Kapitel 1.1 Aussagenlogik: Syntax

Kapitel 1.1
Aussagenlogik: Syntax
Mathematische Logik (WS 2011/12)
Kapitel 1.1: Aussagenlogik: Syntax
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Übersicht
1.1.1 Die Sprache der Aussagenlogik
1.1.2 Explizite vs. implizite Definitionen
1.1.3 Syntaktische Induktion und Rekursion
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1.1.1 Die Sprache der Aussagenlogik
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Die Sprache der Aussagenlogik: Symbole
Die Grundzeichen (Symbole) der Sprache der Aussagenlogik (AL) sind:
1
Die Aussagenvariablen (AV): A0 , A1 , A2 , . . .
2
Die Junktoren:
!
!
3
1-stellig: ¬ (Negation)
2-stellig: ∧ (Konjunktion), ∨ (Disjunktion), → (Implikation) und ↔
(Äquivalenz)
Die Klammersymbole: ( und )
Die Menge der Symbole der Sprache von AL bezeichnet man auch als das
Alphabet dieser Sprache und bezeichnet diese mit AAL . (NB: Da es unendlich
viele Aussagenvariablen gibt, ist AAL (abzählbar) unendlich.)
Endliche Folgen von Symbolen aus einem Alphabet A bezeichnet man auch als
endliche Zeichenreihen oder Wörter über dem Alphabet A. Die Menge aller
Wörter über dem Alphabet A (einschließlich dem leeren Wort λ) bezeichnet man
mit A∗ .
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Die Sprache der Aussagenlogik: Formeln
Die aussagenlogischen Formeln sind spezielle Wörter über dem Alphabet AAL der
Aussagenlogik, die wie folgt induktiv definiert sind:
INDUKTIVE DEFINITION. Die aussagenlogischen (al.) Formeln sind iduktiv
definiert durch
(F1) Jede Aussagenvariable An (n ≥ 0) ist eine al. Formel.
(F2) Ist ϕ eine al. Formel, so ist auch ¬ϕ eine al. Formel.
(F3) Sind ϕ1 und ϕ2 al. Formeln, so sind auch (ϕ1 ∧ ϕ2 ), (ϕ1 ∨ ϕ2 ), (ϕ1 → ϕ2 )
und (ϕ1 ↔ ϕ2 ) al. Formeln.
Diese Definition ist so zu lesen: Die Menge der al. Formeln ist die kleinste Menge
von Wörtern über AAL , die die Wörter aus F(1) (nämlich die Aussagenvariablen)
enthält und gegen die “Regeln” (F2) und (F3) abgeschlossen ist.
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Formeln: Notation
Die al. Formeln stellen natürlich mit Hilfe der durch die Junktoren symbolisierten
Verknüpfungen gebildete zusammengesetzte Aussagen dar. Auf diese Bedeutung
(Semantik) der Formeln werden wir aber erst im nächsten Abschnitt (1.2)
eingehen. Hier wollen wir die Formeln zunächst weiter rein formal als
Zeichenreihen (d.h. syntaktisch) etwas weiter untersuchen und einige später
benötigte Begriffe bereitstellen.
NOTATION:
A, B, C , . . .
ϕ, ψ, χ, ϕi , . . .
DEFINITIONEN:
stehen für Aussagenvariablen
stehen für al. Formeln
l(ϕ) := Anzahl der Zeichen in ϕ
(Länge von ϕ)
lz(ϕ) := Anzahl der Junktoren in ϕ
Weiter schreiben wir ϕ ≡ ψ, wenn ϕ und ψ identisch sind, d.h. als Wörter
übereinstimmen.
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Formeln: Beispiele
Beispiele al. Formeln sind:
1
ϕ1 :≡ A (Es gilt: l(ϕ1 ) = 1 und lz(ϕ1 ) = 0)
2
ϕ2 :≡ ¬¬¬B (Es gilt: l(ϕ2 ) = 4 und lz(ϕ2 ) = 3)
3
ϕ3 :≡ ((¬A ∨ B) → (A ∧ ¬C )) (Es gilt: l(ϕ3 ) = 15 und lz(ϕ3 ) = 5)
Nachweis der Formeleigenschaft für ϕ3 :
1
2
3
4
A, B und C sind al. Formeln nach (F1).
Mit (F2) folgt, dass auch ¬A und ¬C Formeln sind.
