = ε(x)E = ε0 εr (x)E(x)
(10.2)
und die Maxwell-Gleichungen lauten:
Ḃ = −rot E
Ḋ = ε0 c2 rot B
was auf eine symmetrische“ Wellengleichung für B führt:
”
1
2
2
∂t + c rot
rot B(x, t) = 0
εr (x)
(10.3)
(10.4)
Betrachte nun einen periodischen Brechungsindex εr (x) = εr (x + L), der der Einfachkeit halber nur von x abhängen soll 1 . Um die Analogie zwischen photonischen und elektronischen
Bandlücken möglichst klar herauszuarbeiten, soll die Wellengleichung für das Magnetfeld mit
den bekannten Konzepten aus der Quantenmechanik behandelt werden
1
Im Folgenden schreiben wir trotzdem die volle Abhängigkeit εr (x), wenn die entsprechende Gleichung auch
im allgemeinen Fall gilt.
138
Photonische Bandlücken
• Zunächst definieren wir ein erhaltendes Skalarprodukt (siehe auch Abschnitt 2.1.6), mit
dessen Hilfe wir hermitesche Operatoren einführen können:
Z
ε0
∗
0
0
hB|B i := −i
d3x (Ḃ B 0 − B ∗ Ḃ )
(10.5)
~
Z
∗
0
⇒ ∂t hB|B 0 i ∝ d3x (B̈ B 0 − B ∗ B̈ )
(10.6)
eingesetzt in die Wellengeichung (10.4)
1
1
∗
0
∗
0
2
2
= d x (−c rot
rot B )B − B (−c rot
rot B ) (10.7)
εr (x)
εr (x)
Z
1
1
0
∗
0
∗
2
3
2
rot B ) − B (−c rot
rot B ) = 0
= d x B (−c rot
εr (x)
εr (x)
(10.8)
Z
3
Dabei wurde im letzten Schritt zwei mal partiell integriert, um die Rotation auf den gestrichenen Term zu schaufeln. In diese Rechnung ging insbesondere auch ein, dass εr (x)
unabhängig von der Zeit ist und dass es symmetrisch zwischen den beiden RotationsOperatoren auftritt.
• Der “Hamilton”-Operator H := −c2 rot εr (x)−1 rot ist hermitisch, d. h. hB 0 |HBi = hHB 0 |Bi.
Zudem ist H periodisch, d. h. H(x + L) = H(x).
Um nun die Eigenmoden der Wellengleichung (10.4) zu finden, betrachten wir analog zur
Festkörperphysik zunächst den Translationsoperator
Tx0 = eibp·x0 /~ = ex0 ·∇x
Wirkung des Operators:
Bew.:
(Tx0 f )(x) = f (x + x0 )
(10.9)
(10.10)
x0 ·∇x
Tx0 f (x) = e
f (x)
∞
X
(x0 · ∇x )n
=
f (x) ≡ Taylor-Reihe um x
n!
n=0
= f (x + x0 )
(10.11)
H vertauscht mit TL , denn
(HTL − TL H)f (x) = Hf (x + L) − H(x + L)f (x + L) = 0 ,
da H periodisch ist. Also hat H ein gemeinsames System von Eigenfunktionen mit TL .
Die Eigenzustände von TL sind die Impulseigenzustände eikx mit zugehörigen Eigenwerten
TL eikx = eik(x+L) = eikL eikx . Das heißt, es liegt eine ∞-fache Entartung der Eigenwerte vor. Für
alle k = q + 2nπ
, n ∈ Z ergibt sich derselbe Eigenwert exp(iqL).
L
139
Die Eigenzustände von H können nach einem Satz entarteter Eigenwerte von TL entwickelt
werden und haben daher die Form
ψq (x) = eiqx
∞
X
ψq,n ei
2nπ
x
L
(10.12)
n=−∞
Die Quantenzahl q kann aus [− π2 , π2 ] gewählt werden 2 . q heißt Quasi-Impuls (= Impuls modulo
2π/L).
2
∂
Zu lösendes Eigenwert-Problem: ∂t
ψ = 0, Ansatz ψ(x, t) = e±iωt ψ(x) ⇒ −ω 2 ψ(x) =
2 − H
Hψ(x)
Ein möglichst einfaches Beispiel dazu:
2π
r = 1 + δ cos
x
L
mit δ 1 ⇒
1
rot
1 + δ cos 2π
x
L
2π
2
≈ −c rot 1 − δ cos
x
rot
L
= H0 + δH1
H = −c2 rot
mit
H0 = −c2 rot rot
2π
2
x rot
H1 = c rot cos
L
Betrachte Lichtwelle entlang der x-Achse:
B(x) = B(x)ey
Dieser Ansatz erfüllt die Maxwell-Gleichung div B = 0. Für die Wirkung des Hamilton-Operators
folgt
1
∂ 1 ∂
−rot
rot B =
B ey
r (x)
∂x r (x) ∂x
Verwende nun Störungstheorie: B(x) = hx|Bi, |Bi = |B0 i + δ |B1 i, dabei ist |B0 i ein Impulseigenzustand p0 .
(H0 + δH1 ) (|B0 i + δ |B1 i) = −ω 2 (|B0 i + δ |B1 i) mit ω 2 = ω02 + δω12
2
Eine andere Wahl kann durch Ändern des Summationsindexes auf diese Wahl zurückgeführt werden. Falls z.B.
q = q + 2π/L so erhält man dieselbe Entwicklung mit ψq,n ersetzt durch ψq0 ,n−1 .
0
140
Photonische Bandlücken
Gleichung 0. Ordnung:
H0 |p0 i = −ω02 |p0 i
p2
= −c2 02 |p0 i
~
⇒ ω0 = cp~0 Gleichung 1. Ordnung:
H0 |B1 i + H1 |B0 i = −ω12 |B0 i − ω02 |B1 i
Dies zu lösen ist unübersichtlich. Von der Struktur sieht die Lösung wie folgt aus: Die Änderung
des Eigenwertes kann aus −ω12 = hB0 |H1 |B0 i bestimmt werden. Der Zustand hat die Struktur
|B1 i ∼ H1 |B0 i
2π
∼ rot cos
x rot |p0 i
L
2π
iLx
−i 2π
x
L
∼ e
+e
|p0 i
∼ |p0 +
2π
2π
~i + |p0 −
~i
L
L
|{z}
k
c2 p2
|pi
~2
= ω02 (p) |pi
H0 |pi = −
Für p0 ≈ ~k
ist c|p0 − ~k| nahezu resonant zu c|p0 |, während p0 + ~k eine viel höhere
2
3
. Man erhält
ungestörte Energie hat ⇒ H1 koppelt vornehmlich p0 und p0 − ~k für p0 ≈ ~k
2
~k
also effektiv ein Zwei-Niveau-System. Ist |p0 | sehr verschieden von 2 , so ist die Kopplung
vernachlässigbar. Ein Schema der daraus folgenden Energieniveaus ist in Abb. 10.2 dargestellt.
