Satzgruppe des Pythagoras - Hu

Humboldt-Universität zu Berlin
Institut für Mathematik
Dr. I. Lehmann: Ausgewählte Kapitel der Didaktik der Mathematik WS 2008/09
Referentinnen: Undine Pierschel & Cornelia Schulz
16.12.2008
Satzgruppe des
Pythagoras
1. Satz des Pythagoras
2. Kathetensatz
3. Höhensatz
4. Umkehrungen
5. Satz des Thales
6. Pythagoreische Tripel
7. Vermischte Aufgaben
0. Einführung
Rahmenlehrplanbezug:
Jahrgangsstufe 7/8:
Satz des Thales
Jahrgangsstufe 9/10:
Satzgruppe des Pythagoras
Eine Alltagsanwendung
„Ihr wollt zum Beispiel ein Badminton-Netz aufstellen. Weil das Netz
ja gespannt wird, müssen die Pfosten, die das Netz halten, durch
Fäden gestützt werden. Auf einem Beilagezettel von dem BadmintonNetz steht, damit die Fäden durch die große Kraft der Spannung nicht
reißen, müssen sie mindestens 2 Meter von dem Pfosten entfernt in
den Boden gesteckt werden. Du willst nun also los und solche Fäden
kaufen. Damit du nun aber nicht zu kurze Fäden kaufst, könntest du
dir mit Hilfe des Satzes vom Pythagoras die Mindestlänge der Fäden
ausrechnen. Die Pfosten selbst sind 1,3 Meter hoch.
Also rechnen wir die Mindestlänge mit Hilfe des Satzes von
Pythagoras aus:
(Mindestlänge des Fadens)² =
(Höhe des Pfostens)² + (Mindestabstand)²
Ergebnis wäre also: Die Fäden müssten mindestens 2,4 Meter lang
sein.
Dies wäre ein sehr triviales Beispiel, aber es ist auch auf andere
Bereiche übertragbar. Bei einem Badminton-Netz ist es nicht so
ausschlaggebend, ob das Seil nun etwas zu kurz ist oder nicht, es kann
sein, dass es auch hält, wenn es etwas zu kurz ist. Aber man stelle sich
vor, ein Brückenpfeiler soll durch Stahlseile gestützt werden, da kann
ein kleiner Rechenfehler tödlich enden. Siehst du, Mathematik kann
sogar Leben retten, wer hätte das gedacht ;)“
1.Satz des Pythagoras
Satz:
In einem rechtwinkligen Dreieck mit dem rechten
Winkel bei C gilt: a2 + b2 = c2.
A
F
c
h
B
a
b
C
Beweis:
Es gibt viele Möglichkeiten,
z. B.: Anwendung des Kosinussatzes (mit γ = 90°)
oder aber den grafischen Beweis.
Aufgabe: Stelle einen geometrischen Beweis des
Satzes von Pythagoras mit GSP dar.
Beispiellösung:
b
c
b
a
c
a
b
a
c
a
b
b
c
2. Kathetensatz des Euklid
Satz:
In einem rechtwinkligen Dreieck (A,B,C) mit γ=90°
gilt:
a2 = |BF|c,
bzw.
b² = |AF|c.
Die Quadratfläche über einer Kathete ist
flächeninhaltsgleich mit dem Rechteck aus dem
Hypotenusenabschnitt an dieser Kathete und der
Hypotenuse selbst.
A
F
c
h
B
a
b
C
Beweis:
Satz des Pythagoras anwenden (rechnerisch).
Aufgabe: Konstruiere eine Zeichnung, die die
Aussage des Kathetensatzes verdeutlicht.
Beispiellösung:
F
c
B
A
b
a
C
3. Höhensatz des Euklid
Satz:
In einem rechtwinkligen Dreieck (A,B,C) mit γ=90°
gilt:
h² = |AF| |BF|
Das Quadrat aus der Höhe ist flächeninhaltsgleich
mit dem Rechteck aus den beiden
Hypotenusenabschnitten.
A
F
c
h
B
a
b
C
Beweis:
Anwendung des Satzes von Pythagoras oder des
Kathetensatzes.
Aufgabe: Konstruiere eine Zeichnung, die die
Aussage des Höhensatzes verdeutlicht.
Beispiellösung:
4. Umkehrungen
Gelten die folgenden Umkehrungen?
Pythagoras:
Wenn in einem Dreieck mit den Seitenlängen a, b
und c
a2 b2 c2
gilt, dann handelt es sich um rechtwinkliges
Dreieck mit dem rechten Winkel bei C.
Kathetensatz:
Wenn in einem Dreieck mit den Seitenlängen a, b
und c sowie den Hypotenusenabschnitten |BF|
und |AF|
a2  BFc und b2  AFc
gilt, dann handelt es sich um rechtwinkliges
Dreieck mit dem rechten Winkel bei C.
Höhensatz:
Wenn in einem Dreieck mit den Seitenlängen a, b
und c, den Hypotenusenabschnitten p und q sowie
der Höhe h auf der Seite c
h2  pq
gilt, dann handelt es sich um rechtwinkliges
Dreieck mit dem rechten Winkel bei C.
Aufgabe: Untersuche die Umkehrungen der Sätze
auf ihre Gültigkeit. (Nutze GSP!)
