• Betrachten wir einen Stromkreis bestehend aus einer

• Betrachten wir einen Stromkreis bestehend aus einer Spannungsquelle,
einer Spule und einem ohmschen Widerstand, so können wir auf diesen
Stromkreis die Maschenregel anwenden:
U −L
dI
= IR
dT
141
• Dies ist eine Differentialgleichung in I und t mit der Lösung
R
U
I = I0 exp − t +
L
R
• wobei I0 aus den Anfangsbedingungen erhalten werden kann. Für den
Einschaltvorgang ist I0 = −U0 /R, beim Ausschaltvorgang I0 = U0 /R.
ekrŠtsmortS
Zeit
• Offensichtlich ist in dem magnetischen Feld der Spule Energie gespeichert, die am ohmschen Widerstand in Wärme umgesetzt werden kann.
Die gespeicherte Energie beträgt
1
Wmagn = LI 2
2
• Während im Kondensator die Energie durch eine Ladungstrennung gespeichert ist, ist in einer Spule ein Stromfluss notwendig, um die Energie
zu speichern.
• Da bei Raumtemperatur jede Spule auch einen ohmschen Widerstand
darstellt, nimmt die Stromstärke sehr schnell ab.
• Supraleitende Spulen dagegen können die Energie im Prinzip beliebig
lange speichern.
142
• Allgemein gilt für die Energiedichte des magnetischen Feldes:
Wmagn
1 1 2
=
B
V
2 µ0 µ
• Die Änderung der Induktivität einer in die Fahrbahn eingelassenen
Leiterschleife wird ausgenutzt, um Fahrzeuge vor Ampeln zu erkennen.
5.5
Wechselstrom und Wechselspannung
• Sich zeitlich periodisch ändernde Spannungen und Ströme fasst man
unter dem Begriff Wechselstrom und Wechselspannung zusammen. Die
einfachste Form der Periodizität ist eine Sinusfunktion:
U = U0 sin(ωt − ϕ0 ), I = I0 sin(ωt)
5.5.1
Die Impedanz
• Wie wir bereits beim Einschaltvorgang an einer Spule gesehen hatten, können wir während des Einschaltens Strom und Spannung an der
Spule messen, die einen unterschiedlichen zeitlichen Verlauf haben.
• Teilen wir die Momentanwerte der Spannung durch die des Stromes, so
erhalten wir einen Widerstand, der sich zeitlich ändert. Ähnlich ist es
beim Wechselstrom:
R(t) =
U (t)
U0 sin(ωt + ϕ)
U0
=
6=
I(t)
I0 sin ωt
I0
• Das ist natürlich einigermassen unbefriedigend.
• Aus diesem Grund führt man als neue Grösse die Impedanz als komplexe Grösse ein.
• Wir wollen uns hier nur mit der Zeigerdarstellung dieser komplexen
Grösse befassen. Die Länge des Zeigers entspricht dem Quotienten aus
143
den Amplituden von Spannung und Strom U0 /I0 , der Winkel zur Abszisse dem Phasenwinkel ϕ zwischen Strom und Spannung. Für einen
Ohmschen Widerstand sind Strom und Spannung stets in Phase, das
heisst, es gilt stets ϕ = 0. Bei der Kapazität gilt:
q = CU
und damit
1 dq
1
dU
=
= I
dt
C dt
C
• Setzen wir für U und I die entsprechenden zeitabhängigen Grössen ein,
so erhalten wir
1
ωU0 cos(ωt + ϕ) = I0 sin(ωt)
C
1
ωU0 sin(ωt + ϕ + π/2) = I0 sin(ωt)
C
• Daraus folgt für den Phasenwinkel ϕ = −π/2 und für den Betrag der
Impedanz (die Länge des Zeigers):
|ZC | =
U0
1
=
I0
ωC
• Bei einer Kapazität läuft der Strom der Spannung um 90° voraus
• Entsprechend erhalten wir für den Phasenwinkel der Induktivität (einer
Spule) ϕ = π/2 sowie für den Betrag der Impedanz
|ZL | = ωL
• Bei einer Induktivität folgt der Strom der Spannung mit einer Phasenverschiebung von 90°
• Graphisch kann man dieses Verhalten in einem Zeigerdiagramm darstellen:
144
U0,L
ZL
ZR
U0,R
I0
ZC
I0
I0
U0,C
• Liegt eine Reihenschaltung mehrer Elemente vor, so kann man die Gesamtimpedanz leicht durch eine Vektoraddition ermitteln:
ZL
ZG
ZR
ZC
• Bei einer Parallelschaltung müssen entsprechend die Leitwerte, also die
reziproken Impedanzen, addiert werden.
