1) Darstellungstheorie der Quantenmechanik oder von Schrödinger

Darstellungstheorie der Quantenmechanik
1) Darstellungstheorie der Quantenmechanik
oder von Schrödinger zu Dirac und Heisenberg
Burgd. 6
Schwabl 8
Ziel
Darstellung Schrödinger-Glg. in verschiedenen Basis-Syst.
Transfer der Zeitentwicklung von Wellenfunktion zum Operator
Darstellungstheorie der Quantenmechanik
Dirac Notation
1.1) Dirac Notation
oder von bra’s h and ket’s i
Burgd. 6.1
Schwabl. 8.2
Ziel
Basisunabhängige Notation der Schrödinger-Glg.
Ausgangspunkt: Schrödinger-Glg.
∂
~2 ~ 2
i~ ψ(~r , t) = H(~r )ψ(~r , t) = −
∇ + V (~r ) ψ(~r , t)
∂t
2m
(1)
Frage
Warum tritt – im Gegensatz zur analytischen Mechanik – in der
Schrödinger-Gleichung nur ~r nicht ~p auf?
H(~r , ~p) → H(~r ) ,
~p →
~~
∇
i
Darstellungstheorie der Quantenmechanik
Dirac Notation
Antwort
Wellenfunktion ψ(t) ∈ H ist Vektor
in linearem Vektorraum (Hilbertraum H)
ψ(~r , t), H(~r ) sind lediglich Darstellungen in Ortsraum-Basis
Vgl. mit ~v ∈ R3
P
Basis 1: ~v = i vi e~i ;
Basis 2: ~v =
P
i
vi0 e~i0
ψ(~r , t) entspricht vi für fixen Zeitpunkt t
Dirac Notation |ψ(t)i entspricht ~v
Tr
Skalarprodukt liefert vi = e~i ~v = (e~i , ~v ) =
P
j
(e~i , e~j )(e~j , ~v )
| {z }
δi,j
Skalarprodukt liefert R
ψ(~r , t) = h~r ||ψ(t)i = d3 r 0 h~r |r~0 i hr~0 |ψ(t)i = ψ(~r , t)
| {z }
| {z } | {z }
≡h~r |ψ(t)i
δ(~r −r~0 )
ψ(r~0 ,t)
Darstellungstheorie der Quantenmechanik
Dirac Notation
Beispiel
Eigenwert-Glg. für Eigenfunktion |ψ~k i ≡ |~k i
zum Impuls-Operator ~p
Dirac-Notation:
~p |ψ~k i = ~~k |ψ~k i
⇒ Darstellung im Ortsraum durch Projektion auf h~r |
~~
∇ ψ~k (~r ) = ~~k ψ~k (~r )
i
(2)
s.
(3)
Darstellungstheorie der Quantenmechanik
Dirac Notation
Ziel (erreicht)
Abstrakte, basisunabhängige Darstellung der Schrödinger-Glg.
i~
∂
|ψ(t)i = H|ψ(t)i
∂t
(4)
⇒ gewohnte Schödinger-Glg. im Orts-Raum
durch Projektion auf h~r |
s.
∂
~2 ~ 2
i~ ψ(~r , t) = H(~r )ψ(~r , t) = −
∇ + V (~r ) ψ(~r , t)
∂t
2m
(1)
Darstellungstheorie der Quantenmechanik
Impulsdarstellung der Schrödinger-Gleichung
1.2) Impulsdarstellung der Schrödinger-Gleichung
oder Fouriertrafo von Differential- zu Integral-Glg.
Burgd. 6.2
Schwabl. 8.3.2
Ziel
Schödinger-Glg. im Impuls-Raum
∂
folgt durch Projektion von i~ ∂t
|ψ(t)i = H|ψ(t)i auf h~p|
∂
~2 k 2 ~
i~ ψ(~k , t) =
ψ(k , t)+
∂t
2m
Z
d3 k
Ṽ (k~0 − ~k )
| {z }
R
i~r (k~0 −~
k)
~
≡ d3 r e
3 V (r )
(2π)
s.