. Bezeichnen wir das Matrixelement
Betrachten wir das Zwei-Niveau-System für p0 ≈ ~k
2
hp0 | H1 |p0 − ~ki mit h1 , so erhält man die Gleichungen
|Bi ≈ α |p0 i + β |p0 − ~ki
δH1 |p0 i ≈ δh1 |p0 − ~ki
δH1 |p0 − ~ki ≈ δh1 |p0 i
und das Eigenwert-Problem
H |Bi = −ω 2 |Bi
3
bzw. p0 und p0 + ~k für p0 ≈ − ~k
2
141
Abbildung 10.1: Energie-(Quasi-)-Impulsrelation für elektromagnetische Wellen im freien
Raum. Die gestrichelte Linie beschreibt die Energie E(p) = c|p| in Abhängigkeit vom Impuls
p, die durchgezogene in Abhängigkeit vom Quasi-Impuls q. Der Unterschied ist lediglich eine
andere Benennung der Quantenzahlen: statt einer kontinuierlichen Variable p benutzt man eine
kontinuierliche q und den diskreten Bandindex n.
Abbildung 10.2: Energie-Quasiimpulsrelation für elektromagnetische Wellen im periodischen
Dielektrikum. An den Stellen, an denen die freien Zustände resonant sind, enstehen Bandlücken.
142
Photonische Bandlücken
H |Bi =
−ω02 (p0 )
δh1
†
2
δh1
−ω0 (p0 − ~k)
α
β
mit den Eigenwerten:
ω 2 (p0 ) + ω02 (p0 − ~k) 1
− 0
±
2
2
q
2
(ω02 (p0 ) − ω02 (p0 − ~k)) + 4δ2
2
wobei die ”Verstimmung” gegeben ist durch ω02 (p0 ) − ω02 (p0 − ~k) ∼ 2 ~c 2 k∆p worin der Anfangsimpuls gemäß p0 = ~k
+ ∆p relativ zu ~k/2 angegeben ist. ∆p spielt daher eine ähnliche
2
Rolle wie die echte Verstimmung beim Zwei-Niveau-System aus Abschnitt 5.3. Variiert man ∆p,
so erhält man in völliger Analogie zum Landau-Zener-Übergang ein avoided crossing, welches
dazu führt, dass Bandlücken entstehen.
Bedeutung der Photonic Band Gaps:
• Licht mit Frequenzen innerhalb einer Bandlücke kann nicht durch das Medium propagieren. Das kann benutzt werden für Spiegel, Glasfasern, Filter, . . .
• Theoretische Vorhersage: Spontane Emission von Atomen, die in das Medium eingebettet
sind, wird stark modifiziert [21]. Jedoch sind photonische Kristalle mit Bandlücken, die
sich über den kompletten Winkelbreich des Photonenimpulses erstrecken, erst seit recht
kurzer Zeit vorhanden [22].
Kapitel 11
Bose-Einstein-Kondensate
11.1
Vielteilchentheorie bosonischer Atome
In Kapitel 2 wurde die allgemeine Struktur von Vielteilchentheorien in der Quantenmechanik
behandelt. Diese soll nun auf bosonische Atome angewendet werden:
Sei H0 (x, p) ein Ein-Teilchen-Operator, z.B.
p2
H0 (x, p) =
+ V (r)
2M
mit Eigenzuständen
H0 ψn (x) = En ψn (x). Die Eigenzustände sollen normiert sein, hψn |ψm i =
R 3 ∗
δn,m = d x ψn (x)ψm (x). Mit Hilfe dieser Basis kann man den Feldoperator
X
b
Ψ(x)
=
b
an ψn (x)
n
einführen, der ein Atom am Ort x vernichtet. Der Feldoperator und die Erzeuger/Vernichter
erfüllen die Kommutator-Relationen
b
b † (y)] = δ(x − y) , [b
[Ψ(x),
Ψ
an , b
a†m ] = δn,m
Freier Hamilton Operator mittels Feldoperatoren ausgedrückt:
Z
b 0 = d3x Ψ
b † (x)H0 (x, p)Ψ(x)
b
H
(11.1)
wobei: p → i~∇
Die Wechselwirkung wird über einen Mehrteilchenoperator vermittelt. Der eine Kollision vermittelnde Operator lautet
Z
1
b † (x)Ψ
b † (y)V (x − y)Ψ(y)
b Ψ(x)
b
b Coll =
d3x d3y Ψ
(11.2)
H
2
Diese Darstellung des Operators im Fock-Raum ist eine Art Matrixelement“ des Operators für
”
zwei Teilchen. V kann zum Beispiel das Coulomb Potential darstellen. Allgemein tritt pro an
der Wechselwirkung beteiligtem Teichen ein Feldoperator und der entsprechende adjungierte
Operator (am selben Ort genommen) im Wechselwirkungs-Hamiltonian auf. Diese Darstellung
der Wechselwirkung hängt eng mit den Feynman Diagrammen zusammen.