5.5.2
Die Leistung im Wechselstromkreis
• Was bedeuten eigentlich die 230 V, die angeblich aus unseren Steckdosen kommen? Ist damit die Amplitude gemeint? Betrachten wir die
elektrische Leistung P = U I im Wechselstromkreis, so ist diese wiederum eine Funktion der Zeit:
145
• Die mittlere Leistung ehalten wir durch Integration über eine Periode:
1
< Pel >=
T
Z
T
U (t)I(t)dt
0
• Führen wir diese Integration aus, erhalten wir:
< Pel >=
U0 I0
U0 I0
cos ϕ = √ √ cos ϕ
2
2 2
√
• Die durch 2 geteilten Ampltuden von Strom bzw. Spannung nennen
wir Effektivwerte. Sie entsprechen der Stromstärke, die ein Gleichstrom
haben müsste, um die gleiche Wärmewirkung an einem ohmschen Widerstand zu erzielen wie ein Gleichstrom (analog für die Spannung).
• Weiterhin sehen wir, dass die mittlere Leistung in einem Stromkreis
mit reiner Kapazität bzw. reiner Induktivität verschwindet.
5.5.3
Transformatoren
• Teilen sich zwei Spulen ein Magnetfeld, so kann über eine ein veränderliches Feld angelegt werden, das in der zweiten eine Spannung induziert
146
• Eingangsspannung und Ausgangsspannung verhalten sich wie die Zahl
der Windungen:
U1
n1
=
U2
n2
• Da aufgrund der Energieerhaltung die Leistung nicht steigen kann,
muss gelten
U1 I1 = U2 I2
• Die Stromstärken verhalten sich also umgekehrt proportional zur Zahl
der Windungen
5.5.4
Der elektrische Schwingkreis
• Eine Reihenschaltung von Spule, Kondensator und ohmschem Widerstand stellt einen elektrischen Schwingkreis dar.
R
≈
C
L
• Wenden wir die Maschenregel auf diesen Schwingkreis an, so erhalten
wir
dI
1
U − L + q = RI
dt C
147
• Leiten wir diese Gleichung nach der Zeit ab, folgt
dU
d2 I
1 dq
dI
=−L 2 +R +
dt
dt
dt C dt
dU
1
= − LI¨ + RI˙ + I
dt
C
• Dies ist die Differentialgleichung einer erzwungenen gedämpften Schwingung, wie wir sie in der Mechanik kennengelernt hatten. Die Eigenfre√
quenz ist ω0 = 1/ LC und die Dämpfungskonstante β = R/L usw.
• Analog zur periodisch angeregten gedämpften mechanischen Schwingung können wir auch den elektrischen Schwingkreis mit einer periodischen Spannung U = U0 sin(ωt) anregen. Entspricht die Anregungsfrequenz der Eigenfrequenz, so kommt es zur Resonanz, also zur grössten
Amplitude des Stromes.
• Auf der Anregungsseite steht jedoch die zeitliche Ableitung der Spannung! Aus diesem Grund wird die Amplitude des Stroms sowohl bei
kleiner als auch grosser Frequenz zu Null! Das ist einleuchtend, denn
bei kleiner Frequenz ist die Impedanz des Kondensators unendlich, bei
grosser Frequenz die der Spule.
• Ohne periodische Anregung klingt die Schwingung exponentiell ab
148
1000
1.5
1.0
800
0.5
0.0
esahP
edutilpmA
600
400
-0.5
200
-1.0
-1.5
0
-4000
-2000
0
2000
4000
ω−ω0
• Auch die Phasenlage zwischen Anregung (Spannung) und Wirkung
(Strom) ändert sich wie bei der mechanischen Resonanz.
• Bringen wir in einen Schwingkreis, an dem eine Gleichspannung anliegt,
einen Widerstand ein, der bei hohen Stromstärken kleiner wird, so kann
ein solcher Schwingkreis von selbst anschwingen.
5.6
5.6.1
Elektromagnetische Wellen
Der Verschiebungsstrom
• Maxwell (1831-1879) postulierte, dass, so wie eine zeitliche Änderung
eines Magnetfeldes eine Spannung induziert, eine zeitliche Änderung
eines elektrischen Feldes äquivalent zu einem Stromfluss sein muss. Laden wir einen Kondensator auf, so gilt für den Strom:
I=
dE
dq
= εε0 A
dt
dt
149
• Dieser Verschiebungsstrom muss nun wiederum zu einem Magnetfeld
führen:
I
Z
d
~
~ A
~
Bd~s = µµ0 I = µµ0 εε0
Ed
dt A
s
wobei A die von s berandete Fläche ist. Dieser Zusammenhang ist zunächst nicht offensichtlich und kann nur im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie erklärt werden, die Maxwell noch nicht kennen konnte.
