Elektrik

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2.Elektrizität und Magnetismus
2.1. Physikalische Grundgrößen und Grundgesetze
2.1.1. Physikalische Grundgrößen
Raumladungsdichte

elektrische Ladung
Q    dV
elektrische Spannung
elektrische Feldstärke
elektrische Flussdichte,
dielektrische Verschiebung
[] = As/m3
[Q] = As = C
V
U

E


D   r 0 E
Permittivität des Vakuums
0 = 8.854  10-12 As/Vm
relative Dielektrizitätskonstante
r
[U] = V
[E] = N/As = V/m
[D] = As/m2
1
elektrischer Strom
Stromdichte
dQ
I
 dt
j
mit
[I] = A
 
I   j da
[j] = A/m2
A


j  E
Leitfähigkeit
 mit
magnetische Feldstärke

H
[H] = A/m


B  r 0 H
[B] = Vs/m2 = T
[] = A/Vm
(magnetisches Feld)
magnetische Flussdichte
(magnetische Induktion)
Permeabilität des Vakuums
0 = 4  107 Vs/Am
relative Permeabilitätskonstante
r
2
2.1.2. Grundgesetze
a) Kräfte
Coulomb-Kraft
beschreibt elektrostatische Kraft zwischen zwei Punktladungen Q1, Q2:
 

1
Q1  Q2 r2  r1
F12 
     
4     0 r2  r1 2 r2  r1
Lorentz-Kraft
beschreibt Kraft zwischen elektrischen Strömen bzw. bewegten Ladungen und Magnetfeldern

 

F  I l B



 
F Q vB

3
b) Maxwellsche Gleichungen in Integralform
Grundgleichungen der Elektrodynamik
1. Gaussches Gesetz
 
D
 da  Qumschlossen
s
2. Nichtexistenz magnetischer Monopole (magnetischer Ladungen)
 
 B da  0
s
3. Verallgemeinertes Ampèresches Gesetz (Durchflutungsgesetz)
4. Induktionsgesetz
 
d  
H
d
l

I


 D da
dt
c
A
 

d

 E dl    B da
dt A
c
c) Materialgleichungen:


j  E


D   r 0 E

H
1
0  r

B
4
2.2. Elektrostatik
2.2.1. Elektrische Ladungen
Symbol Q
[Q] = As = C
a) Existenz positiver und negativer Ladungen, (+,  )
b) Ladung ist quantisiert
elektrische Ladungen haben Ursprung in Existenz von negativen und positiven
Elementarteilchen: Elektron
e ()
Proton
p (+)
Elementarladung: e = 1.60219 · 10-19 As
- Ladung ist quantisiert
Q = N e (N ist ganze Zahl)
Atom mit
Ordnungszahl Z
Ladung Elektron:
Gesamtladung der Elektronen:
Ladung Proton:
Ladung Atomkern:
Atom ist neutral:
Qe = e
Qeg = Ze
Qp = +e
QK = +Ze
QAtom = Qeg + QK = Ze + Ze = 0
c) Ladungssumme bleibt erhalten
Die Summe der Ladungen bleibt in einem abgeschlossenen System immer erhalten: Qges   Qi  const
i
Bsp.: Kernzerfall
Dissoziation – H2O  OH- + H+
5
d) Kräfte zwischen Ladungen
aus Modell des Atomaufbaus folgt:
- Materie ist ladungsneutral
- natürlich belassene Körper haben keine
elektrostatischen Wechselwirkungen
- aber Ladungsungleichgewicht kann durch
Einwirkung äußerer Kräfte entstehen
Bsp.: Reibungselektrizität
(Cohns-Regel)
 r(Wolle) >  r(Plastik)
+++
--Q>0
Q<0
r(Porzellan) > r(Leder)
+++
--Q>0
Q<0
Exp.: Abstoßung zwischen zwei geladenen
Plastikstäben
Anziehung zwischen geladenen Plastikund Porzellanstäben
Ergebnis:
Anziehung zweier ungleicher Ladungen (+, )
Abstoßung zweier gleichartiger Ladungen (+,+) oder ( ,  )
6
Exp.: Kraft in Abhängigkeit vom Abstand, F=F(r)
Kräfte-Gleichgewicht für Coulomb-Kraft und Schwerkraft
Vergleich Coulombpendel mit Kräftegleichgewicht am Karusell
Fc
tanβ 
FG
Qp
FC


l
+
r
Qp
+
Fz
tanβ 
FG

l
b
FZ
r

x
FG
FG
x
Fc  mg  tanβ
Fc  mg 
x
Fc  mg 
b
x
x  l : Fc  mg 
l
Fc  x
l2  x 2
ω
Messe Auslenkung x für
verschiedene Abstände r
zwischen beiden
Ladungen
7
Exp.: Kraft in Abhängigkeit vom Abstand, F=F(r)
Kräfte-Gleichgewicht für Coulomb-Kraft und Schwerkraft
Vergleich Coulombpendel mit Kräftegleichgewicht am Karusell
Fc
tanβ 
FG
Qp
FC


l
+
r
Qp
+
Fz
tanβ 
FG

l
b
FZ
r

x
FG
FG
x
Fc  mg  tanβ
Fc  mg 
x
Fc  mg 
b
x
x  l : Fc  mg 
l
Fc  x
l2  x 2
Ergebnis: x 
ω
1
r2
1 CoulombFc  2
8
r gesetz
Experiment:
Kraft in Abhängigkeit vom Abstand, F=F(r)
Ergebnis:
Abhängigkeit der elektrostatischen Kraft zwischen zwei Ladungen: F  r -2
Coulomb-Kraft
beschreibt elektrostatische Kraft zwischen zwei Punktladungen Q1, Q2:
 

1
Q1  Q2 r2  r1
FC ,12 
     
4     0 r2  r1 2 r2  r1

1
Q1  Q2 r

 2 
4   0
r
r

1
4   0


FC ,12
Q1

r1

er
0
Q1  Q2 
 er

r2
mit 0 = 8.854  10-12 As/Vm
(Permittivität des Vakuums)
(0 0 =1/c02)
Q1 Q2 < 0:
Q1 Q2 > 0:
  
r  r2  r1

r2


FC ,12  er


FC ,12  er
Q2
Q1 Q2 < 0
Anziehung
Abstoßung
9
Experiment:
Kraft in Abhängigkeit vom Abstand, F=F(r)
Ergebnis:
Abhängigkeit der elektrostatischen Kraft zwischen zwei Ladungen: F  r-2
Coulomb-Kraft
beschreibt elektrostatische Kraft zwischen zwei Punktladungen Q1, Q2:
 