144
Bose-Einstein-Kondensate
Beispiel: Anwendung auf einen 2-Teilchen-Zustand
|ψi = b
a†1b
a†2 |0i d.h. 1 Teilchen in Mode 1
1 Teilchen in Mode 2
(11.3)
Der Effekt der Wechselwirkung kann nun berechnet werden. In |ψi sind die beiden Atome
unkorreliert, die Wechselwirkung wird im allgemeinen ein Korrelation erzeugen. Also:
b Coll |ψi = 1
H
2
Z
b † (x)Ψ
b † (y)V (x − y)[Ψ(y)
b Ψ(x),
b
d3x d3y Ψ
b
a†1b
a†2 ] |0i
(11.4)
dies gilt wegen
b
Ψ(x)
|0i = 0 und
† †
† †
† †b
b
b
b
b
b
[Ψ(y)Ψ(x), b
a1 b
a2 ] |0i = Ψ(y)Ψ(x)b
a1 b
a2 − b
a1 b
a2 Ψ(y)Ψ(x) |0i (11.5)
Es muß also noch der Kommutator in (11.5) berechnet werden. Man findet so unter Ausnutzung
der Relation [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B nach längerer Rechnung:
1
b Ψ(x),
b
[Ψ(y)
b
a†1b
a†2 ] |0i = √ (ψ1 (y)ψ2 (x) + ψ2 (y)ψ1 (x)) |0i
2
(11.6)
wobei noch folgende nützliche Relation verwendet wurde:
X
b
[Ψ(x),
b
a†1 ] = [
b
am ψm (x), b
a†1 ]
m
=
X
m
ψm (x) [b
a ,b
a† ] = ψ1 (x)
| m{z 1}
(11.7)
δ1m
Mit diesem Ergebnis erhält man für den Wechselwirkungshamiltonian:
Z
b Coll |Ψi = d3x d3y Ψ
b † (x)Ψ
b † (y)V (x − y)(ψ1 (y)ψ2 (x) + ψ1 (x)ψ2 (y)) |0i
H
(11.8)
d. h. die Wirkung des Operators auf einen Zweiteilchenzustand erzeugt einen neuen Zweiteilchenzustand, der mit dem Wechselwirkungspotential gewichtet wird und so Korrelationen zwischen Teilchen am Ort x und y enthält.
Wechselwirkung mit Licht
In diesem Fall hat der Wechselwirkungs-Hamiltonian die Form
Z
b
b
b (+) (x) + h.c.
b † (x)Ψ
b g (x)deg · E
−d · E(x) → − d3x Ψ
(11.9)
e
b g und Ψ
b e jeweils Atome in Grund- und angeregtem Zustand vernichten. Insgesamt wird
Wobei Ψ
also ein Photon vernichtet und ein Grundzustandsatom durch ein angeregtes ersetzt. Auch dieser
Operator hat die Struktur einer Art Matrixelement“.
”
11.2 Der Bose-Einstein-Phasenübergang
Bewegungsgleichungen
Systems:
145
Im Heisenbergbild lauten die Bewegungsgleichungen eines solchen
b˙ = [Ψ(x),
b
b
i~Ψ
H]
(11.10)
Für den freien Anteil des Hamiltonians lauten sie insbesondere:
Z
b
b
b † (x0 )H0 (x0 , p0 )Ψ(x
b 0 )]
[Ψ(x),
H0 ] = d3x0 [Ψ(x),
Ψ
Z
b 0)
= d3x0 δ(x − x0 )H0 (x0 , p0 )Ψ(x
b
= H0 (x, p)Ψ(x)
≡ Schrödingergleichung
Wähle als ψn (x) die Eigenfunktionen von H0 (x, p): H0 (x, p)ψn (x) = En ψn (x):
X
X
b
H0 (x, p)Ψ(x)
=
H0 (x, p)b
an ψn (x) =
b
an En ψn (x)
n
⇒b
an (t) = e
b
an (0) da die ψn orthogonal sind.
n
=
n,n0
=
X
b
a†nb
an0
(11.13)
n
(11.14)
Insbesondere gilt auch:
Z
Z
X
X
3
†
b0 = d x Ψ
b (x)H0 (x, p)Ψ(x)
b
H
= d3x
b
a†n ψn∗ (x)H0 (x, p)
b
an0 ψn0 (x)
X
(11.12)
n
da H0 nur auf ψn (x) wirkt. Damit findet man die Bewegungsgleichung
X
X
b˙
b
i~Ψ(x)
= i~
b
a˙ n ψn (x) = H0 (x, p)Ψ(x)
=
b
an En ψn (x)
n
−iEn t/~
(11.11)
hψn |H0 (x, p)|ψn0 i1-Teilchen
{z
}
|
(11.15)
n0
(11.16)
=En0 δnn
b
a†nb
an En
(11.17)
n
Also die bereits von den Photonen bekannte Form der Gesamtenergie.
11.2 Der Bose-Einstein-Phasenübergang
Anwendung des eben Gelernten auf den Bose-Einstein-Phasenübergang. Betrachte den Gleichgewichtszustand eines nicht wechselwirkenden Bose-Gases mit N Teilchen. Aus der statistischen
Mechanik übernehmen wir die Form der Dichtematrix
P b
1
1
b
bn := a† an
% = e−β H0 = e−β n Nn En
N
n
Z
Z
N
1 Y −β Nbn En
1 Y X −βNn En
=
e
=
e
|Nn ihNn |
⇔ Spektralzerlegung
(11.18)
Z n
Z n N =0
n
146
Bose-Einstein-Kondensate
P
b
mit: Z := Tr e−β H0 und der Nebenbedingung n Nn = N .
In Lehrbüchern wird die folgende Rechnung im allgemeinen für die großkanonische Gesamtheit
P durchgeführt, da dort die kombinatorischen Schwierigkeiten, die aus der Nebenbedingung
Nn = N entstehen, wegfallen.
Wir verwenden die kanonische Gesamtheit, da wir einen sehr einfachen Fall betrachten: Nur
2 Moden ψ0 (x), ψ1 (x) sind vorhanden.
N
1 X −iβN1 E1 −β(N −N1 )E0
e
e
⇒%=
{z
} |(N − N1 )0 , N1 ih(N − N1 )0 , N1 |
Z N =0 | {z } |
1. M ode
1
(11.19)
N ebenbdg.
Setze E0 = 0, E1 = ∆E.