Da also ¬A und B al. Formeln sind, folgt mit (F3), dass (¬A ∨ B)
ebenfalls eine al. Formel ist, und analog folgt aus der Formeleigenschaft
von A und ¬C , dass (A ∧ ¬C ) eine al. Formel sind.
Mit einer weiteren Anwendung von (F3) auf (¬A ∨ B) und (A ∧ ¬C )
folgt, dass ϕ3 eine al. Formel ist.
Keine al. Formeln sind z.B. die Wörter A¬, ¬(A), (A¬B), ∨A und (A →.
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Formeln: Regeln zur Klammerersparnis
Zur Verbesserung der Lesbarkeit von al. Formeln erlauben wir das Weglassen
“überflüssiger” Klammern:
K1 Äußere Klammern dürfen weggelassen werden.
Z.B. A ∧ ¬C ≡ (A ∧ ¬C )
K2 ∨ und ∧ binden stärker als → und ↔.
Z.B. ¬A ∧ B → C ≡ ((¬A ∧ B) → C )
K3 Bei ∨, ∧ und → darf die “Rechtsklammerung” weggelassen werden.
A∨B ∨C
A∧B ∧C
A→B→C
:≡ (A ∨ (B ∨ C ))
:≡ (A ∧ (B ∧ C ))
:≡ (A → (B → C ))
NB: Die durch Weglassen von Klammern erhaltenen Formeln sind keine Formeln
im eigentlichen Sinn sondern sind nur abkürzende Schreibweisen für die
eigentlichen Formeln und sind implizit stets als die eigentlichen Formeln zu lesen.
So gilt z.B. l(¬A ∧ B → C ) := l(((¬A ∧ B) → C )) = 10
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Formeln: Induktion und Rekursion
Da die Formeln induktiv definiert sind, lassen sich Eigenschaften der Formeln
induktiv beweisen und Funktionen auf den Formeln entsprechend rekursiv
definieren.
Bevor wir dies im Einzelnen zeigen werden, gehen wir im nächsten Abschnitt kurz
auf das Induktionsprinzip für die natürlichen Zahlen ein, das wir dann anwenden
werden.
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1.1.2 Explizite vs. Implizite Definitionen:
Das Induktionsprinzip für die natürlichen Zahlen
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Explizite Definitionen vs. implizite Definitionen (1)
Bei einer expliziten Definition wird ein neues Konzept mit Hilfe
bekannter Konzepte definiert.
BEISPIEL. Die Definition der Primzahlen lässt sich auf den Begriff
der Teilbarkeit und die auf den natürlichen Zahlen definierte Ordnung
zurückführen:
x ist Primzahl :⇔ x ≥ 2 und die einzigen Teiler von x sind 1 und x
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Explizite Definitionen vs. implizite Definitionen (2)
Bei einer impliziten (oder rekursiven) Definition eines neuen Konzepts
darf dagegen (zusätzlich) auch auf das neue Konzept selbst
zurückgegriffen werden.
BEISPIEL. Die Summe von zwei natürlichen Zahlen wird durch
folgende Rekursionsgleichung festgelegt, wobei S(x) = x + 1 der
Nachfolger von x ist:
x +0
:= x
x + S(y ) := S(x + y )
Hierbei muss sichergestellt werden, dass die so gegebene Definition
nicht zirkelhaft ist! Im gegebenen Beispiel folgt das aus dem
Induktionsprinzip für die natürlichen Zahlen.
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Induktionsprinzip auf N: Vollständige Induktion
Die natürlichen Zahlen erfüllen das Prinzip der vollständigen Induktion:
VOLLSTÄNDIGE INDUKTION (VI): Ist E eine Eigenschaft von natürlichen
Zahlen, für die
(i) E (0) (lies: E trifft auf 0 zu) und
(ii) Für jede Zahl n, für die E (n) gilt, gilt auch E (n + 1).
gilt, so trifft E auf alle natürlichen Zahlen zu.
(Das Induktionsprinzip VI ist eines der Peano-Axiome, durch die die natürlichen
Zahlen definiert sind. Wir werden hierauf im späteren Verlauf der Vorlesung noch
zurückkommen.)
Aus VI folgt, dass jede von 0 verschiedene Zahl der Nachfolger S(n) = n + 1 einer
eindeutig bestimmten Zahl n ist. Hieraus ergibt sich, dass die auf der letzten Folie
gegebene rekursive Beschreibung der Addition vollständig und eindeutig ist, also
+ durch die gegebenen Rekursionsgleichungen wohldefiniert ist.