1
Q1  Q2 r2  r1
FC ,12 
     
4     0 r2  r1 2 r2  r1

1
Q1  Q2 r

 2 
4   0
r
r

1
4   0


FC ,12
Q1

r1

er
0
Q1  Q2 
 er

r2
mit 0 = 8.854  10-12 As/Vm
(Permittivität des Vakuums)
(0 0 =1/c02)
Vergleiche mit Newtonschen Gravitationsgesetz
Q1 Q2 < 0:
Q1 Q2 > 0:
Q2
  
r  r2  r1

r2


FC ,12  er


FC ,12  er
 

m1  m2 r2  r1 
FG      2   
r2  r1  r2  r1
Vergleich Coulombkraft und Gravitationskraft zwischen zwei Elektronen:
FC entscheidend für mikroskopische Objekte (Elektron, Kerne, Atome, Ionen)
(FG zu klein für mikroskopische Objekte)
Q1 Q2 < 0
Anziehung
Abstoßung
Coulomb-Kraft ist auch
konservative Kraft
 
 FC dr  0  0


FC
 1040
FG
10
Beispiel: Blättchenelektroskop
Experiment: Blättchenelektroskop
- Coulomb-Kraft
- Ladung schaufeln
11
2.2.2. Das elektrische Feld
Coulomb-Kräfte sind additiv
Q2
 

- Punktadungen Q1, Q2, …, Qi an den Orten r1 , r2 ,..., ri
Q3

Coulomb-Kraft die von Ladungen Qi auf Probeladung q am Ort r ausgeübt wird:
 
Q1
 

1
Qi
r  ri 
FC r   q
     
4     0 i r  ri 2 r  ri
 
r  r1
q

r

r1
0


- Kontinuierliche Ladungsverteilung mit differentiellen Teilladungen dQ´r´ und Ladungsdichte  r´


Coulomb-Kraft die von Ladungsverteilung  r´ auf Probeladung q am Ort r ausgeübt wird:
 

1
r  r ´
      dQ´
4     0 Q r  r ´2 r  r ´
 

1
1
r  r ´ 
q
       r ´ dV
4     0 V r  r ´2 r  r ´
 
FC r   q
 
FC r   q
1
 
E r 
dQ´ =  dV
Q in V

 
r  r'

r'

 r 
 
E r  ist elektrisches Feld
dV
q

r
0

Coulombkraft hängt nur von Ladungsverteilung  r´ und Ort r der Probeladung q ab
elektrisches Feld:

  FC r 
E r  
q
[E] = N/C = V/m
12
Interpretation:
Ladungsverteilung erzeugt eine Eigenschaft des Raumes, die darin besteht,
dass auf Probeladung q eine Kraft wirkt!
Diese Raumeigenschaft heißt elektrisches Feld.

  FC r 
E r  
q
-Q1
 
FC r 
+q
-Q4
 
E r 
-Q1
-Q3
Schirm, Vorhang
 
Veranschaulichung von E r  durch Feldlinien
- entsprechen Kraftlinien entlang deren Coulomb-Kraft wirkt
- sind von + nach – gerichtet, entlang Coulomb-Kraft auf positive Probeladung
- Dichte ist Maß für Stärke des Feldes
- entsprechen Symmetrie der Ladungsanordnung
13
Beispiele für Feldlinien des elektrischen Feldes
positive Punktladung
zwei Punktladungen +Q, +Q
zwei Punktladungen +Q, -Q
elektrischer Dipol mit Dipolfeld
Kugelsymmetrie resultiert in
einem radialen elektrischen Feld

  F r 
1
Q 
E r  

 2  er
q
4    0 r
Superposition der elektrischen Felder bei mehreren Punktladungen
 
 
E r    Ei ri  
i
1
4   0
Qi 
 ei
2
 r
i
i
Experiment: Elektrisches Feld von Punktladungen (+Q, +Q+Q, +Q –Q)
14
Anwendung: Millikan-Versuch zur Bestimmung der Elementarladung
Experiment:
Millikan-Versuch (quantitativ)
Beachte:
auf geladene Öltröpfchen wirkende Kräfte : Coulomb-Kraft, Reibung in Luft, Auftrieb in Luft

konstante Sink-oder Steiggeschwindigkeit v der Öltröpfchen ist abhängig von Masse (Radius) und
Ladung Z = Ne der Öltröpfchen sowie vom elektrischen Feld
 Bestimmung der Elementarladung
15
2.2.3. Berechnung elektrischer Felder – Das Gaussche Gesetz
 
 D da  Qumschlossen    dV
Gaussches Gesetz (1. Maxwellsche Gleichung)
ist Grundlage für die Berechnung von elektrischen
Feldern, die im allgemeinen durch die Ladungsdichte
 verursacht werden
s
V


mit elektrische Flussdichte (dielektrische Verschiebung) D   r 0 E
und r = 1 für Vakuum folgt:

- wir sehen D  
hat physikalische Bedeutung
einer Flächenladungsdichte
[D] = As/m2
 
 
D
d
a


E

 0 da  Qumschlossen    dV
s
s
V
 
E r 
+Qumschlossen
s
V
s – Oberfläche von eingeschlossenen
Volumen V
16
 
E r 
Beispiel für die Berechnung elektrischer Felder:
Geladene Hohlkugel mit Radius R im Vakuum, r = 1
a) r > R

E besitzt radiale Symmetrie:
 
E || r
Integrationsoberfläche ist Kugelschale Ak mit Radius r:
 
 
 D  da    0 E  da  Qums
A
A
k
k
+ + +
+
r +
+ + +

da


E || da
auf Kugelschale Ak mit Radius r gilt: E(r = const) = const.
 0 E 4r 2  Qums
Q
E r  R   ums 2
4 0 r
Symmetrie


Qums r
E r  R  
4 0 r 2 r
analoges Ergebnis ergibt sich für Punktladung Qums
b) r < R
 
 
(da Hohlkugel)
D

d
a


E

 0  da  0
A
A

Er  R  0
Experiment: Elektrisches Feld von geladener
Hohlkugel bei r > R und r < R
E

1
r2
0
R
r
17
2.2.4. Elektrisches Potential und Spannung
- Coulomb-Kraft ist konservative Kraft:
 

F  FC  qE
 
 F dr  0 : mit
folgt
 
q  E dr  0


- potentielle Energie
E
der
Probeladung
q
am
Ort
im
elektrischen
Feld
der Ladung Q bezüglich
r
E
pot

Referenzpunkt r0 :


r  
r  
 
'

'
E pot r , r0     F r dr  q  E r ' dr '

r0


r0



- elektrisches Potential V der Ladung Q am Ort r bezüglich Referenzpunkt r0 :
 
E pot r , r0 '
 
V r , r0  
q


r  
 

V r , r0     E r ' dr '

r0

 
 
V r , r0     E r ' dr '

r0
mit


(Volt)

dr '

 '
Q r'
Er 
4 0r '2 r '
r 1
Q '
Q 1 1 
 
  
V r , r0    
dr

 4 r '2
4

r0 
r
0
0r
As
 
Er '
Beispiel: elektrisches Potential einer Punktladung Q:

r
V   Nm  V
mit
Q>0

mit Referenzpunkt im unendlichen r0  
folgt:
0
elektrische Potential
Q

V r  
4 0r
und


V r , E pot r  gilt ebenfalls für geladenen Kugel bei r > R
potentielle Energie = Coulombenergie:
qQ