N
1 X −βN1 ∆E
⇒%=
e
|(N − N1 )0 , N1 ih(N − N1 )0 , N1 |
Z N =0
(11.20)
1
Damit kann die Zustandssumme sehr einfach berechnet werden:
b0
−β H
Z = Tr e
=
N
X
e−βN1 ∆E
(11.21)
N1 =0
Setze q := e−β∆E < 1 ⇒
Z=
N
X
N1 =0
q N1 =
1 − q N +1
1−q
(11.22)
Berechne die mittlere Teilchenzahl in Mode 1 (angeregte Mode):
b1 )
N̄1 = Tr (%N
N
1 X
=
N1 q N 1
Z N =0
1
1−q
q
N
N +1
=
1
−
(N
+
1)q
+
N
q
1 − q N +1 (1 − q)2
Im Fall einer großen Anzahl von Atomen findet man
N
1
1
lim N q = lim −N = lim
= lim −
qN = 0
N →∞
N →∞ q
N →∞ − ln qq −N
N →∞
ln q
q
⇒ lim N̄1 =
< ∞ (q < 1)
N →∞
(1 − q)
N
(11.23)
(11.24)
D. h. es tritt ein Sättigungseffekt auf. Ab einer gewissen Anzahl von Atomen gehen alle weiteren
Atome, die man hinzufügt, in den Grundzustand. Für ein freies Gas befinden sich für T → 0 alle
11.3 Atome mit Wechselwirkung, kollektive Wellenfunktion
147
Atome im Grundzustand. In einem wechselwirkenden (realen) Gas verbleibt ein Rest angeregter
Atome.
Addiert man also bei festgehaltener Temperatur Teilchen zu einem bosonischen Gas, so gehen ab einer gewissen Anzahl alle neuen Teilchen in den Grundzustand. Die Anzahl der angeregten Atome wird gesättigt.
Dieses Ergebnis ist unabhängig von der Anzahl der Moden (gilt auch für kontinuierliche Moden) und von der zu Grunde gelegten Gesamtheit (kanonisch, großkanonisch). Es existiert eine
kritische Temperatur für die gilt:
N̄0
N − N̄1
q
=
=1−
.1
N
N
N (1 − q)3
(11.25)
Für kleines β∆E gilt nun 1 − q ≈ β∆E (wegen q = e−β∆E ) also:
1
N̄0
≈
≈1
N
N (β∆E)
(11.26)
Dies ist eine Bedingung an β, die angibt, wann sich eine makroskopische Anzahl von Atomen
im Grundzustand befindet. Bis auf numerische Vorfaktoren stimmt dies mit dem Ergebnis für
harmonische Fallen überein [24]. Im freien Raum erhält man andere Bedingungen, die meist mit
Hilfe der thermischen deBroglie-Wellenlänge ausgedrückt werden:
3
3
%λdB = ζ
≈ 2.612
(11.27)
2
p
mit λdB :=
2π~2 /(M kB T ). Dies läßt sich folgendermaßen deuten: In einem thermischen
Gas kann man sich vorstellen, daß die Teilchen Wellenpakete mit Ausdehnung λdB bilden. Die
Bedingung (11.27) für die Bose-Einstein-Kondensation bedeutet, daß man in etwa ein Teilchen
pro Volumen λ3dB hat. Hat man weniger Teilchen, so überlappen die Wellenpakete sich nicht und
merken nichts von ihrer bosonischen Natur. Überlappen sie, so kommt es zu Beeinflussungen
und die Atome kondensieren.
11.3 Atome mit Wechselwirkung, kollektive Wellenfunktion
Wechselwirkung ist für ein BEC zwar nicht notwendig, muss aber in der Regel berücksichtigt
werden. Dies kann man durch den Hamilton-Operator
Z
ZZ
1
3 b†
b
b
b † (x)Ψ
b † (y) V (x − y) Ψ(y)
b Ψ(x)
b
H = d x Ψ (x) H0 (x, p) Ψ(x) +
d3x d3y Ψ
(11.28)
2
ausdrücken. Atomare BECs (87 Ru, 23 Na, . . . ) sind verdünnte Gase in dem Sinn, dass der mittlere
Abstand der Atome weit größer ist als die Streulänge a ihrer Wechselwirkung 1
%a3 1
(% =Dichte)
b
(11.29)
Die Streulänge a ist definiert über den Streuquerschnitt, σ ∝ a2 . Für die üblichen atomaren BECs ist sie einige
Nanometer groß.
1
148
Bose-Einstein-Kondensate
Abbildung 11.1: Anschauliche Interpretation der Bose-Einstein-Kondensation: für T < Tc oder
zu geringe Dichten % = d−3 sind die Wellenpakete zu weit auseinander und beeinflussen sich
gegenseitig nicht. Ist die BEC-Bedingung erfüllt, so sind die Wellenpakete nahe genug beieinander, damit ihre bosonische Statistik wirken kann. Da Bosonen eine Tendenz haben, in denselben
Zustand zu gehen, ist dann Kondensation möglich.
11.3 Atome mit Wechselwirkung, kollektive Wellenfunktion
149
Die Potentiale sind kurzreichweitig (∝ 1/r6 , Van-der-Waals-Wechselwirkung), in diesem Fall
kann man das Potential als punktförmig auf der Skala des mittleren Abstandes betrachten und
V (x − y) durch ein Kontaktpotential mit derselben Streulänge ersetzen
V (x − y) −→
4π~2 a
δ(x − y).
M
(11.30)
Der Vorfaktor ist hierbei gerade so gewählt, dass sich die richtige Streulänge für das Kontaktpotential ergibt. Dies ist ein so genanntes Pseudopotential 2 . Der Hamiltonoperator lautet dann:
Z
b=
H
κ b† 2 b 2
b † (x) H0 (x, p) Ψ(x)
b
d x {Ψ
+ Ψ
(x) Ψ(x) }
2
3
,
4π~2 a
κ :=
M
(11.31)
b findet man mit Hilfe eines Variationsansatzes. Dabei geht man von
Den Grundzustand von H
(a†0 )N
|ψi = √
|0i
N!
(11.32)
(also N Atomen in der Mode ψ0 ) als Zustand
R 3 aus.2 Die Variationsvariable ist dabei die Mode
ψ0 (x), als Nebenbedingung muss gelten: d x |ψ0 | = 1. Diese Nebenbedingung anders ausgedrückt bedeutet:
Z
b |ψi = hψ| d3x Ψ
b † (x)Ψ(x)|ψi
b
hψ|N
=N
(11.33)
Über die Kommutatorrelation
h
i
b
Ψ(x),
(a†0 )n = N ψ0 (x)(a†0 )N −1
(11.34)
kommt man durch längere Rechnung zu
Z
κ
b
hψ|H|ψi
= N {ψ0∗ H0 ψ0 + (N − 1)|ψ0 |4 }d3x
2
Z
b |ψi = N |ψ0 |2 d3x
hψ|N
(11.35)
(11.36)
b
b |ψi − N ) (Variation unter Nebenbedingung (11.33) nach
Nun minimiert man hψ|H|ψi
− µ(hψ|N
ψ0 (x)). Man kann dies entweder durch normale Variationsrechnung ( virtuelle Verrückung“)
”
oder durch Funktionalableitung [23] erledigen.