ψ(~k , t) (5)
(F.T.)
Integralgleichung! (Fredholmsche, d.h. linear in ψ(~k , t)
und konstante Integrationsgrenzen [−∞..∞])
Darstellungstheorie der Quantenmechanik
Impulsdarstellung der Schrödinger-Gleichung
Schrödinger-Glg. im Impuls-Raum
i~
∂ ~
~2 k 2 ~
ψ(k , t) =
ψ(k , t) +
∂t
2m
Z
d3 k 0 Ṽ (k~0 − ~k )ψ(~k 0 , t)
kann auch auf folgende Form gebracht werden (s.
)
~2 k 2 ~
~~ ~
∂ ~
ψ(k , t) =
ψ(k , t) + V − ∇
~ ψ(k , t)
∂t
2m
i k
Man sieht, Impuls-Darst. ist i.d.R. komplizierter,
da V (~r ) i.d.R. verschiedene Potenzen von ~r enthält
i~
(6)
~ in Festkörperphysik
Anwendung: periodischesV (~r ) = V (~r + R)
Darstellungstheorie der Quantenmechanik
Impulsdarstellung der Schrödinger-Gleichung
Beispiel
Hamonischer Osszillator in einer Dimension (1D)
(zeitunabh. Schrödinger-Glg. im Impulsraum)
p2
Klassische Mechanik: H = 2m
+ 12 mω 2 x 2
E ψ(~k )
1
p2
2 2
+ mω x ψ(~k )
2m 2
"
#
p2
~2 mω 2 ∂ 2
−
ψ(~k )
2m
2
∂p
=
Imp.Darst.
=
folgt aus Analogie x ↔ p oder Glg. (6).
(7)
(8)
Darstellungstheorie der Quantenmechanik
Impulsdarstellung der Schrödinger-Gleichung
Zusammenfassung
h~r |k i = √ 1
(2π)3
eik~r
Orthogon.
Vollständ.
Orts-Darst.
h~r |~r 0 i = δ(~r − ~r 0 )
R 3
d r |~r ih~r | = 1
Impuls-Darst.
~
hk |~k 0 i = δ(~k − ~k 0 )
R 3
d k |~k ih~k | = 1
Orts-Op. ~ˆr
ˆ
Impuls-Op. ~p
h~r |~ˆr |~r 0 i = ~r δ(~r − ~r 0 )
ˆ |~r 0 i = ~ ∇δ(
~ ~r − ~r 0 )
h~r |~p
i
~ ~ δ(~k − ~k 0 )
h~k |~ˆr |~k 0 i = i~∇
k
ˆ |~k 0 i = ~~k δ(~k −~k 0 )
h~k |~p
S-Glg.
i~ ∂ h~r |ψ(t)i =
−~2 ∂t2
~ + V h~r |ψ(t)i
∇
∂ ~
k ~
i~ ∂t
hk |ψ(t)i = ~2m
hk |ψ(t)i
R 3 0
0
+ d k Ṽ (~k −~k )h~k 0 |ψ(t)i
ψ(~r , t) = h~r |ψ(t)i
ψ(~k , t) = h~k |ψ(t)i
2m
Wellenfkt.
2 2
Darstellungstheorie der Quantenmechanik
Heisenbergsche Matrizenmechanik
1.3) Heisenbergsche Matrizenmechanik
oder Schödinger-Glg. in diskretem VONS
Burgd. 6.3, 6.4
Schwabl. 8.3.3
Zusammenfassung (Heisenbergsche Matrizenmechanik)
Sei {|φn i}n∈N VONS
z.B. Eigenbasis zu Operator A:
A|φn i = an |φn i
Projektion von S-Glg. in Dirac-Notation auf hφn | liefert
i~
∂
∂t
ψn (t)
| {z }
=
≡hφn |ψ(t)i≡ψ(n,t)
X
m
Hnm
|{z}
≡hφn |H|φm i
ψm (t)
s.