E pot r  
 qV r 
4 0r
18
 
- Berechnung des elektrischen Feldes E r  aus elektrischen Potential V :




 
 V r  V r  V r  

dV r 
      grad V r 
E r   
,
,
dr
 x y z 
19
 
- Berechnung des elektrischen Feldes E r  aus elektrischen Potential V :




 
 V r  V r  V r  

dV r 
      grad V r 
E r   
,
,
dr
 x y z 
Beispiel: Äquipotentialoberfläche
Bedingung:

V r   const
Auf welcher Fläche um eine elektrische Ladungsverteilung ist das elektrische Potential (bzw. die
potentielle Energie einer Probeladung) konstant?

 
dV r 
E r      0
dr
  

dV r    E r  dr  0

dr ist entlang Äquipotentialoberfläche gerichtet
(Skalarprodukt)
 

E r   dr

E steht senkrecht zur Äquipotentialoberfläche

r
 
E r 

dr
Q>0
Äquipotentialoberfläche
Für eine geladene Kugel bzw Punktladung sind die Äquipotentialflächen Kugelschalen
20


- elektrisches Spannung U21 ist Potentialdifferenz zwischen zwei Orten r2 und r1


U 21  V r2   V r1 

r2
 

 
   r1   
U 21    E r ' dr '   E r ' dr '
r0

r1
r0

 
U 21   E r ' dr '

r2
U 21   V
 
wenn E r   const
und

 
E || dr '

dann folgt U 21  E r1  r2
 
Beispiel: Beschleunigung eines Elektrons mit Ladung q = -e und Masse m im elektrischen Feld E r 
Beschleunigung durch Coulombkraft: geleistet Arbeit W resultiert in kinetischer Energie des Elektrons
W = Ekin = ½ mv2

r2



r2 
r2 
r1 
  r2  



W   F dr   FC dr  q  E dr  e  E dr  e  E dr  eU 21
r1
r1
r1
r1
W = eU21 = ½mv2
v
2eU 21
m
r2
hier ist Einheit für Arbeit bzw. Energie:
[W] = eV
Geschwindigkeit der Elektronen nach Durchlaufen der
Beschleunigungsspannung U21
Anwendung: Elektronenstrahlröhre
21
2.2.4. Elektrische Leiter im elektrischen Feld - Influenz
Elektrische Leiter (z. Bsp. Metalle) besitzen freibewegliche Ladungsträger, z. Bsp. Elektronen mit q = -e



im E -Feld wirkt auf Ladungsträger Coulomb-Kraft F  qE und verschiebt diese
Experiment: Verschiebung der Ladung innerhalb von elektrischen Leitern in einem elektrischen Feld
Frage 1: Wie weit verschieben sich die Ladungen im Leiter unter dem Einfluss des elektrischen Feldes?
Antwort 1: Elektrischen Ladungen, die auf einem Leiter aufgebracht oder durch ein elektrisches Feld
erzeugt werden, sitzen nur an der Oberfläche des Leiters. Das elektrische Feld innerhalb des
Leiters ist Null:

 
 
Beachte: Antwort 1 gilt nur für Leiter
E  0 da  D  da    0 E  da  Qums  0
A
A
im Gleichgewicht = Elektrostatik !
Experiment:
- Cavendish Schalen
- Faraday-Käfig
- Ladungstransfer auf Faraday-Becher
- Van-de-Graaff Generator
22
Van-de-Graaff Generator
Spannungen bis zu 105 V (in Luft) können erreicht werden.
23
Frage 2: Wie sind die Feldlinien des elektrischen Feldes relativ zur Oberfläche gerichtet?
Antwort 2: Die elektrischen Feldlinien stehen senkrecht auf der Oberfläche, d. h. die Oberfläche des Leiters
ist eine Äquipotentialfläche.
Erklärung: Ladungen bewegen sich auf der Oberfläche
auf Grund der Coulomb-Kraft so lang bis parallele
Komponenten des elektrische Feldes zur Oberfläche
(Tangential-Komponenten) verschwinden
Beachte: Auch Antwort 2 gilt nur für Leiter im Gleichgewicht = Elektrostatik !
Experiment: Spiegelladung
Influenz
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
+
-
Spiegelladung
Elektrische Feldlinien treffen rechtwinklig auf
leitende Plattenoberfläche!
Kraft auf geladene Kugel vor leitender Platte:
Fz 
1
Q2
4 0 2 z0 2
Experimente: -Entladung an Spitzen
- elektrischer Wind
- Reaktionsrad
24
2.2.5. Kondensatoren
a) Prinzip:
betrachten zwei leitende parallel Platten
Spannung zwischen beiden Platten:
aus
2  

U   E r  dr
1
 
  0 E  da  Q
A
Platte 1
+
+Q
folgt für gespeicherte Ladung Q auf Platten:
Q  U, d. h. Q = C U
mit der Kapazität
C
Q
U
+
+
+
+
+
Platte 2
- -Q
-
+
U _
Erde
C   1 A  s  1 Farad  1 F
V
Q = gespeicherte Ladung
U = angelegte Spannung
C ist nur durch Anordnung der beiden Leiter (Geometrie) und
dem isolierenden Medium dazwischen bestimmt
25
b) Berechnung der Kapazität des Plattenkondensators: Plattenabstand l, Plattenfläche A
Experiment: elektrisches Feld des Plattenkondensators,
Feldlinien existieren nur im Raum zwischen Platten
-Q
Platte 2

E

da
A´: Gaussche Integrationsfläche
+Q
Platte 1
A´
  Q
 E  da 
Berechnung elektrisches Feld:
mit Q = Qums
o
A´
 
Q
 E  da  E z A 
0
A´
Ez 
r 
 
 
U r1, r2   U12    E r  dr


r1  0,0,0
1
Q

A
 - Flächenladungsdichte
 0 E z  Dz 
Q
0 A

Berechnung Spannung:
   
E || da : E  da  E z  da

r2  0,0, l 

dr  0,0, dz
r2
0
U
U    Ez dz  Ezl
l
Definition Kapazität:
C
Q
U
C
0 A
l
Ql
0 A
Kapazität des Plattenkondensators im Vakuum
26
Experiment: Plattenkondensators, Q  l-1 für U = konst., U  l für Q = konst.
- Kapazität ist von Geometrie abhängig
2 0l
z. Bsp. Zylinderkondensator
C
(Koaxialkabel)
r 
ln  a 
 ri 
l - Länge des Zylinders (Kabels)
ra - Radius äußerer Leiter
ri -Radius innerer Leiter

ri

ra
- Kapazität ist vom isolierenden Medium (dielektrisches Material) zwischen Leitern abhängig
z. Bsp. - Plattenkondensator mit Vakuum
- Plattenkondensator gefüllt mit
dielektrischen Material mit
relativer Dielektrizitätskonstante r
Experiment:
C
0 A
C
 0 r A
l
l
 r   r , Luft  1
Isolierende Platte (Dielektrikum) zwischen Platten eines Kondensators schieben:
wegen Q = C U beobachten wir
Q  CU
- bei Q = const, U sinkt