δ
δψ0∗ (x)
2
Z h
N ψ0∗ H0 ψ0
i
κ
+ N (N − 1)(ψ0∗ )2 ψ02 − µN |ψ0 |2 d3x + µN
2
=0
(11.37)
Genau genommen müsste man in 3D für das Pseudopotential ∂r (rδ(r)) benutzen (siehe z.B. [24]). Für sehr
viele Situationen ist dies aber unerheblich.
150
Bose-Einstein-Kondensate
Anwendung der Funktionalableitung für Physiker “ 3
”
δ
1
F [g(x)] := lim {F [g(y) + εδ(x − y)] − F [g(y)]}
ε→0 ε
δg(x)
(11.38)
führt zu
µψ0 (x) = H0 ψ0 (x) + κ(N − 1)|ψ0 |2 ψ0 (x)
(11.39)
Dies ist die Gross-Pitevskii-Gleichung (GPE) oder nichtlineare Schrödinger-Gleichung (NLSE).
ψ0 heisst kollektive Wellenfunktion. Zwei Lösungen ψ0 , ψ00 können nicht mehr zu einer dritten
superponiert werden, da die GPE nichtlinear ist. Die Dichte eines Kondensates ist N |ψ0 |2 , die
kollektive Phase ist arg ψ0 .
Die GPE kann auch aus der Heisenberg-Gleichung für den Feldoperator gewonnen werden:
h
i
˙
b
b
b
i~Ψ(x, t) = Ψ(x, t), H
b t) + κΨ
b † (x, t)Ψ
b 2 (x, t)
= H0 (x, p)Ψ(x,
(11.40)
b durch
Annahme: Das Kondensat ist im kohärenten Zustand |αi der Mode ψ0 . Dann kann Ψ
2
αψ0 (x) ersetzt werden (|α| = N ). Man erhält also die GPE (11.39) zurück. In diesem Fall ist
ψ0 (x) völlig analog zu einer Lasermode des Lichtfeldes.
(a† )N
Es lässt sich bisher nicht entscheiden, ob ein BEC durch |αi oder √0N ! besser beschrieben
wird. Wahrscheinlichste Lösung: ein BEC entspricht einem Gemsich von Fock-Zuständen. Ein
solches kann auch einem Gemisch kohärenter Zustände entsprechen, siehe Übungen.
11.4 Einfache Anwendungen der Gross-Pitaevskii-Gleichung
11.4.1
BECs in harmonischen Fallen , Thomas-Fermi-Näherung
Löse
p2
ψ + V ψ + N κ|ψ|2 ψ
(11.41)
2M
Annahme: nichtlinearer Term N κ|ψ|2 ψ ist viel größer als die kinetische Energie (klappt ab etwa
p2
10 000 Atomen), also vernachlässige 2M
. Dies ist die Thomas-Fermi-Näherung. Es ergibt sich
durch einfaches Auflösen:
µ−V
N |ψ|2 = % =
(% > 0)
(11.42)
κ
R
Das chemische Potential µ wird durch die Normierung |ψ0 |2 d3x = 1 festgelegt.
In einem harmonischen Potential ergibt sich ein qualitativer Verlauf von % wie in Abb. 11.2
gezeigt. Diese Dichteverteilung wurde auch bei den ersten Experimenten zu atomaren Kondensaten als Signatur für deren Entstehung verwendet [25, 26].
µψ =
3
In der Mathematik wird fie Funktionalableitung etwas anders definiert. Im wesentlichen besteht der Unterschied
darin, dass die Physiker-Funktionalableitung in etwa dem Integralkern der Mathematiker-Funktionalableitung entspricht und wie üblich etwas unsauberer definiert ist. Das einzige Buch, das sich meines Wissens mit dem Zusammenhang beschäftigt, ist das von Grossmann (Funktionalanalysis 1+2).
11.4 Einfache Anwendungen der Gross-Pitaevskii-Gleichung
151
Abbildung 11.2: Plot von % in harmonische Falle, beliebige Einheiten
Die Näherung bricht nur im Bereich niedriger Dichten, also hier am Rand des Kondensats,
zusammen.
11.4.2
Solitonen
Solitonen sind Wellenpakete, die sich durch nichtlineare Effekte selbst stabilisieren und ihre
Form nicht verändern. Die normale Dispersion eines Schrödinger-Wellenpaketes wird durch die
Wechselwirkung zwischen den Atomen aufgehoben.
• Bright-Solitons , 1D: V (x) = 0, κ < 0, also attraktive Wechselwirkung. Es ergibt sich als
DGL und als (eine) Soliton-Lösung
~2 00
ψ − N |κ||ψ|2 ψ
2M
1
1
√
ψ = e−iµt
x
cosh w
2w
i~ψ̇ = −
(11.43)
(11.44)
mit w = 2~2 /(|M ||κ|) und µ = ~/(2|M |w2 ). Bei dieser Lösung heben sich die kinetische
Energie und Wechselwirkungs-Energie gerade auf, so dass das Wellenpaket auch ohne
Fallen-Potential seine Form beibehält.
• Dark-Solitons , 1D: V (x) = 0, κ > 0, also repulsive Wechselwirkung. Die Lösung der
DGL ist dann:
x
1
ψ = √ e−iµt tanh
(11.45)
w
2w
Betrachtet man die Dichte |ψ|2 so entspricht dies einem ”Loch” in der ansonsten konstanten Dichte, sozusagen die Umkehrung der Bright-Solitons.
152
Bose-Einstein-Kondensate
• Gap-Solitons sind Bright-Solitons für sich abstoßende (κ > 0) Atome. In diesem Fall ist
die nichtlineare Energie positiv. Die Idee ist, dass man zur Kompensation die kinetische
Energie mit Hilfe von Bandlücken negativ macht. Im periodischen Potential hat die freie
Energie freier Teilchen eine Bandstruktur.