Das zeitlich veränderliche elektrische Feld führt also zu einem zeitlich
veränderlichen magnetischen, dieses wieder...
5.6.2
Die Maxwellschen Gesetze
• Die Maxwellschen Gesetze fassen folgende, uns schon teilweise bekannte
Gesetze zusammen:
• Gauss’sches Gesetz, Gesetz vm Fehlen magnetischer Monopole, Faradaysches Induktionsgesetz, Ampère Gesetz (mit Veschiebungsstrom)
I
I
~ A
~= q
Ed
εε0
A
~ A
~ =0
Bd
I
A
~ s=− d
Ed~
dt
s
Z
~ A
~ = − d ΦB
Bd
dt
A
I
Z
~ s =µµ0 (I + εε0 d
~ A)
~ = µµ0 (I + εε0 d ΦE )
Bd~
Ed
dt A
dt
s
• Die ersten beiden Gesetze beziehen sich auf die Quellen, die letzten
beiden auf die Wirbel des elektrischen bzw. magnetischen Feldes.
150
5.6.3
Die Existenz elektromagnetischer Wellen
• Im Vakuum gibt es keine Ladungen, also nehmen die Maxwell-Gleichungen
die Form an:
I
~ A
~ =0
Ed
IA
~ A
~ =0
Bd
A
I
Z
d
~ s=−
~ A
~
Ed~
Bd
dt A
s
Z
I
d
~ A
~
~ s =µ0 ε0
Ed
Bd~
dt A
s
• Diese Gleichungen sind fast symmetrisch bezüglich einer Vertauschung
des elektrischen und magnetischen Feldes. Es lässt sich zeigen, dass
diese Maxwellgleichungen bei geeigneter Wahl des Koordinatensystems
und der Randbedingungen äquivalent mit den Differentialgleichungen
1 d2 Ex
d2 E x
− 2
=0
dz 2
c dt2
1 d2 By
d2 By
−
=0
dz 2
c2 dt2
sind, wobei c2 = µ01ε0 ist. Lösungen dieser Differentialgleichungen sind
räumlich und zeitlich periodische Funktionen, nämlich ebene Wellen.
• Diese elektromagnetischen Wellen haben folgende Eigenschaften:
– Es sind transversale Wellen
√
– Die Phasengeschwindigkeit ist c = 1/ µ0 ε0
– Das elektrische und das magnetische Feld stehen stets senkrecht
aufeinander
5.6.4
Energietransport in elektromagnetischen Wellen
• Energiedichte der elektromagnetischen Welle
151
5.6.5
Die Entstehung elektromagnetischer Wellen
• Im Prinzip führt jedes zeitlich veränderliche elektrische oder magnetische Feld zur Entstehung elektromagnetischer Wellen.
• Wie wir noch sehen werden, kann die Wellenlänge und die Frequenz
elektromagnetischer Wellen über einen Bereich von über 20 Zehnerpotenzen variieren.
• Greifen wir zunächst als typisches Beispiel die Radiowellen heraus. Jeder kennt die Antennen, die an einem Handy zum Senden, also zur Abstrahlung elektromagnetischer Wellen dienen. Eine einfache Form einer
solchen Antenne ist ein leitfähiger Stab. Im Prinzip ist so ein leitfähiger
Stab eine Reihenschaltung aus ohmschem Widerstand, Kapazität und
Induktivität.
• Die grösste Amplitude der Stromstärke auf dem Dipol und damit das
stärkste elektromagnetische Feld erhalten wir, wenn wir den Schwingkreis bei seiner Resonanzfrequenz anregen.
R
≈
C
L
152
• Das magnetische Feld wird jetzt stets Kreisförmig um den Dipol ausgerichtet sein. Das induzierte elektrische Feld steht senkrecht auf dem
magnetischen.
• Beide Feldvektoren stehen stets senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung, die elektromagnetischen Wellen sind also Transversalwellen.
• Als solche besitzen sie eine Polarisation. Als Richtung der Polarisation
wird die Richtung des elektrischen Feldes angegeben, da dies auch die
Richtung des Hertzschen Dipols ist.
• Darauf werden wir im Abschnitt Optik noch zurückkommen. Elektromagnetische Wellen überdecken einen über viele Grössenordnungen reichenden Bereich von Frequenzen und Wellenlängen.
153