Udiel < UVak
  A
- bei U= const, Q steigt

Qdiel > QVak
Q 0 r U
l
Ursache: permanente oder induzierte molekulare Dipolmomente
Elektrisches Feld
des elektrischen Dipol
Experiment: Modell Orientierungspolarisation

p - elektrisches Dipolmoment
+
_

p
27
Molekulare elektrische Dipolmomente
- permanente Dipolmomente für polare Moleküle, CO, H2O
- durch elektr. Feld induzierte Dipolmomente für nichtpolare Moleküle
O2, N2, CH4

p
+
_
Ausrichtung molekularer
Dipolmomente im
elektr. Feld
Evak
führt zur Polarisation
Evak
Ediel
+
-

p

P
+
-

p
+
-

p
 1 
P   pi
V i
und Schwächung des elektr. Feldes
im Dielektrikum:
E
E diel  vak
E diel  E vak
r


1 
E diel  E vac 
P
0


Polarisation: P   0  r  1E diel
U  El
U diel  U vak
28
c) Schaltung von Kondensatoren
Parallelschaltung:
Gesamtladung:
+Q1
+Q2
+Q3
-Q1
-Q2
-Q3
U
i
Spannungsabfälle Ui über
Kondensatoren sind gleich
-
Qges   Qi  UCi  U  Ci
i
positiv und negativ geladene Platten
bilden jeweils Äquipotentialfläche
+
C ges   Ci
i
i
(Vergleich mit: Q ges  UC ges )
Reihenschaltung:
Gesamtspannung:
-
U1
-
+
U2
-
+
U3
+
U ges   U i   QC i1  Q Ci1
i
i
i
1
(Vergleich mit: U ges  QC ges
)
Experiment: Parallel- und Reihenschaltung von Kondensatoren
in Leitersegmenten zwischen Kondensatoren gilt  Qi  const
+
U
-
i
Spannungsabfälle Ui über
Kondensatoren addieren sich
C ges 
1
1
 Ci
i
1
1

i C
C ges
i
29
d) Energie des elektrischen Feldes
- Aufladen eines Kondensators erfordert Arbeit
- diese ist in Form von elektrischer Energie im elektrischen Feld des Kondensators gespeichert
Experiment: Kondensator als Energiespeicher, Energie wird frei bei Entladung
Aufladevorgang: Transportiere differentielle Ladung +dq von negativer zur positiver Kondensatorplatte
1
dW  U  dq   q  dq
dabei notwendige Arbeit
(W = qU, Q = U C)
C
1Q
1 Q2 1 2
W
 U C
W   q  dq
gesamtes Aufladen
2 C 2
C0
Arbeit W ist im elektrischen Feld als elektrische Energie gespeichert:
für Plattenkondensator mit U = E l, C 
0 A
Eel = ½ E2 0 l A = ½ E2 0 V = ½ E D V
Energiedichte des elektrischen Feldes:
l
1
Eel  W  U 2C
2
und V = A l folgt:
wel 
Eel 1  
 ED
V
2


Beachte: bei Kondensator mit Dielektrikum (r >1) gilt D   r 0 E
und somit wel(r >1) > wel(r =1) (im gefüllten, mit Spannungsquelle verbundenen
Kondensator ist mehr Energie gespeichert)
30
2.3. Elektrische Gleichströme
2.3.1. Stromstärke und Stromdichte
Elektrischer Strom ist Ladungstransport!
Wo kann Ladungstransport stattfinden?
Ladungsträger sind:
freie Elektronen im Leitungsband
freie, in das Leitungsband thermisch
angeregte, Elektronen
oder
freie, in das Valenzband thermisch
angeregte, Defektelektronen
Elektronenpaare
Elektronenpaare
freie, optisch angeregte Elektronen
oder Defektelektronen
ionisierte Gasmoleküle
Anionen und Kationen
31
a) Stromstärke:
Elektrischer Strom ist Ladungstransport!
hier Q > 0
Betrachte Leiter mit Querschnitt
A und angelegter Spannung U

U ist mit elektrischen Feld E verknüpft

r 
 
U 21   E r ' dr '

r

E wirkt Kraft auf Ladungsträger Q aus
Stromfluss
1


E
2
+Definition Stromstärke I: Ladungsmenge dQ, die pro Zeit dt durch
Querschnitt des stromführenden Leiters A fließt
(Stromrichtung  Querschnitt)
I
dQ
dt
[I] = As/s = A = Ampere

Beachte: I fließt entlang E , deshalb entspricht I Bewegung der positiven Ladungsträger (Q > 0)
(technische Stromrichtung)
b) Stromdichte:



Die Stromdichte j  jea ist ein Vektor in Richtung der Normalen zum Fächenelement da


da
 
 dI 
ea  
I   j da
j  ea
bzw.
da
da
A
[j] = A/m2
A
I
j
I
Strom

A Leiterfläc he
32
c) Pfeilrichtung bei Strom und Spannung:
beliebige
Stromquelle
Gleichstromquelle
technische
Stromrichtung
+
+
_
+
_
Bewegung der positiven
Ladungsträger (Q > 0)
von + nach -
_
33
2.3.2. Elektrischer Widerstand, Leitfähigkeit und Leistung
a) Widerstand
Welcher Zusammenhang besteht zwischen I und U?
Experimente: - Strom-Spannungskennlinie eines Ohmschen Widerstande I = f(U)
- I = f(A), I = f(l)
Ergebnis:
I  U, : I  l-1, : I  A
Ohmsches Gesetz:
 l
und R  s
A
1
U
R
U  RI
I
mit elektrischen Widerstand: R
mit spezifischen Widerstand s
[R] = V/A = 
= Ohm
[s] = m
s ist Materialkonstante und ist in der Regel temperaturabhängig
( s steigt mit zunehmender Temperatur für Metalle  Kaltleiter
s sinkt mit zunehmender Temperatur für Halbleiter  Heißleiter)
34
Strom-Spannungskennlinien
Heissleiter z.B.
Halbleiter
I
Ohmsches
Gesetz
I U
I
1
U
R
Kaltleiter: z.B: Metalle (Glühlampe)
U
Exp.: Temperatur-Abhängigkeit von Leitern
– Strom-Spannungs-Kennlinien
35
b) Leitfähigkeit

E

j
Leitfähigkeit:
Spannung:
l  

U   E r  dr  E l
0
Strom:

1
s

l
RA
[] = (m)-1
 
I   j da  jA
A
Ohmsches Gesetz: U = R I
El=RjA

mit Stromdichte entlang E - Feld:
alternative Schreibweise für Ohmsches Gesetz:
j
l
E
RA


j  E
36
c) Elektrische Leistung
R
Strom fließt durch Widerstand R,
Ladungsträger müssen Arbeit verrichten,
Arbeit wird von Spannungsquelle geliefert
-
+
+
-

E

F
 Pol  
 Pol  
W   Fdr  Q  Edr  QU
 Pol
 Pol
- Arbeit W, die geleistet wird, wenn Ladungsmenge Q Potentialdifferenz U (Spannung) durchläuft:
W  QU
[W] = VAs = Ws = J = Joule
Leistung (Arbeit pro Zeit):
P
W
Q
U
 UI
t
t
mit U = R I (ohmsches Gesetz):
[P] = VA = Js-1 = W = Watt
P = UI = I2R = U2/R
Beachte: Die Arbeit, die der Strom leistet, wird im Widerstand in Wärme („Joulesche Wärme“) umgewandelt.
Beispiele: Tauchsieder, elektrischer Wasserkocher,
hier kann Leistung betrachtet werden als die Rate,
mit der elektrische Energie in Wärme umgesetzt wird
37
2.3.3. Gleichstromkreise
2.3.3.1. Kirchhoffsche Gesetze
a) Knotenregel
dQ
I
Aus Erhaltung der Ladung Q und
dt
folgt:
I 1 I 2  I 3  I 4
bzw.
Knotenregel:
I 1 I 2 I 3 I 4  0
 Ik  0
k
Die Summe aller Ströme, die in den Knoten münden, ist Null.
Experiment: - Demonstration Knotenregel
38
b) Maschenregel
U4
U3 R3
 
Spannungsabfall z. Bsp. über Widerstand R1: U1    E dr
a
a
b
U1
I3
b
U2
 
Da die Coulomb-Kraft eine konservative Kraft ist, gilt  FC dr  0


und mit FC  qE somit
folgt:
 
E
 dr  U k  0
k
U 1 U 2 U 3 U 4 0
Maschenregel:
U k  0
k
Regeln:
- Strom in Uhrzeigersinn zählen (I > 0)
- eingefügte (eingeprägte), gerichtete Spannung
an Spannungsquelle
U4 = Ue zeigt vom höheren zum niedrigeren
Potential ( Ue > 0 für +  -)
- Spannungsabfälle Uk = Rk Ik an Widerständen
zeigen ebenfalls vom höheren zum niedrigeren
Potential ( Uk > 0 für +  -) entlang positiven
Ik > 0
Experiment: - Demonstration Maschenregel
39
2.3.3.2. Anwendung der Kirchhoffschen Gesetze
a) Reihenschaltung von Widerständen
Maschenregel:
R1 I  R2 I  R3 I  U  0
 Rk I  U  0
k
U   Rk I
k
Vergleich mit Ohm‘schen Gesetz:
U  Rg I
Rg   Rk
k
Experiment: Widerstände in Reihenschaltung
b) Parallelschaltung von Widerständen
Maschenregel:
-R1 I1 + R2 I2 = 0
-U1 + U2 = 0
U1 = U2 = Uk = U
Ik = U/Rk
Knotenregel:
I = I 1 + I 2 + I2
I   Ik  U 
k
Vergleich mit Ohm‘schen Gesetz:
1
1

Rg k Rk
k
1
Rk
I  U / Rg
40
Experiment: Widerstände in Parallelschaltung
c) Spannungsteiler
R
s l
Rx 
A
s x
A
Rx  x
U x  IRx
U R  IR
U x Rx x


UR R l
Maschenregel: U R U 0  0
Ux  UR
U R U0
x
x
 U0
l
l
Experiment: - Spannungsteiler
41
d) Innenwiderstand einer Spannungsquelle
Kontakt
+ -
Kontakt
Ri
U0
U0 - Leerlaufspannung (Urspannung)
Ri - Innenwiderstand
U – Klemmspannung mit
U falls I  0
Spannungsquelle mit Lastwiderstand R:
Kontakt
I
+ -
Kontakt
Ri
U0
0  U 0  Ri I  U
U  U 0  Ri I
U  U 0  Ri I  RI
U
Kurzschluss, R = 0:
R
I
Leerlauf, R >> Ri:
U0
Ri
U  U0
I
U0
Ri  R
U
U0R
Ri  R
Ri begrenzt Strom I
Verbraucherspannung entspricht
Urspannung
Experiment: - Innenwiderstand einer Spannungsquelle
U = U0 -RiI
42
Experiment: - Leistungsanpassung
maximale Leistung am Verbraucherwiderstand
wenn R = Ri
P  U R   I R   RI 2  R
Anpassung: Leistung an R:
U 02
Ri  R 2
aus Extremwertproblem
dP
 0 folgt
dR
bei R = Ri maximale Leistung
Pmax
U 02

4 Ri
0.3
4 Ri
0.2
P (W)
Pmax 
U 02
0.1
0.0
0
20
R = Ri
40
60
80
100
R ( )
43
2.4. Magnetfelder
2.4.1. Magnetfelder von Permanentmagneten
Ursache des Magnetismus in Materie:
Magnetische Dipolmomente durch Bahnbewegung der Elektronen und durch
Elektronenspin, d. h. Eigendrehimpuls der Elektronen.
Beide magnetische Dipolmomente sind nicht teilbar!
Konsequenz: Es gibt keine isolierten magnetischen Pole, d.h. keine magnetischen Ladungen.
Magnetische Feldlinien sind immer geschlossen!
 
2. Maxwellsche Gleichung:  B da  0
Bsp.: Magnetfeld eines Stabmagneten

Br 

Br 
s
Experiment: Feldlinienbild eines stabförmigen Permanentmagneten,
Demonstration mit Eisenfeilspänen
s
V
s – Oberfläche von
eingeschlossenen
Volumen V
Beim Durchbrechen eines
Stabmagneten erhält man
wieder zwei Stücke mit
N-und S-Pol
44
2.4.2. Magnetfelder stationärer elektrischer Ströme
2.4.2.1. Die 3. Maxwellsche Gleichung – Das Ampérsche Gesetz
Magnetfelder werden auch durch elektrische Ströme erzeugt.
Experiment: - Feldlinienbild eines geradlinigen Stromleiter
- Messung B = B(r), B = B(I) mit Hall-Sonde

 I 
B  0 H   e
r
Magnetfeld eines geraden
stromführenden Leiters:

e
3. Maxwellsche Gleichung,
Ampèresches Gesetz für stationäre Ströme:
 
 
 H  ds  I   j  da
c
A

da

da
c


da und ds
sowie

 
I , j und H , B

ds

ds
bilden
Rechtsschraube
45
2.4.2.2. Anwendungen des Ampérschen Gesetzes
a) geradliniger stromdurchflossener Leiter
r  r0 , I  const., j 
I
 
H r 

r
c

j
I
 const.
  r02
(Zylinder mit Radius r0)
 
 
H
  ds  I   j  da
c


- geschlossene Integrationskurve c entspricht H -Feldlinie um Leiter bei r
- geschlossene Integrationskurve
c spannt Integrationsfläche A auf und

umschließt hier I bzw. j vollständig

da
A
d

ds
A
 
H || ds
ds  r  d
  2
H
  ds   H r  const   r  d  2   rH  I
c
H r  
 0
I
2   r
bzw.
 