Für Anwendungen des Induktionsprinzip ist es nützlich, folgende äquivalente
Charakterisierungen der vollständigen Induktion zu betrachten:
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Varianten der vollständigen Induktion
VERALLGEMEINERTE VOLLSTÄNDIGE INDUKTION (VI’): Ist E eine
Eigenschaft von natürlichen Zahlen, sodass für alle natürlichen Zahlen n
(ii’) Gilt E (m) für alle m < n, so gilt auch E (n).
gilt, so trifft E auf alle natürlichen Zahlen zu.
MINIMUMSPRINZIP (MP): Gibt es eine natürliche Zahl mit Eigenschaft E ,
so gibt es eine kleinste natürliche Zahl mit Eigenschaft E .
LEMMA. Die Prinzipien der vollständigen Induktion und der verallgemeinerten
vollständigen Induktion sowie das Minimumsprinzip sind äquivalent:
VI ⇔ VI’ ⇔ MP
BEWEIS: s. Übungen
Da VI in den natürlichen Zahl gilt, gelten also auch VI’ und MP ebenfalls.
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Beweise durch vollständige Induktion
In einem Beweis durch vollständige Induktion weist man eine Aussage für alle
natürlichen Zahlen dadurch nach, dass man diese zunächst für n = 0 nachweist
(Induktionsanfang) und man dann - unter der Annahme, dass die Aussage für n
gilt - diese für n + 1 nachweist (Induktionsschritt). Wegen VI ist dieses Vorgehen
korrekt.
Entsprechend weist man in einem Beweis einer Aussage durch verallgemeinerte
vollständige Induktion die Aussage für beliebiges gegebenes n nach, wobei man
davon ausgeht, dass die Aussage auf alle kleineren m zutrifft. Die Korrektheit
folgt hier aus VI’.
Führen wir einen Beweis durch (erweiterte) vollständige Induktion, so
kennzeichnen wir dies durch Ind(n).
Wir kommen nun zur Aussagenlogik zurück und formulieren ein Induktionsprinzip
für Formeln, dessen Korrektheit wir mit Hilfe der Induktionsprinzipien VI und VI’
für die natürlichen Zahlen nachweisen.
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1.1.3 Syntaktische Induktion und Rekursion
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Induktion über den Formelaufbau (syntaktische Induktion)
Aus dem Induktionsprinzip VI’ für die natürlichen Zahlen lässt sich
folgendes Induktionsprinzip für al. Formeln beweisen.
LEMMA (PRINZIP DER SYNTAKTISCHEN INDUKTION). Sei E eine
Eigenschaft von al. Formeln, für die gilt:
(i) E trifft auf jede Aussagenvariable A zu.
(ii) Trifft E auf eine al. Formel ϕ zu, so auch auf ¬ϕ.
(iii) Trifft E auf al. Formeln ϕ1 und ϕ2 zu, so auch auf (ϕ1 ∗ ϕ2 ) für
∗ = ∧, ∨, →, ↔.
Dann trifft E auf alle al. Formeln zu.
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Beweis des Lemmas über die syntaktische Induktion (1)
Zum Beweis des Lemmas sei E eine Eigenschaft von al. Formeln, für die
(i) - (iii) gelte. Um zu zeigen, dass E auf alle al. Formeln ϕ zutrifft,
definieren wir die folgende Eigenschaft
E ! (n) :⇔ für alle al. Formeln ϕ der Länge n gilt E (ϕ)
von natürlichen Zahlen und zeigen durch verallgemeinerte vollständige
Induktion, dass E ! (n) für alle natürlichen Zahlen n gilt. Offensichtlich folgt
hieraus dann, dass E auf alle al. Formeln zutrifft.
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Beweis des Lemmas über die syntaktische Induktion (2)
Nachweis von E ! (n) durch Ind(n) (genauer: VI’):
Nach Induktionsvoraussetzung dürfen wir E ! (m) für alle m annehmen.
Nach Definition von E ! bedeutet dies aber gerade, dass E auf alle
Formeln der Länge < n zutrifft.
Nach Definition von E ! genügt es für eine gegebene al. Formel ϕ der
Länge n zu zeigen, dass E (ϕ) gilt.
Hierzu unterscheiden wir die folgenden Fälle gemäß der induktiven
Definition der Formeln:
!
!
!