An der oberen Bandkante gilt: E0 (q) ≈ E0 − 2|M~ ∗ | (q − k2 )2 . M ∗ < 0 heißt effektive Masse
(= inverse der Krümmung von E0 (q))
Entwickelt man ψ nach Bloch-Funktionen um die obere Bandkante herum, so kann man
p2
+ V (x) durch E0 (q) ersetzen und erhält eine effektive negative kinetische Energie, die
2M
sich gegen die positive nichtlineare Energie aufheben kann.
Kapitel 12
Einschübe
12.1
Greenfunktion
Gegeben sei eine lineare inhomogene DGL der Form:
(Lˆx F )(x) = h(x)
Eine Greenfunktion ist eine spezielle Lösung mit der Inhomogenität δ (x − x0 ).
(Lˆx G)(x, x0 ) = δ (x − x0 )
Kennt man G (x, x0 ), so ist die Lösung des inhomogenen DGL’s gegeben durch:
Z
F (x) = G(x, x0 ) · h(x0 ) dx0
(12.1)
Beweis:
Z
ˆ
ˆ
(Lx F )(x) = Lx dx0 G(x, x0 ) · h(x)
Z
=
dx0 Lˆx G(x, x0 ) · h(x)
Z
=
dx0 δ (x − x0 ) h(x) = h(x)
12.2
Addition von Drehimpulsen
Ein Drehimpuls ist definiert als ein Vektor L dessen drei Komponenten Operatoren mit den
Kommutator-Relationen
[La , Lb ] = i~εabc Lc .
(12.2)
Es läßt sich leicht zeigen, dass [L2 , Li ] = 0 ist, so dass man Eigenfunktionen von L2 und einer
Komponente, meist wird Lz gewählt, findet:
L2 |l, mi = ~2 l(l + 1)|l, mi ,
Lz |l, mi = ~m|l, mi
(12.3)
154
Einschübe
Es ist ausserdem von Vorteil, die Operatoren L± := Lx ± iLy einzuführen, die [L± , Lz ] =
∓~L± und [L+ , L− ] = 2~Lz erfüllen. Es folgt
∓ ~L± |l, mi = [L± , Lz ]|l, mi
= m~L± |l, mi − Lz L± |l, mi
so dass L± |l, mi proportional zu |l, m ± 1i ist. Da
finden wir
L†+
(12.4)
= L− und L2 = L2z + L+ L− − ~Lz gilt,
hl, m|L2 |l, mi = ~2 l(l + 1)
= hl, m|L2z + L+ L− − ~Lz |l, mi
= ~2 m2 − ~2 m + |hl, m|L+ |l, m − 1i|2
(12.5)
und somit
hl, m|L+ |l, m − 1i = hl, m − 1|L− |l, mi = ~
p
l(l + 1) − m(m + 1)
(12.6)
(Die Phasen der Zustände |l, mi lassen sich so wählen, dass diese Matrixelemente reell sind.)
Will man zwei (miteinander kommutierende) Drehimpulse L und S zu J = L + S addieren, so stellt sich die Frage, welche Eigenfunktionen geeignet sind. Eine mögliche Wahl ist das
Tensorprodukt der Einzelbasen,
|l, ml ; s, ms i := |l, ml i ⊗ |s, ms i .
(12.7)
Oft ist es jedoch bequemer, in der Eigenbasis von J 2 und J z zu arbeiten. Wegen [L2 , J i ] =
[S 2 , J i ] = 0 ist diese durch vier Quantenzahlen
|j, mj , (l, s)i
(12.8)
charakterisiert. Die Matrixelemente hl, ml ; s, ms |j, mj , (l, s)i werden Clebsch-Gordan-Koeffizienten genannt und erlauben den Basiswechsel gemäß
X
|j, mj , (l, s)i =
hl, ml ; s, ms |j, mj , (l, s)i|l, ml ; s, ms i
(12.9)
ml ,ms
Wir kürzen sie im Folgenden mit Cmj ,ml ,ms ab. Durch Anwenden von J z sieht man leicht, dass
ms + ml = mj gelten muß. Die numerischen Werte für die Clebsch-Gordan-Koeffizienten lassen
sich aus dem linearen Gleichungssystem
hl, ml ; s, ms |J ± |j, mj , (l, s)i = Cmj ±1,ml ,ms hj, mj ± 1, (l, s)|J ± |j, mj , (l, s)i
(12.10)
X
= hl, ml ; s, ms |(L± + S ± )
Cmj ,m0l ,m0s |l, m0l ; s, m0s i
m0l ,m0s
=
X
Cmj ,m0l ,m0s hl, ml ; s, ms |L± + S ± |l, m0l ; s, m0s i
m0l ,m0s
=
X
Cmj ,m0l ,m0s (hl, ml |L± |l, m0l iδms ,m0s +
m0l ,m0s
=
hs, ms |S ± |s, m0s iδml ,m0l )
= Cmj ,ml ∓1,ms hl, ml |L± |l, ml ∓ 1i +
Cmj ,ml ,ms ∓1 hs, ms |S ± |s, ms ∓ 1i
12.2 Addition von Drehimpulsen
155
und der Normierungsbedingung
1 = hj, mj , (l, s)|j, mj , (l, s)i
X
=
|hl, ml ; s, ms |j, mj , (l, s)i|2
(12.11)
ml ,ms
ableiten. Setzt man die Matrixelemente der Drehimpulsoperatoren ein, so kann man das Gleichungssystem (12.11) in die Form
Cmj ±1,ml ,ms
q
j(j + 1) − (mj + 1)(mj + 1 ± 1) =
(12.12)
p
Cmj ,ml ∓1,ms l(l + 1) − (ml + 1)(ml + 1 ∓ 1) +
p
Cmj ,ml ,ms ∓1 s(s + 1) − (ms + 1)(ms + 1 ∓ 1)
bringen. Allgemein sind die Clebsch-Gordan-Koeffizienten nur von Null verschieden, wenn l +
s ≥ j ≥ |l − s| erfüllt ist.