H r  
I
2   r

e
46
b) stromdurchflossene lange Zylinderspule
n – Windungen, L - Länge
Experiment: Feldlinienbilder Kreisstrom und Zylinderspulen
L
D
A
C
B
  B  C 
 H  ds   H  ds   H  ds 
A


H  ds
B
 ...  0
B
H 0
wegen
A
  A 
 H  ds   H  ds  n  I
C
D


H  ds H  L
D
ABCD - geschlossene Integrationskurve c für
 
 
H

d
s

I


 j  da
c
A
H
n I
L
D
 ...  0
C
beliebigem
Abstand
von Spule
C
 ...  0
B
47
2.5. Magnetische Induktion
2.5.1. Die 4. Maxwellsche Gleichung - Das Induktionsgesetz
4. Maxwellsche Gleichung, Induktionsgesetz


B  r 0 H

geschlossene
dB
0
Leiterschleife 
dt
H'

E

jind , Iind
U ind  U 0'

da
+ 2´
- 1´
A

dl
R
 
d  
 E dl    B da
dt A
c


-Pfeile für dl und da bilden Rechtsschraube


 
-wenn B da  0 ist, dann muss E  dl

- E erzeugt Potentialdifferenz, also induzierte Spannung
-magnetische Induktion mit induzierter Spannung Uind kann
dargestellt werden durch Ersatzspannungsquelle mit fiktiver
Urspannung U 0'  U ind

-Pfeile für Uind und da bilden Rechtsschraube
-induzierte Spannung Uind führt zu induziertem Strom Iind
c
-induzierte Spannung Uind und induzierter Strom Iind sind



dB
B
 0 entgegengerichtet: H ' 
ihrer Ursache
dt
 r 0

Lenzsche Regel
B
stromdurchflossene
Spule nach oben
bewegen
I
Experimente: Demonstration Lenzsche Regel
- Ring und Permanentmagnet
- leitender Ring auf Magnet
48
 
d  
E
d
l



 B da
dt A
c
Diskussion der 4. Maxwellsche Gleichung:
  2 
'
E
 dl   E dl  U 0  U ind
'
linke Seite:
c
rechte Seite:
d   d m
 B da 
dt A
dt
U ind  U 0'
 
mit magnetischen Fluss  m   B da   B cos da
A
 
 
und    B, a
induzierte Spannung:

H'

jind , Iind
1'
A


B  r 0 H

dB
0
dt

E
U ind 

da
+ 2´
- 1´

dl
A
R
c
[m] = Vs = Tm2
d   d m
 B da 
dt A
dt
I
49
Experiment: magnetische Induktion, Induktionsspulespule mit N I - Windungen im Magnetfeld der Erregerspule mit
Ne-Windungen, Messung von induzierter Spannung Uind
Ne
U ind
NI
d   d m
  B da 

dt A
dt
Messsignal:
A
dt
t
S   U ind  dt
0
   / 2 
Erregerspule erzeugt magn. Flussdichte
B  o  r H  o  r
in Induktionsspule induzierte Spannung: U ind 
beobachtetes Messsignal
d  B cos da
S
 
d
N
B
 I da
dt A
Ne  I e
L
N I 0 r N e I e
A cos / 2   
L
50
2.5.2. Selbstinduktion
a) Induktivität
 
d  
E
d
l



 B da
dt A
c
d  
U ind   B da
dt A
- Betrachte zeitabhängigen Strom I(t) durch Spule

- I(t) resultiert in zeitabhängiger magnetischer Induktion Bs t  in Spule
- diese führt wiederum zu einer selbst-induzierten Spannung Uind,s in der Spule
Selbstinduktion U ind , s 
da Bs(t)  I(t) folgt:
d 

 Bs t da
dt A
U ind , s  U  L
dI
dt
mit Induktivität L
[L] = Vs/A = H (Henry)
- resultierender induzierter Strom Iind,s ist seiner Ursache, d. h. zeitlicher Änderung
entgegengesetzt (Lentzsche Regel)
dI t 
dt
Experimente: Selbstinduktion mit Spule
51
Beispiel: Zylinderspule
Länge l, Querschnitt A << l2, Windungszahl N
zeitabhängiges Magnetfeld durch Strom I(t):
H s t  
l
N  I t 
l
Bs t   r 0 H s t  
Nr 0 I t 
l

d
 d  r 0 N 2 I t A 
Induktionsgesetz: U t    NBs t  da  

dt A
dt 
l

U
r 0 N 2 A dI
dI
Vergleich mit U  L
dt
l
dt
ergibt für Induktivität einer Zylinderspule
L
 r 0 N 2 A
l
- Induktivität ist von der relativen Permeabilitätskonstante r des Füllmaterial der Spule abhängig
Ursache: magnetische atomare oder molekulare Dipolmomente infolge ungepaarter Elektronenspins
und des magnetischen Bahnmomentes des Elektrons
52
b) Energie des magnetischen Feldes
- Das magnetische Feld in einer Spule wird gegen die Wirkung der Selbstinduktion, d. h. gegen die selbst-induzierte
Spannung U aufgebaut.
dI
- Dazu ist Arbeit notwendig: dW  P dt  IU dt  IL dt  LI dI
dt
I
1
W   LI dI  LI 2  Emag
2
0
- Diese Arbeit W ist als Energie Emag im magnetischen Feld gespeichert.
- mit Induktivität einer Zylinderspule L 
 r 0 N 2 A
l
und Volumen der Zylinderspule V = A l folgt:
Emag
, Magnetfeld in Zylinderspule H 
N I
l
1 2 1 r 0 N 2 A 2 1 r 0 N 2 A H 2l 2 1
1
2
 LI 
I 



H
Al

BHV
r
0
2
2
l
2
l
2
2
N2
Energiedichte des magnetischen Feldes:
1
wmag  BH
2
Experimente: Energiespeicherung im Magnetfeld einer Spule
53
2.5.3. Die Lorentz-Kraft
auf stromdurchflossenen Leiter

Fx Fxe

B  0,0, Bz 

da
Uind

l  0, l y ,0

- rechteckige Leiterschleife in xy-Ebene

mit Flächenelement da  0,0, da z  0

- magnetische Induktion B  0,0, Bz  0

- verschiebbarer Leiter mit l  0, l y  0,0


(I entlang l gewählt)

bewegt sich in Zeit  t mit Geschwindigkeit v  vx  0,0,0


v  vx ,0,0 
entlang Weg  x = vx  t
Berechne die Kraft auf Strom I (bewegte Ladung im Magnetfeld):
d   dm
0
in Leiterschleife induzierte Spannung Uind   B da 
dt A
dt
liefert induzierten Strom I  

