6 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen Elektromagnetischer Schwingkreis Schaltung mit Kondensator C und Induktivität L. Kondensator wird periodisch aufgeladen und entladen. Tabelle 6.1: Vergleich elektromagnetischer Schwingkreis ↔ mechanische Schwingung. elektromagnetischer Schwingkreis Zeitpunkt mechanische Schwingung m + - À t=0 Epot I m Á t = T /4 + Ekin m  t = T /2 Epot I m à t = 3/4T + - Ä t=T Ekin m Epot 53 6 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen Energie im Schwingkreis a) ungedämpft (R=0): magnetische Energie in Spule: Wmagn = 21 LI 2 elektrische Energie in Kondensator: Wel = 12 CU 2 = 1 Q2 2 C Energieerhaltung: 1 2 1 Q2 LI + = konst. 2 2C (6.1) 1 2 1 2 mv + Dx = konst. 2 2 (6.2) d (Wmagn + Wel ) = IR2 dt (6.3) Analogie zur Mechanik (Feder): b) gedämpft (R6=0): Zeitliche Abnahme der Energie: − Verlustleistung; Energie wird als Wärme entzogen (Joulsche Wärme) 6.1 Freie elektromagnetische Schwingung L U C R Abbildung 6.1: LCR-Schwingkreis dI dt Q UC = C UR = RI UL = L 54 (6.4) (6.5) (6.6) 6.1 Freie elektromagnetische Schwingung Kirchhoffsche Maschenregel: → U = UL + UC + UR = 0 dI Q ⇔ L + + RI = 0 dt C differenzieren d2 I 1 dI ⇒L 2 +R + I =0 dt dt C (6.7) (6.8) (6.9) (6.10) Analogie zur Mechanik: m d2 x dx + b + Dx = 0 2 dt dt (6.11) Lösungsansatz: I = I0 exp (λt) dI = λI0 exp (λt) dt d2 I = λ2 I0 exp (λt) 2 dt (6.12) (6.13) (6.14) einsetzen: R 1 λ+ =0 L LC r p R R2 1 ⇒ λ1,2 = − ± − = −α ± β2 2L 4L2 LC λ2 + (6.15) (6.16) Verschiedene Schwingfälle je nach Verhältnis von α und β. a) starke Dämpfung (Kriechfall): β2 > 0 1 R2 > ⇒ 2 4L LC (6.17) (6.18) 55 6 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen b) aperiodischer Grenzfall: β2 = 0 R2 1 ⇒ = 2 4L LC (6.19) (6.20) c) gedämpfte Schwingung: β2 < 0 R2 1 ⇒ < 2 4L LC ⇒ I(t) = I0 exp (−λt) cos (ωt + ϕ) (6.21) (6.22) (6.23) R mit der Dämpfungskonstante: α = 2L r 1 R2 und der Frequenz: ω = − 2 LC 4L q ω02 − α2 ⇒ω= mit ω0 = (6.24) 1 Frequenz der ungedämpften Schwingung α = 0. LC I(t) I0 ~e -αt 0 t -I0 Abbildung 6.2: Amplituden-Zeitdiagramm einer gedämpften Schwingung. Einfluss der Dämpfung: → Abnahme der Amplitude → Verschiebung der Resonanzfrequenz 56 (6.25) 6.2 Erzwungene elektromagnetische Schwingung 6.2 Erzwungene elektromagnetische Schwingung Schwingkreis mit äußerer periodischer Anregung. L U0cos ωt C R Abbildung 6.3: LCR-Schwingkreis mit Anregung. Q dI + RI + = U0 cos (ωt) dt C differenzieren: d2 I dI 1 dU L 2 +R + I = dt dt C dt L (6.26) (6.27) (6.28) (6.29) Der Strom I im Kreis hat eine zeitlich konstante Amplitude I0 = I = I0 cos (ωt − ϕ) s |Z| = R2 U0 |Z| mit: (6.30) 1 + ωL − ωC 2 (6.31) Resonanz für: ω = ωR = √ ⇒ Z(ωR ) = R 1 LC (6.32) (6.33) → rein reeller Widerstand, ϕ = 0, U und I in Phase. → |Z| minimal, I0 maximal. Anregungstypen: ω ωR : quasistatische Anregung ω ≈ ωR : resonante Anregung ω ωR : hochfrequente Anregung 57 6 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen (a) I0 |Z| 0 0 (b) _ p 2 wR w j Induktivität dominiert 0 w p -_ 2 Kapazität dominiert wR Abbildung 6.4: Frequenzabhängigkeit von (a) Strom I0 und Impedanz Z , sowie (b) der Phase ϕ im LCR-Reihenschwingkreis. 