„Vorgehensweise“
mACB = 117,84 
a = 5,10 cm
aa = 25,98 cm2
FE = 9,06 cm
FB = 4,31 cm
FBFE = 39,01 cm2
a
C
a
B
b
A
c
F
E
γ= 117,84°
a² = 25,96 cm²
|FB|·|FE| = 39,01 cm²
- mit Flächeninhaltsannäherung, nähert sich γ
auch 90° an
- Flächeninhalte erst gleich, wenn γ=90°
mACB = 90,02 
a = 2,72 cm
aa = 7,37 cm 2
FE = 6,19 cm
FB = 1,19 cm
FBFE = 7,38 cm 2
C
a
b
A
B
c
F
E
a
5. Satz des Thales
Satz:
Ist der Durchmesser eines Kreises gleich der
Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, so liegt
der Eckpunkt mit dem rechten Winkel auf dem
Kreisbogen.
oder auch:
Konstruiert man ein Dreieck aus den beiden
Endpunkten des Durchmessers eines Halbkreises
(Thaleskreis) und einem weiteren Punkt dieses
Halbkreises, so erhält man immer ein
rechtwinkliges Dreieck.
Aufgabe: Konstruiere, das rechtwinklige Dreieck
mitsamt seinen Katheten- und Hypotenusenquadraten so, dass man die Ecke mit dem rechten
Winkel auf dem Thaleskreis herumziehen kann.
(Lasse die Flächen berechnen.)
Beispielkonstruktion:
C
a
b
c
A
B
6. Pythagoreische Tripel
Definition:
Ein Tripel (a, b, c) natürlicher Zahlen heißt
pythagoreisches Tripel, falls a2 + b2 = c2 gilt.
Offenkundig ist mit (a, b, c) auch jedes Tripel der
Form (ka, kb, kc) mit k є N ein Pythagoras-Tripel.
Wir nennen (a, b, c) ein primitives pythagoreisches
Tripel, falls die Zahlen a, b, c keinen gemeinsamen
Teiler ungleich 1 haben.
Es ist nicht schwer Pythagoras-Tripel anzugeben.
In der Tat, sind u < v zwei natürliche, teilerfremde
Zahlen, und sind nicht beide dieser Zahlen
ungerade, so wird
a:= v2 – u2 ,b:= 2uv, c:= v2 +u2
ein primitives Pythagoras-Tripel.
u
v
x
y
Z
2
1
3
4
5
4
1
15
8
17
3
2
5
12
13
6
1
35
12
37
5
2
21
20
29
7. Vermischte Aufgaben:
1. Aufgabe zum Pythagoreischen Tripel
Aufgabe: Konstruiere ein Dreieck mit den
Seitenlängen aus einem der angegebenen
pythagoreischen Tripel.
2. Möndchen des Hippokrates
Gilt der Satz des Pythagoras nur für
quadratische Flächen über den Seiten?
Aufgabe: Setze an die Dreiecksseiten eines
rechtwinkligen Dreiecks Halbkreise an. Addiere
die Flächen über den Katheten und lasse die
Halbkreisfläche über der Hypotenuse
berechnen.
(Wiederhole die Aufgabe mit gleichseitigen
Dreiecken anstelle der Halbkreise.)
Welche Bedingung muss erfüllt sein?
--> Ähnlichkeit der Figuren über den
Dreiecksseiten
Zu den Möndchen des Hippokrates
Aufgabe: Zeichne in die Variante mit den
Halbkreisen denjenigen über der Hypotenuse
vollständig ein. Addiere die Flächen der
entstandenen Möndchen und vergleiche sie
mit der Dreiecksfläche.
3. Pythagoras am Kreis
i)
In einem Kreis k(M, r) ist eine Sehne |AB|
der Länge 10cm gegeben. |MF| sei die
Lotstrecke vom Kreismittelpunkt M auf die
Sehne |AB|. Die Verlängerung dieser
Lotstrecke treffe die Kreislinie im Punkt Q.
Es sei |FQ| = 2 cm. Bestimme anhand
einer Konstruktion in GSP den Kreisradius
(lasse ihn messen).
ii) Eine Kugel vom Durchmesser d = 1,0 m
rollt auf ein Loch vom Durchmesser l =
70cm zu. Wie tief sackt die Kugel in das
Loch ein? (Nutze GSP!)
4. Flächenumwandlungen
i)
Verwandle ein Quadrat der Seitenlänge
7,5 cm in ein inhaltsgleiches Rechteck,
dessen eine Seite 5,5 cm lang ist.
ii) Verwandle das Rechteck ABCD mit den
Seitenlängen 6 cm und 3 cm mit Hilfe des
Kathetensatzes in ein flächengleiches
Quadrat.
iii) Verwandle das Quadrat ABCD mit der
Seitenlänge 4 cm unter Verwendung des
Höhenensatzes in ein flächengleiches
Rechteck, dessen eine Seite 6 cm lang ist.
5. Bonusaufgabe
Ein Satellit S befindet sich in der Höhe h = 230
km über der Erdoberfläche. Die Erdkugel vom
Radius R = 6370 km erscheint von S aus
betrachtet als eine Kreisscheibe. Entwerfe
eine Skizze und bestimme dann den Radius r
dieser Kreisscheibe!
Skizzen-Ansatz:
8. Literatur und Quellen:
- www.btmdx1.mat.unibayreuth.de/smart/wp/index.php
(Zugriff am 7.12.2008)
- www.sunsite.univie.ac.at/Projects/kaufmann/#4.1
(Zugriff am 7.12.2008)
- www.didaktik.mathematik.uniwuerzburg.de/history/pythagoras/site1.html
(Zugriff am 9.12.2008)
- Elementargeometrie, Agricola & Friedrich, ViewegVerlag, 2005, Wiesbaden
- Mathematik, compact-Verlag, 2007, München
- Rahmenlehrplan für die Sekundarstufe I, Berlin
- www.mathe-trainer.de/Klasse9/Pythagoras/
Block4/Aufgaben.htm
(Zugriff am 9.12.2008)
- http://www.lebendigemathematik.net/Klasse4/Streifl4/LM4_F28.pdf
(Zugriff am 11.12.2008)