U ind  Bz l y
x
 Bz l y v x
t
Bz l y vx
U ind

R
R
I 2 Rx
Wth  Pt  I Rt 
I erzeugt im Widerstand R Wärmenergie (Joulsche Wärme):
vx

Joulsche Wärme entspricht Arbeit W die notwendig ist zur Bewegung des Leiter l : W  Wth ,
2
Fxe x
 Fx x  
B z l y v x IRx
R
vx
Verallgemeinerung Lorentz-Kraft:
Fx  I l y Bz

 

FL  I l  B

Experimentator
bewegt Draht mit
e
Kraft Fx
I 2 Rx
  Fx x 
vx
Gegenkraft des Drahtes
nach 3. Newt. Axiom, Fx
54
Experiment: Demonstration Lorentz-Kraft auf Ströme
- Lorentz-Schaukel

 

FL  I l  B

I

FL

l
Experiment: Demonstration Lorentz-Kraft auf Ströme
- Kraft auf zwei parallel Drähte
(Definition der Stromstärke: 1 A entspricht F/l = 210-7 N/m im Vakuum)

 

FL  I l  B


FL
55
2.5.3. Die Lorentz-Kraft auf bewegte Ladung
+
+
+++ ++ +
+ +
+ + + + +
Lorentz-Kraft auf stromdurchflossenen Leiter mit Länge l und Querschnitt A:
     



mit Stromdichte: j  nqvD
FL  I l  B  j AeA l  B

v D - Driftgeschwindigkeit (Geschwindigkeit der
dx = vD dt
folgt
Ladungsträger im Leiter

n – Ladungsträgerkonzentration
   
FL  nqvD AeA l  B
Ladung dQ die durch Querschnitt A in Zeit dt fließt:
dQ = q n dV = q n A vD dt


mit Leitervolumen V  AeAl
dQ I
dQ
j
  qnvD
I
 qnAvD
Adt A
dt
sowie n = N/V folgt für N = 1:






Lorentz-Kraft auf bewegte Ladung q = e im Vakuum (v = vD):


 
FL  q v  B

56
Lorentz-Kraft auf bewegte Ladung q = -e (Elektronenstrahl):




 
 
FL  q v  B  e v  B

Experiment: Ablenkung eines Elektronenstrahl
im Magnetfeld eines Stabmagneten
Anwendungen: Bestimmung spezifische Ladung des Elektrons e/m e

 
B  const , B  v
Kreisbahn: FL = Fz
e v B = me v2 r-1

Beschleunigung der Elektronen im elektrischen Feld E
mit Spannung U=E d zwischen Kathode und Anode
me 2
v  eU
2
e
2U
 2 2
me r B


 
FL  e v  B

57
Anwendungen: Massenspektrometer



 
F  qE  q v  B

q
2U
 2 2
m r B

B
r

E
58
2.6. Wechselströme
2.6.1. Erzeugung von Wechselströmen – Der Generator

Leiterschleife mit Fläche A rotiert in Magnetfeld B mit Winkelgeschwindigkeit 
4. Maxwellschen Gleichung (Induktionsgesetz):
A
 
d  
 E dl    B da
dt A
c
induzierte Spannung:
d m t 
dt
U – Anfangsphase der Spannung
U
mit  m t   BA cos t  U 
induzierte Wechselspannung:
U t    BA sin t  U 
U t   U 0 sin t  U 
T
U(t)
1


mit Amplitude U0 = -BA
2

in Analogie: Wechselstrom
I t   I 0 sin t   I 
U0
U 0 sin U
t
-U0
Experimente: Wechselstromgeneratoren
-Prinzip
- U0  
59
2.6.2. Leistung in Wechselstromkreisen
- momentane Leistung: Pt   U t   I t 
- Wirkleistung:
P
mit
U t   U 0 sin t  U ,
1 T
1 T
  Pt   dt    U t   I t   dt
T 0
T 0
1
P   U 0  I 0  cos  U eff  I eff  cos
2
Wirkleistung ist die tatsächlich
verbrauchte Leistung!
I t   I 0 sin t   I 
  U   I
(Mittelwert über Periode T )
Effektivwerte: U eff 
1
U0 ,
2
I eff 
1
 I0
2
1
 cos     cos   
2
1
1T
P  U 0 I 0 cos   U 0 I 0 cos2    t  U   I  dt
2
T
0 


Nutze: sin   sin  
0
- Blindleistung:
1
PBlind   U 0  I 0  sin 
2
Blindleistung wird nicht wirklich verbraucht, sondern von Wechselstromwiderständen aufgenommen und
im elektrischen Feld (Kondensator) oder magnetischen Feld (Spule) gespeichert
es gilt:
2
P 2  P 2  PBlind
60
2.6.3. Widerstände in Wechselstromkreisen- Impedanzen
Serien RLC-Kreis (Reihenschaltung: Widerstand – Spule – Kondensator)
I t 
Generator: U t   U 0 sin t 
UR
U t 
UL
Maschenregel:
U t   U L  U c  U R
U t   L
Z  
I t   I R  I L  I C
dI Q
  IR
dt C
dU t 
d 2 I I dI
L 2   R
dt
C dt
dt
inhom. Differentialgleichung 2. Ordnung
UC
komplexer Ansatz:
U t   U 0 e it
einsetzen in Diff.-gln. liefert:
I t   I 0 ei t  
I
 iR I
C
1 


U   R  i L 
 I
C 


iU   L 2 I 
(vgl. mit Ohmschen Gesetz U = R ·I )
Wechselstromwiderstand – Komplexe Impedanz:
U  Z   I
mit
- induktive Reaktanz:
Z L  iL
1 

Z    R  i L 

C 

- kapazitive Reaktanz:
ZC  
Z    Z L  Z C  Z R
- ohmschen Widerstand:
ZR  R
i
C
61
Experimente: Wechselstromwiderstände an Widerstand, Spule, Kondensator
Zeige:
ZR  R
ZC  
ZR  R
i
C
Z L  iL
ZC 
1

Z L  L  r
, da
L
 r 0 N 2 A
L
62
2.6.4. Zeigerdiagramme
1 

Z    R  i L 

C 

Darstellung der komplexe Impedanz Z   in komplexer Zahlenebene
als „Zeigerdiagramm“ mit
tan  
Hier ist A  R und B  L 
B
und
A
Z 
A2  B 2
1
C
Auftragung der einzelnen Impedanzen separat im Zeigerdiagramm:
ZR  R
Z L  iL
ZC  
i
C
- Phasenverschiebung  zwischen U und I da
i t  
U t   U 0 eit , I t   I 0 e
- am Widerstand:
- an Spule:
- am Kondensator:
Experimente: Phasenbeziehung wischen Strom und Spannung an
Wechselstromwiderständen
und
 = 0,
 = +/2,
 = -/2,
U  Z   I
U und I in Phase
U eilt I um /2 voraus
I eilt U um /2 voraus
63
- allgemeine Darstellung von Z   im Zeigerdiagramm:
1 