58 6.3 Offene Schwingkreise, Hertzscher Dipol 6.3 Offene Schwingkreise, Hertzscher Dipol Im geschlossenen Schwingkreis sind L und C separiert → Übergang zum offenen Schwingkreis. (a) C (b) L C L (c) (d) C+L C+L Abbildung 6.5: Entwicklung vom LC-Schwingkreis (a) zum Dipol (d). Aus der Spule wird eine Leiterschlaufe (b) bzw. ein Stab. Der Kondensator wird „aufgebogen“. Die Kapazität wirkt zwischen den Enden des Stabes (c). → keine räumliche Trennung von elektrischem und magnetischem Feld. E(t) B(t) Abbildung 6.6: Elektrisches und magnetisches Feld eines Hertzschen Dipols. Bei zeitlicher Änderung der Strom- und Ladungsdichte: → Änderung der Felder → Ausbreitung mit Lichtgeschwindigkeit im Raum → Energieverlust durch Abstrahlung elektromagnetischer Wellen Anregung eines offenen Schwingkreises durch induktive oder kapazitive Kopplung an einen geschlossenen Kreis. Erhöhung der Resonanzfrequenz durch Verkleinerung von L und C: 1 ωR = √ LC (6.34) 59 6 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen Strom- und Spannungsverteilung z ℓ I(z,t0) U(z,t0) Abbildung 6.7 I(z, t) = I0 (z) sin (ωt) (6.35) entspricht einer stehenden Welle mit einer Wellenlänge von λ = 2`. Niedrigste Resonanzfrequenz: ω0 = 2π π c c = cPh mit cPh = √ λ l µ (6.36) cPh : Phasengeschwindigkeit der elektromagnetischen Welle. Wechselstrom im Stab induziert: Negativ geladene Elektronen schwingen gegenüber positiv geladenen Atomrümpfen. → schwingender, elektrischer Dipol → Hertzscher Dipol -q +q Abbildung 6.8: Ladungsbewegung beim Hertzschen Dipol. d~ = d0 sin (ωt) p~(t) = q d0 sin (ωt) ⇒ p~(t) = q d~ 60 (6.37) (6.38) (6.39) 6.4 Elektromagnetische Wellen Abstrahlcharakteristik: J Abbildung 6.9: Abstrahlcharakteristik eines Dipols. S∝ ω 4 sin2 ϑ r2 (6.40) S: Poynting-Vektor gibt die strömende elektromagnetische Feldenergie nach Betrag und Richtung an. 6.4 Elektromagnetische Wellen Abstrahlung eines Hertzschen Dipols → fortschreitende elektromagnetische Welle mit der Geschwindigkeit: Ausbreitungsvektor ~k : 1 0 µ0 2π ω |~k| = = λ c c= √ (6.41) (6.42) Wellengleichung ∂ 2E ∂ 2E ∂ 2E ∂ 2E + + = µ 0 0 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 ∂t2 (6.43) eines zeitlich veränderlichen elektrischen Feldes E(~r, t) im Vakuum → periodische, ebene Welle in der Fernzone des Dipols (r λ) ~ =E ~ 0,y sin (kz − ωt) E ~ =B ~ 0,x sin (kz − ωt) B ~k ⊥ B ~ ~ mit ~k ⊥ E (6.44) (6.45) ~ ⊥B ~ E (6.46) 61