ϕ ≡ A: Dann gilt E (ϕ), da nach (i) E (A) für alle AV A gilt.
ϕ ≡ ¬ψ: Dann gilt l(ψ) = l(ϕ) − 1 = n − 1 < n. Nach I.V. gilt daher
E (ψ). Da (ii) von E erfüllt wird, folgt hieraus aber E (¬ψ), d.h. E (ϕ).
ϕ ≡ ϕ1 ∗ ϕ2 (∗ = ∧, ∨, →, ↔): Wegen l(ϕ1 ), l(ϕ2 ) < l(ϕ) = n folgt
wiederum aus der I.V., dass E (ϕ1 ) und E (ϕ2 ) gelten. Die Behauptung
folgt mit (iii).
(Damit ist das Lemma bewiesen.)
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Beweise durch syntaktische Induktion
Das Lemma über das Prinzip der syntaktischen Induktion besagt, dass wir
eine Eigenschaft E für alle al. Formeln dadurch nachweisen können, dass
wir zeigen, dass E die dort aufgelisteten Anforderungen (i) - (iii) erfüllt.
Wir nennen solch einen Beweis einen Beweis durch Induktion nach dem
Formelaufbau oder Beweis durch syntaktische Induktion und schreiben
kurz Ind(ϕ).
Wie der Beweis des Lemmas zeigt, ist ein Beweis durch syntaktische
Induktion (Ind(ϕ)) ähnlich zu einem Beweis durch verallgemeinerte
vollständige Induktion nach der Formellänge, wofür wir im Folgenden kurz
Ind(l(ϕ)) schreiben werden.
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Beispiel
BEHAUPTUNG. Für jede al. Formel ϕ gilt %( (ϕ) = %) (ϕ), wobei %a (ϕ) die Anzahl
der Vorkommen des Zeichens a in der Formel ϕ bezeichnet.
BEWEIS durch Ind(ϕ):
ϕ ≡ A: %( (A) = %) (A) = 0
ϕ ≡ ¬ψ: Nach I.V. gilt %( (ψ) = %) (ψ). Hieraus folgt:
%( (ϕ) = %( (¬ψ) = %( (ψ) = %) (ψ) = %) (¬ψ) = %) (ϕ)
ϕ ≡ (ϕ1 ∗ ϕ2 ) wobei ∗ = ∧, ∨, →, ↔: Nach I.V. gilt %( (ϕi ) = %) (ϕi ) für
i = 1, 2. Also:
%( (ϕ) = %( ((ϕ1 ∗ ϕ2 ))
= %( (ϕ1 ) + %( (ϕ2 ) + 1
= %) (ϕ1 ) + %) (ϕ2 ) + 1
= %) ((ϕ1 ∗ ϕ2 ))
= %) (ϕ)
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Rekursive Definitionen: Beispiele (1)
Wir können durch Induktion nach dem Formelaufbau auch Funktionen auf
den al. Formeln definieren. Wir sprechen hier dann auch von Rekursion an
Stelle von Induktion, also von syntaktischer Rekursion oder Rekursion nach
dem Formelaufbau.
Wir betrachten zunächst einige Beipiele (wobei stets ∗ = ∨, ∧, →, ↔
gelte).
1
Die von uns bereits explizit definierten Funktionen l(ϕ) (Länge von
ϕ) und lz(ϕ) (Anzahl der logischen Zeichen in ϕ) lassen sich
alternativ durch Ind(ϕ) wie folgt definieren:
!
!
!
!
!
!
l(A) = 1
l(¬ψ) = l(ψ) + 1
l((ϕ1 ∗ ϕ2 )) = l(ϕ1 ) + l(ϕ2 ) + 3
lz(A) = 0
lz(¬ψ) = l(ψ) + 1
lz((ϕ1 ∗ ϕ2 )) = lz(ϕ1 ) + lz(ϕ2 ) + 1
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Rekursive Definitionen: Beispiele (2)
3
Rekursive Definition des Rangs ρ(ϕ) einer al. Formel ϕ
(= Schachtelungstiefe der Junktoren in ϕ):
!
!
!
ρ(A) = 0
ρ(¬ψ) = ρ(ψ) + 1
ρ((ϕ1 ∗ ϕ2 )) = max(ρ(ϕ1 ), ρ(ϕ2 )) + 1
Beispiel hierzu: Der Rang von ϕ ≡ A ∨ ¬B ↔ A ∧ B ∧ C ist 3.