Bei der Addition von drei oder mehr Drehimpulsen muß man bei der Wahl der Basis vorsichtig sein. Betrachte den Fall F = I + L + S. Addieren wir zunächst J = L + S und dann
F = I + J , so würde die obige Prozedur uns die Basis {|f, mf , (i, j)i} liefern, also Eigenzustände von F 2 , F z , I 2 und J 2 . Addieren wir aber zunächst Σ = I + S und dann F = L + Σ,
so benutzen wir die Basis {|f, mf , (l, σ)i}. Die beiden Basen sind verschieden, in diesem Sinne
ist die Addition von Drehimpulsen sozusagen nicht assoziativ. Welche der Basen besser geeignet
ist, hängt von der physikalischen Situation ab.
Gute Abhandlungen über Drehimpulse in der Quantenmechanik finden sich in [2] und [3].
12.2.1
Weitere Darstellung der Addition von Drehimpulsen
[Li , Lj ] = i~ijk Lk
[L2 , Li ] = 0
Lz |lmi = ~m |lmi
(12.13)
L2 |lmi = ~2 l(l + 1) |lmi
Der Gesamtdrehimpuls ist j = L + S.
|ψi =
XX
ψlmsms |l, mi ⊗ |s, ms i
(12.14)
l,m s,ms
Dabei ist |ψi ∈ Produktraum, die |l, mi ⊗ |s, ms i sind Eigenfunktionen von Lz , L2 , Sz , S 2 . Die
Problemstellung ist nun, eine Basis des Produktraumes zu finden, die j 2 und jz diagonalisiert.
j 2 |ψi = ~2 j(j + 1) |ψi
jz |ψi = ~mj |ψi
(12.15)
156
Einschübe
|ψi = |j, mj , l, si
jz |ψi = (Lz + Sz ) |ψi
X
=
ψlmsms (~m + ~ms ) |lmi ⊗ |smi
(12.16)
lmsms
!
= ~mj
X
ψl,m,s,ms |lmi ⊗ |smi
lmsms
=⇒ |ψi kann nur gebildet werden durch Zustände, bei denen gilt: mj = m + ms .
j 2 = (L + S)2
= L2 + S 2 + 2LS
LS = Lx Sx + Ly Sy + Lz Sz
(12.17)
Führe ein:
L± = Lx ± iLy
S± = Sx ± iSy
L− S+ + L+ S− = (Lx + iLy )(Sx − iSy ) + (Lx − iLy )(Sx + iSy )
= 2Lx Sx + 2Ly Sy + i(Ly Sx − Lx Sy ) + i(Lx Sy − Ly Sx )
= 2(Lx Sx + Ly Sy )
(12.18)
1
=⇒ LS = Lz Sz + (L− S+ + L+ S− )
2
(12.19)
[L± , Lz ] = [Lx ± iLy , Lz ]
= (−iLy ± iiLx )
= ∓L± ~
=⇒ Lz L± |l, mi = (L± Lz + [Lz , L± ]) |l, mi
= m~L± |l, mi + ±L± |l, mi
= ~(m ± 1)L± |l, mi
=⇒ L± |l, mi ∼ |l, m ± 1i
(12.20)
[L2 , L± ] = 0
X
=⇒ |j, mj , l, si =
ψm,l,mj −m,s |l, mi |s, mj − mi
(12.21)
m,ms :m+ms =mj
=⇒ Basis: |j, mj , l, si
F = S0 + j
∼
=⇒ |F, mF , j, s0 i
F = (S 0 + S) + L
∼
=⇒ |F , m ∼ , SG , Li
F
(12.22)
12.3 Distributionen
12.3
157
Distributionen
Distributionen sind Objekte, die eigentlich nur unter einem Integral definiert sind. So ist z.B.
δ(x − x0 ) nur durch seine Wirkung unter dem Integral definiert:
Z
dx f (x)δ(x − x0 ) := f (x0 )
wobei f(x) eine sog. Test-Funktion sein soll. Grob gesagt sind Testfunktionen Funktionen, die
sich immer gutartig verhalten. Etwas formaler sind es C ∞ -Funktionen mit begrenztem Träger,
oder sie fallen zumindest hinreichend schnell ab für |x| −→ ∞). Distributionen sind keine Funktionen. δ(x − x0 ) ist z.B. nicht am Ort x0 definiert.
R∞
Das Integral D(ω) := 0 dτ e−iωτ ist auch im Distributions-Sinn zu verstehen:
Z ∞
Z ∞
Z ∞
dω D(ω)f (ω) =
dω f (ω)
dτ e−iωτ
−∞
0
Z−∞
∞
Pc
=
dω f (ω)(πδ(ω) − i )
ω
−∞
Z −
Z ∞
dω
dω
= πf (0) − i lim+ (
f (ω) +
f (ω))
→0
ω
−∞ ω
Der Schritt von der ersten zur zweiten Zeile kann mathematisch bewiesen werden. Der darin
auftretende Hauptwert bedeutet, dass auf beiden Seiten der Singularität dasselbe verwendet
wird. Im Unterschied dazu muß man beim normalen Grenzwert für beide Seiten der Singularität
verschiedene Grenzwerte verwenden.
158
Einschübe
Literaturverzeichnis
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[2] J.J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Addison Wesley, 1994.
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text on the axiomatic formulation of QFT, i.e., the derivation of the properties of any QFT
from a few basic axioms (such as Einstein locality). Mathematically superb, although some
conclusions of this theory are discouraging. It nevertheless provides rigorous proofs of the
spin-statistics theorem (i.e, that Bosons must have integer spin) and the PCT theorem (any
QFT must be invariant under a space inversion followed by charge conjugation and time
reversal).