(9)
Darstellungstheorie der Quantenmechanik
Heisenbergsche Matrizenmechanik
Zusammenfassung (Transformationstheorie)
Betrachte zweites VONS {|φ̃n i}n∈N
dann gilt analoge Matrizen-Glg.
i~
∂
∂t
ψ̃n (t)
| {z }
=
X
m
≡hφ̃n |ψ(t)i≡ψ̃(n,t)
H̃nm
|{z}
ψ̃m (t)
≡hφ̃n |H|φ̃m i
mit unitärer Basis-Transformation U
(U † U = 1)
X
H̃nm =
hφ̃n ||φn0 i hφn0 |H|φm0 i hφm0 ||φ̃m i
| {z } |
{z
} | {z }
0 0
nm
†
=Unn
0
≡Hn0 m0
s.
(11)
≡Um0 m
statt n ∈ N auch kontinuierlicher Index möglich, z.B.
Z
X
~
n↔r
↔ d3 r
n
(10)
(12)
Darstellungstheorie der Quantenmechanik
Bilder der Zeitentwicklung
1.4) Bilder der Zeitentwicklung
oder vom zeitabh. Zustand zum zeitabh. Operator
Burgd. 6.5
Schwabl. 8.5
Ausgangspunkt Schrödinger-Bild
|ψ(t)i = U(t)|ψ(t = 0)i
(13)
i
mit U(t) = e− ~ Ht unitär, s.
Idee
Alternative: Heisenberg Bild
|ψH (t)i ≡ U −1 (t)|ψ(t)i = U † U|ψ(t = 0)i = |ψ(0)i ≡ |ψH i (14)
Zustände (WF) zeitunabh., dafür Operatoren zeitabh.
A (t)
= U † (t)
A
U(t)
|{z}
| H{z }
Schrödinger-Bild
Heisenberg-Bild
s.
(15)
Darstellungstheorie der Quantenmechanik
Bilder der Zeitentwicklung
Aus den Definitionen (14), (15) folgen
s.
Zusammenfassung ( Heisenbergsche Bewegungs-Glg.)
d
∂
i~ AH (t) = AH (t), H
+i~ AH (t)
(16)
dt
∂t
sowie
QM-Version der klass. Hamiltonschen Bewegungs-Glg.
für kanonisch-konjugierte Operatoren z.B. x und p:
d
hxi =
dt
d
hpi =
dt
∂
xH (t), H i = h Hi
∂p
∂
1
i~ h pH (t), H i = −h ∂x Hi
1
i~ h
s.
(17)
(18)
Darstellungstheorie der Quantenmechanik
Bilder der Zeitentwicklung
Aus QM-Version der Bewegungs-Glgn. (17),(18), folgt
Theorem (Ehrenfestsches)
Für Potentiale V (x) mit Polynomgrad . 2 (in x) gelten
klass. Bewegungs-Glg. für quantenmech. Erwartungswerte
Beweis: Ableitungen in Glg. (18) liefern nur hxi
i.A.
(i.A. tritt in Glg. (18) z.B. hx 2 i 6= hxi2 auf!)
s.
Darstellungstheorie der Quantenmechanik
Bilder der Zeitentwicklung
Idee (2. Alternative: Wechselwirkungs-Bild)
Zerlege H in zeitunabh. Teil H0 und zeitabh. Teil V (t):
H = H0 + V (t)
(19)
Zusammenfassung
Dies überträgt Teil der Zeitentw. (bzgl. H0 ) auf Operatoren:
|ψI (t)i
≡ U0−1 (t) |ψ(t)i
| {z }
(20)
i
≡e− ~ H0 t
d
⇒ i~ dt
|ψI (t)i = VI (t)|ψI (t)i
⇒
AI (t)
| {z }
WW-Bild
⇒
d
i~ dt
AI (t)
U0† (t)
A
U0 (t)
|{z}
Schrödinger-Bild
∂
= AI (t), H0
+i~ AI (t)
∂t
=
(21)
(22)
(23)