Z    R  i L 

C 

1
C
Betrag der komplexen Impedanz:
1 

Z  R    L 

 C 

2
L
Phasenverschiebung:
tan  
Eulersche Darstellung
komplexer Zahlen:
Z  Z ei
2
1
 C
R
64
2.6.5. Erzwungene Schwingungen im RLC-Serienschwingkreis
I t 
UR
U t 
UL
Generator: U t   U 0 sin t 
U
komplexer Strom: I 
Z
mit
Eulersche Darstellung
für Z
1 

Z  R    L 

 C 

2
I
U 0eit U 0ei t  

Z
Z ei
2
ergibt sich für den Realteil von I
UC
I t   Re I  
U0
1 

R 2   L 

C 

mit Phase
2
cost     I 0   cost   
1 

  L 



C
 und
  ar tan 
R






frequenzabhängiger Stromamplitude
I 0   
U0
1 

R   L 

C 

2
2
65
Diskussion von
I 0   
U0
1 

R   L 

C 

2
2
I 0   hat Maximum, d. h. Stromresonanz, bei Resonanzfrequenz:
mit
I 0   r  
1
LC
U0
R
Resonanzkurve
I0 R
U0
  r 
Phasenverschiebung
Linienbreite  
R
L
Experiment: Stromresonanz im RLC-Serienschwingkreis
Erzwungene Schwingung
1 

  L 

 C 
  ar tan 
R







66
2.6. Elektromagnetische Wellen
2.6.1. Entstehung elektromagnetischer Wellen
- Wir betrachten RLC-Serienschwingkreis mit Induktivität (Spule) L und Kapazität (Kondensator) C
1
r 0 N 2 AS
Induktivität: L 
Resonanzfrequenz: r 
LC
l
- Verkleinerung von L und C resultiert in Vergrößerung der
Resonanzfrequenz r , höheren Verlusten (in Analogie) zu
Widerstand R und „Energieabstrahlung“
Kapazität: C 
 r 0 AC
l

2
 Dipol
Strom- und Spannungsverlauf auf /2 –Dipol im
Resonanzfall  = res
t=0
t = T/4
t = T/2
t = 3T/4
- I  z , t  ist analog zur Grundschwingung einer
Seilwelle mit festen Enden (eingespannten Seite),
stehende Welle mit /2 = l
c
c
- Resonanzfrequenz des /2-Dipols: r  2 f  2  

l
1
mit Phasengeschwindigkeit c 
 0 r 0 r
c ist Lichtgeschwindigkeit im jeweiligen Ausbreitungsmedium
Experiment: Visualisierung der Strom- und
Spannungsbäuche am  /2-Dipol
mittels Glühlampe (I) und
Glimmlampe (U)
- /2 Phasenverschiebung zwischen I  z , t  und U z, t 
67


Abstrahlung des elektrischen Feldes am Beispiel des Hertz‘schen Dipols: pt   p0 cos t


p

Q
l
mit Dipolmoment 0


E und H Feld des oszillierenden
+Q(t)

l

p0
-Q(t)
Hertz‘schen Dipols
Fernfeld (r > )
Animation Feldabschnürung
68
Elektrisches und magnetisches Feld der abgestrahlten elektromagnetischen (Fernfeld):

 
1  d 2 pt   
H r , t  
 er
4cr  d t 2 t
r
 
E r , t  
 d 2 p t     

  er   er
2 
2 

4 r 0c r  d t t


1
r

mit retardierter Zeit
und Dipolmoment
 
1
E r , t   ,
r
 
1
H r , t  
r
geringe Schwächung mit zunehmenden Abstand
tr  t 
r
c


pt   p0 cos t
Signalübertragung
m
1 / 2
 2,998  108
Phasengeschwindigkeit der elektromagnetischen Welle: c   r 0 r 0 1/ 2 , im Vakuum: c0   0 0 
s
(Vakuumlichtgeschwindigkeit)


keine Phasenverschiebung zwischen E und H
  

 
aus E  c  r  0 H  er folgt E  H  er
Polarisation der elektromagnetischen Welle


E und H oszillieren senkrecht zur Ausbreitungsrichtung
Ausbreitungsrichtung und Energiestromdichte


  

69
ist durch Pointingvektor gegeben S  E  H || er
S bzw. er der elektromagnetischen Welle


 

Er , t   Eo ex sin t  kz
 

H r , t   H o e y sin t  kz
 
 
Br , t    o H r , t 
Experiment: lineare Polarisation der Dipolstrahlung
- Polarisationsfolien
- Mikrowellen (  9 GHz,   0.027 m = 2.7 cm)
70
Elektrisches und magnetisches Feld der abgestrahlten elektromagnetischen (Fernfeld):

 
1  d 2 pt   
H r , t  
 er
4cr  d t 2 t
r
 
E r , t  
 d 2 p t     

  er   er
2 
2 

4 r 0c r  d t t


1
r

mit retardierter Zeit
und Dipolmoment
 
1
E r , t   ,
r
 
1
H r , t  
r
geringe Schwächung mit zunehmenden Abstand
tr  t 
r
c


pt   p0 cos t
Signalübertragung
m
1 / 2
 2,998  108
Phasengeschwindigkeit der elektromagnetischen Welle: c   r 0 r 0 1/ 2 , im Vakuum: c0   0 0 
s
(Vakuumlichtgeschwindigkeit)


keine Phasenverschiebung zwischen E und H
  

 
aus E  c  r  0 H  er folgt E  H  er


Ausbreitungsrichtung und Energiestromdichte

  
ist durch Pointingvektor gegeben S  E  H || er
anisotrope Abstrahlcharakteristik
der Dipolstrahlung
71

Energiestromdichte – „Leistung P, die von elektromagnetischer Welle durch Einheitsfläche
da senkrecht zur

Ausbreitungsrichtung, d.h. senkrecht zu Pointingvektor S , transprotiert wird“
 
dP  S da
 sin 2 
S  2
r

  
Ausbreitungsrichtung ist durch Pointingvektor gegeben: S  E  H || er

S entspricht der Energiestromdichte bzw.
der „Intensität“ der elektromagnetischen Wellen

S  E02
Experiment: Abstrahlcharakteristik der Dipolstrahlung 72
2.6.2. Das elektromagnetische Spektrum
Charakter der elektromagnetischen Wellen ändert sich mit Frequenz  = c/
infolge der unterschiedlichen Energien der Lichtquanten E = h 
73


Neben Frequenz  und der Wellenlänge  sind die Amplituden des elektrischen und magnetischen Feldes E0 und H 0
sowie die Polarisation wichtige Parameter der elektromagnetischen Wellen.
Polarisationstypen:
- linear polarisiert
- zirkular polarisiert
- elliptisch polarisiert
- unpolarisiert
74
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