Nämlich:
!
ρ(A) = ρ(B) = ρ(C ) = 0
!
ρ(¬B) = ρ(B) + 1 = 0 + 1 = 1 und
ρ(B ∧ C ) = max(ρ(B), ρ(C )) + 1 = max(0, 0) + 1 = 1
!
ρ(A ∨ ¬B) = max(ρ(A), ρ(¬B)) + 1 = max(0, 1) + 1 = 2 und
ρ(A ∧ B ∧ C ) = ρ((A ∧ (B ∧ C ))) = max(ρ(A), ρ(B ∧ C )) + 1 =
max(0, 1) + 1 = 2
!
ρ(ϕ) = max(ρ(A ∨ ¬B), ρ(A ∧ B ∧ C )) + 1 = max(2, 2) + 1 = 3
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Rekursive Definitionen: Beispiele (3)
4
Die Menge V (ϕ) der in ϕ vorkommenden Aussagenvariablen ist rekursiv
definiert durch:
! V (A) = {A}
! V (¬ψ) = V (ψ)
! V ((ϕ ∗ ϕ )) = V (ϕ ) ∪ V (ϕ )
1
2
1
2
5
Die Menge TF (ϕ) der Teilformeln von ϕ ist rekursiv definiert durch:
! TF (A) = {A}
! TF (¬ψ) = TF (ψ) ∪ {¬ψ}
! TF ((ϕ1 ∗ ϕ2 )) = TF (ϕ1 ) ∪ TF (ϕ2 ) ∪ {(ϕ1 ∗ ϕ2 )}
NB: Jede Formel ϕ ist eine Teilformel von sich selbst. Eine Teilformel ψ ist
eine echte Teilformel von ϕ, wenn ψ eine Teilformel von ϕ ist und ψ +≡ ϕ
gilt. (Die echten Teilformeln von ¬ψ sind also die Teilformeln von ψ und die
echten Teilformeln von (ϕ1 ∗ ϕ2 ) sind also die Teilformeln von ϕ1 und die
Teilformeln von ϕ2 .) Es gilt z.B. für ϕ ≡ A ∧ ¬¬B ∧ C :
TF (ϕ) = {A, B, C , ¬B, ¬¬B, ¬¬B ∧ C , ϕ}
(man beachte die implizite Rechtsklammerung: ϕ ≡ (A ∧ (¬¬B ∧ C )))
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Rekursive Definitionen: Korrektheit
Um zu zeigen, dass eine durch syntaktische Rekursion definierte Funktion
f : FAL → X wohldefiniert ist, muss man zeigen, dass die bei der Definition
benutzte Fallunterscheidung erschöpfend (⇒ f auf allen Formeln definiert) und
eindeutig (⇒ Wert von f auf jeder Formel eindeutig bestimmt) ist. Ersteres ergibt
sich unmittelbar aus der induktiven Definition der al. Formeln. Letzteres folgt aus
dem
EINDEUTIGKEITSLEMMA. Sei ϕ eine al. Formel. Dann ist ϕ entweder
(I) eine Aussagenvariable (= atomare Formel)
oder
(II) eine Negationsformel ϕ ≡ ¬ψ für eindeutig bestimmtes ψ
oder
(III) eine Formel der Gestalt ϕ ≡ ϕ1 ∗ ϕ1 für eindeutig bestimmtes
∗ = ∨, ∧, →, ↔ und eindeutig bestimmte Formeln ϕ1 und ϕ2 .
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Beweis des Eindeutigkeitslemmas: Hilfssatz
Zum Beweis des Eindeutigkeitslemmas beweisen wir zunächst folgenden
HILFSSATZ. Sei ϕ eine al. Formel und sei w ein endliche Zeichenfolge,
sodass die Verkettung ϕw von ϕ und w wiederum eine al. Formel ist.
Dann ist w die leere Zeichenfolge λ (d.h. ϕ ≡ ϕw ).
Der Beweis des Hilfssatzes erfolgt durch Ind(l(ϕ)):
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Beweis des Eindeutigkeitslemmas: Beweise des HS durch
Ind(l(ϕ))
1. ϕ ≡ A: Dann ist nach Annahme ϕw ≡ Aw eine al. Formel.
Die einzigen al. Formeln, deren erstes Zeichen eine Aussagenvariable ist, sind
jedoch die Aussagenvariablen selbst. Es muss daher Aw ≡ A - also w = λ gelten.