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Index
adiabatische Näherung, 125
Anzahloperator, 23
Atom-Interferometrie, 91
avoided crossing, 76, 142
Bahndrehimpulsoperator, 41
Baker-Campbell-Hausdorf-Gleichung, 34
Berry-Phase, 87
Besselfunktionen
sphärische, 6
Bewegungsgleichung
Vielteilchensystem, 145
Bloch
-Kugel, 71
-Vektor, 71
Born-Oppenheimer Näherung, 125
Bose-Einstein
-Übergang, 145
Kondensat, 143
Bose-Gas, 145
Brechungsindex, 134
Definition, 132
Casimir-Effekt, 32
Coulomb-Eichung, 5
d’Alembert-Operator, 3
Dark States, 79
deBroglie-Wellenlänge, 147
Dichtematrix, 100
Eigenschaften, 100
Kohärenzen, 102
dielektrische Verschiebungsdichte, 11
Dielektrizitätskonstante
relative, 137
Differentialgleichungen
nichtlineare, 3
Dipol, 7
Dipolmoment, 7
Direktes Produkt von Hilbert-Räumen, 105
Distributionen, 157
Divergenz, 1
Doppler
-Effekt, 124
-Kühlung, 123
-Verschiebung, 91
Dressed States, 75
in einer Cavity, 76
Dunkelzustand, 79, 87, 133
Eichtransformationen, 5
Einsteinsche Summenkonvention, 1
EIT, 129, 133
Elektromagnetisch induzierte Transparenz, 133
Eliminierung
adiabatische, 94
Entropie, 103
reiner Zustand, 104
Erzeuger, 22
Falle
harmonische, 150
Feinstruktur, 42, 64
Feldoperator, 23, 24
Feynman-Diagramm, 143
Fockraum, 21
Fundamentalkräfte, 47
Güte
Cavity-, 78
Gaußscher Satz, 2
Gesamtheit
INDEX
großkanonische, 146
kanonische, 146
Green-Funktion, 6
Gross-Pitevskii-Gleichung (GPE), 150
Gruppengeschwindigkeit, 132, 134
gyromagnetischer Faktor, 42
Hamiltonian
Zwei-Niveau-System, 65
Hankelfunktionen
sphärische, 6
Heisenberg’sche Unschärferelation, 36
Helmholtz-Gleichung
inhomogene, 6
Hyperfeinstruktur, 43
Impuls
kanonisch konjugierter, 45
kinetischer, 45
Impulsoperator
Zwei-Niveau-System, 66
Interferometer
Atomic fountain, 93
Ramsey-Bordé, 91
Doppler-Verschiebung, 92
Interferometrie, 72
Jaynes-Cummings-Modell, 77
Josephson-Effekt, 63
kanonische Quantisierung, 46
kohärente Zustände, 33
Eigenschaften, 37
Zeitentwicklung von, 36
Kommutatorrelation
Erzeuger und Vernichter, 22
Kontinuitätsgleichung, 1, 2
Korrelation, 105
Ladungserhaltung, 2
Lagrange-Dichte, 26
Lamb-Shift, 117
Landau-Zener-Übergänge, 73
Laser
163
-Kühlen, 123
Doughnut-, 95
Levi-Civita-Symbol, 1
Lindblad-Form, 117
Linse
Atom, 96
Liouville
-Gleichung, 102
-Superoperator, 102
-Theorem, 105
Lorentz
-Eichung, 5
-Kraft, 45
magnetische Monopole, 4
magnetisches Moment, 42, 44
makroskopische
Felder, 10
Maxwell-Gleichungen, 10
Markov-Näherung, 113
Master-Gleichung
Zwanzigs, 110, 111
für atomare Multipletts, 116
für Zwei-Niveau-Atome, 116
in Markov-Näherung, 114
Zwanzigs, 105, 107
Maxwell-Bloch-Gleichungen, 129, 130, 133
Maxwell-Gleichungen, 1
im Vakuum, 1
in Dielektrikum, 129
inhomogene, 31
minimale Kopplung, 46
Multiplett, 64
Multipolentwicklung, 6
für Vektorfelder, 9
Multipolmoment
sphärisches, 7
Näherung
Thomas-Fermi-, 150
Nichtlineare Optik, 3
Operator
Zwei-Teilchen-System, 65
164
Operatorfunktion, 103
Ortsoperator
Zwei-Niveau-System, 65
Pauli-Verbot, 19
Phasengeschwindigkeit, 132
Photonische Bandlücken, 137
Potential
optisches, 94
periodisches, 137
skalares, 4
Vektor-, 3
Produkt
zeitgeordnetes, 108
Produktzustand, 105
Projektions-Superoperatoren, 107
Pseudopotential, 149
Punktdipol, 7
Qbit, 64
Quadrupolübergänge, 93
Quasi-Impuls, 139
Rückstoßverschiebung, 91, 92
Rabi
-Frequenz, 67
-Oszillationen, 70
Raman-Übergänge, 84
Raman-Nath-Näherung, 97
recoil-shift, 91
Reduzierte Dichtematrix, 105
reduzierte Matrixelement, 60
Reservoir, 110
Rotating-Wave-Approximation, 68
Rotation, 1
Schrödinger-Gleichung
nichtlineare (NLSE), 150
Schrödinger-Operator für bestimmte Mode,
32
Schwerpunktbewegung, 89
Skalare Multipole, 6
Skalarprodukt
erhaltendes, 138
INDEX
Solitonen, 151
Solitons
Bright-, 151
Dark-, 151
Gap-, 152
Spectral hole burnig, 133
Spin-Bahn-Kopplung, 43
Spin-Statistik-Theorem, 20
spontane
Emission, 114
Emissionsrate, 117
Spur, 100
stationärer Zustand, 130
STIRAP, 86
Stoppen von Licht, 135
Streulänge, 147
Superoperator, 102
TE-Felder, 10
Teilchenzahldarstellung, 20
Test-Funktion, 157
Theorem
Adiabatisches, 86
TM-Felder, 10
Translationsoperator, 138
Vakuum
Verschiebung des, 35
Variation
unter Nebenbedingung, 149
Vector spherical harmonics, 9
Vektorpotential, 3
Verdampfungskühlen, 123
Vernichter, 22
Verschiebe-Operator, 34, 35
Vertauschungsoperator, 19
Vielteilchentheorie, 26
bosonischer Atome, 143
VSCPT, 127
Wasserstoffatom, 41
Parität, 42
Quantenzahlen, 42
Wechselwirkungsbild, 68
INDEX
Wellenfunktion
kollektive, 150
Vielteilchen-, 20
Wellengleichungen, 3
Wirbelfeld, 4
zeitgeordnetes
Exponential, 109
Produkt, 108
Zustandsumme, 146
Zwanzigs Master-Gleichung, 105, 107, 110,
111
Näherungen, 110
Zwei-Niveau
Atom, 130
effektives System, 94
System, 63
Zwei-Photonen-Resonanz, 79
Zweite Quantisierung, 25
165