2. ϕ ≡ ¬ψ: Dann ist nach Annahme ϕw ≡ ¬ψw eine al. Formel.
Da eine Zeichenreihe ¬v nur dann eine Formel ist, wenn auch v eine al.
Formel ist, folgt dass ψw eine al. Formel ist. Nach I.V. gilt dann aber w = λ.
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Beweis des Eindeutigkeitslemmas: Beweise des HS durch
Ind(ϕ) (Forts.)
3. ϕ ≡ (ϕ1 ∗ ϕ2 ) (wobei ∗ ∈ {∧, ∨, →, ↔}): Dann ist nach Annahme
ϕw ≡ (ϕ1 ∗ ϕ2 )w eine al. Formel.
Der Nachweis von w = λ ist indirekt: Widerspruchsannahme: w += λ.
!
!
Da jede mit ( beginnende Formel gemäß (F3) gebildet ist, also mit )
endet, und da nach Annahme (ϕ1 ∗ ϕ2 )w eine Formel ist, muss die
nichtleere Zeichereihe w die Gestalt w ≡ ŵ ) haben: ϕw ≡ (ϕ1 ∗ ϕ2 )ŵ )
Da ϕw eine al. Formel ist und da jede mit ( beginnende Formel vom
Typ (F3) ist, muss es einen Junktor ˆ
∗ und al. Formeln ϕ̂1 und ϕ̂2
geben mit
(∗) (ϕ1 ∗ ϕ2 )ŵ ) ≡ ϕw ≡ (ϕ̂1 ˆ∗ ϕ̂2 )
(i) Es gilt dann ϕ1 ≡ ϕ̂1 , da es wegen (∗) ein Wort w̃ mit ϕ1 ≡ ϕ̂1 w̃ oder
ϕ1 w̃ ≡ ϕ̂1 geben muss; nach I.V. (NB: l(ϕ1 ), l(ϕ̂1 ) < l(ϕ)) gilt dann
aber w̃ = λ.
(ii) Aus (∗) und ϕ1 ≡ ϕ̂1 folgt unmittelbar: ∗ ≡ ˆ
∗.
(iii) Aus (∗) und ϕ1 ∗ ≡ ϕ̂1 ˆ
∗ ergibt sich schließlich ϕ2 ≡ ϕ̂2 wie in (i).
Also: ϕ1 ∗ ϕ2 ≡ ϕ̂1 ˆ
∗ ϕ̂2 im Widerspruch zu (∗). (Ende Beweis HS)
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Beweis des Eindeutigkeitslemmas: Beweis des Lemmas mit
Hilfe des HS
Offensichtlich hat ϕ genau eine der Gestalten (F1), (F2), (F3), da nach
induktiver Definition der al. Formeln jede Formel eine dieser Gestalten hat
und da sich die Formeln dieser Gestalten durch den ersten Buchstaben (Ai
bzw. ¬ bzw. () unterscheiden.
Hat ϕ die Gestalt (F1) bzw. (F2), so ist die Aussagenvariable Ai mit ϕ ≡ Ai
bzw. die Formel ψ mit ϕ ≡ ¬ψ offensichtlich durch ϕ eindeutig bestimmt.
Es genügt also zu zeigen, dass für ϕ vom Typ (F3) der Junktor ∗ und die
Teilformeln ϕ1 und ϕ2 eindeutig bestimmt sind.
Gelte also
(∗) ϕ ≡ (ϕ1 ∗ ϕ2 ) ≡ (ϕ̂1 ˆ
∗ ϕ̂2 ).
Zu zeigen: ∗ = ˆ
∗ und ϕi ≡ ϕ̂i für i = 1, 2.
(i) ϕ1 ≡ ϕ̂1 : Wegen (∗) gibt es ein Wort w mit ϕ1 ≡ ϕ̂1 w oder
ϕ1 w ≡ ϕ̂1 . Nach dem Hilfssatz muss w aber das leere Wort sein.
(ii) ∗ ≡ ˆ
∗: Dies folgt unmittelbar aus (i) und (∗).
(iii) ϕ2 ≡ ϕ̂2 : Wegen (∗), (i) und (ii) gibt es ein Wort w̃ mit ϕ2 ≡ ϕ̂2 w̃
oder ϕ2 w̃ ≡ ϕ̂2 . Nach dem Hilfssatz muss w̃ aber das leere Wort sein.
(Ende Beweis Eindeutigkeitslemma)
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